Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÝ THUYẾT x Phương trình mũ a b , ( a  0, a 1)   x Nếu b  phương trình a b  x log a b x Nếu b 0 phương trình a b vơ nghiệm Phương trình đưa số  Cách giải: Sử dụng tính chất f x g x a   a    f  x  g  x    a 1 t a g  x   g x    f a 0      f  t  0  a  Phương pháp đặt ẩn phụ: với ,  Dạng 1: Phương trình có dạng: 2f x f x m.a    n.a    p 0  1  f  x Đặt t a , t  đưa phương trình   dạng phương trình bậc 2: mt  nt  p 0 Giải phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t   f  x Sau vào phương trình t a tìm nghiệm x  f x f x m.a    n.b    p 0 , a.b 1 Đặt t a f  x f x b   , t  suy t  Dạng 2:   a f  x f  x f  x   f  x m.a  n  a.b   p.b 0 Dạng 3: Chia hai vế cho b đặt  b  f  x t  Phương pháp logarit hóa   f  x   g x a    f  x    g  x  log a f  x  với  a 1 Dạng 1:  f  x g x f  x g x   f  x  g  x  log a b Dạng 2: a b  log a a log a b Phương pháp hàm số  Định nghĩa  u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v  Hàm số f gọi đồng biến K  Hàm số f gọi u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v  nghịch biến  a; b   Định lí, tính chất  Định lí Giả sử hàm số Nếu  y  f  x  có đạo hàm khoảng f  x  0 f  x  0 x   a; b  biến (nghịch biến) khoảng  a; b  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh f  x  0  a; b  số hữu hạn điểm hàm số đồng Mũ Logarit  Tính chất Nếu phương trình f  x  0  f  x  0 có nhiều hai nghiệm khoảng  a; b  phương trình  a; b  a; b Tính chất Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng   u, v   a; b  ; f  u   f  v   u v  có nghiệm khoảng a; b Tính chất Nếu hàm số f liên tục, đồng biến khoảng   hàm số g liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) khoảng nghiệm khoảng  a; b  phương trình f  x  g  x  có nhiều  a; b   Nhận xét   f x 0 f x Khi toán yêu cầu giải phương trình   , ta chứng minh   đơn điệu cách khảo sát hàm số, sau tìm nghiệm chứng minh nghiệm Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng f  u  f  v  (trong u u  x  , v v  x  ) f  x  g  x  sử dụng tính chất nêu  Khi tốn u cầu giải phương trình giao điểm đồ thị hàm số y  f  x f  x  m số nghiệm phương trình số đường thẳng y m Phương pháp đánh giá    f x g  x  Quy tắc Giải phương trình    Bước 1: Xác định x x0 nghiệm phương trình   x  x0  x  x0 Bước 2: Chứng minh với  phương trình vơ nghiệm  Kết luận x x0 nghiệm Quy tắc Giải phương trình   f  x  m , x  D  f  x  m g  x  , x  D  g  x  m , x  D   Xét tập xác định D ta có  Phương trình thỏa mãn f  x  g  x  m  Áp dụng tương tự với tốn bất phương trình Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số lượng giác   f  x  g  x  Ta có: sin x    1;1 ; cos x    1;1 f  x  g  x  2  Điều kiện để hàm số lượng giác a cos x  b sin x c có nghiệm a  b c  Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt Quy tắc Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải phương trình sau: x a) c) 2  x 5 28 x4 x b) 9  x 8 16 x2  d) x x 1 x x 1 e)  3  9 x     x 58 x 0,001 10 1 x x x x 1 f) 12.3  3.15  20 Lời giải  x 5  x 8 3x a) Ta có: 3x  x 1 9  x  x  2  x2  x  0    x 3 Vậy S  1; 3 9 x   3x  x 8 b) Ta có: S  2; 5 Vậy 28 x 4 16  x 5 34 x   x  x  4 x   x2  x  10 0    x 2 x2  c)  x   x 1  28  x  4 x     x  3 x  3   x   x      x   x 1   x 3   x 3  x     3  x      S   ;    x 0  x      Vậy  2.5   x2 d) x 2 x 1  x  10  3.10  x  10 8 x 10 2 x   x 2  x    x 6 Vậy S   1; 6 x 3  x 1 e) f) x   3 3 S log  3.2 4.3      x log 4  2  Vậy x x        12.3x  3.15x  x1 20  3.3 x x   5 x  0 VÍ DỤ Giải phương trình sau x a)  x 5 x x 1 b) 4.4  9.2  0 9 x       3 d) x x c)  5.3  0 x x e)  x  10.3 x  x   0   x  x 1  0  x log  f) Vậy | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  0 7 4 3   3 S  log  1 Lời giải x2 x 6 Mũ Logarit x x x a) Đặt t 3 ( t  ), phương trình  5.3  0 tương đương với  t 2 tt2   0    t    x log  S  log 2;1  x 1 Vậy x x x 1 b) Đặt tt2 ,  phương trình 4.4  9.2  0 tương đương với  t 4  x 2 4tt  18  0      t 1  x2  S  2;  1  Vậy x x  5.3 x  0  c) x  1  1  1 2       2    x 9  3  3 2x x  1 3tt2  tt2  t     , t  Phương trình trở thành Đặt  t 1   0    t 2 x  1   1  x 0 t 1 Với , ta   x  1   2  x log  log t 2 Với , ta   Vậy S   log 2;0 x       3 d)  x  x2  1  0      3 x 1 x x  1  0      0  3 x  0  32 x  4.3 x  0 3x  t 1 tt2   0   x  t 3 Đặt tt3 ,  Phương trình trở thành x Với t 1 , ta 1  x 0 x Với t 3 , ta 3  x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 0 , x 1 x e) Đặt t 3 x x ( t  ), phương trình x  10.3 x x  0 tương đương với  x   x2  x  3  t 3    x 1 3tt2  10  0      3x x  t   x 0     x  Vậy S   1;1; 0; 2 f) Đặt   x x tt  ,  7 4 3   3 Khi phương trình  t 2 tt2   0   t 2    t   loai  Với  Vậy  S  log     x x 2  x log   6  tương đương với  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ Giải phương trình sau: x x x a) 6.4  13.6  6.9 0 33 x  33 x  34  x  34  x 10 b) sin x  9cos x 6 c) x d) 2 4 2  x2 1   22 x 2   x   2 Lời giải  x    2x x  x 1  3  3   x x x 6.4  13.6  6.9 0     13    0     x  2 2  x           a) b) 33 x  33 x  34  x  34  x 10  27.33 x  27 81  81.3 x  x 10 3x 3   x 1 Côsi t 3x  x  x x 2   81   x  10  1    3 Đặt   27  3 x  x   1 1 1  tt  x  x  33 x  3.32 x x  3.3 x x  x  33 x  x t  3  3 3   1  27  tt  3tt  81 Khi đó: Với t 10 t3  10 10   2 27  N 10 10  3x  x   2 3  y 3  N  10    y  y   y  10 y  0   y   N x  Đặt y 3  Khi 1 y   x   x  S   1;1 3 Với y 3  3  x 1 ; Với Vậy x c) sin x  9cos 2 x 6  91 cos x  9cos Đặt Với t 3  cos x d) Đặt 4 2 tt2 x  x Khi đó: 3  32cos 6  9 cos 2 x  9cos x  0  1  1  9t  tt 0  tt  x  0  3  k 31  2cos x  0  cos x 0  x   ,  k     2 x 2  x 3   8.2 x 1 2 2 x 1  4.2 2 x 1  4.2 x 1  x 1 1 x 2 tt9cos x ,   9   2  2 2 , phương trình tương đương với 8tttt2  tt4  t4     0  3  10 (vì t 2 ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 2 Mũ Logarit 2x 1 Từ suy   10  x1  log 2 3  10     x  log  10  2 VÍ DỤ Giải phương trình sau: x a) 5 x c) x x x x x b) 1 x d) 500 4 7 x  Lời giải x x a) 5   log    log 35 x x x  5    log  x log    log  x x    3 log  3  3 x log    log     3 Phương trình có nghiệm x x b) 1   log 3x.2 x  log  log 2 x  log 2 x 0  x log  x 0  x 0   x  log  x  0  x  log Phương trình có hai nghiệm: x 0 , x  log x c) x x  log 500  5x.2 x  log 2 x x x x 53.2  x  3.2 x x   x   log  0  x  x x   log   0   1  x 3 x log 2 0   x  log  x Phương trình có hai nghiệm: x 3 , x  log x d) 2 4 x 7 x   log 2 4   x    x   log  0   log x   x  log 2  x   log  x 2   x log  VÍ DỤ Giải phương trình sau: x x x a) Giải phương trình  5 x b) Gọi S tập hợp nghiệm thực phương trình S  x2  2x  x 2 x  Số phần tử x    m  x  m 0 c) Tìm tập hợp giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;1 Phương trình có hai nghiệm: x 2 , x log  Lời giải Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x x x x  3  4 x  x 5 x       1   5  5 a) x x  3  4       0  1  5  5  3  4 f  x         5  5 Xét hàm số , x   x x  3  4 f  x    ln    ln  0, x    5  5  hàm số f  x  nghịch biến  Ta có:  f  x  0 Mà b) có tối đa nghiệm tập số thực f   0  2x  x2 Xét hàm số Ta có:  2x phương trình  x 2 x   1 có nghiệm x 2  1  x2  x   x  x  2 x  x  x2  x  f  u  2 u  u f  u  2u.ln   0, u    f u 2 u  u Hàm số   đồng biến   1  f  x Do     x   f x  x   x  x   x  x   x 2 Vậy S có phần tử c) x    m  x  m 0  m  Xét hàm số f  x  x x  3.2 x 2x  x  3.2 , x   0;1 2x  có f  x   12 x.ln  x.ln  3.2 x.ln 2 x  1  0, x   0;1  Hàm số f  x  đồng biến  0;1 Ta có bảng biến thiên: VÍ DỤ Giải phương trình sau: x 1 x 1 x 1  x 1 a) Giải phương trình  3 x b) Giải phương trình 2 1 2  x ax  a, b c) Cho số thực thỏa mãn a  a 1 , biết phương trình nghiệm phân biệt Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình: a2 x  a x  cos bx    0 2cos  bx  ax có m   2;  Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm  m  Vậy Lời giải | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit 3x 1  x 1 32 x 1  x 1  3x 1  32 x 1 4 x 1  x 1  1 a) Nhận xét x 0 nghiệm phương trình   3 x 1  32 x 1  x 1  32 x 1  x   x    x 1 x 1  x 1  x 1  4  Với x  , ta có: VT   VP nên  1 phương trình vơ nghiệm x 1 x 1  x1  32 x 1  3  x   x    x 1 x 1  x 1  x 1  4  Với x  , ta có: VT   VP nên  1 vơ nghiệm Vậy x 0 nghiệm b) Điều kiện xác định: x 0 phương trình x 0  x  1  x x 0   x 0   1 2 hay VT 2 x 2 hay VP 2 VT 2   VP 2  Suy VT 2 VP , phương trình có nghiệm Vậy x 0 nghiệm c) Ta có a2 x  2a x  cos bx    0  a x    x   a2  x  a2    x  4 cos bx   a  x   a2   Nếu phương trình  cos  1     phương trình 2 x2 1 2  x 0  2  x 2  bx  2  cos   x a    2x bx  a  x 2 cos  bx 4cos   x a  a   cos bx x   a2  2 có nghiệm chung x0 cos  1  2 bx0 bx  2cos 2 x0 bx0 bx 0  a  x 0  x0 0  cos 1 2 a2 (Vơ lí) Do phương trình  1 phương trình  2 khơng có nghiệm chung Mặt khác theo giả thiết phương trình   phương trình   có nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có 14 nghiệm phân biệt Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT Phương trình logarit có dạng  Nếu log a x b  a  0, a 1 log a x b  x a b Phương trình đưa số  Cho  a 1 Khi đó:   f  x    g  x    log a f  x  log a g  x    f x  g x       log a f  x   g  x   f  x  a g x (mũ hóa) Phương pháp đặt ẩn phụ:  Phương trình có dạng P  log a f  x   0 với  a 1 Đăt t log a f  x  P  log a f  x   0        P  t  0 Phương pháp đánh giá   f x g  x  Quy tắc Giải phương trình    Bước 1: Xác định x x0 nghiệm phương trình   x  x0  x  x0 Bước 2: Chứng minh với  phương trình vơ nghiệm  Kết luận x x0 nghiệm Quy tắc Giải phương trình f  x  g  x   f  x  m , x  D  f  x  m g  x  , x  D  g  x  m , x  D   Xét trênPhan tập xácNhật định DLinh ta có | Facebook tác giả: f x g  x  m  Phương trình thỏa mãn   Mũ Logarit VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) ln  x  1 ln x c) log x.log x.log9 x 8 e) log x 2log  x   b) log x  log x  log8 x 11 d) log  x  1 1  log x f) log  x  1  log  x  1 3 Lời giải x   x 1  x    a) Điều kiện:  1 x  x 1 x 1 ln  x  1 ln x  ln 0  1  x  x  0   x x  1 x  Với x  : 2  loai  b) Điều kiện: x  1 log x  log x  log8 x 11  log x  log x  log x 11 11  log x 11  log x 6  x 64 c) Điều kiện: x  log 3 x.log x.log x 8  log x.log x log x 8   log x  8  log x 2  x 9 d) Điều kiện:  x   x 1  log  x  1 1  log x  log  x  1 log 2 x  x  2 x  x  x  0    x 1  Vậy  S   2;1  e) Điều kiện: x  , x 0  x 3x   x  2 log x 2 log  x    x  x       x  3x   x  So sánh điều kiện ta có phương trình có nghiệm x  f) Điều kiện: x  Ta có: Vậy log  x  1  log  x  1 3  log  x  1 3  x  8  x 9  x 3 S  3 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) log x  2log x  0 c) log 22  x   log b) log x  3log x 7  x  5 log 22  x   2m log  x   m  0 d) Tìm tất giá trị tham m để phương trình có tích hai nghiệm phương trình 16 Lời giải log x t ,  t     x 3t a) Điều kiện: x  Đặt  t 1  2 t  2t  0    t 1  2 Phương trình log3 x  2log x  0 trở thành 1 Với t 1  2  log x 1  2  x 3 t 1  2  log x 1  2  x 31 2 Với x   log x t , t   b) Điều kiện:  x 1 Đặt  t 3 2t  7  2t  7t  0    t 1 t log x  3log  x  Phương trình trở thành: Với t 3  log x 3  x 8 1 t   log x   x  2 Với log 22  x   log  x  5    log  x    log  x   0 x  c) Điều kiện: Ta có:  log  x  2  log  x  4     log  x   2  x 2   1  x 1 S 2;  Vậy   8 d) Điều kiện xác định: x  t log x Phương trình trở thành   t   2mt  m  0  t    m  t  m 0  1 Đặt x ;x  1 có nghiệm t1; t2 Phương trình cho có nghiệm phương trình  3 m   '   m  3m      3 m   Khi Theo giả x1 x2 16  log x1 x2 log 16  t1  t2 4   11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 1 m 4  m 3  thoa man  thiết Mũ Logarit VÍ DỤ Giải phương trình sau: a) Giải phương trình log x  log  x  1 2 b) Tìm số nghiệm phương trình c) Tìm số nghiệm phương trình d)  x  log  x  x      x   log  8  x  log  log Có tất cặp số thực 3 x2  x   log3 5  y 4    y  y    y  3 8    x; y  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện Lời giải a) Nhận xét x 3 nghiệm phương trình log x   log x  log  x  1   log  x  1    x  Với , ta có hay VT  VP nên phương trình vơ nghiệm  log x   log x  log  x  1   log x      Với x  , ta có  hay VT  VP nên phương trình vơ nghiệm Vậy x 3 nghiệm b) Điều kiện xác định:  VT log   x  0   x 1   x  82 9  x   x  82   x  x   TM     x  log 2 VP log  x  x   log   x  1   log 2   Suy VT 2 VP Do phương trình có nghiệm Vậy x 1 nghiệm  x  0  x 2  VT log x    c) Điều kiện xác định: x 2  x  1  Ta có 1  x  VT 2   VP 2  x  0  x 1   x  0  x   log   2  9 x   VP log    log 2  x   x  0  VT 2    x 2    VP 2   x Suy VT 2 VP Do phương trình có nghiệm Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Vậy x 2 nghiệm Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 3 x2  x   log3 5  y 4    y  y    y  3 8 d) Ta có: Biến đổi phương trình   Do ta x  x  0, x     1  2 x2  x  x2  x  5 y  1, x    5 y  1   y  0  y  2   y  y    y  3 8  y  y 0  y  Với y  , ta có bất phương trình    x   y   x  x  0    x 3 VÍ DỤ Giải phương trình sau: e) Tìm số nghiệm phương trình  log   x  log  x  x   Biết phương trình log  7a  x  a có nghiệm , tính giá trị log5 x log  x   log x 3 f) Tìm số nghiệm phương trình biểu thức x  2.3 g) Tìm tất giá trị thực m để phương trình x  x   log m 0 có hai nghiệm phân biệt? log 22 x  log x  m  log x   h) Tìm tất giá trị thực m để phương trình nghiệm thuộc  32;  i) Vậy có hai cặp  x; y  thỏa mãn  3;  3 ,   1;  3 Lời giải log x t log x log  x      log  x   t a) t t t t  1  x 5  x 5    t t t  x  7 5  7   t t  5 1 f  t       , t           1 7 7 7  7 Ta có Xét hàm số t t  5  1 f '  t    ln    ln  0, t    f t 7  7 Hàm số   nghịch biến  Mà Từ f  t  1  f  t   f  1  1 Do nên t 1 nghiệm phương trình   ta có x 5 log  a  log  log a log  log a log  log 5 2  log b) Điều kiện xác định: x  13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh có Mũ Logarit log x log x 3  2.3log x 3  x Xét hàm số f  x  2.3 , x   0;   Ta có: x  2.3 f  x   3log x.log  0, x   0;    f x 0;    1 x Hàm số   đồng biến khoảng  g x 3  x, x   0;   Xét hàm số   g  x    0, x   0;    g x 0;  Hàm số   nghịch biến khoảng  Từ  1  2  phương trình f  x  g  x   2 có nhiều nghiệm f  1  g  1 nên x 1 nghiệm c) Điều kiện xác định: m  Mà 3 Ta có: x  x   log m 0   x  x  log m  x  f  x   3x  3, f  x  0   f x  x  3x   x 1 Xét hàm số   có Ta có bảng biến thiên: 3 y log m phải cắt Để phương trình có hai nghiệm phân biệt hai đồ thị y  x  3x  điểm Dựa vào bảng biến thiên, ta có d) Đặt log x t  log m   log m 0     m 3 m   81  1   m   ;1  m 3  m 1 Vậy  81  x 32  t 5 Ta có phương trình: t  t  m  t  3  m  t2  t  t  5t  t2  t  f  t    0, t   5;   2 f t  , t   5;   t  t  t    t Xét hàm số có Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm  m  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023