Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ đề ôn học sinh giỏi môn toán lớp 8 tài liệu dạy thêm dạy kèm toán lớp 8 rất hay( gồm 7 đề và đáp án chi tiết chuẩn và hay ) Chuyên đề 2: Các bài toán về sự chia hết của số nguyên | Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Chuyên đề các bài toán về sự chia hết của số nguyên bao gồm các dạng bài chính: Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Tham khảo chi tiết nội dung chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 8 – Các bài toán về sự chia hết của số nguyên gồm phần lý thuyết + bài tập tại đây:
ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y 0 Chứng minh 2 x y x y 2 0 y x x y 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x 7x 5x b) (0,75đ) Xét B 2x (0,25đ) 2x Z ( 2x – 3) Với x Z A B 2x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x y c) (1,5đ) Biến đổi y3 x = x = (0,25đ) (0,25đ) x x y y (y3 1)(x 1) y (x y) ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y y 1)(x x 1) x y x y x y (x y) = (0,25đ) xy(x y y x y yx xy y x x 1) = x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy x y y) xy x y (x y) x y (x = = 2 x y x( y) y( x) = 2 xy(x y 3) 2(x y) x y2 = = (0,25đ) x y x(x 1) y(y 1) (0,25đ) xy(x y 3) x y ( 2xy) (0,25đ) xy(x y 3) Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) b) (1,75đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x 2009)( 1 2006 2003 (0,25đ) 1 1 1 ) 0 (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 1 Do : 2008 2007 2006 1 0 2005 2004 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = - 2009 E Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) B Chứng minh EDF vng cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ Fˆ2 O ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F2 E F1 = 90 Mà E1 E F1 = 90 A EDF = 90 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD I C F D Mà EDF vuông cân DI = EF Tương tự BI = EF DI = BI B I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D Bài 4: (2 điểm) A a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a a a ) + 2 2 a D, E trung điểm AB, AC E (0,25đ) (0,25đ) a Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = BD = AE = C (0,25đ) (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB2 = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) + 2 4 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x x2 Bài 3: Cho phân thức: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x2 x x x ( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN Đáp án Biểu điểm Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 điểm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)(2 x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x 2) x 2 x ( x 2) x( x 2) x 2x x 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x x + x x -1 b) Rút gọn: 5x 5( x 1) 2 x x x( x 1) x 5 1 2 x x 2x Vì thoả mãn điều kiện (1 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) hai tam giác nên x (0,25 điểm) Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x 2 - Giải: x(x 2) - (x - 2) x ( x 2) x ( x 2) x2 + 2x – x +2 = 2; x= (loại) x = - Vậy S = 1 b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ∆ ABC ∆ HBA, có: 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ Góc A = góc H = 900; có góc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago ∆ vng ABC ta có : BC = AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) ∆ ABC ~ ∆ HBA nên 1đ 1đ AB AC BC 15 20 25 hay HB HA BA HB HA 15 1đ 20.05 12 (cm) 25 15.15 9 (cm) BH = 25 AH = 1đ HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 BH 3,5(cm) 2 1 = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM – BH = SAHM - Vẽ hình: 1đ A B H M C 1đ ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 0 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y 2xz z xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA) 4 c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A ( 0,25điểm ) yz xz xy ( x y)( x z ) ( y x )( y z) (z x )(z y) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) A Bài (4 điểm): C’ H N Vẽ hình (0,25điểm) M I B x B’ A’ C D HA'.BC S HBC HA' a) ; S ABC AA' AA'.BC S HAB HC' S HAC HB' Tương tự: ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25điểm) (0,25điểm) HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC 1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: (0,25điểm) BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) 2 - BAD vuông A nên: AB +AD = BD AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) 2 AB + 4CC’ (BC+AC) 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) 2 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) (AB+BC+AC) ( AB BC CA) 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) 2x 4x2 2 x x 3x A ( ):( ) 2 x x 2x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) a b c x y z x2 y z Cho x y z Chứng minh : 1 a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a 5,0 3,0 ĐKXĐ : x 0 x 0 x 0 x 2 x 0 x x 0 x 3 x x 0 x x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) A ( ):( 3) x x x 2x x (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 4x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x( x 2) x(2 x) 4x2 (2 x)(2 x)( x 3) x 0,25 Vậy với x 0, x 2, x 3 A 4x x 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A Vậy với x > A > c x 4 x 4 x x 11(TMDKXD ) x 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 2 4x 0 x x 30 x 3(TMDKXD) Bài 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 5,0 a 2,5 2 9x + y + 2z – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1)2 0;( y 3)2 0;( z 1) 0 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = x y z x y z 1 ( ) 1 a b c a b c 2 x y z xy xz yz 2( ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y z 1( dfcm) a b c 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 b, 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC CF AH AB AH CF AC Mà : CD = AB AB AC 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x 2680 x 1 19 49 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB BFD, BDF CDE, CED AEF cho: AFE a) Chứng minh rằng: BDF BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD ĐÁP ÁN Bài 1: a) 3 3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x y z x y z = yzxy z xy zxxyzyyzz 2 2 = yz3x 3xy3yz3zx = y z x x y z x y = x y y z z x b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x x 2010x 2010x 2010 = xx 1x x12010x x1 = x x1x x2010 2 2 Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: a 1 a 1 a a 19 a a 19 a 1 a 1 a a 49 3a 3a 49 49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 0 a 2 2a 1 42 0 2a 3 2a 0 (thoả ĐK) a 4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm Bài 4: 2010x 2680 A x2 1 335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3) = 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – 4023 s s s Bài 5: A F 90o ) a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E C Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ D F D hình chiếu vng góc A lên BC Bài 6: a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF A E B Ta có BAC 1800 (*) Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF A OFD OED ODF 90o (1) E F o Ta có OFD OED ODF 270 (2) O o (1) & (2) 180 (**) (*) & (**) BAC BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: , C B AEF DBF DEC ABC B D C 5BF 5BF 5BF BD BA BF BC 8 BD BD BD 7CE 7CE 7CE CD CA CD CD CD 8 CE CB AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x x 2008x 2007 x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: x 3x x 0 2 1 1 x x x x x x x x x 1 Bài 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)( a b c ) 9 Tìm số d phép chia biểu thức x x x x 8 2008 cho đa thức x 10 x 21 Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: BàI Câu Nội dung GB HD BC AH HC Điểm 2,0 1.1 (0,75 điểm) 0.5 x x x x x x x 1 x 1 0,5 x 1 x 1.2 (1,25 điểm) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 0,25 x x 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 2 2 0,25 2 0,25 2,0 2.1 x 3x x 0 (1) + Nếu x 1 : (1) x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ) x 1: + Nếu (1) 0,5 x x 0 x x x 1 0 x 1 x 0 x 1; x 3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x 1 2.2 2 0,5 1 1 x x x x x (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 0 2 1 1 (2) x x x x x x x x x 0,25 1 2 x x x x 16 x x x 0 hay x x 0 Vậy phơng trình cho có nghiệm x 0,5 0,25 2.0 3.1 Ta có: 1 a c a a b b c c A= (a b c)( a b c ) 1 b c a c a b a b c 0,5 b = ( b a ) ( c a ) (b c ) Mà: 3.2 x y 2 y x (BĐT Cô-Si) Do A 3 9 Vậy A 9 0,5 Ta có: 0,5 P ( x) x x x x 2008 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: 0,5 P( x) t t 3 2008 t 2t 1993 Do chia t 2t 1993 cho t ta có số d 1993 4,0 4.1 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam CE CB giác vuông CDE CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 1350 (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) Nên AEB 450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: 4.2 4.3 BE AB m BM BE AD Ta có: (do BEC ADC ) BC BC AC mà AD AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH nên (do ABH CBA ) BC AC AC AB BE BHM BEC Do (c.g.c), suy ra: 0 BHM BEC 135 AHM 45 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC GB AB , GC AC AB ED AH HD ABC DEC ED // AH AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC Suy ra: mà 0,5 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1( điểm): Cho biểu thức: 2x 2x 21 x x 1 P= : 2 x 12 x 13x x 20 x x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bài 2(3 điểm):Giải phương trình: 15 x 12 x 3x x 3x 148 x 169 x 186 x 199 x 10 b) 25 23 21 19 a) c) x 5 Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phương trình: Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời Bài (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P PD Tính cạnh hình chữ nhật d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm, PB 16 ABCD Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 x2 y2 xy Đáp án biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) Điều kiện: 0,5đ 3 x ; x ; x ; x ; x 4 2 0,5đ 2x 2x 1 x x b) x 2 1 +) x … P = 2 1 …P = +) x 2 2x c) P = = 1 2x x Ta có: Z Z Vậy P Z x x – Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 x = (TMĐK) x – = -1 x = (KTMĐK) x – = x = (TMĐK) x – = x = (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 2x d) P = = 1 2x x Ta có: > a) Rút gọn P = Để P > 2đ 1đ 1đ 0,25đ >0 x–5>0 x>5 x 0,5đ Với x > P > Bài 2: a) 0,25 15 x 12 x 3x x 3x 15 x 12 x x x x 1 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) ĐK: x 4; x 1