Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÝ THUYẾT Định Phương pháp hàm số, đánh giá nghĩa: x x x x  Định nghĩa  Bất phương trình mũ có dạng a  b (hoặc a b , a  b , a b ) với a  0, a 1 u, v   a; b  ; u  v  f  u   f  v  f Định quysốtắc:  lí, Hàm gọi đồng biến K x f b TaxétHàm bất phương số trình dạng đượca gọi nghịch b 0  Nếu u, v   a; bbất  v  f trình  ; u phương  u vơf  vnghiệm  biến  a; b  log b b  bất phương trình tương đương với a x  a a  Nếu Định lí, quy tắc: x  log a b  Với a  nghiệm bất phương (Hình 1) a; b f trình  Tính chất Nếu hàm số đồng biến khoảng   x  log a b  a 1  f  Với (hình 2) u   f  v   uthì  vnghiệm bất phương trình f  Nếu hàm số nghịch biến khoảng  Tính chất Nếu hàm số max f  x   fb  Nếu hàm số Nhận xét f u, v   a; b  ; u, v   a; b  ; f  u   f  v   u  v  a; b  đồng biến đoạn   f  x   f  a   a ; b   a ; b   f  a; b  f  x   fb  a; b  nghịch biến đoạn    a ; b  max f  x   f  a   a ; b  Hình Hình m  f x m  f  x   m để bất phương bàiTập tốnnghiệm u tìmcủa tham trình cho bảng (hoặc ) có nghiệm  KếtKhi luận: bất số phương trình a  b sau: x nghiệm mTập min f  x D )  a  a(hoặc 1  b 0 m  f  x  m  f  x  Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình (hoặc ) có nghiệm b0  log a b;     ; log a b  m max f  x  m min f  x  x  Dvềthìcùng D Phương cơD số vớipháp đưa (hoặc ) x  bD với mọiax   m max f  x  D f  x g x Nếu gặp bất phương trình a  a xét hai trường hợp:  f x g x a    a    f  x  g  x Trường hợp 1: Nếu a  bất phương trình f x g x a    a    f  x  g  x  a   Trường hợp 2: Nếu bất phương trình Phương pháp đặt ẩn phụ  f  x f x  n.a    p  0,(1) Ta thường gặp dạng: m.a    f  x Đặt t a , t  đưa pt   dạng phương trình bậc 2: mt  nt  p  Giải bất phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t  sau tìm nghiệm x f x f x f x b   f  x m.a    n.b    p  t , a.b 1 Đặt t a , t  , suy  a 2f x 2f x   f  x m.a    n  a.b   p.b     Chia hai vế cho b đặt  b  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh f  x f  x t  Mũ Logarit VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: x x  1    32 a)   2x  1 x 1   3 b)   x x 1 x x d)  3  3x  x e)   5   c)   f) 11 x  x 1 x 6  5   7 x 11x Lời giải x x  1  1  1    32        2  2 a) Ta có:   5  x5 Vậy tập nghiệm bất phương trình b) Điều kiện: x  S   ;   x 2x 2x  1 2x 2x    2x x 1 x 1      2x    2x   2x   1    x 1 x 1  9  x 1   2x  x   x 1 x   0   1 x  Vậy tập nghiệm bất phương trình  5   c) Ta có:   x2  x 1  5   7 S   ;      1;0  2x   x  x   2x   x  x     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S  1;  x  3  3.2  3x     x x  x 2  2 3  3 x x x 1 d) Ta có:  Vậy tập nghiệm bất phương trình e) 3x 3x    0 3x  3x  f) Ta có: 11 x 6 x 6  3x  x 1    x    x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình 11 S  1;  11x  11x Vậy tập nghiệm bất phương trình S   ;log    1;    x    x      x  0 x  x      x 0   x 3  x 0     x 3     x  x S   6; 3 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: x x x a) 16   0 1  x 1 c)   x x b)  3.2   x x x d)  4.5   10 e) x  21 x 1 x   m  1 3x  m  f) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình: nghiệm x  Lời giải x a) Đặt t 4 ( t  ), bất phương trình cho tương đương với tt2  tt 0  x2  3   3  Vậy tập nghiệm bất phương trình log S   ;log   2x  x 1  3.2     x    x 0 b) Ta có: x x Vậy tập nghiệm bất phương trình S   ;0    1;   x c) Đặt t 3 ( t  ), bất phương trình cho tương đương với 1   tt  3t     t 3    x 1  3tt   Vậy tập nghiệm bất phương trình d) Ta có:    5x Ta có:     x  4.5 x   10 x  x  10 x  4.5 x    x  x   x    1  x   x  2   2x      x       2 x     Vậy tập nghiệm bất phương trình e) Điều kiện: x 0 S   1;1 x  21  x 1 t 1    t     t  x  2 x  5 x  x  2  x  5  2 x  1 4 x 2  1 x 0 4 S   ;0    2;     2 x Đặt t 2 Do x 0  t 1 t 1  t   2 2 tt    Vậy tập nghiệm bất phương trình | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh S  0;1 x    x Mũ Logarit f) Đặt log x  log x   1 0  log x  log x  1  log x     log x  0  x 1  x  bất phương trình tt2   m t   m  1 t  m  t 1 cho thành: nghiệm t 3 nghiệm t  Xét hàm số g  tt t  g tt ,   3, '  t 1  1   t  1  0,   3 g  3   m   m   3;  Yêu cầu toán tương đương 2 Hàm số đồng biến VÍ DỤ x x x a) Giải bất phương trình 3.2  7.5  49.10  x x 2 b) Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4  ( m  1).2  m   nghiệm với x   x x c) Cho bất phương trình  2018m.2   1009 m 0 Tìm giá trị nguyên dương nhỏ tham số m để bất phương trình cho có nghiệm là? Lời giải x 3.2 x  7.5 x  49.10 x   a) Ta có x x x 3.2 x  7.5 x   1  1    49           49 x 10  5  2  10  x x  1  1   f  x  3         , x    5  2  10  Xét hàm số x Mặt f  t x x  1  1  1  1  1   f  x  3   ln      ln      ln    0, x     5  5  2  2  10   10  khác: Hàm số nghịch biến  Mặt khác f   1 49  f  x   f   1  x   Vậy nghiệm bất phương trình x   b) Ta có: m.4 x  ( m  1).2 x 2  m    m  x Đặt tt,   Bất phương trình Xét hàm số f  t f (tt)   1  m  tt 4t4 1 4t  ,    0;   tt   có nghịch biến khoảng 4.2 x   1 x  4.2 x  (0;  ) f '(tt)   4tt2    tt2    0,   (0; )  Hàm số Ta có bảng biến thiên Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Từ ta có Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  f  tt  1,    0;   Để (1) nghiệm với x thuộc tập  m 1 x t  0 c) Đặt t 2  Khi bất phương trình trở thành t  1009mt   1009m 0  1009 m  tt2   t2  f  t   f  tt  ,    0;    t  1 , t 1 Xét hàm số có  t 1 f  tt 0  t   0    t    L  Giải phương trình: Ta có bảng biến thiên: 1009 m min f  t  2  m   0;  1009 Bất phương trình có nghiệm Vậy m 1 số nguyên dương nhỏ thỏa yêu cầu toán | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh t2  t 1 Mũ Logarit BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT Định nghĩa:  Bất phương trình lơgarit đơn giản có dạng log a x  b (hoặc log a x b , log a x  b , log a x b ) với a  0, a 1 Định lí, quy tắc:  Ta xét bất phương trình dạng log a x  b  b Nếu a  log a x  b  x  a (Hình 1)  b Nếu  a  log a x  b   x  a (Hình 2) Hình Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình log a x  b cho bảng sau: Tập nghiệm log a x  b a 1  a 1 b xa  x  ab Phương pháp đưa số   Nếu gặp bất phương trình  log a f  x   log a g  x  xét hai trường hợp:  g –x Luyện   thi Đại học 2023 | Tư toán học 4.0   f  x   g  x  Trường hợp Nếu a  bất phương trình Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau:   a) log ,4 (5 x  2)  log ,4  x   b)  log  x    log x  x  c) 2log x  2  log  x   d) log x  x  log 0,5  x  1  e)   log log  x  1    Lời giải a) Điều kiện: Ta có: x log ,4 (5 x  2)  log ,4  x    x   x   x   x    S   ;    Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình là:   log x  x   log  x       log  x    log x  x   x  b) Ta có:   log  x  1     x  S  2;   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho x    x  2  log  x     x   log x   log x  2   2  2 log c) Ta có:  x     x  1  x   4 x   x     x 3   x  x  0    x 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho d) Điều kiện : x    S  2;    log x  x  log 0,5  x  1   log  x  x   x  1  1     x 0  x  x   x  1  0  x  x  x 0    x 1    S    Vậy tập nghiệm bất phương trình cho e) Điều kiện: Ta có:   2;     ;    2 x    x   log (2 x  1)     log log  x  1   log log  x  1  log 1 2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit log (2 x  1)    log (2 x  1)  0  x    1 x   2 x    3 S  1;   2 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: a) log 02 ,2 x  5log ,2 x   2 log x  10 x c) log x b) log x  log x  3 0 Lời giải a) Điều kiện: x  1 x 125 25 log 02 ,2  5log 0,2 x     log 0,2 x   b) Điều kiện : x  0; x 1; x 3 log x  log x    log x     log x  1 0  log x  log x  1 0  x 1  x  u c) Điều kiện: x  (*) Đặt u log x  x 2 Bất phương trình cho trở thành tt2u , tt1 u 1  Đặt   2u  10 2u u    2u  10 2u  t   (l)   10     2u   t  2   (1) u  1  u  Với u   log x   x  Với u    log x    x  VÍ DỤ a) Tìm số nghiệm phương trình b) Có tất cặp số thực log  x; y     x   log  8  x   thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 x  x   log 5  y 4    4 y  y    y   8   2018; 2018  c) Có số nguyên dương m đoạn  cho bất phương trình  10 x  m log x 10 11 10 10 log x với x   1;100  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 0x Kết hợp điều kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho x  Lời giải  x  0  x 2  x 10  a) Điều kiện xác định: VT log   x   log   2 x 2  x  1  x Ta có 1  x  9   VP log    log 2  x   x  0 VT 2    x 2  1 VP 2   x Suy VT 2 VP Do phương trình có nghiệm Vậy x 2 nghiệm 3 x2  x   log3 5  y 4   1   4 y  y    y   8   b)  Biến đổi phương trình Do  1 ta x  x  0, x    x2  x  x2  x  5  y  1, x     y  1   y  0  y  2   y  y    y   8  y  y 0  y  Với y  , ta có bất phương trình    x   y   x  x  0    x 3 Vậy có hai cặp c)  10 x  m log x 10  x; y  11 10 10 thỏa mãn log x  3;   ,   1;    log x  11  m   log x  1  log x 10  10    log x  10 m   log x  1  11log x 0  10 m  log x  1  log x  10log x 0 Do x   1;100   log x   0;  10 m  log x  1  log x  10log x 0  10 m  t   0;  Đặt t log x , Xét hàm số f  tt  Đạo hàm: Do ff   t  10  2tt  t  1 2 f  tt  10tt ,    0;  t 1     0;    ff    t    163 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 10log x  log x log x  Hàm số f  t đồng biến  Mũ Logarit 10m  Để 10 log x  log x log x  với x   1;100  10 m  16  m 15   m   ; 2018   15  hay có 2018 số thỏa mãn Do Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10