Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT LÝ THUYẾT I HÀM SỐ LŨY THỪA Định nghĩa   Hàm số y x với    gọi hàm số lũy thừa Tập xác định  Tập xác định hàm số y x là:  D   số nguyên dương D   số nguyên âm  D   không nguyên Đạo hàm hàm lũy thừa       x  x y  x    x  Hàm số với có đạo hàm với   u  x     u   x  u  x    Đạo hàm hàm hợp  Tính chất đồ thị hàm lũy thừa     Đồ thị hàm số y x với ( a  ) nhận Ox làm tiệm cận ngang, nhận Oy làm tiệm cận đứng Khi a  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận a Đồ thị hàm số lũy thừa y = x qua điểm I (1;1) Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn - p tập xác định Chẳng hạn: y = x , y = x , y = x II HÀM SỐ MŨ Định nghĩa x  Hàm số y a với a  0, a 1 gọi hàm số mũ với số a Tập xác định tập giá trị  Tập xác định: D  T  0;   Tập giá trị: Tính đơn điệu đồ thị | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit f x g x x a    a    f  x  g  x Khi  a  hàm số y a nghịch biến, ta có  Đồ thị nhận Ox tiệm cận ngang, qua điểm (0;1) (1;a), nằm phía x trục hồnh (y = a > 0, " x Ỵ ¡ ) Đạo hàm III   a   a ln a   a   u.a ln a   u   n uu'   e   e x x n n n u u x x   e   u.e u u HÀM SỐ LOGARIT Định nghĩa y log a x ,  a  0; a 1  Hàm số dạng gọi hàm số logarit số a Tập xác định tập giá trị  D  0;   Tập xác định: Tập giá trị: T   Tính đơn điệu đồ thị  Khi a  hàm số y log a x đồng biến D , nếu: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   Khi  a  hàm số y log a x nghịch biến D , nếu: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  Đạo hàm   u  log x    x.ln1 a   log u   u.ln a a a Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA   x y  m  3m   ;   VÍ DỤ 1: Tìm tập hợp giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng   3   3  ;3   0;       A C   3   3 ;   \  0;3   ;       B    ;0    3;   D  0;3 Lời giải Chọn A Hàm số nghịch biến khoảng VÍ DỤ 2: Cho hàm số y   ;    m  3m   ex cos x Mệnh đề đúng? A y '' y 2 y ' tan x B y ''  y ' tan x C y '' 2 y ' tan x D y '' y 2 y ' tan x  3  3  m  m3 2   m  3m          3   m  3m  3  m   m      0  m  Lời giải Chọn A Ta có: y'  e x  cos x  sin x  cos x  y  y tan x ex ex ex y ''  y ' y '.tan x    tan x  2 2 tan x  tan x cos x cos x cos x Đạo hàm cấp hai: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit y VÍ DỤ 3: Cho hàm số ( x  m) ln  x  2(3m  1) x  9m  để hàm số xác định khoảng (2; ) ? A 12 B 18 Có số nguyên m  ( 10;10) C 11 D 2 y  y tan x  y tan x  y '' y 2  y  y tan x  tan x 2 y '.tan x Lời giải Chọn A Hàm số cho xác định khoảng (2; ) khi:  m 2  x  m 0   2  x  2(3m  1) x  9m  , x  (2; )   x  2(3m  1) x  9m  , x  (2; )  x  2(3m  1) x  9m 1  x  2(3m  1) x  9m 1    m 2  g ( x )  x  2(3m  1) x  9m  0, x  (2; ) (*) Với  2 Xét  ' (3m  1)  9m 1  6m  m 2   m 2  Trường hợp 1:   ' 1  6m  Khi g ( x)  0, x  (2; ) m 2  m  Trường hợp 2:  ' 1  6m 0 g ( x) 0  x 3m    (2; ) Ta có Khi g ( x)  0, x  (2; ) m 2  m  Gọi x1 ; x2 ( x1  x2 ) nghiệm phương trình Trường hợp 3:  ' 1  6m  g ( x) 0   m   '    g ( x )  0, x  (2; )  x1  x2 2  1.g (2) 0  9m  12m  0 m  x  x   2  m    Khi Kết hợp trường hợp ta có giá trị m thỏa (*) m 2  m 2  x  2(3m  1) x  9m 1, x  (2; ) (**) Với  Ta có g '( x ) 2 x  2(3m  1) 0  x 3m  Nếu 3m   m ta có bảng biến thiên : Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 m 2   m 2  m   Khi (**) Nếu  3m   m  ta có bảng biến thiên : m    m 1  m  12 m   Khi (**)  m 2  m 2  2 x  2(3 m  1) x  m  1,  x  (2;  )  Do Hàm số cho xác định khoảng (2; )  m 2 y m ln x  ln x   m xác VÍ DỤ 4: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số định khoảng (0; ) Gọi a  S , b  S số nguyên dương nhỏ số nguyên âm lớn Tính P 2a  3b A P  10 Vậy C P 10 B P 4 m     m  (  10;10)  m    9,  8, , 2  m 2  D P  Suy có 12 giá trị nguyên m thỏa đề Lời giải Chọn A Điều kiện: x  Đề hàm số xác định khoảng nghiệm với x  (0; )  0;  thi phương trình m ln x  ln x   m 0 vô Trường hợp 1: m 0 phương trình trở thành  ln x  0  x e Vậy m 0 không thỏa mãn | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit x   0;    t   Trường hợp 2: m 0 đặt t ln x , 2 Phương trình m ln x  ln x   m 0 trở thành mt  2t   m 0 Để phương trình vơ nghiệm       4m   m       13     13  m    ; ;      2       4m  12m   Do a 1; b   P 2a  3b 2  12  10 VÍ DỤ 5: Với số thực dương a , b để đồ thị hàm số cận, tìm giá trị lớn biểu thức A  P log  a 1 y a  bx  x 2 có đường tiệm b B D C Lời giải Chọn A  a  D   ;  \  2  b  Do a , b  nên hàm số có tập xác định Ta có lim y 0 x   y Mà a  bx  x  đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 0  a  bx   x  2  a  bx   , đặt f  x  a  bx  f   0  a  2b 2 Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận b y Đặt a   x , ta suy x  y 3  P log x y , (do a  nên x  ) x x    y 3 x y y 2  x y 1  2 x Lại có  x 2     P log x y log x    y  x   Vậy Dấu xảy    a 1   b  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023