Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ giải tích đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong thời gian vừa qua. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 1 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em. Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác. Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 2 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 4 Chương 1 7 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 §1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 7 1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 7 2. Sai số tính toán 9 3 . Bài toán ngược của bài toán sai số 11 §2 .SAI PHÂN 13 1. Định nghĩa và tính chất 13 2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân 14 §3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 16 1. Một số khái niệm 16 2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải 16 3. Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm) 18 Chương 2 21 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG 21 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 21 §1. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 21 1. Phương pháp Euler 21 2. Phương pháp Euler cải tiến 22 Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 3 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng §2. PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 25 1. Trường hợp m=1 27 2. Trường hợp m= 2 27 3.Trường hợp m= 3 29 4. Trường hợp m= 4 31 5. Phương pháp Runge –Kutta có thể áp dụng để giải 1 hệ phương trình vi phân cấp 1 hay một phương trình vi phân cấp cao 35 Chương 3 38 BÀI TẬP ÁP DỤNG 38 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 LỜI NÓI ĐẦU Thoạt đầu, toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: toán học lí thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới phương trình vi phân thường. Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học. Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác,trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 4 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Do đó một số vấn đề đặt ra là tìm các phương pháp để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường. Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường. Trong các phương pháp đó, người ta đã phân làm 2 nhóm: nhóm thứ nhất gọi là các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi là các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng. Là một sinh viên khoa Toán, trong khuôn khổ một bản khóa luận, em xin được trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp số giải gần đúng phương trình vi phân thường. Được sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cùng với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân”. Em đã đi sâu nghiên cứu 2 phương pháp số: phương pháp Euler và Euler cải tiến, phương pháp Runge –Kutta. Nội dung bản khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân. Chương 3: Bài tập áp dụng. Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 5 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 6 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối: Trong thực tế tính toán, ta thường không biết số đúng a * mà chỉ biết số gần đúng của a * là a. Đại lượng ∆ = a * - a được gọi là sai số thực sự của a. Do không biết a * nên ∆ cũng không biết nhưng ta có thể tìm được ∆a ≥0 sao cho: aa − * ≤ ∆a ; (1.1) Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a. Tỷ số δa = a a∆ được gọi là sai số tương đối của a. Ví dụ 1: Giả sử a= 3,14 ; a * = π Do 3,14 < a * < 3,15=3,14+0,01 nên ∆a= 0,01 Mặt khác: 3,14 < a * < 3,142=3,14+0,002 nên ∆a = 0,002 Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ thì càng tốt. Ví dụ 2: Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10 cm và b = 1 cm với ∆a = ∆b = 0,01. Khi đó ta có δa = 10 01,0 = 0,1%; δb = 1 01,0 = 1% hay δb = 10 δa. Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù ∆a = ∆b. Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối. b, Sự thu gọn các số: Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau; a = ± (β p . 10 p + β p-1 . 10 p-1 + …+ β p-q . 10 p-q ) Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 7 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Trong đó: 0 ≤ β i ≤ 9,β i ∈ Z,( i= p,p-1,…,p-q) Nếu p-q ≥ 0 thì a là số nguyên. Nếu p-q = -m (m>0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số. Nếu q = +∞ thì a là số thập phân vô hạn. Chẳng hạn:a = 478 = 4.10 2 + 7.10 1 + 8.10 0 , ta thấy p-q = 0 nên a = 478 là số nguyên. a = 597,36= 5.10 2 + 9.10 1 +7.10 0 +3.10 -1 +6.10 -2 ở đây p=2, q=4, β 2 =5, β 1 =9, β 0 =7, β -1 =3, β -2 =6, ta thấy p-q = -2 nên a = 597,36 là số thập phân có phần lẻ gồm 2 chữ số. Thu gọn a là vứt bỏ đi một số các chữ số hàng bên phải trong biểu diễn của a để được một số gần đúng a gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết. Quy ước: nếu chữ số đầu tiên bỏ đi tính từ bên phải qua có giá trị lớn hơn hoặc bằng 5 thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại 1 đơn vị, nếu nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên. Trong trường hợp chữ số đầu tiên bỏ đi đúng bằng 5 và các chữ số tiếp theo toàn là chữ số 0 thì chữ số cuối cùng giữ lại để nguyên nếu nó là số chẵn và tăng thêm 1 đơn vị nếu là số lẻ (tính toán với số chẵn thuận lợi hơn). Ví dụ 3: Thu gọn đến 2 chữ số sau dấu phẩy với các số sau: a = 57,96564 ; a = 57,97 a = 65,752648 ; a = 65,75 a = 903,28500 ; a = 903,28 a = 423,23500 ; a = 423,24 c, Cách viết các số gần đúng: Ta thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối hoặc tương đối). Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 8 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Chẳng hạn: a= 16,52         − + 002,0 05,0 ; b= 0,085 (± 0,003) ; c= 154 (±2%) Trong các bảng số thường chỉ giữ lại các chữ số chắc, tức là các số mà chữ số cuối cùng được giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn số (ở đây không đưa ra định nghĩa chính xác của chữ số chắc). 2. Sai số tính toán Trong tính toán ta thường gặp 4 loai sai số sau: + Sai số giả thiết – Do mô hình hóa, lý tưởng hóa các bài toán thực tế. Sai số này không loại trừ được. + Sai số phương pháp – Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể. + Sai số các số liệu – Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai số. + Sai số tính toán – Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán. Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y = f (x 1 ,…,x n ) Gọi x * = (x * 1 , …,x * n ) ; y * = f (x * ) là các giá trị đúng. Giả sử ta không biết các giá trị đúng này, ta chỉ biết các giá trị gần đúng là: x = (x 1 , …,x n ) ; y = f(x). Giả sử ∆x i (i = 1,…,n) ; δx i (i = 1, …,n) là các sai số tuyệt đối và tương đối tương đối tương ứng của các đối số. Khi đó: sai số của hàm y = f(x 1 , …,x n ) được gọi là sai số tính toán. Giả sử hàm f là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến x i thì: ∆y = * yy − = ), ,(), ,( ** 11 nn xxfxxf − Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 9 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng = ∑ = n i nx xxf i 1 1 ), ,(' . * ii xx − Với x =( 1 x ,…, n x ) và x là điểm nằm giữa x và x * . Vì f khả vi liên tục, ∆x i = * ii xx − khá bé nên: ∆y = ∑ = n i x xf i 1 )(' . ∆x i với x =(x 1 , …,x n ) Vậy δy = y y∆ = ∑ = ∂ ∂ n i i xf x 1 )(ln . ∆x i ; (1.2) Và đôi khi có thể viết δy= ∆ln y ; (1.2’) a, Sai số của một tổng: Nếu y= ∑ = n i i x 1 thì y’ x i =1 (i=1,…,n) .Vậy ta có: ∆y = ∑ = n i x xf i 1 )(' . ∆x i =∆x 1 +…+ ∆x n = ∑ = ∆ n i i x 1 ; (1.3) Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng. b, Sai số của một tích: y = x 1 .x 2 …x n y = 1 x . 2 x … n x Ln y =ln 1 x +ln 2 x +…+ln n x → ∆ln y =∆ln 1 x +…+ ∆ln n x → δy= δx 1 + … +δx n ∆y = y . δy Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng thành phần. c, Sai số của một thương: Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 10 [...]... ∆y= ∂f ∑ ∂x i =1 i ∆xi ≤ ε ε ⇔ ∆xi ≤ n f ' x i ε Nếu các biến xi có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy ∆x i ≤ n f ' x khi đó: i ∆y ≤ ε Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán TS Nguyễn Văn Hùng 12 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng §2 SAI PHÂN 1 Định nghĩa và tính chất a, Định nghĩa: Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập X, h >0 sao cho: x+h... của f(x) tại x) Nhận xét: từ lí luận trên, ta thấy nếu n càng lớn thì đường gấp khúc này càng gần đường cong tích phân nhưng nếu càng tăng n thì khối lượng tính toán sẽ tăng lên Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 21 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng Ví dụ 4 Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương pháp Euler: y’= xy , với y(0) = 1, x ∈ [0;0,5], h = 0,1 2 Giải Áp dụng công thức (2.3),... sup ϕ ( x) − ψ ( x) x x ⇔ (1-La) sup ϕ ( x) − ψ ( x) x (1-La) >0 ⇒ sup ϕ ( x) − ψ ( x) ≤ 0 x ⇒ ϕ ( x) − ψ ( x) = 0 , ∀ x ⇒ϕ≡ψ Vậy ϕ(x) là duy nhất Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 20 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 1 Phương pháp Euler Từ điểm ban đầu M0(x0,y0) của đường cong tích phân, nhờ phương... ; chọn h = 0,1 2y Giải: Áp dụng công thức (2.5), ta có bảng sau: i 0 1 2 3 4 5 xi 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ( y i*+1 f xi +1 , y i*+1 1 1 1,0023 1,0105 1,0275 1,0557 0 0,015 0,0599 0,1336 0,2336 0,3552 Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán ) yi 1 1,0008 1,0045 1,0142 1,0325 1,0619 f(xi,yi) 0 0,015 0,0597 0,1331 0,2324 0,3531 y(xi)= xi3 + 1 1 1,0005 1,004 1,0134 1,0315 1,0607 24 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn... trình sau đây: α 2 = β 21 α = β + β 31 32  3 1 = r1 + r2 + r3  1 = r α + r α 2 2 2 3 3  2  1 = r2α 2 + r3α 32 3 1  = r3 β 32α 2 6 Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán ; (2.19) 29 Khóa luận tốt nghiệp a, nếu chọn α2= β21= TS Nguyễn Văn Hùng 1 , α3= 1, và giải hệ (2.19) ta được: 2 1 6 r1= ; r2= 2 1 ; r3= ; β31= -1; β32= 2 3 6 Công thức gần đúng có dạng: ∆y 0 = 1 (k1 + 4k 2 + k 3 ) 6 ; (2.20) Trong... cho phương pháp Runge –Kutta, chúng ta xét ví dụ sau: Ví dụ 6 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: y’= x – y ; với điều kiện ban đầu là y(0)= 1 trong đoạn [0;0,5]; chọn h= 0,1 Giải Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 33 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng Áp dụng công thức (2.24) với bước h= 0,1 Ta có bảng sau: i 4 5 0,95 -0,09 0,05 0,995 -0,0905 0,9095 0,9097 0,15 0,8692 -0,0719 0,15 0,8738 -0,0724 0,0373... f (t ,ϕ (t ))dt 1 ; (1.7) x0 …… x ϕn(x)=y0 + ∫ f (t ,ϕ n −1 (t ))dt x0 Dãy hàm {ϕn(x)} gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho.Ta sẽ chứng minh dãy {ϕn(x)} hội tụ đều Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 18 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng Gọi ϕ(x) là nghiệm đúng của phương trình, ta có: x ∫ f (t ,ϕ (t ))dt ϕ(x)= y0 + x0 Đặt ωn(x)= ϕ ( x) − ϕ n ( x) , ta có: x ϕ(x) - ϕn(x) = ∫ [ f (t , ϕ (t... →0 và ϕn(x)→ϕ(x) trên đoạn [x0, x0+h] Ta chứng minh ϕ(x) là duy nhất Giả sử có 2 hàm ϕ(x) & ψ(x) là nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước Xét: Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 19 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng x ∫ f (t ,ϕ (t ))dt ϕ(x)= y0 + x0 x ψ(x)= y0 + ∫ f (t ,ψ (t ))dt x0 x x x0 x0 ϕ(x) – ψ(x) ≤ L ∫ ϕ (t ) − ψ (t ) dt ≤ L ∫ sup ϕ (t ) − ψ (t ) dt t = L sup... ∆4f-1 ∆5f-3 ∆5f-2 ∆6f-3 Nhận xét: bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và dòng trên của cột liền trước Chẳng hạn: ∆f-3= f-2 – f-3 b, Các tính chất: Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 13 Khóa luận tốt nghiệp TS Nguyễn Văn Hùng +) ∆k(f±g) = ∆kf ± ∆kg +) ∆k (αf) = α.∆kf +) ∆n(Pn(x)) = c = const ∆m(Pm(x)) = 0, nếu m>n với Pn(x) là đa thức cấp n của x n +) f(x+ n.h) = n n +) ∆ f = ∑C... (t − 1) (t − n + 1) n f ( n −1) (ξ ) ∆y0 + ∆ y0 + … + ∆ y0 + 1! 2! n! (n + 1)! hn+1 t(t-1)…(t-n) Đây là công thức nội suy Newtơn tiến Mốc nội suy sắp theo thứ tự xn>xn-1>…>x0 Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 14 Khóa luận tốt nghiệp Đặt t = TS Nguyễn Văn Hùng x − xn ⇒ x=xn + th h Đa thức nội suy Newtơn lùi tìm dưới dạng: P(x)= a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1) Cho x = xn ⇒ a0=yn . Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn các thầy. các bạn sinh viên. Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 5 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 6 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN. khi đó: ∆y ≤ ε Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng Trần Hồng Hạnh – K35G SP Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp TS. Nguyễn Văn Hùng §2 .SAI PHÂN 1. Định nghĩa