Đang tải... (xem toàn văn)
HAØM SOÁ y = f(x) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Thành lập phương trình vi phân PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân Khi thành lập ptvp trong các bài toán vật lý ta thườn[.]
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Thành lập phương trình vi phân PTVP phương trình mà hàm phải tìm nằm dấu đạo hàm vi phân Khi thành lập ptvp toán vật lý ta thường áp dụng phương pháp vi phân (xử lý đại lượng thay đổi nhỏ) Khi tỷ số xấp xỉ số gia nhỏ ( y/x) thay tỷ số vi phân (dy/dx) Một phương pháp khác sử dụng ý nghĩa vật lý đạo hàm (tốc độ biến đổi trình) Thành lập phương trình vi phân Khi thành lập ptvp tốn hình học ta thường sử dụng tính chất tiếp tuyến, pháp tuyến hay ý nghĩa đạo hàm (hệ số góc tiếp tuyến) Một dạng khác sử dụng tích phân với cận biến thiên (định lý vi tích phân) Thành lập phương trình vi phân y t= + y2 , y M ( x, y ) t y st x sn n n = y + y 2 y st = y sn = yy Bài tốn dẫn phương trình vi phân Vận tốc nguội lạnh vật khơng khí tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ khơng khí Tìm quy luật giảm nhiệt vật nhiệt độ khơng khí 200C nhiệt độ ban đầu vật 1000C Quy luật giảm nhiệt thay đổi nhiệt độ theo thời gian Gọi nhiệt độ vật hàm số T theo biến thời gian t dT = k T (t ) − 20 , T (0) = 100 C dt PTVP Bài toán dẫn phương trình vi phân Tìm đường cong y=f(x) qua điểm (3,2) Biết đoạn chắn tiếp tuyến (với đường cong điểm bất kỳ) hai trục tọa độ bị chia đôi tiếp điểm y = − y x y (3) = B y M x A BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP Tìm pt đường cong qua điểm (1, 1) với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn đường cong tích lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0) x M(x,y) 1 y (t )dt = xy ( x) Đạo hàm vế Lưu ý: y (1) = x y ( x) = y ( x) + xy '( x) xy '( x) + y ( x) = BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP 20cm 100m / s v = 400m / s Giả thiết: lực cản tường tỷ lệ bình phương vận tốc Hỏi: thời gian viên đạn xuyên tường BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP Khi kéo dãn lị xo khỏi vị trí cân bằng, lực phục hồi cho định luật Hooke : F = −kx Theo định luật Newton: d x m = −kx dt ma = F = −kx d 2x + 02 x = dt MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.PTVP phương trình mà hàm phải tìm nằm dấu đạo hàm vi phân 2.Cấp ptvp cấp cao đạo hàm ẩn hàm 3.Nếu ẩn hàm hàm biến PTVP thường Nếu ẩn hàm hàm nhiều biến PTVP đạo hàm riêng 4.Hệ PTVP hệ gồm nhiều PTVP nhiều ẩn hàm Bài 2: Bài tốn dân số: b/ Phương trình Logistic: P '(t ) = k 1 − P(t ) L Trong hồ nước thiên nhiên ban đầu có 400 cá Số cá tối đa sinh sống hồ 10.000 Biết sau năm số cá tăng gấp lần Tìm số cá sau t năm Sau năm, số cá hồ đạt 5000 Giải P(t ) b / P '(t ) = k 1 − L L P (t ) = + Ce − kt P(0) = 400; P(1) = 1200 = P(t ) = 10000 11 + 24 36 P(t)=5000 t=2.68 tức gần năm t Bài 3: Số lượng muỗi khu vực gia tăng theo mơ hình tăng trưởng Gompertz Theo mơ hình này, P(t) số lượng muỗi thời 200 điểm t (tuần) tốc độ thay đổi P tỉ lệ với hàm P ln P Tại thời điểm ban đầu t=0 người ta quan sát thấy có khoảng 400 muỗi khu vực Sau tuần, số lượng muỗi xấp xỉ 1000 Hãy ước tính số lượng muỗi khu vực sau tuần Giải dP 200 = kdt P ' = kP ln 200 P P ln P Giải pt ta được: − ln | ln(200) − ln( P) |= kt + C mà ln P(0) = 400 k = ln ln P(3) = 1000 C = − ln(ln 5) Vậy số lượng muỗi sau tuần: P(5)=1347 (con) Bài 4: Trong phân xưởng tích 10800m3 , khơng khí chứa 0.12% CO2 Quạt thơng gió đưa khơng khí với 0.04% CO2 Với tốc độ 200m3 / phút, không khí phịng trộn hút với tốc độ Tìm số % CO2 cịn lại phịng sau 10 phút quạt thơng gió làm việc Giải Gọi lượng CO2 (m3 ) phòng thời điểm t y(t) Ta có: y(0) = 0.12% 10800 = 12.96(m3 ) Tốc độ đưa CO2 (m 3 y ' = 200 0.04% = 0.08( m / phut ) vào phòng: ) V Tốc độ đưa CO2 (m3 ) khỏi phòng: y y y 'r = 200 = (m3 / phut ) 10800 54 y Ta có pt: y ' = y 'V − y 'r = 0.08 − 54 −t dy −1 = dt y = 4.32 + Ce 54 y − 4.32 54 Mà y(0)=12.96C=8.64 y = 4.32 + 8.64e Sau 10 phút, phần trăm CO2 lại là: y (10) 0.1065% 10800 −t 54 c/ C1 : y '+ ky = 10.000k 10000k e kdt dt + C = y = e − kt 10000k e kt dt + C = y = e − kt 10000e kt + C = y = e − kdt = y = 10000 + e − kt C C : y ' = k (10000 − y ) dy = = kdt 10000 − y = − ln |10000 − y |= kt + C = ln |10000 − y |= −kt + C d/ C1 : y = 10000 + e − kt C y (0) = = = 10000 + C = C = −10000 y (5) = 3000 = 3000 = 10000 − 10000e −5 k ln(7 /10) −5 k = e = = k = 0.07 10 −5 C : ln |10000 − y |= −kt + C y (0) = = l n |10000 |= C y (5) = 3000 = ln | 7000 |= −5k + l n |10000 | = −5k = ln ( /10) ) = k 0.07 vin = 0(ml / s ) vout y (t ) r= 4000 y (t ) = (ml / s) 400 y (t ) y '(t ) = − (ml / s ) 400 e/ −y y'= 400 dy = = dt − y 400 = −400 ln | y |= t + C1 t = ln | y |= + C2 −400 y=e −t + C2 400 =e −t 400 e C2 = Ce −t 400 Giải 1− u ' Đặt u = x − y = u ' = − y ' = y ' = 1− u ' u = (2u + 1) − = − u ' = 12u + 12 du = u ' = −12u − 11 = = −12u − 11 dx du = − dx = 12u + 11 = 12u + 11 = Ce−12 x y (−2) = −1 = 12( x − y ) + 11 = 23e−12( x+2) Giải a / P '(t ) = 10−2 kP + I 10−3 = P '− 10−2 kP = I 10−3 −I 10−2 kt = P = +e C 10k mà P (0) = P0 −I I = P0 = + C = C = P0 + 10k 10k −I I 10−2 kt = P (t ) = +e ( P0 + ) 10k 10k b / P(12) 9,72 Bài tập 1) xyy = y + x 2) xy = xe 3)e1+ x y x + y, y (1) = e2 x tgydx = dy x −1 4) y = x− y , y (−3) = −5 5)( x + y − 4)dy + ( x + y − 2)dx = 6)( x + x y + y )dx + xy ( x + y )dy = y y 7)3 y sin( )dx + ( y − 3x sin( )dy = x x 8)(ln y − x) y = y 9)e x sin y + x = ( y − e x cos y + y ) y 10)2( x + y ) y = ( x + y ) + 1, y (0) = y x y arctan x 11) − =4 y 1+ x + x2 12)(2 x + y + 1)dx + ( x + y − 1)dy = 13)xy + x + xy = y 14) ( ) xy − y dx + xdy = 0, x 0, y 15) y − y = y + xy 16) ( xy + x ) dy + ( x y − y ) dx = 0, y (1) = 17) yx = x y arctan x +y