Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu dưới đây với 226 bài tập Lượng giác lớp 10 có lời giải nhằm giúp các em học sinh tự học, tự ôn thi hiệu quả, chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tớiMời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu dưới đây với 226 bài tập Lượng giác lớp 10 có lời giải nhằm giúp các em học sinh tự học, tự ôn thi hiệu quả, chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tớiMời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu dưới đây với 226 bài tập Lượng giác lớp 10 có lời giải nhằm giúp các em học sinh tự học, tự ôn thi hiệu quả, chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới
MATHVN.COM CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Định nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 điểm M đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với ≤ β ≤ 2π Đặt α = β + k2π,k ∈ Z Ta định nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α với cos α ≠ tgα = cos α cos α với sin α ≠ cot gα = sin α II Bảng giá trị lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trị ( ) 0o sin α cos α tgα cot gα || π 30o ( ) 3 3 π 45o 2 2 π 60o 3 2 π 90o || 3 ( ) ( ) III Heä thức sin α + cos2 α = 1 π với α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) + tg2α = cos α với α ≠ kπ ( k ∈ Z ) t + cot g2 = sin α IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a Đối nhau: α −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) www.MATHVN.com ( ) MATHVN.COM b Bù nhau: α π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tgα cot g ( π − α ) = − cot gα c Sai π : α vaø π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα cot g ( π + α ) = cot gα d Phuï nhau: α vaø π −α ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π π : α vaø + α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ e.Sai ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ www.MATHVN.com MATHVN.COM f sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V Công thức cộng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b tg ( a ± b ) = tga ± tgb ∓ tgatgb VI Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin a = − 2sin a = cos2 a − 2tga tg2a = − tg2a cot g2a − cot g2a = cot ga VII Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ bậc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi Đặt t = tg a (với a ≠ π + k2 π ) www.MATHVN.com MATHVN.COM 2t + t2 − t2 cosa = + t2 2t tga = − t2 sin a = X Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = cos sin 2 a+ b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b cosa + cos b = cos XI Công thức biển đổi tích thành tổng ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎤⎦ ⎣ sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ cosa.cos b = Bài 1: Chứng minh sin a + cos4 a − = sin a + cos6 a − Ta coù: sin a + cos4 a − = ( sin a + cos2 a ) − 2sin a cos2 a − = −2sin a cos2 a Vaø: sin a + cos6 a − = ( sin a + cos2 a )( sin a − sin a cos2 a + cos4 a ) − = sin a + cos4 a − sin a cos2 a − = (1 − 2sin a cos2 a ) − sin a cos2 a − = −3sin a cos2 a www.MATHVN.com MATHVN.COM sin a + cos4 a − −2sin a cos2 a Do đó: = = sin a + cos6 a − −3sin a cos2 a + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A = = ⎢1 + ⎥ sin x sin x ⎥⎦ ⎢⎣ π Tính giá trị A cos x = − < x < π 2 + cos x ⎛ sin x + − cos x + cos2 x ⎞ Ta coù: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin x ⎠ + cos x (1 − cos x ) sin x sin x (1 − cos2 x ) 2sin x (với sin x ≠ ) ⇔A= = = 3 sin x sin x sin x Ta coù: sin x = − cos2 x = − = 4 π Do: < x < π nên sin x > Vậy sin x = 2 4 Do A = = = sin x 3 ⇔A= Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin x b B = cot gx + + tgx − cot gx − a Ta coù: A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin2 x ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + (1 − cos2 x ) ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + − 3cos2 x ⇔ A = (không phụ thuộc x) b Với điều kiện sin x.cosx ≠ 0,tgx ≠ Ta có: B = cot gx + + tgx − cot gx − www.MATHVN.com MATHVN.COM +1 2 + tgx tgx ⇔ B= + = + tgx − 1 − tgx − 1 − tgx tgx ⇔ B= − (1 − tgx ) − tgx = = −1 (không phụ thuộc vaøo x) tgx − tgx − Baøi 4: Chứng minh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin c − cot g2 b cot g2 c = cot ga − ⎢1 − ⎥+ 2 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta coù: cos2 b − sin c * − cot g2 b.cot g2 c 2 sin b.sin c cotg2 b = − − cot g2 b cot g2 c sin c sin b = cot g2 b + cot g2 c − + cot g2 b − cot g b cot g2 c = −1 (1) ( ) ( ) + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ * ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ sin a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ = ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ − cosa ⎤ 1− = 2sin a ⎢⎣ + cosa ⎥⎦ + cosa cosa = = cot ga (2) 2sin a + cosa Laáy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trị nhỏ P = tgA.tgB.tgC Ta có: A + B = π − C Neân: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB = − tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vaäy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC ⇔ www.MATHVN.com MATHVN.COM Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta tgA + tgB + tgC ≥ 3 tgA.tgB.tgC ⇔ P ≥ 33 P ⇔ P2 ≥ ⇔P≥3 ⎧ tgA = tgB = tgC π ⎪ Dấu “=” xảy ⇔ ⎨ π ⇔ A = B=C= ⎪⎩ < A,B,C < π Do đó: MinP = 3 ⇔ A = B = C = Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ a/ y = sin x + cos4 2x b/ y = sin x − cos x ⎛ − cos 2x ⎞ a/ Ta coù : y = ⎜ ⎟ + cos 2x ⎝ ⎠ Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ y = (1 − t ) + t => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 Ta coù : y ' = Ù (1 − t ) = 8t ⇔ − t = 2t ⇔t= ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ 27 Do : Max y = Miny = x∈ 27 x∈ Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = b/ Do điều kiện : sin x ≥ cos x ≥ nên miền xác định π ⎡ ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈ ⎣ ⎦ 2 Đặt t = cos x với ≤ t ≤ t = cos x = − sin x Neân sin x = − t4 Vaäy y = − t − t treân D ' = [ 0,1] Thì y ' = −t (1 − t ) − < ∀t ∈ [ 0; 1) Nên y giảm [ 0, ] Vaäy : max y = y ( ) = 1, y = y (1) = −1 x∈ D www.MATHVN.com x∈ D MATHVN.COM Bài 7: Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giá trị m để y xác định với x Xét f (x) = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin x + cos2 x ) − m sin 2x − sin x cos2 x sin2 2x − m sin 2x Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1] f ( x) = − y xác định ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R t − mt ≥ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ 1− Do Δ ' = m2 + > ∀m nên g(t) có nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2 g(t) Do : yêu cầu toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ 2 ⎪m ≤ ⎪⎩ Caùch khaùc : g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1, 1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ t ∈[ −1,1 ] −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ ⇔ ⎨ ⎪m ≤ ⎪⎩ ⇔− 1 ≤m≤ 2 π 3π 5π 7π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 7π π ⎛π π ⎞ Ta coù : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ 3π 5π ⎛ π 5π ⎞ = cos ⎜ − sin ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ Bài : Chứng minh A = sin4 www.MATHVN.com MATHVN.COM Mặt khác : sin α + cos4 α = ( sin α + cos2 α ) − sin α cos2 α = − 2sin2 α cos2 α = − sin2 2α π 7π 3π 5π + sin4 + sin4 + sin4 Do : A = sin4 16 16 16 16 π π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = ⎜ sin + cos4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin ⎟ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ = ⎜ − sin ⎟ + ⎜ − sin ⎟ 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎛ π 3π ⎞ = − ⎜ sin + sin ⎟ 2⎝ 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = cos ⎟ = − ⎜ sin + cos2 ⎟ ⎜ sin 2⎝ 8 8⎠ 8⎠ ⎝ = 2− = 2 Bài : Chứng minh : 16 sin 10o sin 30o sin 50o sin 70o = A cos 10o = Ta coù : A = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o o o cos 10 cos 10 ⎛1⎞ ⇔ A= sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o cos 20o o ( cos 10 ⎝2⎠ sin 200 cos 20o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 sin 40o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 cos 10o o sin 80 = =1 ⇔ A= cos10o cos 10o Baøi 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A+B π C = − 2 A+B C = cot g Vaäy : tg 2 A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 A B C A B ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ Ta coù : www.MATHVN.com MATHVN.COM ⇔ tg A C B C A B tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 π π π π + 2tg + tg = cot g ( *) 16 32 32 π π π π − tg − 2tg − 4tg Ta coù : (*) ⇔ = cot g 32 32 16 2 cos a sin a cos a − sin a − = Maø : cot ga − tga = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = cot g2a sin 2a Do : π π⎤ π π ⎡ (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 32 32 ⎦ 16 ⎣ π π⎤ π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 + + + = cot gx − cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π a/ Ta coù : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎡ 4π ⎞ ⎤ ⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ 2⎣ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎦ + = + = 1⎡ 4π ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π cos 2x + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ + cos ⎜ ⎢ 2⎣ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎝ 1⎡ 4π ⎤ cos 2x + cos 2x cos ⎥ ⎢ 2⎣ 3⎦ 1⎡ ⎛ ⎞⎤ + ⎢ cos 2x + cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2⎣ ⎝ ⎠⎦ = cos a cos b sin b cos a − sin a cos b − = b/ Ta coù : cot ga − cot gb = sin a sin b sin a sin b = www.MATHVN.com MATHVN.COM π 3+ + sin C = 3 ⇔ sin A + sin C = A+C A−C ⇔ sin = cos 2 B A −C ⇔ cos cos = 2 ⎛ 3⎞ A−C ⇔ ⎜⎜ = ⎟⎟ cos 2 ⎝ ⎠ ⇔ sin A + sin ⇔ cos π C−A = = cos 2 Do C > A neâ n ΔΑΒ C coù : π ⎧C − A π ⎧ ⎪ =6 ⎪C = ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨A = ⎨C + A = ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = ⎪B = ⎩ ⎩ Bà i 205: Tính góc ΔABC neá u ⎧⎪ b2 + c ≤ a ⎨ ⎪⎩sin A + sin B + sin C = + (1 ) ( 2) b2 + c − a 2bc 2 b + c ≤ a neâ n cos A ≤ Do (1): π π A π ≤A vaø cos ≤1 Do 2 A Neâ n M ≤ cos2 A + sin − π Mặ t khác : ΔABC khô n g tù nê n < A ≤ ⇒ ≤ cos A ≤ Đặ t Do : ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ cos A + sin − A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ − sin2 ⎟ + sin − 2⎠ ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin + sin − 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ sin − ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Do giaû thiế t (*) ta có M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ B−C ⎪ ⎪⎧ A = 90 =1 ⇔ ⎨ Vaäy : ⎨cos ⎪⎩B = C = 45 ⎪ A ⎪ ⎪sin = ⎩ * Caù c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 cos B + 2 cos C − = www.MATHVN.com MATHVN.COM B+C B−C cos −2=0 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 sin cos −2=0 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ − sin ⎟ + 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 ⎝ ⇔ cos2 A + 2 cos A B − C⎞ ⎛ ⎛ B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟=0 ⎟ − ⎜ − cos 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ A B − C⎞ ⎛ B −C = (*) ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟ − sin 2 ⎠ ⎝ Do ΔABC khoâ n g tù nên cos A ≥ cos A − < Vậy vế trái (*) luô n ≤ ⎧ ⎪cos A = ⎪ A B−C ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨ sin = cos 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪⎩sin = 0 ⎪⎧ A = 90 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 45 Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC có nhấ t gó c 60 sin A + sin B + sin C = (*) cos A + cos B + cos C Ta coù : (*) ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = ( ) ( ) ( ) π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ A−B ⎛ A + B π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ A−B ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ A−B ⎛C π⎞⎡ ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎝ 6⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝3 C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 www.MATHVN.com MATHVN.COM Baø i 208: Cho ΔABC vaø V = cos A + cos B + cos C – Chứn g minh: a/ Nế u V = ΔABC có mộ t gó c vuô n g b/ Nế u V < ΔABC có ba gó c nhọ n c/ Nế u V > ΔABC có mộ t gó c tù 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B) + cos2 − 2 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C ⇔ V = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C Ta coù : V = ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do : a/ V = ⇔ cos A = ∨ cos B = ∨ cos C = ⇔ ΔABC ⊥ taï i A hay ΔABC ⊥ taï i B hay ΔABC ⊥ taï i C b/ V < ⇔ cos A.cos B.cos C > ⇔ ΔABC coù ba goù c nhọ n ( tam giá c khô n g thể có nhiề u góc tù nê n khô n g có trườ n g hợp có cos cù n g âm ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC coù goùc tù II TAM GIÁC VUÔNG B a+c = b Chứ n g minh ΔABC vuô n g Bà i 209: Cho ΔABC coù cotg Ta coù : cotg B a+c = b B = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C ⇔ B 2R sin B sin B sin B A+C A−C cos sin cos = 2 ⇔ B B B sin sin cos 2 B B A−C B ⇔ cos2 = cos cos (do sin > 0) 2 2 cos www.MATHVN.com MATHVN.COM B A−C B = cos (do cos > 0) 2 B A−C B C−A = ∨ = 2 2 A = B+C∨C = A +B π π A = ∨C= 2 ΔABC vuô ng tạ i A hay ΔABC vuô ng taï i C ⇔ cos ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bà i 210: Ta có : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chứ n g minh ΔABC vuô n g A neá u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) cos B cos C − sin B sin C = ⇔ cos ( B + C ) = π ⇔ ΔABC vuô ng tạ i A ⇔ B+C= Bà i 211: Cho ΔABC coù : A B C A B C cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta coù : A B C A B C cos cos = + sin sin sin 2 2 2 C 1⎡ A+B A − B⎤ C 1⎡ A+B A − B⎤ ⇔ ⎢ cos + cos − cos cos = − ⎢ cos sin ⎥ ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 2 2⎣ 2 ⎦ (*) ⇔ cos C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos cos = − ⎢sin − cos sin ⎥ ⎥ 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = − sin + cos = − sin + cos sin 2 2 2 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM C C A−B C C A−B C cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ sin − cos ⎥ ⇔ cos ⎢sin − cos ⎥ = cos ⎢ 2⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⇔ sin C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎦ ⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = ∨ = ∨ = 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C π π π ⇔C= ∨A= ∨B= 2 Bà i 212: Chứ n g minh ΔABC vuô n g nế u : 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) = 15 Do bấ t đẳ n g thứ c Bunhiacố p ki ta có : cos B + sin B ≤ + 16 cos2 B + sin2 B = 15 sin C + cos C ≤ 36 + 64 sin C + cos2 C = 10 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ ⎪⎪ = ⎪⎪tgB = Dấu “=” xả y ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = ⎩⎪ ⎩⎪ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= ⇔ ΔABC vuôn g tạ i A nê n : Bà i 213: Cho ΔABC có : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B ⇔ sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin C) cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C cos(A − B) ⇔ cos C = hay − (1 + sin C) = cos C cos(A − B) ⇔ cos C = ( Do sin C > nên −(1 + sin C) < −1 Mà cos C.cos(A − B) ≥ −1 Vậy (*) vô nghiệ m ) www.MATHVN.com (*) MATHVN.COM Do ΔABC vuôn g tạ i C III TAM GIÁC CÂN Bà i 214:Chứ n g minh nế u ΔABC có tgA + tgB = cotg tam giá c câ n Ta coù : tgA + tgB = cotg C C C sin(A + B) ⇔ = C cos A.cos B sin C cos sin C ⇔ = C cos A.cos B sin C C C sin cos cos 2 = ⇔ C cos A cos B sin C C ⎛ ⎞ ⇔ sin = cos A.cos B ⎜ cos > ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡⎣ cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤⎦ 2 ⇔ − cos C = − cos C + cos ( A − B ) cos ⇔ cos ( A − B ) = ⇔A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C Bà i 215: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : A B B A sin cos3 = sin cos3 2 2 Ta coù : sin A B B A cos3 = sin cos3 2 2 A⎞ B⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin ⎟ ⎜ sin ⎟ ⇔⎜ =⎜ A⎟ B⎟ B A ⎜ cos ⎟ cos ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ A B (do cos > vaø cos > ) 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM A⎛ B⎛ A⎞ B⎞ ⎜ + tg ⎟ = tg ⎜ + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg − tg + tg − tg = 2 2 B⎞⎡ A B A B⎤ ⎛ A ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg + tg + tg tg ⎥ = (*) ⎠⎣ 2 2⎦ ⎝ A B A B A B ⇔ tg = tg ( + tg + tg + tg tg > ) 2 2 2 ⇔ A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ tg Bà i 216: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : cos2 A + cos2 B = ( cotg A + cotg 2B ) (*) 2 sin A + sin B Ta coù : cos2 A + cos2 B ⎛ 1 ⎞ = ⎜ + − 2⎟ 2 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 2 cos A + cos B 1⎛ 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 1⎛ 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ (*) ⇔ ⇔ sin A sin B = ( sin A + sin B ) ⇔ = ( sin A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B Vaäy ΔABC câ n tạ i C Bà i 217: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) Ta coù : a + b = tg C ( atgA + btgB) C = atgA + btgB C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ =0 ⇔ a ⎢ tgA − tg + b ⎢ tgB − tg ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ A−B B−A a sin b sin 2 ⇔ + =0 A+B A+B cos A cos cos B cos 2 ⇔ ( a + b ) cotg www.MATHVN.com MATHVN.COM A−B a b = hay − =0 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thoûa : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Do định lý hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Neâ n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin A − sin B ) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin A − sin B 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡⎣sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡⎣1 − sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π vậ y ΔABC vuô n g hay câ n C ⇔ A = B∨ A+B = Caùc h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin2 A − sin2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π Bà i 219 ΔABC tam giác ( a + b2 ) sin ( A − B ) = ( a − b2 ) sin ( A + B) (*) ⇔ A = B∨ A+B = Ta coù : (*) ⇔ ( 4R sin A + 4R sin B ) sin ( A − B ) = 4R ( sin A − sin B ) sin ( A + B ) ⇔ sin A ⎣⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎦⎤ + sin B ⎡⎣sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin A cos A sin ( −B ) + sin B sin A cos B = www.MATHVN.com MATHVN.COM ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = (do sin A > vaø sin B > ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = Vậy ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC tam giá c nế u : ⎧a sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = sin A sin B Ta coù : (1) ⇔ 4R2 sin2 A sin 2B + 4R2 sin2 B sin 2A = 16R2 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A sin 2B + sin B sin 2A = sin A sin2 B cos A ⇔ sin2 A sin B cos B + sin A cos A sin B = sin A sin B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = ⇔ sin ( A − B ) = ⇔A=B Thay vào (2) ta sin 2A = 2sin2 A ⇔ sin A cos A = sin2 A ⇔ cos A = sin A ( sin A > 0) ⇔ tgA = π Do ΔABC vuôn g cân tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U ⇔A= Bà i 221: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : bc = R ⎡⎣ ( b + c ) − a ⎤⎦ (*) Ta coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) = R ⎡⎣2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤⎦ ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 sin C⎥ + sin C ⎢1 − cos B − sin B⎥ = ⇔ sin B ⎢1 − cos C − 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = (1) ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ www.MATHVN.com MATHVN.COM π⎞ ⎛ Do sin B > vaø − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > vaø − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ Neâ n vế trá i (1) luô n ≥ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ Do đó, (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ 3⎠ ⎝ π ⇔C=B= ⇔ ΔABC 3 ⎧ ⎪⎪sin B sin C = Bà i 222: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u ⎨ 3 ⎪a = a − b − c a−b−c ⎩⎪ (1) (2) Ta coù : (2) ⇔ a − a b − a 2c = a − b3 − c3 ⇔ a ( b + c ) = b3 + c ⇔ a ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c ) ⇔ a = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − bc (do đl hà m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc π ⇔A= Ta coù : (1) ⇔ sin B sin C = ⇔ ⎡⎣cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤⎦ = ⇔ cos A = ⇔ ⎡⎣ cos ( B − C ) + cos A ⎤⎦ = π⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⇔ cos ( B − C ) + ⎜ ⎟ = ⎜ (1 ) ta coù A = ⎟ 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = ⇔ B = C Vậy từ (1), (2) ta có ΔABC đề u Bà i 223: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta coù : sin 2A + sin 2B = sin ( A + B ) cos ( A − B ) = sin C cos ( A − B ) ≤ sin C (1) Dấu “=” xả y khi: Tương tự : cos ( A − B ) = sin 2A + sin 2C ≤ sin B www.MATHVN.com (2) MATHVN.COM Dấu “=” xả y khi: cos ( A − C ) = Tương tự : sin 2B + sin 2C ≤ sin A Dấu “=” xả y khi: cos ( B − C ) = (3) Từ (1) (2) (3) ta coù : ( sin 2A + sin 2B + sin 2C) ≤ ( sinC + sin B + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨cos ( A − C ) = ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = ⇔ ΔABC đề u Bà i 224: Cho ΔABC coù : 1 1 (*) + + = 2 sin 2A sin 2B sin C cos A cos B cos C Chứ n g minh ΔABC đề u Ta có : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) Maø : sin A sin B sin C = ⎡⎣ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ sin ( A + B ) = ⎡⎣ cos ( A − B ) + cos C ⎤⎦ sin C = sin C cos C + cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do , vớ i điề u kiệ n ΔABC khô n g vuôn g ta coù (*) ⇔ sin2 2B sin2 2C + sin 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B = sin 2A sin 2B sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin2 2A sin 2B sin 2C + sin2 2B sin 2A sin 2C + sin2 2C sin 2A sin 2B 1 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC đề u ⎩sin 2B = sin 2C Bà i 225: Chứ n g minh ΔABC đề u : a cos A + b cos B + c cos C 2p = (*) a sin B + b sin C + c sin A 9R www.MATHVN.com MATHVN.COM Ta coù : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡⎣2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C ⎤⎦ = 2R sin C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ = 4R sin C sin A sin B Caù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R sin2 A sin B sin2 C ( bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 2p a + b + c = = ( sin A + sin B + sin C ) Mà vế phải : 9R 9R 23 sin A sin B sin C (2) ≥ Từ (1) (2) ta có ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c = Caù c h 2: Ta coù : (*) ⇔ a sin B + b sin C + c sin A 9R ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ 9R ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do vế trá i : Do bấ t đẳ n g thức Cauchy ta có a + b + c ≥ abc ab + bc + ca ≥ a b2c2 Do : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Dấu = xảy ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC đề u Bà i 226: Chứ n g minh ΔABC đề u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 Ta coù : cot gA + cot gB = ≥ sin ( A + B ) sin A sin B sin C = sin C sin A sin B ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ www.MATHVN.com (do bñt Cauchy) MATHVN.COM C C C cos sin 2 = = C A + B A − B A − B sin cos cos cos 2 2 C ≥ 2tg (1) B Tương tự : cot gA + cot gC ≥ 2tg (2) A cot gB + cot gC ≥ 2tg (3) Từ (1) (2) (3) ta coù B C⎞ ⎛ A ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜ tg + tg + tg ⎟ 2⎠ ⎝ Do dấu “=” tạ i (*) xả y A−B A−C B−C ⎧ =1 = cos = cos ⎪cos ⇔⎨ 2 ⎪⎩sin A = sin B = sin C sin ⇔A=B=C ⇔ ΔABC BÀI TẬP Tính gó c ΔABC biết : a/ cos A = sin B + sin C − b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = Tính góc C ΔABC bieá t : a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = π 2π ,A = ) π (ÑS: A = B = C = ) (ÑS: B = C = ⎧⎪ A, B nhoïn b/ ⎨ 2 ⎪⎩sin A + sin B = sin C ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < Cho ΔABC coù : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = Chứ n g minh Δ có mộ t gó c 36 Biế t sin2 A + sin2 B + sin2 C = m Chứ n g minh a/ m = ΔABC vuôn g b/ m > ΔABC nhọn c/ m < ΔABC tù Chứ n g minh ΔABC vuôn g nế u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a + = b/ cos B cos C sin B sin C www.MATHVN.com MATHVN.COM c/ sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = ⎡⎣1 − cos ( B − C )⎤⎦ d/ b2 − cos 2B Chứ n g minh ΔABC cân nế u : + cos B 2a + c a/ = sin B a − c2 sin A + sin B + sin C A B = cot g cot g b/ sin A + sin B − sin C 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) ΔABC Δ nế u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chứ n g minh ΔABC đề u nế u a/ ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R ( sin A + sin B + sin C ) c/ sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C 9R d/ ma + m b + mc = vớ i ma , m b , mc đườ n g trung tuyế n www.MATHVN.com