Đang tải... (xem toàn văn)
CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC HÌNH HỌC LUYỆN THI THPT NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH
PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VDC GIẢI TÍCH 2023 (Biên soạn dành cho học sinh luyện thi THPT năm 2023) SACHHOC.COM TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ LỜI NĨI ĐẦU Các em học sinh, q thầy bạn đọc thân mến! Cuốn sách “Chinh phục Vận dụng – Vận dụng cao Giải tích 2023” nhóm tác giả biên soạn với mục đích giúp em học sinh giỏi toàn quốc chinh phục câu khó đề thi Bộ giáo dục năm gần Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học, tạo thuận lợi cho em học tập tham khảo Tất tập sách chúng tơi tóm tắt lý thuyết tiến hành giải chi tiết 100% để em tiện lợi cho việc ôn tập, so sánh đáp án tra cứu thơng tin Để biên soạn đầy đủ hồn thiện sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo số tốn trích từ đề thi Sở, trường Chuyên nước số thầy tồn quốc Chân thành cảm ơn quý thầy cô sáng tạo toán hay phương pháp giải toán hiệu Mặc dù nhóm tác giả tiến hành biên soạn phản biện kĩ lưỡng khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp từ quý thầy cô, em học sinh bạn đọc để sách trở nên hồn thiện Mọi đóng góp vui lịng liên hệ: • Tác giả: Phan Nhật Linh • Số điện thoại/Zalo: 0817.098.716 • Gmail: linh.phannhat241289@gmail.com • Facebook: fb.com/nhatlinh.phan.1401/ Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh quý bạn đọc Chúc quý vị khai thác hiệu kiến thức cầm tay sách này! Trân trọng./ Phan Nhật Linh SACHHOC.COM MỤC LỤC CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS Trang Chủ đề 01 Tính đơn điệu hàm số……………… ………………….………………….…………… Chủ đề 02 Cực trị hàm số……………………… ………… ………………………………………… 52 Chủ đề 03 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số……….………………………………… 109 Chủ đề 04 Đường tiệm cận đồ thị hàm số…………………… ………………… … ……… 159 Chủ đề 05 Sự tương giao đồ thị hàm số ………………… ………………………….………… 193 Chủ đề 06 Tiếp tuyến đồ thị hàm số…………….………… ……………………….…………… 244 CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Chủ đề 07 Phương trình – BPT mũ logarit chứa tham số… ………………… ……………… 289 Chủ đề 08 Kỹ sử dụng hàm đặc trưng…….…… ……………….…………… ……………… 332 CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chủ đề 09 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng…….…… ….…… ………… ……………… 372 CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC Chủ đề 10 Các toán nâng cao số phức.………………………………………………… ………… 407 CHƯƠNG 5: TỔ HỢP XÁC SUẤT Chủ đề 11 Các toán xác suất nâng cao …….…… ……… ………… ……………………… 465 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Phan Nhật Linh CHỦ ĐỀ Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tính đơn điệu hàm hợp hàm tổng Cho hàm số u = u ( x ) xác định với x ( a ; b ) u ( x ) ( c ; d ) Hàm số f u ( x ) xác định với x ( a ; b ) ta có nhận xét sau đây: ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) đồng biến với x ( a ; b ) f ( u ) đồng biến với u ( c ; d ) ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) nghịch biến với x ( a ; b ) f ( u ) nghịch biến với u ( c ; d ) Bài toán: Cho đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) y = f ( x ) Yêu cầu tìm khoảng đơn điệu hàm số dạng g ( x ) = f u ( x ) + v ( x ) Phương pháp: ▪ Bước 1: Tính đạo hàm g ( x ) theo công thức g ( x ) = u ( x ) f u ( x ) + v ( x ) ▪ u ( x ) = Bước 2: Giải phương trình g ( x ) = v ( x ) f u x = − , u ( x ) ( ) u ( x ) ▪ Bước 3: Lập bảng xét dấu g ( x ) ▪ Bước 4: Từ bảng xét dâú để xét khoảng đơn điệu hàm số mở rộng tìm điểm cực đại, cực tiểu hàm số Tính đơn điệu hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = u ( x ) với hàm u ( x ) tường minh u ( x ) có chứa tham số ▪ Bước 1: Khảo sát lập bảng biến thiên hàm số u ( x ) ▪ Bước 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị hàm số u ( x ) ▪ Bước 3: Từ suy tính đơn điệu hàm số cho | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chủ đề 01: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Dạng 2: Biện luận tính đơn điệu hàm số y = u ( x ) khoảng K cho trước ▪ y = u ( x ) Yêu cầu toán Trường hợp 1: u ( x ) y = u ( x ) u ( x ) 0, x K Nếu hàm số đồng biến K u cầu tốn u ( x ) 0, x K u ( x ) 0, x K Nếu hàm số nghịch biến K yêu cầu toán u ( x ) 0, x K ▪ y = −u ( x ) Yêu cầu toán Trường hợp 2: u ( x ) y = − u x ( ) Xử lý tham số đơn điệu hàm hợp Bài tốn: Tìm m để hàm số y = f u ( x ) đồng biến nghịch biến D Đặt t = u ( x ) hàm số trở thành y = f ( t ) Khi cần lưu ý vấn đề sau: Tìm xác miền xác định t = u ( x ) Nếu t = u ( x ) đồng biến D f u ( x ) f ( t ) có tính chất đồng biến nghịch biến Nếu t = u ( x ) nghịch biến D f u ( x ) f ( t ) ngược tính chất, nghĩa f u ( x ) đồng biến f ( t ) nghịch biến ngược lại ( ) Hoặc sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp f u ( x ) = u ( x ) f u ( x ) • Đối với tốn vận dụng vận dụng cao khơng có cách làm bao qt hết Khi gặp toán này, cần áp dụng linh hoạt phương pháp kiến thức lại với • Một số phương pháp thường sử dụng: đặt ẩn phụ, biện luận tối ưu phương pháp ghép trục kết hợp với sơ đồ V Trong lời giải tập vận dụng, thấy kết hợp phương pháp Chinh phục toán VD - VDC: Tính đơn điệu hàm số | Phan Nhật Linh B Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 VÍ DỤ MINH HỌA CÂU Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục Biết hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên m − 10 ;10 để hàm số g ( x ) = f ( x − m ) nghịch biến khoảng (1; ) Hỏi S có phần tử? A B C LỜI GIẢI Chọn C Ta có g ( x ) = f ( x − m ) Vì y = f ( x ) liên tục vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy D nên g ( x ) = f ( x − m ) liên tục Căn x − m −1 x m − g ( x ) f ( x − m ) 1 x − m 1 + m x + m 3 m − m Hàm số g ( x ) = f ( x − m ) nghịch biến khoảng ( 1; ) 3 + m m=0 1+ m Mà m số nguyên thuộc đoạn − 10 ;10 nên ta có S = 0 ; ; 5; 6; ;10 Vậy S có phần tử distance CÂU Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ( x ) = x + bx + cx ( b , c ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( f ( x ) ) đồng biến khoảng đây? A ( 2; + ) B ( − ; −2 ) C ( −1; ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 3 ; D − 3 Chủ đề 01: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số LỜI GIẢI Chọn A b = f ( x ) = x − x f ( x ) = 3x − Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + bx + cx ta suy ra: c = − ( )( ) Ta có: g ( x ) = f ( f ( x ) ) g ( x ) = f ( f ( x ) ) f ( x ) = f x − x 3x − x3 − x = x − x = Cho g ( x ) = f x − x 3x − = x − x = −1 3x2 − = ( )( ) x = 1 x = x = a (1 a ) x = −a x = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên g ( x ) đồng biến ( a; + ) nên đồng biến ( 2; + ) distance CÂU Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = − x − x + với x ( Số giá trị nguyên tham ) 2 5 2 số m thuộc − 10;10 để hàm số g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m + đồng biến ; A B C 14 D 15 LỜI GIẢI Chọn D Ta có: g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + ( ( ) ) ( g ( x ) = ( sin x.cos x + 3cos x ) f sin x + 3sin x − m = cos x ( sin x + ) f sin x + 3sin x − m ) 2 5 2 5 Để hàm số g ( x ) đồng biến ; ; g ( x ) 0, x ( ) ( ) 2 5 cos x ( sin x + ) f sin x + 3sin x − m f sin x + 3sin x − m 0, x ; x Theo giả thiết: f ( x ) = − x2 − x + , ta có: x −3 2 5 ; sin x + 3sin x − m 1, x 2 5 f sin x + 3sin x − m 0, x ; 2 5 ; sin x + 3sin x − m −3, x ( ) 2 5 ; sin x + 3sin x m + 1, x (1) 2 5 ; sin x + 3sin x m − 3, x Chinh phục tốn VD - VDC: Tính đơn điệu hàm số | Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 2 5 3+6 Xét hàm số u ( x ) = sin x + 3sin x ; , ta có max u ( x ) = , u ( x ) = , 2 5 4 ; ; 3+6 15 + m − m 4 (1) m + m Kết hợp với m thuộc − 10;10 ta m −10, − 9, ,0,7, ,10 Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn toán distance CÂU Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ –∞ x -1 – + – ( +∞ 0 + ) Hàm số y = f sin 2 x − sin x + 0; 2021 có khoảng đồng biến? A 2042 B 8084 C 2021 D 2020 LỜI GIẢI Chọn B Hàm số y = sin x có chu kỳ T = , nên ta xét hàm số y = f sin 2 x − sin x + 0; ( ) ( ) Ta có y = f sin 2 x − sin x + cos x ( sin x − ) ( ) Hàm số đồng biến f sin 2 x − sin x + cos x ( sin x − ) ( ) cos x f sin 2 x − sin x + () Vì −1 sin x −2 sin 2 x − sin x + 3 Trường hợp 1: cos x x 2 −1 sin 2 x − sin x + f sin x − sin x + () 1 sin 2 x − sin x + − arcsin − x − arcsin − − sin x − x 3 −1 sin x 3 Trường hợp 2: cos x x 0; ; 2 2 ( ) ( ) −2 sin 2 x − sin x + −1 f sin x − sin x + () 0 sin 2 x − sin x + ( ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 ( ) Chương 5: Tổ hợp – xác suất Phép thử ba bạn An, Binh, Lâm lên bảng viết ngẫu nhiên số có chữ số mà dùng chữ số 0;1; 8; có không gian mẫu: n ( ) = 12 Gọi E biến cố “ tổng số ba bạn viết số chia hết cho “ Tổng số ba bạn viết số chia hết cho ba số thuộc tập hợp A , B , C số thuộc tập tập A , B , C n ( E ) = 3.3 + 3.3! Xác suất tổng số ba bạn viết số chia hết cho : P ( E ) = 43.3 + 43.3! 12 = Câu 17: Số cách xếp chỗ ngồi cho học sinh vào ghế là: n ( ) = 9! Gọi A biến cố: “ Mỗi học sinh nữ xếp ngồi xen hai học sinh nam” Xếp thứ tự học sinh nam có 6! cách Xếp thứ tự học sinh nữ vào học sinh nam có A53 cách n ( A ) = 6!.A53 Xác suất biến cố A là: P ( A ) = n( A) n() = 6! A53 = = 11,9% 9! 42 Câu 18: Không gian mẫu: Xếp 200 kẹo thành hàng ngang 200 kẹo tạo 199 khoảng trống Đặt vào vách ngăn chia số kẹo thành phần cho phần có kẹo Do số phần tử khơng gian mẫu là: n ( ) = C199 Gọi A biến cố “mỗi người có 10 kẹo.” Chia trước cho người kẹo, lại 155 Bài toán đưa chia 155 kẹo cho người cho có kẹo Xếp 155 kẹo thành hàng ngang 155 kẹo tạo 154 khoảng trống Đặt vào vách ngăn chia số kẹo thành phần cho phần có kẹo Do số kết thuận lợi biến cố A là: n ( A ) = C154 Xác suất biến cố A là: P ( A ) = n( A) n() = C154 C199 0,355 Câu 19: Xét hai trường hợp Trường hợp 1: An chọn số Trong trường hợp số An chắn lớn số Bình Xác suất An chọn số C82 C93 = Trường hợp An không chọn số Xác suất để An không chọn số C83 C93 = Trong trường hợp An chọn số tập với Bình nên xác suất An chọn số lớn xác suất Bình chọn số lớn Ta tính xác suất để bạn chọn số: Số cách chọn hai bạn là: C83 C83 Số cách để An chọn ba số C83 ; Ứng với cách chọn An Bình có Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 480 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 cách chọn để giống An nên số cách hai người chọn số giống C83 Vậy, xác suất để bạn chọn số số lớn là: C83 C83 C83 = 3! nên xác suất để An chọn = 8.7.6 56 56 = 55 Do xác suất trường hợp 55 = 55 112 112 168 1− Vậy, xác suất cần tìm 55 37 + = 168 56 Câu 20: Đa giác 2020 đỉnh nội tiếp đường tròn ( C ) có 1010 đường kính Chọn đỉnh 2020 đỉnh đa giác tạo thành tam giác có C2020 cách Để chọn tam giác vng cân, ta chọn sau: Chọn đường kính 1010 đường kính có 1010 cách đường kính chia đường tròn ( C ) thành nửa đường trịn, nửa đường trịn có 1009 đỉnh đa giác (trừ đỉnh thuộc đường kính) Ta chọn đỉnh nằm nửa đường trịn với đường kính chọn tạo thành tam giác vng cân Từ ta có cách chọn đỉnh nằm nửa đường trịn Do số tam giác vuông cân tạo thành là: 1010.2 = 2020 2020 Xác suất chọn tam giác vuông cân là: x = C2020 Chọn đỉnh 2020 đỉnh đa giác tạo thành tứ giác có C2020 cách Để chọn hình chữ nhật, ta chọn đường kính 1010 đường kính có C1010 cách Khi xác suất chọn hình chữ nhật là: y = Vậy C1010 C2020 x 2020 C1010 2017 2017 = : = = y C2020 C2020 1009 1009 Câu 21: Lập số tự nhiên có chữ số đơi khác nhau.Gọi số cần lập a1a2 a9 Chữ số a1 có cách chọn Có A98 cách chọn chữ số lại Vậy lập 9.A98 số tự nhiên có chữ số đơi khác Lập số tự nhiên có chữ số đơi khác có mặt đồng thời bốn chữ số 4; 5; 6;7 bốn chữ số đơi không kề Trường hợp 1: Lấy chữ số chữ số 0,1,2,3,8,9 có C65 cách Xếp chữ số thành hàng ngang có 5! cách Ta có khoảng trống từ cách xếp nên có A64 cách xếp chữ số 4; 5; 6;7 Vậy có C65 5! A64 số Trường hợp 2: Chữ số đứng đầu Lấy chữ số chữ số 1,2,3,8,9 có C54 cách Xếp chữ số thành hàng ngang (sau chữ số ) có 4! cách Ta có khoảng trống từ cách xếp nên có A54 cách xếp chữ số 4; 5; 6;7 Vậy có C 54 4! A54 số 481 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chương 5: Tổ hợp – xác suất Ta có C65 5! A64 − C54 4! A54 = 244800 Vậy xác suất cần tìm Câu 22: Cách 244800 9.A98 = 85 1134 Gọi 2a ; 2b ; 2c tập thỏa mãn tốn Ta có: a 2b 2c a b c; a , b, c 1; 2; ; 2020 a ; b ; c lập thành cấp số nhân tăng a; b; c lập thành cấp số cộng tăng a + c = 2b Thấy a + c = 2b a c ta có b khác a c Nói cách khác, ycbt lấy hai số a, c tính chẵn, lẻ 2 Vậy có C1010 + C1010 = 1019090 tập thỏa mãn toán Cách Các tập có ba phần tử thỏa mãn tốn gồm tập: 2 ; ; ,2 ; ; , ,2 ; 2 ; ; ,2 ; ; , ,2 ; 2 ; ; ,2 ; ; , ,2 ; 2 ; ; ,2 ; ; , ,2 ; 2 3 1010 4 1011 ; 2020 5 1011 ; 2019 6 1012 ; 2020 … 2 2 có 1009 tập có 1008 tập có 1008 tập ; 2019 có 1009 tập có tập 2017 ; 2018 ; 2019 có tập 2018 ; 2019 ; 2020 có ( + + + + 1009 ) = 1019090 tập thỏa mãn toán Câu 23: Cách 1: Xét toán tổng quát : Có xâu kí tự có độ dài n mà kí tự thuộc tập hợp 1; ; 3 số kí tự xuất chẵn lần Giải Ký hiệu Mn tập hợp tất xâu có n kí tự lập từ số thuộc tập 1; ; 3 An , Bn tập hợp tất xâu có n kí tự lập từ số thuộc tập 1; ; 3 theo thứ tự chứa số chẵn chữ số 1, số lẻ chữ số 1 3n Mn = 2 bỏ kí tự cuối ta phần tử Mn , ngược lại lấy phần tử Dễ thấy An , Bn rời Mn = An Bn An = Bn = Lấy phần tử Mn+1 x Mn Nếu x An có hai cách để thêm vào chữ số cuối để phần tử An+1 Nếu x Bn có cách để thêm vào chữ số cuối để tạo phần tử An+1 Suy ra: An+1 = An + Bn = An + An + Bn = An + 3n Từ A1 = 2, An+1 = An + 3n Khi đó: A2 = + 31 ; A3 = + 31 + 32 ; ; An = + 31 + + 3n = 3n − 3n + +1= 2 Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 482 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Xét toán cụ thể với n = 2021 ta có: A2021 = 32021 − Cách 2: 2021 Trường hợp 1: số có C2021 2 2019 Trường hợp 2: số có C2021 … 2020 Trường hợp 1010: 2020 số có C 2021 Vậy có: C2021 22021 + C2021 22019 2020 + + C2021 ( + 1) = 2021 + ( − 1) 2021 = 32021 + Câu 24: Ta có n() = C100 Xét n = 3k 100, n N * k 1,2, ,33 , nên 100 số nguyên dương có 33 số chia hết cho Gọi A tập hợp số nguyên dương bé 100 chia hết cho A = 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99 n( A) = 11 Gọi B tập hợp số nguyên dương bé 100 chia hết cho không chia hết cho n( B) = 33 − 11 = 22 Gọi C tập hợp số nguyên dương bé 100 không chia hết cho n(C ) = 100 − 33 = 67 Gọi M biến cố: “chọn bốn thẻ cho tích số ghi bốn thẻ chia hết cho ” M biến cố: chọn bốn thẻ cho tích số ghi bốn thẻ khơng chia hết cho ” Để tích số không chia hết cho xảy hai trường hợp sau Trường hợp 1: số thuộc tập C , có C67 ( cách) C67 Trường hợp 2: số thuộc tập C , số thuộc tập B có C 24 ( cách) Câu 25: Cách 1: Dễ thấy 100071 số tự nhiên nhỏ có chữ số mà chữ số tận chữ số đồng thời số chia hết cho Dễ thấy 999981 số tự nhiên lớn có chữ số mà chữ số tận chữ số đồng thời số chia hết cho Do cách 90 số lại có số tự nhiên có chữ số mà chữ số tận chữ số đồng thời số chia hết số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán 999981 − 100071 + = 10000 số 90 Cách 2: Đặt số thỏa mãn yêu cầu toán abcde1 = A1 = 9.B9 = 9.(10 B+ 9) 99919 111102 B 90 10 Từ B nhận giá trị nguyên liên tiếp từ 1111 đến 11110 hay có 10000 số thỏa mãn yêu cầu Do 100000 9.B9 = 9(10 B + 9) 999999 Nên P( M ) = C67 + C22 C67 C100 P( M ) = − P( M ) = − C67 + C22 C67 C100 0,536 Câu 26: Giả sử bảng vuông gồm 100 100 ô vuông xác định đường thẳng x = , x = , x = , …, x = 100 y = , y = , y = , …, y = 100 hệ trục tọa độ Oxy 483 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chương 5: Tổ hợp – xác suất Mỗi hình chữ nhật tạo đường thẳng khác x = a , x = b ( a , b 100 ) hai 2 đường thẳng khác y = c , y = d ( c , d 100 ) nên có C101 hình chữ nhật .C101 2 C101 Suy không gian mẫu có số phần tử n ( ) = C101 Gọi A biến cố “ô chọn hình vng ” Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: chọn có kích thước 1 : có 100.100 = 100 hình vng Trường hợp 2: chọn có kích thước : ô tạo thành đường thẳng khác x = a , x = b ( a b 100 ) hai đường thẳng khác y = c , y = d ( c d 100 ) cho b − a = d − c = có 99.99 = 99 hình vng Tương tự: Trường hợp 3: chọn có kích thước : có 98.98 = 98 hình vng … Trường hợp 100: chọn có kích thước 100 100 : có 1.1 = 12 hình vuông Suy không gian thuận lợi cho biến cố A có số phần tử 100 (100 + 1)( 2.100 + 1) = 338350 n ( A ) = 1002 + 992 + 982 + + 12 = Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = n(A ) n( ) = 338350 2 C101 C101 = 67 0,0133 5050 Câu 27: Các số chọn xếp theo thứ tự tăng dần Giả sử số chọn a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Theo giả thiết hiệu hai số khơng nhỏ nên a1 a2 − a3 − a4 − a5 − 12 a6 − 15 a7 − 18 82 Đặt x1 = a1 ; x2 = a2 − 3; x3 = a3 − 6; x = a4 − 9; x5 = a5 − 12; x6 = a6 − 15; x7 = a7 − 18 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 82 Vậy tốn trở thành chọn số 82 số phân biệt: C82 10 Câu 28: Không gian mẫu: C30 Từ đến 30 có 15 số chẵn 15 số lẻ Từ đến 30 có số chẵn số lẻ chia hết cho 3: 3;6;9;12;15;18; 21; 24; 27; 30 Gọi A biến cố thỏa mãn toán Lấy cầu chia hết cho số chẵn: C51 Lấy cầu chia hết cho số lẻ: C51 Lấy cầu mang số chẵn không chia hết cho 3: C10 Lấy cầu mang số lẻ không chia hết cho 3: C10 4 C10 Số kết thuận lợi biến cố A: C51 C51 C10 Vậy P ( A ) = 4 C51 C51 C10 C10 10 C30 = 3500 95381 Câu 29: Ta có số số tự nhiên có chữ số khác là: S = 9.A93 = n ( ) Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 484 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 Gọi A biến cố chọn số thỏa mãn yêu cầu tốn Gọi số cần tìm có dạng: abcd a b − c − d − Việc chon chữ số a , b , c , d thỏa mãn yêu cầu toán tương ứng với việc chọn chữ số a , b − 1, c − 2, d − theo thứ tự tăng dần từ chữ số đến 6, tương ứng ta có C64 cách Suy n ( A ) = C64 Vậy P ( A ) = n( A) n() = C64 9.A93 = 1512 Câu 30: Chọn số khác xếp có thứ tự từ tập hợp có chữ số, có A74 = 840 số Do số phần tử khơng gian mẫu n ( ) = 840.839 = 704760 Gọi biến cố C: “ Hai số chọn có số có mặt sỗ ” Trong số thuộc tập B có 4!C63 = 480 số ln có mặt chữ số Trong tập B có A64 = 360 số khơng có mặt chữ số C1360 = 345600 Khi số phần tử biến cố C n(C) = 2!C480 Vậy P ( C ) = 345600 2880 = 704760 5873 Câu 31: Không gian mẫu n ( ) = ( − 1) ! = 8! = 40320 Gọi A biến cố “ học sinh lớp Toán ngồi cạnh nhau” Sắp xếp thứ thự học sinh lớp Tốn: có 5! = 120 cách Sắp xếp vòng tròn phần tử gồm học sinh cịn lại nhóm học sinh lớp Tốn ( coi phần tử ): có 4! = 24 cách Do n ( A ) = 120.24 = 2880 Vậy xác suất để học sinh lớp Toán ngồi cạnh là: P ( A ) = n( A) n() = 2880 = 40320 14 xác suất trả lời câu sai 4 Gọi x số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai 10 − x Câu 32: Ta có xác suất để học sinh trả lời câu Số điểm học sinh đạt 5x − (10 − x ) = x − 20 Nên học sinh nhận điểm x − 20 x Mà x nguyên nên x nhận giá trị 0;1; Gọi Ai ( i = 0;1; ) biến cố " Học sinh trả lời i câu " A biến cố " Học sinh nhận điểm " Suy A = Ao A1 A2 P ( A ) = P ( A0 ) + P ( A1 ) + P ( A2 ) i 1 Mà P ( Ai ) = C10 4 i 10 −i 3 4 nên P ( A ) = i 1 C10 4 i =0 i 10 −i 3 4 = 0,5256 Câu 33: Coi việc bốc giống lấy lúc m + n − sau lấy nốt bóng cuối Khơng gian mẫu n = ( m + n ) ! A: “lần cuối lấy bóng màu đỏ” Bốc bóng đỏ lần cuối: m cách 485 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chương 5: Tổ hợp – xác suất Bốc m + n − bóng đầu tiên: ( m + n − 1) ! cách Vậy có m ( m + n − 1) ! cách Do xác suất để lần cuối lấy bóng đỏ nA m ( m + n − 1) ! m = = n m+n ( m + n)! Câu 34: Số cách chọn dãy kí hiệu bảng mã là: n() = 28 Gọi A biến cố “ lấy có nhiều kí hiệu ” A biến cố “lấy có kí hiệu 1” n( A) = C87 C11 + C88 = Xác suất để dãy lấy có nhiều kí hiệu là: P = − n( A) 247 = 1− = n() 256 256 Câu 35: Bàn cờ vua có 8.8 = 64 vng Gọi A biến cố: “Không hàng, không cột có nhiều quân cờ” Cách 1: Chọn ô cho quân cờ có 64 cách, ô cho quân thứ có 63 cách,… n ( ) = 64.63.62.61.60 Chọn ô cho quân cờ có 64 cách, nằm hàng cột, quân cờ cịn 7.7 = 49 cịn lại đặt vào,…Cứ tiếp tục Do n ( A ) = 64.49.36.25.16 P ( A) = 64.49.36.25.16 280 = 64.63.62.61.60 5763 Cách 2: Chọn ô 64 ô để đặt quân cờ n ( ) = C64 Chọn hàng hàng để đặt quân cờ vào hàng, có C85 cách Cơng việc cịn lại xếp qn cờ cho khơng có cột có nhiều quân cờ, coi hàng hàng cơng việc trở thành xếp có thứ tự qn cờ vào vị trí, có A85 cách Do đó: n ( A ) = C85 A85 P ( A ) = C85 A85 C64 = 280 5763 = 4845 Câu 36: Số phần tử không gian mẫu C20 A1 A8 A2 O A3 A7 A4 A6 A5 Số hình thang cân có trục đối xứng qua đỉnh đa giác 10C92 Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 486 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 A1 A8 A2 O A3 A7 A4 A6 A5 Số hình thang cân có trục đối xứng không qua đỉnh đa giác 10C10 Cứ trục đối xứng qua đỉnh đa giác thí xác định hình chữ nhật, số hình chữ nhật tạo thành C10 Khi hai trục đối xứng đa giác vng góc với ta xác định hình chữ nhật 2 − 2C10 = 720 Khi số hình thang cân mà khơng phải hình chữ nhật 10C92 + 10C10 720 48 = 4845 323 Câu 37: Gọi O tâm đối xứng đa giác Xét đỉnh A đa giác Khi có 22 cặp đỉnh đối xứng với qua đường thẳng OA Hay có 22 tam giác cân nhận A làm đỉnh Như với đỉnh đa giác có 22 tam giác cân (kể đều) nhận làm đỉnh tam 45 = 15 giác cân Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác là: Chú ý tam giác tam giác cân đỉnh Nên số tam giác cân đếm số tam giác đếm lần Vậy số tam giác cân mà không nhận đỉnh đa giác làm đỉnh là: 45.22 − 3.15 = 945 Vậy xác suất cần tính = 14190 Số tam giác tạo thành từ đỉnh đa giác là: C45 Vậy xác suất lấy đỉnh tạo thành tam giác cân mà tam giác là: 63 P= 496 Câu 38: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = 9.A96 Trường hợp 1: abcdef ( số tận số kể số đứng đầu ) Xếp số 3,5 vào vị trí e , f có 2! cách Chọn số số 0;1; 2; 6; có C52 cách Xếp “nhóm” gồm nhóm có số 7,9 số số 0;1; 2; 6; ta có: 2!.3! cách Vậy có: C52 2!.3!.2 = 240 ( số ) Trường hợp 2: 0bcdef Xếp số 3,5 vào vị trí e , f có 2! cách Chọn số số 1; 2; 6; có cách Xếp “nhóm” gồm nhóm có số 7,9 số số 1; 2; 6; ta có: 2!.2! cách Vậy có: C41 2!.2!.2 = 32 ( số ) Trường hợp 3: abcdefg , g 0; 2;6;8 : có cách Hốn vị số 3,4,5 có 3! cách Hốn vị số 7,9 có 2! cách Chọn số số có cách Xếp “ nhóm “ có 3! cách 487 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chương 5: Tổ hợp – xác suất Vậy có 4.2!.3!.3!.4 = 1152 ( số ) Trường hợp 4: 0bcdefg , g 2;6;8 : có cách Hốn vị số 3,4,5 có 3! cách Hốn vị số 7,9 có 2! cách Xếp nhóm có 2! cách Vậy có: 3.3!.2!.2! = 72 ( số ) 1288 23 Vậy n ( A ) = 240 − 32 + 1152 − 72 = 1288 Vậy p ( A ) = = 9.A9 9720 Câu 39: Vì S có phần tử nên số tập S 26 = 64 Mỗi bạn A B có 64 cách chọn tập con, số phần tử không gian mẫu 64 Ta tìm số cách chọn tập thoả mãn yêu cầu Vì tập A B chọn có chung phần tử nên tập phải có phần tử Giả sử tập A B gồm x; y ( x , y ) phần tử, đó: A có C6x cách chọn tập con, lúc S ( − x ) phần tử Chọn phần tử gọi a, b, c có tập gồm x phần tử A ( để làm phần tử chung với tập mà B chọn) có Cx3 cách; Lúc tập mà B chọn có phần tử chung với tập A a, b, c ta cần chọn thêm ( y − ) phần tử khác ( − x ) phần tử lại sau A chọn tập con, có C6y−−x3 cách Vậy có tất C6xCx3C6y−−x3 cách x, y 3 x Ta có điều kiện: y − − x y − x Khi số cách chọn tập thỏa mãn điều kiện toán là: y =3 C63 C33 C3y −3 + y =3 C64 C43 C2y −3 Xác suất cần tính 540 64 = + y =3 C65 C53 C1y −3 + C C C y =3 6 y −3 = 160 + 240 + 120 + 20 = 540 135 1024 Câu 40: Số phần tử không gian mẫu = 8.8.7.6 = 2688 Đặt A = {0, 3, 6} , B = {1, 4, 7} , C = {2, 5, 8} Gọi x thuộc tập E x chia hết cho Trường hợp 1: x có hai chữ số thuộc tập B , hai chữ số thuộc tập C Số số C32 C32 4! = 216 Trường hợp 2: x có chữ số thuộc tập A , ba chữ số lại thuộc tập B thuộc tập C Số số 2(3.4!− 3!) = 132 Trường hợp 3: x có hai chữ số thuộc tập A , chữ số thuộc tập B chữ số thuộc tập C Số số x 3.3.C32 4!− 3.3.2.3! = 540 Gọi M biến cố “Số chọn chia hết cho 3’’ Xác suất xảy biến cố M 216 + 132 + 540 37 P( M ) = = 2688 112 Câu 41: Giả sử số có năm chữ số có dạng abcde Vì chia hết e có hai cách chọn chữ số Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 488 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 a có chín cách chọn a vị trí b , c , d vị trí có mười cách chọn Suy số phần tử tập S 2.9.103 = 18000 phần tử n ( ) = 18000 Số có năm chữ số bé chia hết cho 10000 lớn 99995 Gọi B biến cố: “một số lấy từ tập S chia hết cho 3”, số lấy phải chia hết cho 15 (vì vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho số số nguyên tố) Số có năm chữ số bé chia hết cho 15 10005 lớn 99990 Vì chi hết cho 15 nên số tập B xem cấp số cộng với 99990 − 10005 u1 = 10005, un = 99990, d = 15 , n = + = 6000 15 n( B) 6000 Hay n ( B ) = 6000 Vậy PB = = = n() 18000 Câu 42: Gọi x , y , z số ghế cho vào phòng I,II,III x + y + z = 32 ( x − 10) + ( y − 6) + ( z − 4) = 12 x 11 x − 10 Ta có Đặt y y − z z − a = x − 10 b = y − c = z − a + b + c = 12 Từ ta có: a , b , c Đây tốn chia 12 kẹo cho đứa trẻ cho đứa có kẹo,nên số cách 3−1 chia là: C12 −1 = C11 = 55 10 Câu 43: Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ 50 thẻ nên n ( ) = C50 Từ đến 50 có 25 số chẵn 25 số lẻ Đặt X = 5;15; 25; 35; 45 Y = 10; 20; 30; 40; 50 Gọi A: “Chọn 10 thẻ có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 5” Trường hợp 1: thẻ chia hết cho mang số lẻ Lấy thẻ mang số thuộc X có C52 cách Lấy thẻ mang số lẻ từ 20 số lẻ lại (khơng thuộc X ) có C20 cách Lấy thẻ mang số chẵn từ 20 số chẵn (không thuộc Y ) có C20 cách C20 Suy số kết thuận lợi cho biến cố A là: C52 C20 Trường hợp 2: thẻ chia hết cho mang số chẵn C20 Tương tự trường hợp 1, suy số kết thuận lợi cho biến cố A là: C52 C20 Trường hợp 3: thẻ chia hết cho gồm thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn Lấy thẻ mang số thuộc X thẻ mang số thuộc Y có C51C51 cách Lấy thẻ mang số lẻ từ 20 số lẻ cịn lại (khơng thuộc X ) có C20 Lấy thẻ mang số chẵn từ 20 số chẵn cịn lại (khơng thuộc Y ) có C20 489 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chương 5: Tổ hợp – xác suất 4 Suy số kết thuận lợi cho biến cố A là: C51 C51 C20 C20 4 C20 + C51 C51 C20 C20 Khi đó: n ( A ) = 2.C52 C20 Vậy P ( A ) = n( A) n() = 4 2.C52 C20 C20 + C51 C51 C20 C20 10 C50 0,09 Câu 44: Gọi x , y , z số hoa cắm vào ba lọ khác nhau, x + y + z = hay ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = Do ta xem toán chia kẹo cho học sinh khác em phải có kẹo Do số phần tử khơng gian mẫu n ( ) = C82 = 28 Gọi A biến cố “có lọ cắm ba bơng hoa” Để tính số phần tử A ta có hai trường hợp Trường hợp 1: Số hoa cắm lọ 3; 3; Số cách cắm hoa C31 = Trường hợp 2: Số hoa cắm lọ 3; 2; Số cách cắm hoa 3! = Suy n ( A ) = Xác suất biến cố A p ( A ) = n( A) n() = = 24 Câu 45: Gọi số cần tìm tập S có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 Khi Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 Số cách chọn thứ tự cho a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; a6 tập A \ a1 có A85 cách Do tập S có 8.A85 = 53760 phần tử Khơng gian mẫu chọn ngẫu nhiên số từ tập S = 53760 Suy số phần tử không gian mẫu n() = C53760 Gọi X biến cố '' Số chọn số chẵn chữ số đứng vị trí thứ ba chia hết cho '' Suy a3 0; 5 Ta có trường hợp thuận lợi cho biến cố X sau: Trường hợp Với a3 : chữ số a6 = 2,4,6,8 có cách chọn, a1 có cách chọn, ba chữ số cịn lại có A63 cách chọn Do tường hợp có 4.7 A63 số a = Trường hợp Với : Bốn chữ số cịn lại có A74 cách chọn Do tường hợp a = có A74 số a = Trường hợp Với : chữ số a6 có cách chọn, a1 có cách chọn, ba chữ số a6 lại có A63 cách chọn Do tường hợp có 4.6 A63 số Suy số phần tử biến cố X n(X) = 4.7.A6 + A7 + 4.6.A6 = 6450 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = n(X) 6450 215 = = n() 53760 1792 C17 = 649740 Câu 46: Không gian mẫu phép thử n ( ) = C15 Gọi biến cố A “lấy viên hộp thứ hai có đủ hai mầu” Trường hợp 1: Lấy hộp thứ viên xanh có C72 cách lấy Khi hộp thứ hai Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 490 Phan Nhật Linh Chinh phục vận dụng – vận dụng cao năm 2023 5 có viên xanh viên đỏ nên có C17 − C9 − C85 cách lấy hai viên đủ hai mầu ( ) C72 C17 − C95 − C85 = 131313 (cách) Trường hợp 2: TH2: Lấy hộp thứ viên đỏ có C82 cách lấy Khi hộp thứ hai 5 − C75 − C10 có viên xanh 10 viên đỏ nên có C17 cách lấy hai viên đủ hai mầu ( ) 5 C82 C17 − C75 − C10 = 165620 (cách) Trường hợp 3: TH3: Lấy hộp thứ viên xanh viên đỏ có C71 C81 cách lấy − C85 − C95 cách lấy hai viên đủ hai Khi hộp thứ hai có viên xanh viên đỏ nên có C17 mầu ( ) C71 C81 C17 − C85 − C95 = 336336 (cách) Do n ( A ) = 633269 Vậy P ( A ) = 633269 649740 = 364 Câu 47: Số phần tử không gian mẫu: n() = C14 Gọi A biến cố: “Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác” Suy A biến cố: “Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác” Trường hợp 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn Trường hợp 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10=140 tam giác thỏa mãn Do n( A) = 14 + 140 = 154 Suy số phần tử biến cố A là: n( A) = n() − n( A) = 210 Vậy P( A) = n( A) 15 = n() 26 Câu 48: Ta có 34034175 = 5.34.52 Mỗi ước nguyên dương số 34034175 số có dạng i.3 j.5 k , i 0;1; 2; 3; 4; 5 , j 0;1; 2; 3; 4 , k 0;1; 2 Số ước nguyên dương số ( i ; j ; k ) chọn từ tập Suy số cách chọn ( i ; j ; k ) từ tập 6.5.3 = 90(cách) nên số phần tử S 90 Có C90 cách chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 34034175 số có dạng 0.3 j.5 k Suy số ước 34034175 không chia hết cho tập S 5.3 = 15 Do có C15 cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho Suy xác suất lấy hai số không chia hết cho S P = Câu 49: Gọi số 10 chữ số có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 C15 C90 = 267 Số phần tử không gian mẫu n ( ) = 5.69 = 50388480 (số) Cách 1: Gọi A : “ Số có số lặp lại hai lần, số lặp lại ba lần, số lặp lại hai lần chữ 10! 9! − = 136080 (số) số khác có mặt lần.” n ( A ) = 2!.3!.2!.1!.1!.1! 2!.3!.2!1!.1! n( A) 136080 Xác suất cần tìm là: p ( A ) = = = n ( ) 50388480 2592 491 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 Chương 5: Tổ hợp – xác suất Cách 2: Gọi A : “ Số có số lặp lại hai lần, số lặp lại ba lần, số lặp lại hai lần chữ số khác có mặt lần.” Trường hợp 1: a1 = Số cách xếp số lại C91 Số cách xếp số C83 Số cách xếp số C52 Số cách xếp số lại : 3! Có : C91 C83 C52 3! cách xếp Trường hợp 2: a1 = Số cách xếp hai số lại C92 Số cách xếp số C72 Số cách xếp số C52 Số cách xếp số lại : 3! Có : C92 C72 C52 3! cách xếp Trường hợp 3: : a1 = Số cách xếp số lại C91 Số cách xếp số C82 Số cách xếp số C63 Số cách xếp số lại : 3! Có : C91 C82 C63 3! cách xếp Trường hợp 4: : a1 3; ; 5 : a1 có cách chọn Số cách xếp số cịn lại C92 Số cách xếp số C73 Số cách xếp số C52 Số cách xếp số cịn lại : 3! Có : C91 C83 C52 3! cách xếp n ( A ) = C91 C83 C52 3!+ C92 C72 C52 3!+ C91 C82 C63 3!+ C91 C83 C52 3! = 136080 (số) Xác suất cần tìm là: p ( A ) = n( A) n() = 136080 = 50388480 2592 Câu 50: Cách 1: Gọi số có chữ số đôi khác a , a = a1a2 a3 a4 a5 a5 a7 , a1 Số phần tử không gian mẫu n() = 9.A96 = 544320 Gọi A biến số cần tính xác suất Ta có a7 0 ; ; ; 8 Trường hợp 1: a7 = Xếp chữ số , , vào số a có C63 cách, xếp chữ số cịn lại số a có A63 cách Vậy trường hợp 1: có C63 A63 = 2400 số Trường hợp 2: a7 = Nếu a1 = có cách xếp chữ số , chữ số cịn lại có A74 cách Nếu a1 a1 có cách chọn ( a1 0; 2; 3; 4) , xếp chữ số , có C52 cách, chữ số cịn lại có A63 cách Vậy trường hợp có 5.A74 + 6.C52 A63 = 11400 số Trường hợp 3: a7 6;8 a7 có cách chọn Nếu a1 = có C52 cách xếp chữ số , , chữ số cịn lại có A63 cách Nếu a1 a1 có cách chọn ( a1 0; 2; 3; 4; a7 ) , xếp chữ số , , có C53 cách, ( ) chữ số cịn lại có A52 cách Vậy trường hợp có C52 A63 + 5.C53 A52 = 4400 số Do n( A) = 2400 + 11400 + 4400 = 18200 Vậy P( A) = n( A) 18200 65 = = n() 544320 1944 Chinh phục toán VD - VDC: Các toán xác suất nâng cao | 492 TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2023 PHAN NHẬT LINH Chuyên luyện thi THPT Quốc Gia 10,11,12 Điện thoại/Zalo: 0817.098.716 – Email: linh.phannhat241289@gmail.com Facebook: fb.com/nhatlinh.phan.1401/ CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG PHAN NHẬT LINH BIÊN TẬP PHAN NHẬT LINH THIẾT KẾ BÌA PHAN NHẬT LINH CHINH PHỤC VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO GIẢI TÍCH Đề nghị q vị tơn trọng quyền tác giả cam kết không lưu phụ chưa đồng ý Mọi ý kiến đóng góp vui lịng liên hệ thơng tin tác giả cung cấp Cuốn sách gửi cho đăng kí thơng qua tác giả