Trang 1 Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các ứng dụng của nó. 2.4.1. Đạo hàm của hàm số 2.1.1. Khái niệm Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b), 0 (,) x ab  . Cho 0 x một số gia x  đủ bé sao cho. Gọi y  là số gia tương ứng của hàm số ứng với x  : 00 ()() y fx x fx   0 (,) x xxab a. Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn 0 lim x y x    thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm 0 x , ký hiệu: f ’(x o ) = 00 ( ) () () () lim lim lim o oo o xx xx o f x x fx fx fx y xx xx           b. Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = x 2 tại x = 2. Ta có: 22 222 () (2) 2 ( 2)( 2) (2) lim lim lim 4 22 2 xxx fx f x x x f xx x        . 2.1.2. Đạo hàm một phía Trong định nghĩa đạo hàm, nếu ta xét giới hạn một phía thì các đạo hàm đó được gọi là đạo hàm một phía. Định nghĩa. Các giới hạn sau đây được gọi là đạo hàm trái, đạo hàm phải tương ứng của hàm số y = f(x). o o xx o xx xfxf xf o       )()( lim)( ' ; o o xx o xx xfxf xf o       )()( lim)( ' Mệnh đề. Hàm số f(x) có đạo hàm tại 0 x khi và chỉ khi f(x) có các đạo hàm một phía tại 0 x và chúng bằng nhau. Ví dụ. Hàm số yx không có đạo hàm tại x = 0. Vì 00 00 lim ( ) lim 1 lim ( ) lim 1 xx xx xx fx fx xx       Mệnh đề. Nếu f(x) có đạo hàm tại 0 x , thì liên tục tại 0 x . Nhận xét. Điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng. Ví dụ. Hàm số yx liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này. Trang 2 2.1.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Đạo hàm của hàm y = f(x) tại x o bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm M o (x o ,f(x o )) 2.1.4. Các quy tắc tính đạo hàm 1) ( u  v ) ’ = u’  v’ ( uv)’ = u’v + u v’ 2 ' '' )( v uvvu v u   2) Hàm hợp : y = y[u(x)] . x ux y yu    3) Hàm ngược : y =f(x)  x = f -1 (y)  x’ y = ' 1 x y 4) Đạo hàm theo tham số Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi t  ( ,). Nếu hàm số ngược t = -1 (x) tồn tại thì y’ x = t t x y ' ' 2.1.5. Bảng đạo hàm của một số hàm số Hàm số Hàm số hợp Hàm số Hàm số hợp ( C)’ = 0 ( sin x)’ = cosx ( sin u)’ = u’cosu (x  )’ = x -1 (u  )’ = u -1 u’ ( cosx)’ = -sinx ( cosu)’ = -u’sinu (a x )’ = a x lna (a u )’ = u’a u lna (tgx)’ = x 2 cos 1 (tgu)’ = u u 2 cos ' (e x )’ = e x (e u )’ =u’ e u (cotgx)’ = x 2 sin 1  (cotgu)’ = u u 2 sin '  ( log a x)’ = axln 1 ( log a u)’ = au u ln ' ( arcsinx)’ = 2 1 1 x ( arcsinu)’ = 2 1 ' u u  ( lnx)’ = x 1 (lnu)’ = u u' (arctgx)’ = 2 1 1 x  (arctgu)’ = 2 1 ' u u  2.2. Vi phân hàm số 2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ()yfx  xác định trên (,)ab chứa 0 x . Nếu số gia của hàm tại 0 x có dạng: .() y Ax x   (trong đó A không phụ thuộc vào x  ) thì ta Trang 3 nói () f x khả vi tại 0 x và biểu thức . A x  được gọi là vi phân của hàm số () f x tại 0 x . Ta kí hiệu vi phân là dy hoặc df.  Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’.  x =  x ==>  x = dx Vậy y’ = dxydy dx dy '  Tổng quát : y =f(u) với u=g(x) f khả vi đối với u, g khả vi đối với x thì f(g(x)) khả ví đối với x dy = f’ x .dx Mệnh đề. () f x khả vi tại 0 x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại 0 x và 0 ()dy f x dx   . 2.2.2. Ứng dụng của vi phân Ta có  y = f ’(x o ).  x +  .  x ==>  y  f ’(x o ).  x khi  x càng bé hay f(x o +  x ) – f(x o )  f ’(x o ).  x f(x o +  x )  f(x o ) + f ’(x o ).  x Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho - Từ giá trị f(  ) cần tính rút ra dạng f(x) - Phân tích giá trị  thành x o +  x sao cho f(x o ) tính được và  x càng nhỏ. - Tính f(x o ) và f’(x o ) Ví Dụ. Tính gần đúng ln1.01 bằng vi phân. Chọn hàm số () ln(1 ) f xx, 0 0x  và 0.01x   . Ta có: 1 () 1 fx x    , suy ra 1 (1) 2 f   . Do đó 1.01 ln1.01 ln1 0.005 2   2.2.3. Các quy tắc tính vi phân Tương tự như đạo hàm ta có các quy tắc tính vi phân sau. Nếu u, v khả vi thì tổng, hiệu, tích, thương( 0v  ) của chúng cũng khả vi và: 1) ()du v du dv   2) ()d uv vdu udv 3) 2 () u vdu udv d vv   Trang 4 2.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao Giả sử () f x có đạo hàm tại (,) x ab   . Khi đó () f x  là một hàm số xác định trên (,) x ab nên ta có thể tính đạo hàm của hàm số () f x  . Một cách quy nạp, ta định nghĩa: Đạo hàm cấp 2: () ( ()) f xfx    Đạo hàm cấp 3: () ( ()) f xfx      Đạo hàm cấp n: 1 () ( ()) nn f xfx    2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 2.3.1. Các định lý giá trị trung bình 1. Cực trị địa phương Cho hàm số () f x xác định trên (,)ab. Ta nói điểm 0 (,) x ab  là điểm cực đại (tương ứng cực tiểu) địa phương của hàm số () f x nếu tồn tại lân cận 00 (,)(,) x xab    sao cho: 00 0 0 ( , ), ( ) ( ), (t.u ( ) ( )) x x x fx fx fx fx        2. Định Lý Fermat Cho f(x) xác định trong lân cận của x o và đạt cực trị tại x o. Nếu f(x) có đạo hàm tại x o thì f ’(x o ) = 0 3. Định Lý Rolle Cho f(x) thỏa điều kiện: liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và f(a) =f(b). Khi đó , tồn tại c  (a,b). sao cho f ’(c) = 0. 4. Định Lý Lagrange Cho f(x) thỏa điều kiện : liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó :  c (a,b) : f ’(c) = ab afbf   )()(  Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange ( C ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và A (a,f(a)) , B(b, f(b))  ( C ). Cát tuyến AB có hệ số góc k = ab afbf   )()( Công thức Lagrange chứng tỏ  M (c,f(c ))  ( C ) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB. Ví Dụ. Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1). 2.3.2. Công thức Taylor Trang 5 1. Định Lý. Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng (a,b) và x o  (a,b ). Khi đó x  [a,b] , tồn tại c ở giữa x o và x sao cho hàm f(x) được khai triển dưới dạng : f(x) = f(x o )+ 1 1 2 )( )!1( )( )( ! )( )( !2 )('' )( !1 )('      n o n n o o n o o o o xx n Cf xx n xf xx xf xx xf Công thức trên gọi là công thức Taylor 2. Công thức MacLaurin Nếu x o = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức MacLaurin sau đây : 1 21 '(0) ''(0) (0) ( ) ( ) (0) 1! 2! ! ( 1)! nn nn ff f fc f xf x x x x nn        ( c nằm giữa 0 và x ) Ghi chú. Đặt R n (x) = 1 1 )( )!1( )(     n o n xx n cf thì R n (x) gọi là phần dư bậc n trong công thức Taylor. Trong công thức MacLaurin : R n (x) = 1 )1( )!1( )(    n n x n xf  ( 0 <  < 1 ) 3. Biểu diễn một số hàm sơ cấp theo công thức MacLaurin  21 () 1 1! 2! ! ( 1)! nn x x xx x x f xe e nn      , với 01     35 21 1 () sinx (1) (), 3! 5! (2 1)! k k xx x f xx Rx k       với 21 () (1) os ,0 1 (2 1)! k k x Rx c x k        23 1 1 1 (1) () ln(1 ) (1) , 23 1(1 ) nn n n n xx xx fx x x nn x          với 1x  Áp dụng. Tính gần đúng số e Ta khai triển hàm x e , lấy 1 x  ta được: 11 1 1 1! 2! ! ( 1)! e e nn         , với 01  . Trang 6 Công thức này cho phép tính 11 1 1 1! 2! ! e n    . Với n = 6, ta có 1 1 1 1 1 517 22. 2! 3! 4! 5! 6! 7! 720 7! ee e           Vì 01   nên 13 7! 7! 7! e  . Từ đó: 517 1 517 3 22 720 7! 720 7! e   . Vậy: 2.718e  2.4. Một số ứng dụng của vi phân hàm 1 biến 2.4.1. Qui tắc L’hospital Giả sử các hàm số f(x), g(x) khả vi tại lân cận của x o , )(lim xf o xx =       0 )(lim xg o xx và g’(x)  0 với mọi x  V (x o ). Khi đó : Nếu 0 '( ) lim '( ) xx fx A gx   thì A xg xf o xx   )( )( lim Ví dụ Tính các giới hạn a. 32 0000 366 lim lim lim lim 6 sinx 1 osx sin x osx xxxx xxx xc c     . b. 2 2 22 00 0 0 1 1 1 cos 1 cos cos lim lim lim lim 2 sinx 1 osx (1 cos ) os x os x xx x x tgx x x x x xc xcc          2.4.2. Khảo sát hàm số 1. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Descartes Sơ đồ khảo sát hàm số 1 Miền xác định 2 Đạo hàm :  Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực tr  Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn 3 Giới hạn – Tiệm cận 4 Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt 5 Vẽ đồ thị : Trang 7 Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = 2 44 2   x x Ghi chú : Điểm uốn ( -3 , - 9 26 ) cực tiểu ( -2,-3) Cắt trục hoành : x = 1 3  Đường cong cho dưới dạng tham số :      )( )( ty tx   Ví Dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : t y tx        2 1 2 Ví Dụ 3:      tRy tRx sin cos      tby tax sin cos Ví Dụ 4 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xx 4 2  2. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực  Hệ tọa độ cực Trong mặt phẳng, chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véctơ đơn vị PO  , tia mang vectơ PO  gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bới cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực. Điểm M trong mặt phẳng được xác định bới véctơ MO  nghĩa là góc ),( MOPO     và mođun r = MO   : góc cực, r : bán kính cực. Cặp số (r,  ) vớ r  0 và 0   < 2  được gọi là Tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng. Liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes :         sin cos Ry Rx ( 0   < 2  , r 0 )  r = 22 yx  , tg  = x y (chọn  sao cho sin  cùng dấu với y ) Ví Dụ 1 Biểu diển các điểm sau đây qua hệ tọa độ cực : Trang 8 a) M ( 2 3 , 2 1 ) b) M ( )1,3 Ví Dụ 2 a) M ( r = 4 5 ,2    ) b) N( r=5, 3 5    ) Sơ đồ khảo sát đường cong trong hệ tọa độ cực : r=f() 1- Miền xác định của f() 2- Xét sự tuần hoàn của r theo  ( nếu có). Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T, ta chỉ khảo sát đường cong trong góc - 22 TT   sau đó quay những góc bằng T quanh O 3- Xét sự đối xứng ( nếu có ) :  f(-) = f() : đối xứng qua trục cực.  f(-) = - f() : đối xứng qua đường vuông góc với trục cực. 4 - Tính đạo hàm r’ = f() : xét tăng giảm 5 – Tìm tg  = 'r r Chứng Minh  = ),( OMMO   6 – Bảng biến thiên 7 – Vẽ đồ thị Ví Dụ : Khảo sát đường cong r = 2 + cos  trong tọa độ cực BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Tính đạo hàm của các hàm số 2.1 a) y = x + 3 xx  b) y = 3 111 xx x  c) y = 2 1 x d) y = 1 2  xx 2.2 a) y = shx + chx b) y = ln(arcsin5x) c) y = log 3 (x 2 -sinx) d) y =e x ln(sinx) 2.3 a) y = sin 3 (4x+3) b) y =ln 2 (cosx) c) y = cos(cos(cosx)) d) = 2 arctg x e 2.4 a) ln 2 x y tg b) 2 4 2 arcsin 1 x y x   Trang 9 c) 2 12 arc 21 x ytg x   d) 2 ln( 1 ) y xx 2.4 a) y = tgx x)(sin b) = x x 2cos c) 2 21 (cos ) x yx   d) y = 4 x x 2.5 a)      tby tax sin cos b)      2 1 arcsin ty tx c) 2 ar ln(1 ) x ctgt y t      d) 3 3 3 t t x y       2.6 Tính a) 369 3 (2 ) () d x xx dx  b) 2 sinx () d dx x    c) (sinx) (cos ) d dx d) 2 (2 ) (2 ) x x d d  2.7 Tính vi phân cấp một của các hàm số sau a) 2 os3 x y xe c x b) 2 ln y xxa   2.8 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số a) 2 x ye   b) 22 ln y xax 2.9 Chứng minh rằng hàm số (os(ln ) sin(ln )) n y xc n nthỏa mãn phương trình 22 (1 2 ) (1 ) 0xy nxy n y      2.10 Chứng minh rằng hàm số cos x y ex   thỏa mãn phương trình (4) 40yy 2.11 Chứng minh rằng nếu y = e x sinx thì y’’ – 2y’ + 2y = 0 . 2.12 Chứng minh rằng nếu y = acos(lnx) + bsin(lnx) thì x 2 y’’ + xy’ + y = 0 . 2.13 Chứng minh rằng arcsinx + arccosx = 2  . 2.14 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y = 2 132 xx  tại giao điểm của đường cong với trục tung . 2.15 Tìm điểm M o trên cung AB của đường cong y = 2x-x 2 mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB với A(1,1) , B(3,-3). Trang 10 2.16 Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f(x) = 32 8 xx  trên đoạn [0,8] 2.17 Hàm số f(x) = 2 3 (8)x  có thỏa điều kiện định lý Rolle trên đoạn [0,16] hay không ? 2.18 Chứng minh rằng đạo hàm f’(x) của đa thức f(x) = x 3 -x 2 -x+1 có nghiệm thực trong khoảng (-1,1). 2.19 Áp dụng định lý Lagrange để chứng minh các bất đẳng thức a)  sinx-siny   x-y, x,y  R b) ln(1+x) < x , x > 0 c) b ba b a a ba    ln nếu 0<b<a 2.20 Giả sử f(x) xác định, liên tục, dương trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Chứng minh rằng x (a,b) : )( )(' )( )( )( cf cf ab e af bf   (Hướng dẫn : y=F(x) = ln(f(x)) – Dùng định lý Lagrange ) 2.21 Dùng vi phân để tính gần đúng a) (1,003) 50 b) 5 001,1 c) e 1,003 d) ln(1.05) 2.22 Tìm các giới hạn a) ) ln 1 (lim 2 2 1 x x x   b) ) sin 2cos (lim 2 0 x x xe x x   c) x x x 2 2 0 sin )1ln( lim   d) x x x xe 1 0 )(lim   e) 0 2 lim sinx xx x ee x x     f) lim , , 0 mm nn xa xa mna xa     g) 0 lim tgx x x ee tgx x    h) 1 1 lim 1sin x 2 x x     2.23 Tìm khoảng tăng ,giảm và cực trị của các hàm số : a) y = (1-x)(x+2) 2 b) y = -x 3 + 3x 2 - 5x + 2 c) y = x x ln d) y = )1ln( 2 x 2.24 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số [...]...a) y = c) y = x 1 x2 4  x2 b) y = x3 x4 d) y = x ln x Trang 11 . Trang 1 Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các ứng dụng của nó. 2. 4.1. Đạo hàm của hàm số 2. 1.1. Khái. x 2 tại x = 2. Ta có: 22 22 2 () (2) 2 ( 2) ( 2) (2) lim lim lim 4 22 2 xxx fx f x x x f xx x        . 2. 1 .2. Đạo hàm một phía Trong định nghĩa đạo hàm, nếu ta xét giới hạn một. 3 3 3 t t x y       2. 6 Tính a) 369 3 (2 ) () d x xx dx  b) 2 sinx () d dx x    c) (sinx) (cos ) d dx d) 2 (2 ) (2 ) x x d d  2. 7 Tính vi phân cấp một của các hàm số sau a) 2 os3 x y xe