BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN ThS PHẠM THANH DƯỢC TOÁN CAO CẤP C1 Dùng cho sinh viên ngành kinh tế Hậu Giang - 2015 Mục lục Lời nói đầu Hàm nhiều biến 1.1 Định nghĩa hàm số hai biến 1.2 Giới hạn hàm số tính liên tục 1.3 Đạo hàm riêng 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao 1.3.4 Vi phân 1.4 Cực trị 1.4.1 Cực trị tự 1.4.2 Cực trị có điều kiện 1.4.3 Giá trị lớn nhỏ 1.4.4 Phương pháp bình phương nhỏ 1.5 Bài tập 1.5.1 Tự luận 7 9 10 10 11 12 12 14 15 16 17 17 Ứng dụng hàm nhiều biến 2.1 Hàm số hữu dụng người tiêu dùng 2.2 Tổ hợp sản phẩm sản xuất cho đạt lợi nhuận tối đa 2.3 Mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa 21 21 24 26 2.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện kinh doanh Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 3.1 Ma trận 3.1.1 Định nghĩa ma trận 3.1.2 Các ma trận thường gặp 3.1.3 Các phép toán ma trận 3.1.4 Các tính chất 3.1.5 Ma trận bậc thang 27 29 29 29 30 31 32 32 Mục lục 3.2 3.3 3.4 3.1.6 Ma trận nghịch đảo Định thức 3.2.1 Các khái niệm định thức 3.2.2 Các tính chất định thức: Hệ phương trình tuyến tính 3.3.1 Các định nghĩa 3.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Bài tập Một số ứng dụng đại số kinh doanh 4.1 Mô hình cân thị trường 4.1.1 Cân thị trường – Mơ hình tuyến tính 4.1.2 Cân thị trường – Mơ hình khơng tuyến tính 4.1.3 Cân thị trường tổng quát 4.1.4 Phân tích điểm cân thu nhập quốc gia 4.2 Mơ hình cân đối liên ngành 4.3 Bài tập Tài liệu tham khảo 34 36 36 39 40 40 41 42 45 45 45 47 47 50 51 55 57 Lời nói đầu Tốn cao cấp C1 mơn học công cụ nhằm cung cấp cho sinh viên ngành Kinh tế kiến thức toán cần thiết để học kiến thức chuyên ngành Giáo trình gồm chương Chương 1: Hàm nhiều biến Chương 2: Ứng dụng hàm nhiều biến Chương 3: Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính Chương 4: Một số ứng dụng đại số kinh doanh Xuất phát từ yêu cầu cụ thể ngành Kinh tế sinh viên cần hiểu rõ khái niệm vận dụng công thức, kết vào tập Do đó, tác giả khơng trình bày chứng minh q phức tạp giáo trình Thay vào đó, tác giả đưa vào nhiều ví dụ tập ứng dụng kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng cơng cụ tốn học lĩnh vực kinh tế Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Cơ nhiệt tình quan tâm giúp đỡ chúng tơi suốt q trình biên soạn, cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Võ Trường Toản động viên tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình hồn thành Dù cố gắng chắn giáo trình khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận chân thành biết ơn ý kiến đóng góp người đọc nội dung lẫn hình thức Tác giả Lời nói đầu Chương Hàm nhiều biến 1.1 Định nghĩa hàm số hai biến Định nghĩa 1.1 Cho ∅ = D ⊂ R2 Mỗi ánh xạ f: D −→ R kh x = (x1 , x2 ) 7→ y = f (x) = f (x1 , x2 ) gọi hàm biến độc lập x1 , x2 ; D gọi miền xác định hàm số Ngoài ký hiệu chung ánh xạ , ta thường dùng ký hiệu sau để hàm số: y = f (x1 , x2 ), f (x1 , x2 ) hay đơn giản f Chú ý Ta gọi z giá trị f (x, y) z = f (x, y) Khi đó, tập xác định tập biến (x, y), tập giá trị tập giá trị tương ứng z Ví dụ 1.2 Cho f (x, y) = 2x + x2 y Tính f (1, 0), f (0, 1), f (−2, 3) Giải f (1, 0) = f (0, 1) = f (−2, 3) = 104 Ví dụ 1.3 Cho hàm số f (x, y) = x + 2y Tính f (0, 1), f (2, −1), f (a, a) Ví dụ 1.4 Cho hàm số f (x, y) = xy Tính f (2, 1), f (−1, 2) Ví dụ 1.5 Tìm miền xác định hàm số sau √ √ (a) f (x, y) = − x + y p + − (x2 + y ) (b) f (x, y) = p x2 + y − Chương Hàm nhiều biến 1.2 Giới hạn hàm số tính liên tục Định nghĩa 1.6 Cho hàm số f (x, y) xác định lân cận M0 (x0 , y0 ) Số thực L gọi giới hạn f M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) (ta viết M (x, y) → M0 (x0 , y0 )) mệnh đề sau thỏa: ∀ε > 0, ∃δ > : < d(M, M0 ) < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε (1.1) Chú ý (a) d(M, M0 ) = p (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (b) M → M0 ⇔ d(M, M0 ) → Ví dụ 1.7 Cho f (x, y) = 3x − y + Tính giới hạn lim (x,y)→(1,2) f (x, y) Giải Ta có: lim (x,y)→(1,2) f (x, y) = Ví dụ 1.8 Cho f (x, y) = lim (x,y)→(1,2) (3x − y + 1) = sin xy Tính giới hạn x lim (x,y)→(0,a) f (x, y) Giải Đặt t = xy Ta có: t → (x, y) → (0, a), lim (x,y)→(0,a) f (x, y) = lim (x,y)→(0,a) y sin t = a t Định nghĩa 1.9 (a) Nếu lim (x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = f (x0 , y0 ) f gọi là liên tục điểm (x0 , y0 ) (b) Nếu f liên tục điểm D ⊂ R2 f gọi liên tục D Chú ý (a) Nếu f (x, y) đa thức theo biến x, y f liên tục R2 (b) Tổng, hiệu, tích, thương, hàm liên tục liên tục Ví dụ 1.10 (a) Ta có: f (x, y) = 2x3 + 3xy + y − hàm liên tục R2 x3 y − 3x − y hàm liên tục R2 (b) Ta kiểm tra f (x, y) = 2 x + 3y 1.3 Đạo hàm riêng 1.3 1.3.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa Định nghĩa 1.11 Cho hàm số z = f (x, y) xác định D, M (x0 , y0 ) ∈ D Xét hàm số g(x) = f (x, y0 ) Nếu g khả vi x0 g ′ (x0 ) gọi đạo hàm riêng f theo biến x (x0 , y0 ) kí hiệu: fx′ (x0 , y0 ); ∂z ∂f (x0 , y0 ); zx′ (x0 , y0 ); (x0 , y0 ) ∂x ∂x Ví dụ 1.12 Cho z = x3 + 2y Ta có: ∂z = 3x2 • ∂x ∂z = 4y • ∂y Ví dụ 1.13 Cho f (x, y) = Ta có ∂z x • =p ∂x x2 + y ∂z y • =p ∂y x + y2 Ví dụ 1.14 Cho z = Ta có: y − x2 y ∂z = • ∂x (x + y )2 ∂z x2 − y • = ∂y (x + y )2 x2 p x2 + y xy + y2 Ví dụ 1.15 Hàm số f (x, y) = Kxα y β (K, α, β > α + β = 1) gọi lừ hàm cobbdouglas dùng để đặc trưng cho lực sản xuất xí nghiệp Trong số trường hợp f (x, y) có giá trị số sản phẩm sản xuất mức đầu tư (x, y), x số đơn vị nhân công, y số đơn vị vốn Cụ thể, f (x, y) = 4x y fy′ (2, 1) > fx′ (2, 1), nghĩa f có giá trị tăng nhanh theo “hướng” gia tăng y so với theo “hướng” gia tăng x mức đầu tư, nghĩa mức đầu tư xét, việc tăng thêm giá trị y có lợi Chương Hàm nhiều biến 10 1.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần Định lý 1.16 Giả sử f (x, y) có fx′ , fy′ lân cận ∆ (x0 , y0 ) fx′ , fy′ liên tục (x0 , y0 ) Khi đó, ta có cơng thức tính gần f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + fx′ (x0 , y0 )∆x + fy′ (x0 , y0 )∆y, (|∆x|, |∆y| nhỏ) Ví dụ 1.17 Tính gần số A = (2, 05)e−3,92+(2,05) Giải Xét f (x, y) = xey+x ; (x0 , y0 ) = (2; −4)), (∆x; ∆y) = (0, 05; 0, 08) Ta có: f (x0 , y0 ) = 2 fx′ (x, y) = ey+x + 2x2 ey+x ⇒ fx′ (x0 , y0 ) = 9, fy′ (x, y) = xey+x ⇒ fy′ (x0 , y0 ) = Vậy A = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) ≈ + 9.(0, 05) + 2.(0, 08) = 2, 61 Ví dụ 1.18 Cho f (x, y) = xy − 2x3 , f (2, 3) = 38 Tính gần f (2.01; 2.98) 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa 1.19 Nếu z = f (x, y) ∂f ∂f gọi đạo hàm cấp Giả sử ∂x ∂y ∂f ∂f tồn đạo hàm theo, x, y đạo hàm riêng gọi ∂x ∂y đạo hàm riêng cấp f (x, y) Kí hiệu là: hàm số   ∂ ∂f ∂ 2f ′′ = = fxx ∂x ∂x ∂x2   ∂ ∂f ∂ 2f ′′ = = fxy ∂x ∂y ∂x∂y   ∂ 2f ∂ ∂f ′′ = = fyx ∂y ∂x ∂y∂x   ∂ ∂f ∂ 2f ′′ = = fyy ∂y ∂y ∂y 83 80 50 = 400 − 120 = 160 ⇒ Q2 = 71 ≈ 2, Ở tổ hợp (Q1 Q2 ) ≈ (9, 2, 5) Điều kiện để có lợi nhuận tối đa :  ∂ π        ∂Q1 = −8 < ∂ π ∂ π ∂ 2π ∂2π = −10 < = − 80 < − ∂Q 2  ∂Q1 ∂Q2 ∂Q1 ∂Q22  ∂ π = −3 ∂Q1 ∂Q2 Kết luận Công ty Vissan nên sản xuất mức : n Q1 = Q2 = 2, Tức sản xuất đơn vị sản phẩm lạp xưởng 2,5 đơn vị sản phẩm thịt hộp 2.3 Mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa Giả định cơng ty có sản phẩm A, bán thị trường khác nhau, với mức giá khác nhau, hàm cầu khác Tìm mức sản lượng cần phân bổ cho công ty đạt lợi nhuận tối đa? Gọi: QD1 = D1 (P1 ); QD2 = D2 (P2 ), đó: QD1 , P1 cầu giá bán thị trường thứ 1; QD2 , P2 cầu giá trị bán thị trường thứ Hàm tổng chi phí là: T C = C(Q), Q = Q1 + Q2 (cùng đơn vị thời gian) Ta có: D1 (P1 ) = Q1 D(P ) = Q; P = P (Q).P = P.(Q) Doanh thu thị trường 1: R1 (Q1 ) = P1 (Q1 )Q1 ; Doanh thu thị trường 2: R2 (Q2 ) = P2 (Q2 )Q2 ; Tổng doanh thu: T R = R1 (Q1 ) + R2 (Q2 ); Hàm lợi nhuận:π = T R˘T C = R1 (Q1 ) + R2 (Q2 )˘C(Q), Q = Q1 + Q2 2.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện kinh doanh Ta có: 27 δπ δπ ′ ′ ′ ′ = R1 − C ; = R2 − C δQ1 δQ2 Từ điều kiện để có cực trị: δπ δπ = 0; = ⇒ M R1 = M R2 = M C δQ1 δQ2 (2.3) Từ (2.3) ta có kết luận rằng: Để đạt lợi nhuận tối đa, số lượng sản phẩm A cần phân bố cho hai thị trường cho doanh thu biên thị trường chi phí biên 2.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện kinh doanh Ví dụ 2.7 Một sinh viên, tháng bố mẹ cho 1.500.000đ, sau trừ khoản chi tiêu bắt buộc như: ăn, thuê nhà, sinh hoạt cần thiết, 200.000đ cho mua sách xem ca nhạc, hai sở thích sinh viên Gọi x lần xem ca nhạc, với giá vé p = 25.000 đ/1 vé; Gọi y sách với giá p = 20.000 đ/1 Hỏi sinh viên nên xem ca nhạc mua sách tháng để đạt dụng ích tối đa? Biết hàm dụng ích là: U(x,y) = (x + 4)(y + 5) Giải Bài toán đưa tìm cực trị có điều kiện sau: Tìm cực trị U (x, y) = (x + 4)(y + 5) (2.4) 25.000x + 20.000y = 200.000 (2.5) thỏa điều kiện Tương đương: Tìm cực trị (2.4) thỏa điều kiện (2.5): 5x + 4y = 40 Cách 1: Từ (2.5) ta suy y = U (x, y) = (x + 4)( ′ 40−5x , thay vào (2.4) ta được: 5 40 − 5x + 5) = (x + 4)(15 − x) = − x2 + 10x + 60 4 Ux = − 10 ′ x + 10; Ux = ⇒ x = 4, y = Umax (x = 4, y = 5) Chương Ứng dụng hàm nhiều biến 28 Cách 2: Dùng phương pháp Lagrange Tìm cực trị U (x, y) = (x + 4)(y + 5) thỏa điều kiện 5x + 4y = 40 Hàm Lagrange L(x, y, α) = (x + 4)(y + 5) + (40 − 5x − 4y) Lx = y − 5α + = 0; Ly = x − 4α + = 0; Lα = 40 − 5x − 4y = Giải hệ phương trình ta nghiệm (4, 5, 2), α = Như hàm số đạt cực trị x = y = Kết luận sinh viên đạt dụng ích tối đa xem ca nhạc lần mua sách tháng Ví dụ 2.8 Trong mùa tuyển sinh đại học, trường đại học thành phố Hồ Chí Minh tuyển 5.000 sinh viên, đào tạo sở: Cơ sở A với số lượng x sinh viên, hàm chi phí là: CA = 0, 01x2 + 70x + 9300 Cơ sở B với số lượng y sinh viên, hàm chi phí là: CB = 0, 015y + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ sinh viên để chi phí đào tạo thấp nhất? Giải Dùng phương pháp Lagrange Vấn đề đưa tốn tìm cực trị có điều kiện sau: Tìm cực trị: CA +CB = 0, 012 +70x+9300+0, 015y +72y+5200 = 0, 01x2 +70x+0, 015y +72y+14.500 Thỏa điều kiện: x + y = 5.000 sinh viên Hàm Lagrange: L(x, y, α) = 0, 01x2 + 70x + 0, 015y + 72y + 14.500 + α(5.000 − x − y) Lập hệ phương trình:  ′  Lx ′ Ly  ′ Lα = 0, 02x + 70 − α = = 0, 03y + 72 − α = = 5.000 − x − y = Giải hệ phương trình ta được: x = 3040, y = 1960, = 130, Kết luận: Tại sở A: 3040 sinh viên Tại sở B: 1960 sinh viên Thì chi phí đào tạo thấp Chương Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 3.1 3.1.1 Ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa 3.1 Một ma trận A cấp m × n trường số thực số phức bảng số gồm m hàng n cột  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  A= am1 am2 am3 ··· ··· ··· ··· a1n  a2n a3n  amn aij phần tử vị trí dịng i, cột j A Đơi A viết ngắn gọn A = (aij )m×n hay (A)m×n Các ma trận thường ký hiệu A, B, C tập hợp tất ma trận loại m × n trường K ký hiệu Mm×n (K) Ví dụ 3.2   −1 A = ma trận cấp ×   −2 1 ma trận cấp × B= Ví dụ 3.3 Viết ma trận cấp × biết: aij = i2 − j , ∀i, j = 1, , Định nghĩa 3.4 Hai ma trận A B gọi chúng có cở phần tử đứng vị trí tương ứng Kí hiệu A = B Nghĩa là, cho A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mmxn (K) Ta nói A = B khi: aij = bij , ∀i, j 29 Chương Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 30 Ví dụ 3.5 (a) Với A =  a b c  ;B =  d e f  , A = B a = 4, b = 5, c = 6, d = 1, e = 2, f = (b) Hai ma trận A = cấp 3.1.2   B =   không Các ma trận thường gặp • Ma trận khơng ma trận có phần tử • Ma trận cột ma trận có cột • Ma trận hàng ma trận có hàng • Ma trận có số hàng số cột gọi ma trận vuông Nếu A ma trận vng cấp n, đường chứa phần tử a11 , a22 , a33 , , ann gọi đường chéo A • Ma trận đơn vị cấp n ma trận vuông có phần tử đường chéo 1, phần tử cịn lại Kí hiệu  In =  0   • Ma trận vng cấp n gọi ma trận tam giác phần tử đứng phía đường chéo Ví dụ 3.6 A = 00 60 0 −1 B = −2 −3 0 −1 ! ma trận tam giác trên; 0 ! ma trận tam giác 31 3.1 Ma trận 3.1.3 Các phép toán ma trận a) Phép cộng ma trận Cho hai ma trận Am×n , Bm×n Ta gọi ma trận tổng A B, kí hiệu A + B ma trận Cm×n = (cij ) xác định bởi: cij = aij + bij Tổng A + (-B) ký hiệu A – B gọi hiệu ma trận A B     −1 Ví dụ 3.7 Cho A = B = 2   Ta có: A + B = 43 23 −1 b) Phép nhân ma trận với số thực Cho ma trận Am×n Khi đó, tích số thực α với ma trận A ma trận C với α.Am×n = Cm×n với cij = αaij Nếu a = -1 ta ký hiệu (-1).A -A gọi ma trận đối A     −1 Ví dụ 3.8 Cho A = ; B = 2 Tính 2A + 3B Giải Ta có  −2 ;   3B = 6 2A = Vậy  2A + 3B =  10 −2 12  c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận Am×n , Bn×p Khi , Am×n × Bn×p = Cm×p , với cij = n X aik bkj k=1 Chú ý (a) Tích hai ma trận khơng có tính giao hốn (b) A.I = I.A = A (I ma trận đơn vị cấp với A)   Ví dụ 3.9 Cho A = ( ) ; B = Tính AB BA Chương Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 32 Ta có AB = ( ) BA =     = 4.1 + 5.2 + 6.3 = 32 ( )=  10 12 12 15 18  d) Phép chuyển vị Cho ma trận Am×n ma trận thu cách lấy hàng tương ứng A làm cột gọi ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT Ví dụ 3.10 A= 3.1.4   T ⇒A =   Các tính chất A + B = B + A; A + = A + = A; (A + B) + C = A + (B + C); (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + BC; (λA)B = λ(AB); (AT )T = A; AT = B T ⇔ A = B 3.1.5 Ma trận bậc thang a) Phép biến đổi sơ cấp hàng • Nhân tất phần tử dòng với số khác 0, ký hiệu: di → a.di • Cộng phần tử dòng nhân cho số vào phần tử tương ứng dòng khác (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: di → di + a.dj • Đổi vị trí hai hàng (hốn vị dịng i dòng j với nhau), ký hiệu: di ↔ dj 33 3.1 Ma trận b) Ma trận bậc thang Định nghĩa 3.11 (a) Hàng có chứa phần tử khác gọi hàng khác 0, hàng chứa tất phần tử gọi hàng (b) Phần tử khác (tính từ trái qua phải hàng gọi phần tử hàng đó) Định nghĩa 3.12 Ma trận A gọi ma trận bậc thang A thỏa mãn hai tính chất i) Hàng (nếu có) phía hàng khác 0; ii) Phần tử dịng ln nằm cột bên phải cột chứa phần tử dịng Ví dụ 3.13 Ma trận A = 0  Ma trận B = 0  0 −2 −1 −2  −1 ma trận bậc thang;  −1 chưa có dạng bậc thang Định nghĩa 3.14 Ma trận bậc thang có thêm hai tính chất sau gọi ma trận bậc thang rút gọn (hay ma trận dạng rút gọn) a) Mọi phần tử 1; b) Trong cột có chứa phần tử (bằng 1) phần tử khác không   1 Ví dụ 3.15 Ma trận A = 0 −1 có dạng rút gọn; 0 0   1 Ma trận B = 0 −1 chưa có dạng rút gọn 0 Định lý 3.16 Mọi ma trận đưa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp hàng (cột) c) Thuật tốn tìm ma trận bậc thang Bước Dùng phép biến đổi hàng (nếu cần) để có phần tử đỉnh cột khác (tính từ trái sang phải) ma trận phần tử khác Phần tử gọi phần tử sở thứ ma trận; Bước Dùng phép toán hàng để biến tất phần tử, đứng phía phần tử sở thứ (trong cột) thành phần tử Chương Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 34 Bước Lặp lại hai bước ma trận thu từ ma trận ban đầu cách bỏ hàng cột chứa phần tử sở thứ nhất, tiếp tục phần tử sở cuối Ví dụ 3.17 Áp dụng thuật toán rút gọn hàng để đưa ma trận sau dạng bậc thang 10 ! 18 35 A = 10 18 17 40 83 17 Ta có: 17 ! d1 ⇆d4 18 35 A −−−→ 10 18 17 40 83 10 17 ! d →d2 −4d1 −5 −50 −1 −−2−−− −−→ 00 −20 −52 −13 −130 −7 d3 →d3 −10d1 10 17 ! d2 ⇆d4 10 −−−→ 00 −52 −13 −130 −7 −20 −5 −50 −1 17 ! d4 →d4 +5d2 −−−−−−−→ 00 40 10 10 32 d3 →d3 +13d2 0 0 14 17 ! d4 d4 → 14 −−−−1−→ 40 10 10 d3 → 32 d3 0 0 1 17 ! d4 →d4 −d3 −− −−−−→ 00 40 10 10 0 0 Vậy ta có dạng bậc thang 3.1.6 Ma trận nghịch đảo a) Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion): Định nghĩa 3.18 Ma trận vuông I cấp n gọi ma trận đơn vị A.I = I.A = A, với ma trận vuông A cấp n Định nghĩa 3.19 Cho A ma trận vuông cấp n K Ta bảo A ma trận khả nghịch, tồn ma trận B vuông cấp n K cho: A.B = B.A = In 3.1 Ma trận 35 Khi đó, B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, ký hiệu A−1 Như vậy: A.A−1 = A−1 A = In Nhận xét Ma trận nghịch đảo nhất, giả sử tồn ma trận C vuông cấp n ma trận nghịch đảo A Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In C = C Hiển nhiên: (A−1 )−1 = A, nghĩa A lại ma trận nghịch đảo A−1 Trong giáo trình này, ta xét khả nghịch ma trận vuông Tuy nhiên, có nhiều giáo trình nước ngồi đề cập đến khái niệm khả nghịch ma trận Thật vậy, cho A ma trận cấp m × n trường số K Khi đó, ta bảo A khả nghịch trái tồn ma trận L cấp n x m cho: L.A = In ; A khả nghịch phải tồn ma trận R cấp n × m cho: A.R = In Và đó, dĩ nhiên A khả nghịch A khả nghịch trái khả nghịch phải Ma trận đơn vị khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch Tập hợp ma trận vuông cấp n K khả nghịch, ký hiệu GLn(K) b) Tính chất Nếu A, B khả nghịch ma trận tích AB khả nghịch (AB)−1 = B −1 A−1 Nếu A khả nghịch AT khả nghịch (AT )−1 = (A−1 )T c) Mối quan hệ ma trận khả nghịch ma trận sơ cấp: Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n K (n ≥ 2) gọi ma trận sơ cấp dòng (cột) E thu từ ma trận đơn vị In phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung ma trận sơ cấp Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dịng (hay cột) khả nghịch nghịch đảo lại ma trận sơ cấp dòng Định lý 3.20 Cho A ma trận vuông cấp n K (n ≥ 2) Khi đó, khẳng định sau tương đương: A khả nghịch In nhận từ A số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dịng (cột) A tích số hữu hạn ma trận sơ cấp Chương Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 36 Hệ 3.21 Cho A ma trận vng cấp n K (n ≥ 2) Khi đó, khẳng định sau tương đương: A khả nghịch dạng tắc A In Nếu A khả nghịch In nhận từ A số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dịng (cột); đồng thời, dãy phép biến đổi sơ cấp dịng (cột) biến In thành nghịch đảo ma trận A Thuật tốn Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo Ta sử dụng thuật tốn Gauss – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có) ma trận A vng cấp n K Thuật toán xây dựng dựa vào kết thứ Hệ 3.21 Ta thực bước sau đây: Bước 1: Lập ma trận gồm hai khối (A|In ) Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] dạng [ A’ | B ], A’ ma trận bậc thang tắc - Nếu A′ = In A khả nghịch A−1 = B - Nếu A 6= In A khơng khả nghịch (Nghĩa là, trình biến đổi A’ ′ xuất dịng khơng kết luận A khơng khả nghịch) Ví dụ 3.22 Sử dụng thuật tốn Gauss – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:   −1 −3 −3 3.2 3.2.1 Định thức Các khái niệm định thức Định nghĩa 3.23 Cho A = (aij ) ∈ Mn (K) Định thức ma trận A (ký hiệu detA hay |A|) giá trị tính cơng thức : det(A) = |A| = a11 A11 + a12 A12 + + a1n A1n đó: Aik = (−1)i+k det(Mik ), Mik ma trận vuông cấp (n – 1) nhận từ ma trận A cách bỏ dòng thứ i cột thứ k Đại lượng Aik gọi phần bù đại số aik 37 3.2 Định thức Nhận xét (a) A = (a11 ) ⇒ detA = a11 (b) A ∈ M2 (K) :