Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình vô tỉ được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với học sinh trường THCS Yên Lạc. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Mục Lục: Trang Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ. 2 Phần II - NỘI DUNG Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 3-6 Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 6-7 Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 7-9 Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 20- 23 Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 24 Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 25- 27 Bài tập tổng hợp: 27- 31 Phần III- KẾT LUẬN 31- 33 Tài liệu tham khảo 34 -Các từ viết tắt: sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN) - Điều kiện xác định: (ĐKXĐ) PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ . Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú vị của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy. Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS. Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với hoc sinh trường THCS Yên Lạc. Trong SKKN này đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn: Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện. Tôi hy vọng SKKN này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học qua các phương trình vô tỷ. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn! Mọi đóng góp xin gửi về : duc.hanh.yendong@gmail.com Tôi xin cảm ơn! PHẦN II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ * PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: 1/ ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x 2/ 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x 3/ ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) f x f x g x h x g x f x g x f x g x h x 4/ * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) n n f x f x g x g x n N f x g x 5/ * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n g x f x g x n N f x g x 6/ * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x g x f x g x n N 7/ 2 1 * 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x g x f x g x n N … II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 (1) HD: (1) 2 2 x 1 0 x 1 x 1 x 3 x 1 (x 1) x 3x 0 3 x Bài 2: Giải phương trình: 2 3 0 x x HD:Ta có: 2 3 0 x x 2 3 x x 2 2 0 2 3 0 2 3 0 0 3 1 3 x x x x x x x x x x Bài 3: Giải phương trình: 4 1 1 2 x x x HD: Ta có: 4 1 1 2 x x x 4 1 2 1 x x x 1 2 0 1 0 4 1 2 1 2 (1 2 )(1 ) x x x x x x x 2 1 2 2 1 2 3 1 x x x x 2 2 1 2 2 1 0 (2 1) 2 3 1 x x x x x 2 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 7 0 7 x x x x x x x Bài 4: Giải phương trình: 2 2 3 4 0 x x HD:ĐK: 2 2 0 2 4 0 x x x (1) PT 2 3 ( 2)( 2) 0 2. 1 3 2 0 2 2 0 (2) 17 1 3 2 0 9 x x x x x x x x x Kết hợp (1) và (2) ta được:x = 2 Bài 5. Giải phương trình : 3 3 x x x HD:Đk: 0 3 x khi đó pt đã cho tương đương: 3 2 3 3 0 x x x 3 3 1 10 10 1 3 3 3 3 x x Bài 6. Giải phương trình sau : 2 2 3 9 4 x x x HD:Đk: 3 x phương trình tương đương : 2 2 1 3 1 3 1 3 9 5 97 3 1 3 18 x x x x x x x x Bài 7. Giải phương trình sau : 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2 x x x x x HD: pt 3 3 3 2 3 0 1 x x x Bài 8. Giải và biện luận phương trình: 2 x 4 x m HD: Ta có: 2 x 4 x m 2 2 2 2 x m x m x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: 2 m 4 x 2m . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 2 m 4 2m ≥ m + Nếu m > 0: m 2 + 4 ≥ 2m 2 m 2 ≤ 4 0 m 2 + Nếu m < 0: m 2 + 4 ≤ 2m 2 m 2 ≥ 4 m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm 2 m 4 x 2m – Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: mxx 3 2 (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 x m x m x 3 x m x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: 2 m 3 x 2m . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 2 m 3 m 2m + Nếu m > 0: m 2 + 3 ≥ 2m 2 m 2 ≤ 3 0 m 3 + Nếu m < 0: m 2 + 3 ≤ 2m 2 m 2 ≥ 3 m ≤ 3 Tóm lại: – Nếu 0 m 3 hoặc m 3 . Phương trình có một nghiệm: 2 m 3 x 2m – Nếu 3 m 0 hoặc m 3 : phương trình vô nghiệm Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m HD: Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x( x 1) 0 có hai nghiệm: x 1 = 0, x 2 = 1 – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x m)( x m 1) 0 x m 0 x 1 m + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x 1 = m; x 2 = 2 (1 m) + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải các phương trình sau: 1/ 1 13 x x 2/ 3 34 3 3 1 x x 4/ 2 1 4 1 x x x 5/ x 3 5 x 2 7/ x x 1 x 4 x 9 0 8/ 2 5 0 x 10/ 1 5 1 2 0 2 x 11/ 19 3 2 3 6 x 13/ 16 17 8 23 x x 14/ 3 1 2 3 x x Bài 2: Giải phương trình: a) 2 1 1 x x b) 2 3 0 x x d) 3 6 3 x x e) 3 2 1 3 x x g) 9 5 2 4 x x h) 3 4 2 1 3 x x x Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 2 x x m x x Bài 4: Cho phương trình: 2 1 x x m a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Cho phương trình: 2 2 3 x mx x m a) Giải phương trình khi m=3 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. Bài 6: Giải các phương trình sau: a/ 7 3 9 0 x x d/ 1 9 1 1 3 1 17 2 2 x x x b/ 2 1 1 x e/ 5 3 3 9 27 4 12 1 3 2 x x x c/ 3 7 4 0 x x f) 2 2 ( 3) 10 12 x x x x PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: Sử dụng hằng đẳng thức sau: 2 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) f x g x f x f x g x f x g x f x g x f x II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: 2 x 4x 4 x 8 (1) HD: (1) 2 (x 2) 8 x |x – 2| = 8 – x – Nếu x < 2: (1) 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5. Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2) HD: (2) x 1 0 x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1 x 1 x 1 1 | x 1 3| 2.| x 1 1| (*) Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành: y 1 | y 3| 2 | y 1| – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 y = 3 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8 Bài 3:Giải phương trình: 2 2 5 2 3 2 5 7 2 x x x x HD:ĐK: 5 2 x PT 2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14 x x x x 2 5 1 2 5 3 14 x x 2 5 5 x 15 x (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: 2 1 2 1 2 x x x x HD:ĐK: 1 x Pt 1 2 1 1 1 2 1 1 2 x x x x 1 1 1 1 2 x x Nếu 2 x pt 1 1 1 1 2 x x 2 x (Loại) Nếu 2 x pt 1 1 1 1 2 x x 0 0 x (Luôn đúng với x ) Vậy tập nghiệm của phương trình là: |1 2 S x R x III-Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1/ 2 2 1 5 x x 2/ 4 4 3 x x 3/ 2 6 9 2 1 x x x 4/ 4 4 5 2 x x x 5/ 2 2 2 1 4 4 4 x x x x 6/ 2 1 4 4 10 x x x x 7/ 2 2 2 6 9 2 8 8 2 1 x x x x x x 8/ 2 2 4 4 6 9 1 x x x x 9/ 2 1 2 1 2 x x x x 10/ 3 2 4 4 4 1 x x x x 11/ 6 2 2 11 6 2 1 x x x x 12/ 2 2 5 2 3 2 5 7 2 x x x x 13/ 2 2 2 2 1 5 0 x x x x 14/ 45224252642 xxxx 15/ 2 4 4 2 10 x x x 16/ 2 2 1 2 8 x x x 17/ 1 1 2 2 4 x x x 18/ 05261 4 1 2 xx 19/ 3 2 1 2 1 2 x x x x x 20/ 2 4 4 2 x x x 21/ ( 1) 4 4 1 1 6 1 9 1 x x x x 22/ 8 6 1 4 x x PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” . Bài 1. Giải phương trình: 2 2 1 1 2 x x x x HD:Điều kiện: 1 x Nhận xét. 2 2 1. 1 1 x x x x Đặt 2 1 t x x thì phương trình có dạng: 1 2 1 t t t Thay vào tìm được 1 x Bài 2. Giải phương trình: 2 2 6 1 4 5 x x x HD:Điều kiện: 4 5 x Đặt 4 5( 0) t x t thì 2 5 4 t x . Thay vào ta có phương trình sau: 4 2 2 4 2 10 25 6 2. ( 5) 1 22 8 27 0 16 4 t t t t t t t 2 2 ( 2 7)( 2 11) 0 t t t t Ta tìm được bốn nghiệm là: 1,2 3,4 1 2 2; 1 2 3 t t Do 0 t nên chỉ nhận các gái trị 1 3 1 2 2, 1 2 3 t t Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 1 2 2 3 vaø x x Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2 2 6 1 0 x x Ta được: 2 2 2 ( 3) ( 1) 0 x x x , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : 2 3 4 5 y x và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: 5 1 6 x x HD:Điều kiện: 1 6 x Đặt 1( 0) y x y thì phương trình trở thành: 2 4 2 5 5 10 20 0 y y y y y ( với 5) y 2 2 ( 4)( 5) 0 y y y y 1 21 1 17 , 2 2 (loaïi)y y Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17 2 x Bài 4. Giải phương trình sau : 2 2004 1 1 x x x HD: ĐK: 0 1 x Đặt 1 y x thì phương trình trở thành: 2 2 2 1 1002 0 1 0 y y y y x Bài 5. Giải phương trình sau : 2 1 2 3 1 x x x x x HD:Điều kiện: 1 0 x [...]... Cho phương trình: 1 x 8 x a) b) 2 x2 5 x 2 2 2 x2 5 x 6 1 1 x 8 x m Giải phương trình với m = 3 Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 m x 1 x2 2 Giải phương trình với m 2 3 Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: 2 x 2 2 x x 2 2 x 3 m 0 a) Giải phương trình. .. Hướng dẫn các em trước khi giải phương trình cần phân loại dạng toán, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán tìm hiểu cách giải, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh ngắn gọn nhất + Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp các em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ nhất là ĐKXĐ + Trên cơ... trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như cho đồng nghiệp khi hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ như sau - Phương pháp giải phương trình vô tỉ không khó đối với học sinh khá giỏi, mà điều cần lưu ý đối với giáo viên dạy toán là + Cần phân dạng các phương trình vô tỉ, và phương pháp giải cụ thể từng dạng với các ví dụ cụ thể + Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế dễ... 1 x2 3 4 x PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích x x0 A x 0 ta có thể giải phương trình A x 0 hoặc chứng minh A x 0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x 0 vô nghiệm Bài 1 :Giải phương trình: x x ... 7 x 7 1 Là nghiệm của phương trình đã x 6 cho Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải 2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u 2 uv v 2 0 (1) bằng cách u 2 u Xét v 0 phương trình trở thành : ... 5 x 63 2 5 5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II x 1 2 y 2 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : 2 y 1 x 2 (1) (2) việc giải hệ này thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y f x sao cho... phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 2 2 x 4 x 4 1 Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2 bt c 0 giải “ nghiệm đẹp” Bài 1 Giải phương trình : 2 x 2 2 5 x3 1 HD: Đặt u x 1 (u 0) ; v x 2 x 1 (v u 2v phương trình trở thành : 2 u v 5uv u 1 v 2 2 x 2 3 ) 2 Tìm được: 5 37 2 Bài 2 Giải. .. với học sinh Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi dạy xong chuyên đề trắc nhiệm ở một số học sinh tôi thu được kết quả dưới đây - Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ -Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với môn toán đặc biệt là khi giải phương trình vô tỉ - Sau khi kiểm tra đánh giá 3 lần... phát Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau Bài 1 Giải phương trình : x 2 3 x 2 2 x 1 2 x 2 2 t 3 t x 1 HD:Đặt t x 2 2 ; t 2 , ta có : t 2 2 x t 3 3x 0 Bài 2 Giải phương trình : x 1 x 2 2 x 3 x 2 1 HD:Đặt : t x 2 2 x 3, t 2 Khi đó phương trình trở thnh : x 1 t... 0 Giải phương trình sau: 3 1 3 2 3 x 3 1 855 x x 2 Bài 6:Cho phương trình: x 6 6 x 6 6 2 x Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15 Bài 7 :Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x y 1960 b/ x y 1980 c/ 2 x 3 y 48 2 2 x Bài 8 :Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 1 x2 1 1225 74 x 2 y 1 z 771 y 1 z 771 Bài 9:Giải . được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng. thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : . . . a A x b B x c A x B x Như vậy phương trình Q x P x có thể giải. thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn: Phương pháp 3: