Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Câu 1: Ứng dụng đơn điệu vào PT, BPT, HPT, BĐT Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến A ( −;1) Câu 2: B ( −;0 )  (1; + ) Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến A ( −;1) Câu 3: Câu 5: C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) 1 Tập nghiệm bất phương trình f    f (1)  x B ( −;0 )  (1; + ) C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) Giá trị tham số m để bất phương trình ( x − − m) x −  m − có nghiệm là: A m  Câu 4: Tập nghiệm bất phương trình f    f (1)  x B m  C m  Cho hàm số y = f ( x ) liên tục D m  có đạo hàm y = − x − 1, x  Khẳng định sau đúng? A f ( )  f ( 2020 ) B f ( −2 ) = f ( ) C f ( −2020 )  f ( 2020 ) D f (1)  f ( ) Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x )  0, x  Có giá trị nguyên x để f ( 22 x )  f ( x ) ? A 23 Câu 6: B 20 C 21 D 22  m có nghiệm khoảng ( −;1) x −1 B m  −3 C m  D m  −1 Tìm m để bất phương trình x + A m  Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = log3 x + 3x − x Tính tổng bình phương giá trị tham số m để   phương trình f  có ba nghiệm thực phân biệt:  x − m +  + f ( x − x + ) =   A 14 B 13 C 10 D Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f  ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x − 3m − với m tham số thực Tìm tất giá trị thực tham số m để g ( x )  0, x   − 5;  ( ) f − − C m  f A m  ( ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( ) f D m  f ( ) − B m  Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Câu 9: f x có đồ thi hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Biết f ( −1) = Cho hàm số bậc ba y a, b, c số thực thỏa mãn a  ( −3; −1) , b  ( −1; ) , c  ( 2;5 ) Khẳng định sau đúng? A f a C f a f b f b f c 44 B f a 83 14a b c D f a 7a b c f c f b f b f c f c 44 83 14a b c 7a b c Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( f ( cos x ) ) =   A 10 B C D Câu 11: Cho hàm số f ( x) = x + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + có nghiệm x  [−1;2] A 1746 B 1750 C 1747 D 1748 Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = x + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + f ( x ) + m = − x3 − x + có nghiệm x   −1; 2 A 1746 B 1750 C 1747 D 1748 Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi S tập hợp số nguyên dương m để bất phương trình f ( x )  mx ( x − ) + 2m có nghiệm thuộc đoạn  0;3 Số phần tử tập S A C Vô số B 10 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm D thỏa mãn f ( x )  f  ( x ) + với số thực x Bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) A m  f ( e ) − B m  f ( e ) − C m  f ( ) − D m  f ( ) − Câu 15: Tổng nghiệm thực phương trình x + 2020 x = ( x − ) − 2020 ( − x ) là: A 2021 B −6 C 2020 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) , hàm số f  ( x ) liên tục D có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x )  x + m ( m số thực) nghiệm với x  ( −1;0 ) khi: A m  f ( ) B m  f ( −1) + Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục C m  f ( −1) + D m  f ( ) có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị   tham số m để phương trình f (cos x) = −2m + có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 A ( 0;1) B ( −1;1) C ( 0;1 D ( −1;1 Câu 18: Cho phương trình sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thực? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số A B x Câu 19: Xét số thực x, y thỏa mãn: P= + y +1 C ( D )  x + y − x + x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số đây? 2x + y +1 A −2 B −3 D −4 C −5 Câu 20: Có cặp số nguyên dương ( m, n ) cho m + n  14 ứng với cặp ( m, n ) tồn ) ( ba số thực a  ( −1;1) thỏa mãn 2a m = n ln a + a + ? A 14 Câu 21: B 12 C 11 D 13 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Bất phương trình x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) A m  f ( 2020 ) − 2020 B m  f ( 2020 ) − C m  f (1) − Câu 22: Có 2020 D m  f (1) − giá trị nguyên tham số m để phương trình    cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − = có bốn nghiệm khác thuộc khoảng  − ;  ?  2 A B C D Câu 23: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số m khoảng (1;2021) để bất phương trình f (1 − m2 ) − f ( − x + 2mx + − 3m2 )  x − 2mx + 2m2 có nghiệm? A B C 2019 D 2020 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc thỏa mãn f ( −2 ) + f (1) = f ( ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ sau: Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Tìm m để bất phương trình f ( x − 1) − x3 + x − x − − m  có nghiệm thuộc ( −1; ) 1 8 A m  f ( −1) − B m  f ( −1) − C m  f ( −2 ) + D m  f ( −2 ) + 6 3 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) = + x + x Gọi S tập tất giá trị tham số m để bất phương trình ( x − m) f ( x − m) + + − x2 ( f + − x2 ) ) 0 nghiệm với S =  a + b ; + Khi khẳng định sau đúng? A a + 2b  10 B a + 2b = C ab = Câu 26: Cho f x x2 2x x f x2 x2 x   −1;1 Biết D a + b = Tổng bình phương giá trị tham số m để phươngtrình 2x 2x f x m 2mx m có nghiệm phân biệt là: A 13 B C D Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = (1 − m3 ) x3 + 3mx + ( 3m − 2m + ) x + m3 + 2m với m tham số Có số nguyên m   −2020; 2021 cho f ( x )  với x   2020; 2021 ? A 2023 B 2022 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C 2021 D 2020 Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình f    f (1)  x Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến A ( −;1) B ( −;0 )  (1; + ) C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) Lời giải Chọn B Vì hàm số y = f ( x ) nghịch biến nên x  1− x 1 f    f (1)    0 x x  x x  Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) nghịch biến A ( −;1) 1 Tập nghiệm bất phương trình f    f (1)  x B ( −;0 )  (1; + ) C ( 0;1) D ( −;0 )  ( 0;1) Lời giải Chọn B Vì hàm số y = f ( x ) ln nghịch biến nên ta có  x     x  x    x  1 f    f (1)      x  ( −;0 )  (1; + ) x 1 x  x    x       x Vậy tập nghiệm bất phương trình x  ( −;0 )  (1; + ) Câu 3: Giá trị tham số m để bất phương trình ( x − − m) x −  m − có nghiệm là: A m  B m  C m  Lời giải D m  Chọn B Đặt t = x − 1; t  Khi bất phương trình ban đầu trở thành: (t − m − 1)t  m −  m  Xét hàm số: f (t ) = Có f (t ) = t3 − t + t +1 t3 − t + , t   0; + ) t +1 2t + 3t − (t − 1)(2t + 5t + 5) = ; f (t ) =  t = (t + 1)2 (t + 1) BBT f (t ) = t3 − t + , t   0; + ) : t +1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ BBT suy để bất phương trình có nghiệm m  Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đúng? A f ( )  f ( 2020 ) có đạo hàm y = − x − 1, x  Khẳng định sau B f ( −2 ) = f ( ) C f ( −2020 )  f ( 2020 ) D f (1)  f ( ) Lời giải Chọn A y = − x − 1, x   f   0, x  , hàm số y = f ( x ) nghịch biến Do  2020  f ( )  f ( 2020 ) Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x )  0, x  Có giá trị nguyên x để f ( 22 x )  f ( x ) ? A 23 B 20 Chọn C f  ( x )  0, x  C 21 Lời giải  f ( x ) đồng biến D 22 Suy f ( 22 x )  f ( x )  22 x  x   x  22 Vậy có 21 giá trị nguyên x Câu 6:  m có nghiệm khoảng ( −;1) x −1 B m  −3 C m  D m  −1 Lời giải Tìm m để bất phương trình x + A m  Chọn B Bất phương trình x + Với g ( x ) = x + g ( x) = 1−  m có nghiệm khoảng ( −;1)  m  max g ( x ) ( − ;1 x −1 x −1  x =  ( −;1) ( x − 1) ; g( x) =   Vậy m  −3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  x = −1  ( −;1) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = log3 x + 3x − x Tính tổng bình phương giá trị tham số m để   phương trình f  có ba nghiệm thực phân biệt:  x − m +  + f ( x − x + ) =   A 14 B 13 C 10 D Lời giải Chọn A   1 1 Ta có: f   = log3 + x − 3x = −  log3 x + 3x − x  = − f ( x ) x  x  x   Lại có: f  ( x ) = 1 + 3x.ln + x ln  x   Hàm số f ( x ) đồng biến ( 0; +  ) x ln x   Do f   f ( x − m + 3) = f ( x − x + )  x − m +  + f ( x − x + ) =    4m = − x + x − 2 x − m + = x − x + x − m = x − x +     4m = x + Vẽ hai parabol y = − x + x − y = x + hệ trục Hai parabol y = − x + x − y = x + tiếp xúc với điểm A ( 2;8 ) Parabol y = − x + x − có đỉnh I1 ( 4;12 ) ; parabol y = x + có đỉnh I ( 0; )  4m = m =  Phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt   4m =   m =  4m = 12  m = Vậy tổng bình phương giá trị m 12 + 22 + 32 = 14 Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ( x) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x − 3m − với m tham số thực Tìm tất giá trị thực tham số m để g ( x )  0, x   − 5;  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ( ) f − − C m  f A m  ( ) f D m  f ( ) − Lời giải B m  ( ) Chọn B Ta có g  ( x ) = f  ( x ) + x − 4; g  ( x ) =  f  ( x ) = − 3x Vẽ parabol ( P ) : y = − 3x lên hệ trục với đồ thị y = f  ( x ) Dựa vào đồ thị, ta có g  ( x )  0, x   − 5;   g ( x ) đồng biến  − 5;   f + 10 − − 3m −   f − 3m   m  f ( ) Do g ( x )  0, x   − 5;   max  − 5;    Câu 9: Cho hàm số bậc ba y ( ) g ( x) = g ( )  ( ) f x có đồ thi hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Biết f ( −1) = a, b, c số thực thỏa mãn a  ( −3; −1) , b  ( −1; ) , c  ( 2;5 ) Khẳng định sau đúng? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số A f a C f a f b f b f c f c 44 B f a 83 14a b c D f a 7a b c f b f b f c f c 44 83 14a b c 7a b c Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta có f  ( x ) = x − x −  f ( x ) = x3 − x − x + C Mà f ( −1) =  C = nên f ( x ) = x3 − x − x 3 Cách 1: 40 40 f ( a ) − 7a − = a − 2a − 12a − = ( a − 6a − 36a − 40 ) 3 3 1 = ( a + ) ( a − 8a − 20 ) = ( a + ) ( a − 10 )  0, a  ( −3; −1) 3 40 , a  ( −3; −1)  f ( a )  7a + Chứng minh tương tự ta có: f ( b )  −8b + , b  ( −1; ) , f ( c )  −8c , c  ( 2;5 ) 40   4 44  , dấu xảy  f ( a ) + f ( b ) − f ( c )   7a +  +  −8b +  − 8c = 7a − ( b − c ) +   3  a = −2; b = 1; c = Cách 2: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x = x − x − 12 x với x  ( −3; −1) g  ( x ) = x − x − 12, g  ( x ) =  x = −2, x = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy g ( x )  40 40 , x  ( −3; −1) , suy f ( a )  7a + , a  ( −3; −1) 3 Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) + x = x − x + 3x với x  ( −1;5 ) h ( x ) = x − x + 3, h ( x ) =  x = 1, x = Bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4 Từ bảng biến thiên ta suy h ( x )  , x  ( −1; ) , suy f ( b )  −8b + , b  ( −1; ) 3 −h ( x )  0, x  ( 2;5 ) , suy − f ( c )  8c, c  ( 2;5 ) Từ bất đăng thức ta suy 40   4 44  f ( a ) + f ( b ) − f ( c )   7a +  +  −8b +  − 8c = 7a − ( b − c ) +   3  Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay, nhập vào hình biểu thức 44 83 f ( A) + f ( B ) − f ( C ) − 14 A + ( B − C ) − f ( A) + f ( B ) − f ( C ) − A + ( B − C ) − 3 Sau tính giá trị biểu thức số giá trị A ( −3; −1) , B  ( −1; ) , C  ( 2;5 ) từ suy đáp án Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( f ( cos x ) ) =   A 10 B C Lời giải Chọn D D  f ( cos x ) = −1 Từ bảng biến thiên ta có f ( f ( cos x ) ) =    f ( cos x ) = cos x = a1 , a1  −1 Phương trình f ( cos x ) = −1   cos x = a2 , a2  cos x = a, a  −1  cos x = b, b  ( −1;0 ) cos x = b, b  ( −1;0 )  Phương trình f ( cos x ) =   cos x = c, c  ( 0;1) cos x = c , c  0;1 ( )    cos x = d , d   9  Ta có bảng biến thiên hàm số y = cos x 0;    11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy cos x = b, b  ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt phương trình cos x = c, c  ( 0;1) có nghiệm phân biệt  9  Vậy phương trình có nghiệm 0;    Câu 11: Cho hàm số f ( x) = x + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + có nghiệm x  [−1;2] A 1746 Chọn B Ta có f Đặt t = ( B 1750 C 1747 Lời giải D 1748 ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + , f ( x) + f ( x) + m , suy (1)  f ( t ) = − x3 − x +  t + t + = ( − x ) + ( − x ) + , Xét hàm số y = h ( u ) = u + u + có h ( u ) = 3u +  0, u  nên hàm số y = h ( u ) đồng biến Do ( )  h ( t ) = h ( − x )  t = − x Suy f ( x) + f ( x) + m = − x  f ( x) + f ( x) + m = ( − x )  m = − f ( x) − f ( x) − x Mà f ( x) = x + x + , suy m = − ( x3 + x + ) − ( x + x + ) − x , Xét hàm số h( x) = − ( x3 + x + ) − ( x3 + x + ) − x với x  [−1;2] Suy h( x) = −3 ( x3 + x + ) ( 3x + 1) − ( 3x + 1) − 3x  0, x   −1;2 Do h ( −1)  h( x)  h ( )   h( x)  −1748 Vậy phương trình có nghiệm x  [−1;2] phương trình có nghiệm x  [−1;2]  −1748  m  Lại có m   m  −1748; −1747; ; −1;0;1 Vậy có 1750 giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + có nghiệm x  [−1;2] Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = x3 + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + f ( x ) + m = − x3 − x + có nghiệm x   −1; 2 A 1746 B 1750 C 1747 Lời giải D 1748 Chọn B Ta có: f  ( x ) = 3x +  x  , suy hàm số f ( x ) đồng biến x   −1; 2  f ( x )   0;12 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Phương trình cho tương đương với: f ( Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ) f ( x) + f ( x) + m = f (−x) f ( x ) + f ( x ) + m = − x  f ( x ) + f ( x ) + m = − x3  f ( x ) + f ( x ) + x = − m ( *) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + x , ta có: g  ( x ) = f ( x ) f  ( x ) + f  ( x ) + x  x  , suy hàm số g ( x ) đồng biến  −1; 2 Vậy phương trình (*) có nghiệm g ( x )  −m  max g ( x )  g ( −1)  −m  g ( )  −1;2  −1;2  f ( −1) + f ( −1) −  − m  f ( ) + f ( ) +  −1  − m  123 + 12 +  −1748  m  Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Gọi S tập hợp số nguyên dương m để bất phương trình f ( x )  mx ( x − ) + 2m có nghiệm thuộc đoạn  0;3 Số phần tử tập S A B 10 C Vô số Lời giải D Chọn A Từ bảng biến thiên suy f ( x )  5;9 , x   0;3 max f ( x ) = x = 0;3 f ( x )  mx ( x − ) + 2m f ( x )  m ( x − x + ) Xét hàm số g ( x ) = x − x + đoạn  0;3 x =  y = Ta có g  ( x ) = x3 − x =    x = 1  y = Bảng biến thiên g ( x ) Từ bảng biến thiên suy g ( x )  1;65 , x   0;3 g ( x ) = x = 0;3 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số f ( x) f ( x) Do  9, x   0;3 max = x = 0;3 g ( x ) g ( x) f ( x )  mx ( x − ) + 2m  m  f ( x) g ( x) Khi có nghiệm thuộc đoạn  0;3  m  max 0;3 f ( x) g ( x)  m  Vì m nguyên dương nên m  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ( x )  f  ( x ) + với số thực x Bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) A m  f ( e ) − B m  f ( e ) − C m  f ( ) − D m  f ( ) − Lời giải Chọn C x x Ta có f ( x )  me +  f ( x ) −  me  Xét hàm g ( x ) = Có g  ( x ) = f ( x) −1 ( 0;+ ) ex f  ( x ) −  f ( x ) − 1 ex f ( x) −1 m ex  0, x  ( 0; + ) Bảng biến thiên Vậy bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) m  f ( 0) − Câu 15: Tổng nghiệm thực phương trình x + 2020 x = ( x − ) − 2020 ( − x ) là: A 2021 B −6 C 2020 Lời giải D Chọn D Xét hàm số f ( t ) = t + 2020t  f ' ( t ) = 3t + 2020  0, t  R nên hàm số y = f ( t ) đồng biến khoảng R Phương trình x + 2020 x = ( x − ) + 2020 ( x − ) có dạng: x = f ( x2 ) = f ( 5x − 6)  x = 5x −   x = Vậy tổng nghiệm Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh Câu 16: Cho hàm số f ( x ) , hàm số f  ( x ) liên tục Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x )  x + m ( m số thực) nghiệm với x  ( −1;0 ) khi: A m  f ( ) B m  f ( −1) + C m  f ( −1) + D m  f ( ) Lời giải Chọn B Ta có: f ( x )  x + m  f ( x ) − x  m Xét g ( x ) = f ( x ) − x , ta có: g  ( x ) = f  ( x ) − Với x  ( −1;0 ) −1  f  ( x )  Từ g  ( x ) = f  ( x ) −  nên hàm số nghịch biến ( −1;0 ) Suy g ( x ) = f ( x ) − x  f ( −1) + Yêu cầu toán tương đương với m  f ( −1) + Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị   tham số m để phương trình f (cos x) = −2m + có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 A ( 0;1) B ( −1;1) C ( 0;1 D ( −1;1 Lời giải Chọn A Đặt cos x = t , t  ( 0;1)   Phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng  0;   phương trình f (t ) = −2m + có nghiệm  2 thuộc khoảng (0;1) Dựa vào đồ thị suy −1  −2m +    m  15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Câu 18: Cho phương trình sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thực? A B C Lời giải Chọn C Điều kiện: cos x + m  D Ta có: sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m =  2sin x.cos x − cos x + + sin x + cos x − cos x + m − m =  ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = cos x + m + cos x + m (1) Xét hàm số f ( u ) = u + u với u  có f  ( u ) = 2u +  0, u  Nên phương trình (1)  sin x + cos x = cos x + m  + sin x = cos x + m  sin x − cos x = m Điều kiện để phương trình có nghiệm  12 + 12  m  −  m  nên m  −1;0;1 Do m  Câu 19: Xét số thực x, y thỏa mãn: x + y +1 ( )  x + y − x + x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số đây? 2x + y +1 A −2 B −3 C −5 Lời giải P= D −4 Chọn B Ta có:  2x x + y +1 + y − x +1 ( )  x + y − x +  ( 2 x 2x + y +1 x  x2 + y − 2x + ) − x + y − x + −  ( *) Đặt t = x + y − x +  t = ( x − 1) + y  Khi (*) trở thành 2t − t −  Xét hàm số: f ( t ) = 2t − t −  0; + )   f  ( t ) = 2t ln −  f  ( t ) =  t = log    ln  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( t )    t   ( x − 1) + y  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4y  Px + ( P − ) y + P = 2x + y +1 Khi x + y +  P = Các cặp ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 1) + y  tọa độ điểm ( x; y ) thuộc hình trịn ( C ) Tâm I (1;0 ) , bán kính R = Các cặp ( x; y ) thỏa mãn: Px + ( P − ) y + P = tọa độ điểm ( x; y ) thuộc đường thẳng ( d ) : Px + ( P − ) y + P = Do tồn giá trị nhỏ P đường thẳng ( d ) phải có điểm chung với hình trịn ( C ) 3P  d ( I ;d )  R  4P2 + ( P − 4)   P + P −   −1 −  P  − + Vậy P = −1 −  −3, 24 Dấu xảy ( x; y ) tọa độ tiếp điểm đường thẳng ( d ) với hình trịn ( C ) Câu 20: Có cặp số nguyên dương ( m, n ) cho m + n  14 ứng với cặp ( m, n ) tồn ) ( ba số thực a  ( −1;1) thỏa mãn 2a m = n ln a + a + ? A 14 B 12 C 11 Lời giải D 13 Chọn C ( Xét phương trình: 2a m = n ln a + a + ) (1) Nhận xét: a = nghiệm phương trình (1) ( 2 ln a + a + Với a  , phương trình (1)  = n am Xét hàm số: f ( a ) = a +1 Xét hàm số g ( a ) = 1− m a2 + − am a Xét phương trình g ( a ) = ( ln a + a + ( − m ln a + a + = a a +1 a2 a +1 ) ( ( *) ) ( −1;1) ; f  ( a ) = ) ( ) a a +1 ( 2) ) − m ln a + a + ( −1;1)  g  ( a )  0, a  ( −1;1) ; m  * Suy hàm số g ( a ) nghịch biến khoảng ( −1;1) Do đó, phương trình ( ) có nghiệm a = Trường hợp 1: m chẵn 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( − m ln a + a + a m+1 ) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *) có nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy với n nguyên dương phương trình f ( a ) = khơng có hai n nghiệm phân biệt Suy loại trường hợp m chẵn Trường hợp 2: m lẻ m  Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *)  có hai nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) n = 2  ln +  n   n ln + n = ( ) ( ) Với n = , m lẻ m  , m +  14 suy m  3;5;7;9;11;13 Với n = , m lẻ m  , m +  14 suy m  3;5;7;9;11  Trường hợp 3: m = Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *) có ( hai )  ln +  nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) 2 1  n  suy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn n ln + ( ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh Vậy có 11 cặp ( m ; n ) thỏa mãn yêu cầu toán Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Bất phương trình x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) A m  f ( 2020 ) − C m  f (1) − 2020 D m  f (1) − B m  f ( 2020 ) − 2020 Lời giải Chọn D Ta có: x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) 1  m  f ( x ) − nghiệm với x  1; 2020 ) x x 1 Xét hàm số: g ( x ) = f ( x ) − với x  1; 2020 ) Ta có: g  ( x ) = f  ( x ) + x x  f ( x)  m +  f ( x)   Do  với x  1; 2020 ) nên g  ( x ) = f  ( x ) +  với x  1; 2020 ) x  0 x Suy hàm số g ( x ) đồng biến nửa khoảng 1; 2020 ) Vậy yêu cầu toán tương đương m  g ( x ) = g (1) = f (1) − 1;2020) Câu 22: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình    cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − = có bốn nghiệm khác thuộc khoảng  − ;  ?  2 A B C D Lời giải Chọn B ( ) Ta có: 4cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − =  4cos3 x − 2cos x − + ( m − ) cos x − =  cos3 x − cos x + ( m − ) cos x =  cos x ( cos x − cos x + ( m − ) ) =   cos x =  x = + k     cos x − cos x + ( m − 3) = 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh (1) (2) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số    Ta thấy nghiệm không thuộc khoảng  − ;  nên phương trình cho có bốn nghiệm  2    thuộc khoảng  − ;  phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng  2    − ;   2 Xét: cos x − cos x + ( m − 3) = (2)    Đặt cos x = t , dễ thấy với t ,  t  có giá trị x thuộc khoảng  − ;   2    Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng  − ;  phương trình  2 4t − 2t + ( m − 3) = có nghiệm t ,  t  Ta tìm m để phương trình: −4t + 2t + = m có nghiệm t ,  t  Xét f ( t ) = −4t + 2t + có f ' ( t ) = −8t + Từ bảng biến thiên suy  m  13 Do m nguyên nên m = 2; m = Câu 23: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ bên Có giá trị ngun tham số m khoảng (1;2021) để bất phương trình f (1 − m2 ) − f ( − x + 2mx + − 3m2 )  x − 2mx + 2m2 có nghiệm? A B C 2019 Lời giải D 2020 Chọn C f (1 − m2 ) − f ( − x + 2mx + − 3m2 )  x − 2mx + 2m2  − x + 2mx + − 3m − f ( − x + 2mx + − 3m )  − m − f (1 − m ) ( *) Ta có: − m  0, m  (1; 2021) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 − x + 2mx + − 3m = − ( x − m ) − 2m +  0, m  (1; 2021) , x  2 2 Xét hàm số g ( t ) = t − f ( t ) , t  Có g  ( t ) = − f  ( t )  0, t  Vậy g ( t ) hàm số đồng biến ( −;0 ) (*) có dạng g ( − x + 2mx + − 3m2 )  g (1 − m2 )  − x + 2mx + − 3m  − m  − x + 2mx − m2  m2  − ( x − m )  m2 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc thỏa mãn f ( −2 ) + f (1) = f ( ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ sau: Tìm m để bất phương trình f ( x − 1) − x3 + x − x − − m  có nghiệm thuộc ( −1; ) 1 8 A m  f ( −1) − B m  f ( −1) − C m  f ( −2 ) + D m  f ( −2 ) + 6 3 Lời giải Chọn C 1 Ta có f ( x − 1) − x3 + x − x − − m   m  f ( x − 1) − x3 + x − x − (*) 6 Gọi g ( x ) = f ( x − 1) − x3 + x − x − Đặt t = x − x  ( −1; )  t  ( −2;1) 3 (*)  m  f ( t ) − ( t + 1) + ( t + 1) − ( t + 1) − Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) − 3 ( t + 1) + ( t + 1) − ( t + 1) − g  ( t ) = f  ( t ) − ( t + 1) + ( t + 1) − g (t ) = f  (t ) − t + t + g (t ) =  f  (t ) = t − t −1 21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số t = −1  x =  Dựa vào đồ thị ta thấy f  ( t ) = t − t −  t =  x = t = ( l )  Ta có bảng biến thiên g ( −1) = f ( −2 ) + ; g (1) = f ( ) Lại có f ( −2 ) + f (1) = f ( )  f ( −2 ) − f ( ) = f ( ) − f (1) 8 Xét g ( −1) − g (1) = f ( −2 ) − f ( ) + = f ( ) − f (1) +  Do g ( −1)  g (1) 3 Vậy m  f ( x − 1) − x3 + x − x −  m  g ( −1) = f ( −2 ) + Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) = + x + x Gọi S tập tất giá trị tham số m để bất phương trình ( x − m) f ( x − m) + + − x2 ( f + − x2 ) ) 0 nghiệm S =  a + b ; + Khi khẳng định sau đúng? A a + 2b  10 B a + 2b = C ab = Lời giải Chọn B với x   −1;1 Biết D a + b = Ta có: f ( − x ) = + x − x ; 1 + x2 − x = = = + x2 − x = f ( − x ) 2 f ( x) 1+ x + x 1+ x − x BPT: ( x − m ) f ( x − m ) + ( + − x2 ( f + − x2 ) ( ) 0 )  ( x − m ) f ( x − m ) + + − x f −1 − − x  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22 Phan Nhật Linh (  ( x − m ) f ( x − m )  ( −1 − ) ( − x ) f ( −1 − Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ) − x ) ( *)  ( x − m ) f ( x − m ) − −1 − − x f −1 − − x  Xét hàm g ' (t ) = + t + t g ( t ) = t f ( t ) = t + t + t số 1+ t2 + 2t = + t + 2t + t + t 2 1+ t2 suy hàm số g ( t ) đồng biến = ( 1+ t2 + t ) ; 1+ t2  với t  ) ( Do BPT (*) : g ( x − m )  g −1 − − x  x − m  −1 − − x  x + + − x  m (**) với x   −1;1 Xét hàm số: h ( x ) = x + + − x ( −1  x  1) h '( x) = 1− x − x2 − x2 − x = − x2 ; h '( x) =  x =   −1;1   h ( x) = 1+ Nhận xét: h ( −1) = 0, h   = + 2, h (1) = nên max  −1;1  2 Vậy BPT (**) với x   −1;1 max h ( x )  m hay m  +  −1;1 nên ( a, b ) = (1, ) Ta có: a + b = + a, b  Câu 26: Cho f x x2 2x x f x2 Tổng bình phương giá trị tham số m để phươngtrình x2 2x 2x f x m 2mx m có nghiệm phân biệt là: A 13 B C D Lời giải Chọn B Ta có: x − 2mx + m2 = x − m ; f '( x) = + x x2 + + x 0 x2 + 1 f (− x) = − x + x +  f ( x) f (− x) =  f ( x) =  f (− x + x − 2) = f (− x) f ( x − x + 2) Phương trình tương đương x2 + x − m +1 f (2 x − m + 1) = = x2 − x + f ( x − x + 2) Xét hàm số: g (t ) = t f (t ) − t f '(t ) (t  0)  g '(t ) = = f (t ) f (t ) 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh t + t2 +1 − t − f (t ) t2 t2 +1 = t + f (t ) 0 Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Vậy hàm số g (t ) đồng biến, phương trình tương đương với pt x2 − x + = x − m +   x − x + = 2( x − m)   x − x + = −2( x − m) x2 − 2x + = x − m  2m = − x + x −   2m = x + Ta thấy hai parabol y = − x + x − 1, y = x + tiếp xúc với điểm có tọa độ (1; ) nên đồ thị chúng hệ tọa độ Oxy sau y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 Khi để phương trình có nghiệm đường thẳng y = 2m cắt hai parabol điểm phân  m=   2m =   biệt, từ đồ thị suy 2m =   m =    2m = 1 m =  Vậy tổng bình phương giá trị m Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = (1 − m3 ) x3 + 3mx + ( 3m − 2m + ) x + m3 + 2m với m tham số Có số nguyên m   −2020; 2021 cho f ( x )  với x   2020; 2021 ? A 2023 B 2022 C 2021 Lời giải D 2020 Chọn B f ( x ) = (1 − m3 ) x + 3mx + ( 3m − 2m + ) x + m3 + 2m  x   2020;2021  ( x + m ) + ( x + m )  ( mx ) + 2mx x   2020;2021 (1) 3 Xét hàm số f (t ) = t + 2t , f '(t ) = 3t +  0t Vậy hàm số f (t ) đồng biến R nên (1) suy x 2021 x   2020;2021  m  x −1 2020 Vậy đoạn  −2020;2021 có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn x + m  mx x   2020;2021  m  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24