CHUYÊN ĐỀ 1: Phương trình hệ phương trình I.Giải phương trình cách đặt ẩn phụ thích hợp 2  x2    x2  x 2 Bài 1:Gpt:10.     11.    x 1   x 1   x 1  Giải: Đặt u  x2 x2 ;v  (1) x 1 x 1 Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv =  (u-v).(10u-v)=0  u=v 10u=v Xét trường hợp thay vào (1) ta tìm x cách dễ dàng Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15 Giải: Đặt x2 - 5x + = u (1) Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15  (x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0  (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0 2  (x -5x+4).(x -5x+6)-15=0  (u-1).(u+1)-15=0  u -16=0  u=  Thay giá trị u vào (1) ta dễ dàng tìm x  x   x  Bài 3:Gpt:      90  x 1  x 1  1  2x  Giải:PT  x    90  x  90 ( x  1)2 ( x  1)  ( x  1)   Đặt u = x2 ( u  0) (1) Ta có: u 2u   90  2u  2u  90.(u  1)2 (u  1) ( u  1)  88u  182u  90  Từ ta dễ dàng tìm u, thay vào (1) ta tìm x Bài 4:Gpt: x  x   12.( x  1) Giải: Đặt x  u; x   v (1) Có: u  v  4.(u  v )  u  v  3uv.(u  v)  4.(u  v ) u  v  3.(u  v).(u  2uv  v )   3.(u  v ).(u  v)    u  v Xét trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm x 1 x2 Bài 5:Gpt: x  x  x     x (1) 2 Giải: Từ (1) suy ra: x  x  3x   x  x   20 x  12 x  12 x   x  36 x   12 x  x  12 x  x  x  22 x  24 x   (x  0)  x  x  22  24   x x2 x Đặt x   y (*) ta có: y2 - 8y + 16 = suy y = thay vào (*) ta dễ dàng tìm x Bài 6:Gpt: x  1.( x  4)  3.( x  4) x 1  18  0(1) x4 Giải: Điều kiện x > x < -1 *Nếu x > 4, (1) trở thành: ( x  1).( x  4)  ( x  1).( x  4)  18  Đặt ( x  1).( x  4)  y  (2) ta có: y2 + 3y -18 = Từ ta dễ dàng tìm y,thay vào (2) ta tìm x *Nếu x < -1, (1) trở thành: ( x  1).( x  4)  ( x  1).( x  4)  18  Đặt ( x  1).( x  4)  y  (3) ta có: y2 - 3y -18 = Từ ta dễ dàng tìm y,thay vào (3) ta tìm x Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1) Giải: (1)  x  x  20 x  x   (x  0).Chia hai vế cho x2 ta : 1 1 1    4x + 4x -20 +  =   x    2. x    24  Đặt y = x  (2) x x x x x   Ta có: y2 + 2y -24 = Từ ta tìm y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm x Bài 8:Gpt: x  16 x  64  x  x  16  x  Giải:PT  x   x   x  x - x-8 x-4 x - 0 -0 + - + + + + + + Đến ta xét khoảng ,bài toán trở nên đơn giản Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4) Giải:   x  x  x  x  x   5x  x  x  x  x  x    x  x3  x  x   Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình cho, x  Chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2x2 - x + -   Đặt y = x  (*) Ta có: x x x 2y2 - y - = 0.Từ ta dễ dàng tìm y, thay vào (*) ta tìm x Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16 Giải: Đặt - x = y (*) Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =16  2y4 +12 y2 +2 = 16  2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0  y =1 y = -1 Thay giá trị y tìm thay vào (*) ta dễ dàng tìm giá trị x II.Tìm nghiệm nguyên (x;y) (x;y;z) phương trình sau: Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) Giải: Đặt y2 + 3y = t Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t *Nếu t > t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy không tồn x thỏa mãn *Nếu t < -2 2t + < nên t2 + 2t > t2 + 4t + suy t2 + 2t > t2 + 4t + = (t+2)2 Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*) Lại có: t2 +2t < t2 suy x2 < t2 (**) Từ (*)&(**) suy (t + 2)2 < x2 < t2 suy x2 = (t+1)2 suy t2 +2t = (t +1)2 (=x2) Suy : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý) *Nếu t = -1 suy x2 = t2 +2t = -1 Đặt A= x y ,  y x xy yz zx    z x y Giả sử z 0.Ta có: A= xy xy x y xy yz zx y x   3  z  z  3.3 z .z  3.3 xy z z x y z x y z y x  z  1, x  y    xy z  z  1, xy     z  1, x  y  1 Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19 Giải:Từ ta có: y  x  x  19 17  x2    17  x   x   1,17 2x  2x  Từ ta tìm x  tìm y III.Giải hệ phương trình phương trình khác x Bài 1:   x2  Giải:Điều kiện : x  0, x  -Nếu x < 1   x 2 x 2 x   2 Vậy ta xét x > 0: Đặt x = a  x  b (a,b > 0) 1   2 Ta có:  a b a  b   a b Có:     ab  (1) ab Lại có: = a2 + b2  2ab suy  ab (2) Từ (1)&(2) suy ab = mà a2 + b2 =2 nên suy (a+b)2 = suy a + b = ab   a  b   x  a  b  Vậy ta có:  Bài 2:  x   x  x  y  y   x  16  y  Giải: 4  x  0(1)   x  0( 2) Điều kiện:    x  y  y   0(3)  x  16  0(4)  Từ (4) suy x2  kết hợp với (1) suy x2 = kết hợp với (2) suy x = Phương trình cho trở thành: y 1   y  Lúc việc tìm y khơng cịn khó khăn (Lập bảng xét dấu) Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0 Giải: Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình cho Vậy x  0.Chia hai vế phương trình cho cho x2 ta được: 105 50 25  25    x  21x  74     2. x    21. x    26  x x  x  x   Đặt x  25  y ta có: x 2y2 -21.y - 26 = 0.Từ ta tìm y  tìm x 2.1  x   x  Bài 4:   1  x  4.1  x   Giải: a   x  Đặt :   b   x    2a  b  a  4b  Hệ cho trở thành:  Từ tìm a =3,b =1 Đến việc tìm x khơng cịn khó khăn  x   y   1(1) Bài 5:    y   x  ( 2)  Giải: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có: x    x     x   Từ ta tìm x.Việc tìm giá trị y khơng có khó khan 2 x  15 xy  y  12 x  45 y  24  0(1) Bài 6:    x  y  y  3x  xy  0(2)  Giải: Phương trình (2) phân tích sau: x  y x   y (x - y).(x -3 + 2y) =   Xét trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm x y Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + = Giải: Phương trình cho phân tích sau: x  (m  5).x  x  (m  1)  Đến việc giải biện luận phương trình khơng cịn khó khăn x  y  z  Bài 8:  4  x  y  z  xyz Giải: Bổ đề: a, b, c  R : a  b  c  ab  bc  ca Đẳng thức xảy a = b = c (Dễ dàng chứng minh bổ đề trên) Sử dụng bổ đề ta có: xyz = x4 + y4 + z4  x2y2 + y2z2 + z2x2  xyz.(x + y + z) = xyz Suy dấu bất đẳng thức phải trở thành đẳng thức tức ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được: xyz  x  y  1(1) Bài 9: 1999    x  1999 y   2000  y  2000 x ( x  y  xy  2001)(2) Giải: Điều kiện: x,y  Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: -Nếu x > y thì: VT > 0, VP < suy ra: VT > VP -Nếu y > x thì: VT 0 suy ra: VT < VP -Nếu x = y đó: VT =VP =0 Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y  ) ta được: x  y  Bài 10: x  x    x  x    2 (1) Giải: (1)    2x      2x    2  x    Ta có:   x   x     x   x    Vậy dấu bất đẳng thức phải trở thành dấu đẳng thức tức là: 2 x    2x     7x 9  x  5 Vậy nghiệm phương trình cho là: x   ;7  2    2x    ...  x2    17  x   x   1,17 2x  2x  Từ ta tìm x  tìm y III.Giải hệ phương trình phương trình khác x Bài 1:   x2  Giải:Điều kiện : x  0, x  -Nếu x < 1   x 2 x 2 x   2 Vậy... Giải: Phương trình (2) phân tích sau: x  y x   y (x - y).(x -3 + 2y) =   Xét trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm x y Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + = Giải: Phương. .. x = khơng phải nghiệm phương trình cho, x  Chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2x2 - x + -   Đặt y = x  (*) Ta có: x x x 2y2 - y - = 0.Từ ta dễ dàng tìm y, thay vào (*) ta tìm x Bài