Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 06: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÍ THUYẾT  Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số: y  f  x  , y g  x  C C  Phương pháp: Cho hàm số có đồ thị       C C  f x g  x  Lập phương trình hồnh độ giao điểm     :   Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm  * C C  Số nghiệm (*) số giao điểm      Tương giao đồ thị hàm bậc  Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị) F  x , m  0  Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng  m  f  x Cô lập m đưa phương trình dạng  Lập bảng biến thiên cho hàm số y  f  x (phương trình ẩn x tham số m ) Dựa giả thiết bảng biến thiên từ suy m  Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên m độc lập với x   Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc F  x , m  0  Lập phương trình hồnh độ giao điểm  Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x0 nghiệm phương trình  x x0 F  x , m  0   x  x0  g  x  0    g  x  0 (là g  x  0 phương trình bậc  Phân tích: hai ẩn x tham số m ) g x 0  Dựa vào yêu cầu tốn xử lý phương trình bậc hai    Phương pháp 3: Cực trị  Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm  Quy tắc:  Lập phương trình hồnh độ giao điểm  Để   1 có nghiệm đồ thị  1 Xét hàm số y F  x , m  y F  x , m  cắt trục hồnh điểm Hoặc hàm số ln đơn điệu   hàm số khơng có cực trị  y ' 0 vơ nghiệm có nghiệm kép  F  x , m  0   y ' 0 Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ) y y f(x) = x3 q(x) = x3 + x + 1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 3∙x O x Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số  Để  1 y F  x , m  có nghiệm đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ) y y O f(x) = x3  Để  1 x O 3∙x + x f(x) = x + 3∙x + y F  x , m  có nghiệm đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct 0 (tham khảo hình vẽ) y y O g( x ) = x O x 3∙x + x f(x) = x + 3∙x +  Tương giao hàm số phân thức ax  b y C cx  d  Cho hàm số đường thẳng d : y px  q Phương trình hồnh độ giao C điểm    ax  b px  q  F  x , m  0 cx  d (phương trình bậc ẩn x tham số m d   : ) Các câu hỏi thường gặp: C cắt     1  d c  Tìm m để d  C   1 Tìm m để d cắt   điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C) có nghiệm phân biệt  thỏa mãn : d  x1  x2 c x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   d c C C   1 Tìm m để d cắt   điểm phân biệt thuộc hai nhánh   có nghiệm phân biệt  x1 , x2 có nghiệm phân biệt khác C C   1 Tìm m để d cắt   điểm phân biệt thuộc nhánh trái   có nghiệm phân biệt  điểm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1   d  x2 c C Tìm m để d cắt   điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh   Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Quy tắc:  Tìm điều kiện tồn A, B  (1) có nghiệm phân biệt  Xác định tọa độ A B (chú ý Vi ét)  Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ suy m Chú ý: Công thức khoảng cách:   A  x A ; y A  , B  xB ; y B  : AB  x B   xA   y B  y A   M  x0 ; y0  Ax  By0  C  d  M ,     A2  B2  : Ax0  By0  C 0  Tương giao hàm số bậc   Nghiệm phương trình bậc bốn trùng phương: Nhẩm nghiệm:  Nhẩm nghiệm: Giả sử x x0 nghiệm phương trình   x x0 f  x , m   x  x02 g  x  0    g  x  0 Khi ta phân tích:     Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai Ẩn phụ - tam thức bậc 2:   Đặt Để t x ,  t 0   1 g  x  0 2 Phương trình: at  bt  c 0   có nghiệm   có nghiệm tt1 ,  tt1    tt  0 thỏa mãn:  có nghiệm có nghiệm tt1 ,  tt1     tt1  thỏa mãn:   Để  1  Để  1 có nghiệm   có nghiệm tt1 , thỏa mãn: tt1   1 có nghiệm   có nghiệm tt1 , thỏa mãn:  tt1    ax  bx2  c 0  1 Để  2 2 C : y ax  bx  c  1 Bài tốn: tìm m để   cắt Ox bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng  Đặt t x ,  t 0   Để  1 tt2 9  Phương trình: at  bt  c 0 (2) tt , tt cắt Ox điểm phân biệt   phải có nghiệm dương  Kết hợp tt2 9 vơi định lý vi – ét tìm m | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh   thỏa mãn Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số VÍ DỤ MINH HỌA Lời giải y m  VÍ DỤ 1: Gọi m số thực dương cho đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x  3x  hai điểm phân biệt M , N thỏa mãn tam giác OMN vuông O ( O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?  11 15  m ;   4  A  3 m ;   4 B 7 9 m ;   4 C  5 m ;   4 D Chọn D Ta có y m   d  C y x  3x     x4  3x   m   0  1 Xét phương trình tương giao: x  3x  m  tt2  3m Đặt t x 0, phương trình   trở thành: Phương trình  2    0  2 có tích a.c  m   m số thực dương Suy phương trình  2 ln có hai nghiệm trái dấu tt1   Từ suy phương trình  1 có hai nghiệm đối x1  t2 , x2  t2  đồng thời   M  t2 ; m  , N cắt hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy    t  m  1 Mặt khác tam giác OMN vng O OM.ON 0  C Thay t2  m  1  m  1 vào phương trình  2  d  t2 , m  ta được:   m  1   m   0   m  1   m  1   m  1  0 Đặt a m   ta phương trình   a4  3a  a  0   a   a  2a  a  0  a 2 (do a  nên a3  2a  a   ) VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định \{1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: f x  m Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình   có ba nghiệm thực phân biệt A   4;  B   ; 2   4;  C  D   3;  Từ ta m  2  m 1 (thỏa mãn m  ) Vậy m 1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Lời giải Chọn D Phương trình hàm số f  x   m  f  x  m  y  f  x đường thẳng y m  Căn vào bảng biến thiên hàm số VÍ DỤ 3: Cho hàm số hàm số y  f  x đồ thị hàm số f  x  x  3x  mx  cắt đường thẳng y  f  x cắt ba điểm phân biệt y  f  x ta   m      m  Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị ba điểm phân biệt A  0;1 , B, C cho tiếp tuyến B, C vng góc với Gía trị S B A Vậy y 1 có ba nghiệm phân biệt đồ thị 11 D C m    3;  Lời giải Chọn C y 1 Phương trình hồn độ giao điểm y x  3x  mx  là:  x 0 x  x  mx  1  x x  x  m 0    x  x  m 0  *   Để đồ thị hàm số C  x2 ; y  y  f  x phương trình  cắt đồ thị hàm số  * y 1 ba điểm phân biệt A  0;1 , B  x1 ; y1  , có hai nghiệm phân biệt khác m 0 m 0        m   m   Theo hệ thức Viet ta có y  f  x Để tiếp tuyến đồ thị hàm số    x1  x2    x1 x2 m B, C vng góc với  f  x1  f  x2    3x12  x1  m 3x22  x2  m     x12 x22  18 x1 x2  x1  x2   3m x12  x22  m  x1  x2   36 x1 x2  m  0   65 m   65  65  m2  m  0    S     8  65 m   x y C  x Nhật |DỤ Facebook tácsốgiả: Phan LinhA   1;1 Tìm m để đường thẳng d : y mx  m  cắt VÍ 4: Cho hàm điểm  C  hai điểm phân biệt M , N cho AM  AN đạt giá trị nhỏ Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Lời giải Chọn A x mx  m  d là:  x (đk: x 1 ) C Phương trình hồnh độ giao điểm    x   x   mx  m  1  x mx  m   mx  mx  x  mx  2mx  m  0 (*) Để  C d cắt hai điểm phân biệt M , N (*) phải có nghiệm phân biệt khác m 0    ' m2  m  m  1  m    m  m  m  0  m0 Giả sử M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  Theo hệ thức viét : x1  x2 2; x1 x2  m 1 m  y1  y2 m  x1  x2   m  2m  2m   y1 y  mx1  m  1  mx2  m  1 m2 x1 x2  m  m  1  x1  x2    m  1 2 m( m  1)  m  m  1   m  1 m  Ta có: 2 AM  AN  x1  1   y1  1   x2  1   y2  1 2  x1  x2     x1  1  x2  1   y1  y2     y1  1  y2  1 2   x1  x2     x1 x2  x1  x2  1   y1  y2    y1 y   y1  y   2  m 1         1       m        m      m 1   18    (  m)  16  2.2 20   m 18    m 16   m  m  m  (BĐT Cauchy) 2 Suy ra: AM  AN đạt giá trị nhỏ 20 Vậy m  (vì m  ) VÍ DỤ  m  m 1  m  m 1   m  5: Cho hàm số y x  x có đồ thị (C ) , có đường thẳng d có điểm chung 3 với đồ thị (C ) điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  x2  x3  A B C D Lời giải Chọn B Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C ) điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc dạng y ax  b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x  x ax  b Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt có nghiệm kép gọi x1 , hai nghiệm lại x2 , x3 Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C ) , không tính tổng quát giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C ) x1 Gọi d tiếp tuyến (C ) điểm có hồnh độ x1 , d cắt (C ) điểm phân biệt có hồnh độ 3 3 thỏa mãn x1  x2  x3  Ta có: d : y (4 x1  x1 )( x  x1 )  x1  x1 Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x2 , x3 ( x1 ) x  x (4 x13  x1 )( x  x1 )  x14  x12 (1) 3 Yêu cầu tốn  (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  x3   x x1 (1)  ( x  x1 )2 ( x  x1x  3x12  2) 0   2  f ( x) x  x1 x  3x1  0 3 Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  x3  phương trình  x2  x3  x1   x x 3x12  x2 , x x1 f ( x) 0 phải có nghiệm phân biệt khác thỏa mãn định lí Vi – ét:   ' x12  3x12    2  x1  2x1  3x1  0  x  ( x  x )3  3x x ( x  x )  3  Ta có:    x1   3 x1  0  x  (  x )3  3(3x  2).(  x )  1 1  y  m   x  VÍ DỤ 6: Có số thực tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x  x  x  A  x1  ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y , y3 thỏa mãn B C 1    y1  y  y3  D  11  165 22 Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán Lời giải Chọn D Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho x  x  3x   m   x   x  x    m  x  0  1 Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phân biệt phương trình   Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có : | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  x1  x2  x3    x1 x2  x2 x3  x3 x1 3  m  x x x   Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trình y1   m   x1 y2   m   x2 , 1    Khi y1  y  y3   y3   m   x3 y  m   x  nên ta có 1     m   x1  m   x2  m   x3 x1 x2  x2 x3  x3 x1 3 m   m  x x x 3  m 9   m  3 Thử lại với m 9 suy phương trình hồnh độ giao điểm x  x  x  0 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) Vậy có số thực m thỏa mãn VÍ DỤ 7: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x  x bốn điểm phân biệt có hồnh độ , , m n Tính S m  n2 A S 0 B S 1 C S 2 D S 3 Lời giải Chọn D Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x  x điểm có hồnh độ nên phương trình đường thẳng có dạng y ax Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng y ax với đồ thị hàm số y x  x :   x  x a x  x  x  a x 0  x x  x  a 0 Do phương trình có bốn nghiệm , , m , n nên ta có :     x x  x  a x  x  1  x  m   x  n   x  x  a  x  mx  x  m  x  n   x  x  a x  nx  mx  mnx  x  nx  mx  mn  x  x  a x    n  m  1 x   m  n  mn  x  mn x VÍ DỤ 7: Cho phương trình   x  m  x  x  m 0 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn   20; 20  để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 C 17  m  n  0 m  n    m  n  mn     S m  n  m  n   2mn 3 mn   mn  a  D 20 Lời giải Chọn B Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2  2  x  x  m  x   x  x  2m 0 x  x  m  x  x  m 0   Ta có                x  x  m x  x  m  x  4x  m 0  x  x  m x  x  m  0  x  x  m 0   x  x  m  0  1  2 Yêu cầu tốn  phương trình     có nghiệm phân biệt khơng trùng Phương trình      2   1  2 có nghiệm phân biệt 4  m    1  m   Giả sử phương trình  1  2 m   m1  m   có nghiệm x0 trùng  x  x  m 0   x  x  m  0  Hệ sau có nghiệm    1  2  x0  x0  m  x0  x0  m  0  x0  Với x0  thay vào   ta m   Với m  phương trình  1   khơng có nghiệm trùng   20; 20   m    20;  1 \  5 Kết hợp m số nguyên thuộc đoạn  Vậy có 18 số nguyên m thoả mãn yêu cầu toán | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10