Phan Nhật Linh Câu 1: Cho hàm số Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 f  x y  f  x  liên tục  có đồ thị đạo hàm hình vẽ Gọi tập S tập chứa tất giá trị nguyên trị Số phần tử S là: để hàm số  f x  2mx   có điểm cực B C A Câu 2: m    21; 21 D y  f  x  liên tục Cho hàm số R có đồ thị đạo hàm xác định y  f '  x   x  x  1 Số điểm ực trị chứa dấu giá trị tuyệt đốicực y  f  x   1 là: B A Câu 3: trị hàm số Cho hàm số C D y  f  x  có đạo hàm liên tục xác định R có biểu thức đạo hàm y  f '  x   x  x   Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số A B Câu 4: Cho hàm số f ( x) Câu 5: có ba điểm cực trị C D có đạo hàm liên tục f '( x) = x ( x - m) ( x - + m) tham số A y  f  2x  m  m ¡ có biểu thức đạo hàm , với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên ( ) ù f 3x - + mỴ é ê ë- 30;30ú ûđể hàm số có điểm cực trị? B C D Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ( ¡ có biểu thức đạo hàm ) , với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên f '( x) = x x2 - 2mx + 12 + m ( ) f 2x - m2 + m mỴ é - 30;30ù ê ú ë û tham số để hàm số có điểm cực trị? A 27 B 26 C 25 D 29 Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số ( ) ù mỴ é ê- 30;30û úđể hàm số f x - 3m x có 11 điểm cực trị? ë | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số A 29 Câu 7: B 23 Cho hàm số hàm số y  f  x g  x  f  Câu 8:  có 11 điểm cực trị? B D C   x 1  x   m   x  neu  y  f  x    x 3  x  m  a x  b neu  x     Cho hàm số , với a b số thực xác định hàm số liên tục toàn  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có điểm cực trị? A Câu 9: D 22 hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để f  x  m A C 21 C B D mx  n neu x    f  x    x  nx  m  neu x  , với hai tham số thực m n Hỏi có tất Cho hàm số giá trị nguyên tham số A B 36 Câu 10: Cho hàm số f  x có biểu thức đạo hàm nguyên tham số A Câu 11: Cho hàm số A x 2 m    30;30 m    30;30 để hàm số C 11 f  x  2 x  3x  để hàm số B có điểm cực trị? D Hỏi có tất giá trị f x  x   mx C y  x   x   x   2x  B x 1  f  x  có điểm cực trị? D 31 Hàm số đạt cực tiểu C x  D x 0 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 y  x   x   x   x   x   m2x  Câu 12: Cho hàm số nguyên tham số m để hàm số có cực trị? A B Hỏi có tất giá trị C D f x  x   x   x   mx Câu 13: Cho hàm số   ; với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số có cực trị? A 17 B 15 C 16 D vô số f x  x   x   x    x  n Câu 14: Cho hàm số   với n số nguyên dương khơng lớn 2021 Hỏi có tất giá trị tham số n để hàm số có cực trị? A 1010 B 1011 C 1009 D 2020 f  x   x2  4x   x  Câu 15: Số điểm cực trị hàm số A B Câu 16: Gọi S là: C D tập chứa tất giá trị thực tham số y  f  x   x  2mx   x m để hàm số có điểm cực đại với giá trị cực đại tương ứng nằm khoảng  3;  đồng thời thỏa mãn 10m số nguyên Số phần tử tập S A B C D y  f  x Câu 17: Cho hàm số điểm cực trị A  y  f  x hình vẽ Hàm số C 13 B Câu 18: Cho hàm số số có đồ thị đạo hàm y  f ' x liên tục  Biết đồ thị hàm số y  f x  mx  x  m  m  có số D 11  y  f x2  x  có tất điểm cực trị | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  y  f x  x2  hình vẽ Hỏi hàm Chủ đề 02: Cực trị hàm số A B Câu 19: Cho hàm số y  f  x vẽ Hỏi hàm số C liên tục  Biết đồ thị hàm số  y  f x  x  12 A B  D  y  f x2  x  cho hình có tất điểm cực trị? C D Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định  có đồ thị đạo hàm y  f '( x) hình vẽ Hỏi hàm số A f ( x  x  1) có tất điểm cực trị? B C D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 BẢNG ĐÁP ÁN A B C 4.D 5.B 6.A C D 11.A 12.C 13.B 14.B 15.B 16.C 17.D 18.C 9.D 10.B 19.D 20.B HƯỚNG DÂN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A Hàm số f  x Xét hàm số có ba điểm cực trị là: x a  0; x 1; x b   f x  2mx    f  u Ta có bảng biến thiên u  x  2mx  sau:   u a      u b  4  u 3 nên để hàm số f  u  có điểm cực trị SNBL   u 1   1  m Do SĐCT  m 0 Vậy có giá trị tham số m Câu 2: Chọn B Hàm số y  f  x Xét hàm số đạt cực trị điểm x 0; x 1 y  f  x   1  f  u  Bảng biến thiên u  x 1    u 0    4  5 f  u  u  u     Ta có SĐCT SĐCT SNBL  Câu 3: Chọn C Hàm số y  f  x đạt cực trị điểm x 0; x 2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh sau: Chủ đề 02: Cực trị hàm số y  f  2x  m  m  f  u  u  2x  m  m Xét hàm số Bảng biến thiên sau: Ta có   u 0      u 2 f  u  u SĐCT    SNBL SĐCT   u 1    u 1   1  SNBL     SNBL    2   u 2    u 2    m 0  m    1; 0 Suy  m  hay Câu 4: Chọn D Nhận xét: Cho hàm số điểm x =- y = f ( x) liên tục ¡ ( ) y = f ax + b + c ln có cực trị b a ìï ïï f ( 3x - 1) x > y = f 3x - + = ïí ïï 2 x= ïï f ( - 3x + 3) x < , ïỵ điểm cực trị hàm số ïìï ïï 3f '( 3x - 1) x > y' = í ïï ïï - 3f '( - 3x + 3) x < ïỵ ìï ïï 3( 3x - 1) ( 3x - 1- m) ( 3x - + m) x > Û y ' = ïí ïï ïï - 3( - 3x + 3) ( - 3x + - m) ( - 3x - + m) x < ïỵ ( ) Hàm số có điểm cực trị y ' = có nghiệm phân biệt khác Khi: é êx = + m > 2 ê1 3Þ x > Þ y' = Û ê êx = - m > ê2 3 ë ïìï < m < Þ ùù x1 x2 ợ ỡù < m < ïï í 1+ m - m Þ ùù ùợ 3 ùỡù < m < ùù m ợ T toỏn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 é êx = - m < 2 ê3 3Þ x < Þ y' = Û ê m 3 êx = < ê4 3 ë Khi Vậy Câu 5: m Ỵ ( 1;5) \ { 3} Xét hàm số ïìï < m < ùù x3 x4 ợ ùỡù < m < ùù m ợ v m ẻ Â nờn cú giỏ tr nguyờn tha yêu cầu ( ) f 2x - m2 + m = f ( u) Bảng biến thiên hàm số u = 2x - m2 + m sau Ta có số điểm cực trị hàm số u điểm Nhận xét, hàm số trị f ( x) có điểm cực trị hàm số f ( u) có điểm cực f ( x) Do đó, xét trường hợp m - m - 12 > Û m < - Ú m > hàm số có điểm cực trị x = 0;x = m ± m - m - 12 Áp dụng công thức: Số điểm cực trị f ( u) = số điểm cực trị u + số nghiệm bội lẻ phương trình éu = ê ê = m - m2 - m - 12 ê = m + m2 - m - 12 ê ë suy ìï m < - ù ùù m 12 ợ Câu 6: ìï m Ỵ ïí ïï m Ỵ ùợ ộ- 30;30ự ỳ ỷ Â ỡù m < ù ùù m - 12 ợ kết hợp với điều kiện m < - Ú m > suy suy có 26 giá trị nguyên Hàm số đạt cực trị x = a < - 1;x = - 1;x = Xét hàm số ( ) f x3 - 3mx = f ( u) Bảng biến thiên hàm số u = x3 - 3mx = u = x3 - 3mx ³ suy có phương trình cho ta nghiệm bội lẻ Nếu m £ suy số điểm cực trị u 1, suy số nghiệm bội lẻ phương trình u = tối đa nghiệm bội lẻ Không thỏa yêu cầu | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số u = x3 - 3mx Khi m > số điểm cực trị u 5, ta có bảng biến thiên hàm số Áp dụng công thức: f ( u) Số điểm cực trị hàm số = Số nghiệm bội lẻ phương trình u = + số điểm cực trị u ỡù m > ỡù m ẻ Â ù ï Û m> í í ù ïï 2m m > ïmỴ é ê ë- 30;30ú û suy có 29 giá trị nguyên thỏa yêu Suy ïỵ kết hợp ïïỵ cầu Câu 7: Chọn C  x 3 f  x  0    x  Ta có g  x   f   f  x  m  Ta lại có:    g  x  0      f ( x)  m f  x  f  f  x   m f  x  m   f   x  0  x 3  f  x   m 0  f  x  m   f  x   m 3 f  x  m   f  x   m   ptvn   f  x  m    1  2  3  g  x  f f  x  m 1; ; Để hàm số có 11 điểm cực trị phương trình       phương trình phải có nghiệm phân biệt   m    m       m      m    m    m   1  m    Vì m nguyên nên m 2 Câu 8: Chọn D Tập xác định hàm số cho D  Khi đó: lim f  x   f  1  2m  8; lim f  x   f    6m  32 x  1 x  3 +) lim f  x  2a  b  2m  4; lim f  x  6a  b  6m  36 x +) x  1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Hàm số liên tục  hàm Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 số phải liên tục x 1; x 3  lim f  x   lim f  x   f  1  2a  b  2m   2m   x x     lim f  x   lim f  x   f 6a  b  6m  36  6m  32  x  x  3  a  b 4    6a  b  Từ  a   b 8   x 1  x   m   x  neu  y  f  x    x 3  x  m  x  neu  x     Để hàm số có điểm cực trị hồnh độ đỉnh parabol phải thỏa mãn điều kiện:  m     m     m   1    m  2  m      m    m  10 2  m  10  m   3; 4;8;9 Vì m nguyên nên Câu 9: neu x   m f  x   2 x  n neu x   Đạo hàm: Khi đó, ta có bảng biến thiên f  x sau:  m    f   1  m  n  n  m   n    f  x Hàm số phải liên tục xác định x  Suy   m    n m    m   m  m 5  n m       2 m Vậy có tất giá trị tự nhiên thỏa mãn toán | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số  SDCT  u 1   u 1      SDCT u  SNBL     u 4      5  SNBL   u 2  4  u         Câu 10: Ta có: {Khơng thỏa mãn} Như vậy, bắt buộc u phải có điểm cực trị Khi phải có:   m   4.3 2 (*) Khi đó, ta có bảng biến thiên u  x2  4x  sau:   u 1    SDCT  u 3  SNBL    6   u     Suy 1 2  m    3m    14  m 0       m  8m   m    14 2  1  m  8m  4 Từ bảng biến thiên, suy ra:  (**) m, m  30;30   14  m 0       m  0 Kết hợp (*) (**), suy ra: m Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn toán Câu 11: Chọn A Với x    y  x   x   x   x  1  x  x    x  x   5x  Tương tự, ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu x 2 Câu 12: Chọn C Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x    y 1  x   x   x   x   x  m x     m x  16 Với   Tương tự, ta có bảng biến thiên: Để hàm số có cực trị phải có đoạn f  x  phải đổi dấu từ âm sang dương:   m2   m   m  m   0; 1; 2 f x Thử lại m 1   hàm (Loại) Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 13: Chọn B Ta có bảng xét hàm bảng biến thiên ghép làm sau: Để hàm số có cực trị đạo hàm phải đổi dấu lần Mà ta lại có :   m    m    m   m Suy số nhỏ phải âm số lớn phải dương, đồng thời khoảng   m   9  m       m      m 0  1;  ,  ; 3 đạo hàm phải khác Tức :   m    m   m 7  m 1  có tất 15 giá trị m nguyên thỏa mãn Câu 14: Chọn B Dạng toán xét số giá trị cụ thể số nguyên dương n rút quy luật giá trị tham số n để hàm số có cực trị sau: Trường hợp 1: y  f  x  x   x  Xét n 2 , ta có 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số Hàm số khơng có cực trị Trường hợp 2: y  f  x  x   x   x  Xét n 3 , ta có Hàm số có cực trị y  x   x   x    x  n Nhận xét thấy n số nguyên dương lẻ hàm số có n điểm cực trị Khi số ngun dương chẵn khơng tồn điểm cực trị Suy n 2021 n lẻ nên có 1011 giá trị n nguyên dương thỏa mãn Câu 15: Chọn B Những hàm trị tuyệt đối cụ thể tối ưu bảng xét hàm sau : x    1 /   x x 1 x 1 x 1 x 1 x2  x  x2  4x  x2  4x   x2  4x  x2  4x  f  x x2  5x  2x   x2  3x  2x    x2  5x   2x  x2  3x  2x     f  x  f  x  Suy hàm số có điểm cực tiểu x 1 ; x 3 điểm cực đại x Câu 16: Chọn C Xét phương trình x  mx  0  *  Nếu  m  0 hàm số cực đại , có  m  y  f  x  x  mx   x x   m   x  khơng có điểm Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Nếu Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  m    m2     * m 1 phương trình   có hai nghiệm phân biệt x1 m  Với m2   x x1   x x x2 m  m  y  f  x  x  mx   x x   m   x  khơng có điểm cực đại y  x  mx   x  x   m   x  Với x1  x  x2 Hàm số đạt cực đại x m  giá trị cực đại yCD m  4m  2 Vậy điều kiện để hàm số có cực đại m  m2   m   m  m   x1  x m   x2    2 3  m  m   0  m  m   m     m2     m     m  4m       m       m2  4m   m      m   Do 10m số nguyên nên có hai giá trị thỏa mãn m4 m  42 41 m  10 10 Câu 17: Chọn D Từ đồ thị Đặt f ' x  , ta suy hàm số g  x   f 6x  x y  f  x có điểm cực trị  Ta suy y g  x  Do số điểm cực trị hàm y số điểm cực trị dương hàm số g  x cộng thêm  x 3   6x  x g '  x  0   x  x   6x  x2  g '  x    x  f ' x  x  x  x Ta có , cho   Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy phương trình 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh g '  x  0 a  b  c   c   d  có tất nghiệm dương phân biệt Chủ đề 02: Cực trị hàm số Suy số điểm cực trị g  x   y g x Do số điểm cực trị 11 Câu 18: Chọn C Ta có   y f x m  x m  Suy g  x   f  x  x  Suy g  x  m   f  x  m Đặt g x  g x  m  Ta biết số điểm cực trị hàm g x  g x Hàm số   có điểm cực trị dương nên hàm có điểm cực trị g x  m  Suy hàm có tất điểm cực trị  g  x   f x2  x 2  x m  Câu 19: Chọn D Ta có     y  f x  x  12  f x  x   x   f y g  x  Ta thấy hàm số y g  x   Vậy hàm số Lí giải: Câu 20: Chọn B   x     x    g  x   có điểm cực trị x  1, x 2, x c  Suy hàm số có điểm cực trị x 1, x 4, x c  (3 điểm cực trị dương)    y g x   f x  x  12    y  f x2  4x  g x   có điểm cực trị  , với  x       x   x  x  12    Hàm số f ( x) đạt cực trị điểm x a  0; x b  (0;1); x c  f (u )  f ( x  x  1) u x  x Xét hàm số với u x  x Ta có bảng khảo sát hàm số Ta có: ( f (u )) ' u ' f '(u ) nên số điểm cực trị hàm số f (u ) là: số điểm cực trị u cộng  u a  u b   u c f '( u )  với số nghiệm bội lẻ phương trình hay  Hàm u khơng có điểm cực trị u a vơ nghiệm; u b vơ nghiệm; u c có nghiệm; Vậy: f (u ) có hai điểm cực trị Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023