BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HIỀN SỐ RADON-HURWITZ CỦA MỘT SỐ HỌ MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định, 2022 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HIỀN SỐ RADON-HURWITZ CỦA MỘT SỐ HỌ MA TRẬN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 46 01 04 Người hướng dẫn: TS.LÊ THANH HIẾU Bình Định, 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Lê Thanh Hiếu Các kết luận văn kết trình bày theo hiểu biết logic riêng tác giả sở tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu khoa học tác phẩm công bố trích dẫn luận văn Luận văn đảm bảo tính khách quan, trung thực khoa học có trích dẫn rõ ràng Nguyễn Thị Mỹ Hiền Lời cảm ơn Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thanh Hiếu, người tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ em thực hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ em trình học tập trường Nguyễn Thị Mỹ Hiền Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ, không gian véctơ 1.2 Ma trận khả nghịch, ma trận xác định dương 1.3 Ma trận Quaternion 1.4 Chéo hóa ma trận điều kiện chéo hóa ma trận 1.5 Ánh xạ song tuyến tính thực Số Radon-Hurwitz số họ ma trận 2.1 Chùm ma trận ánh xạ song tuyến tính 2.2 Số Radon Hurwitz cho họ ma trận vuông tùy ý, ma Hermit ma trận đối xứng 2.2.1 Một số định nghĩa 2.2.2 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận vuông tùy ý 2.2.3 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận Hermit 2.2.4 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận đối xứng phức 2.3 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận phản giao hoán 3 10 10 12 14 17 17 trận 21 21 24 33 39 40 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU K Trường số thực R, trường số phức C hay Quaternion Q Kn×n Tập ma trận vuông cấp n với vác hệ số K Hn Tập ma trận Hermit cấp n K RS n Tập ma trận đối xứng thực cấp n K CS n Tập ma trận đối xứng phức cấp n K KAn Tập ma trận phản xứng cấp n K Hn+ Tập ma trận nửa xác định dương cấp n K Hn++ Tập ma trận xác định dương cấp n K i, j, k Các đơn vị ảo tập Q Quaternion AT Ma trận chuyển vị ma rận A AH Ma trận chuyển vị liên hợp phức ma trận A diag(a1 , a2 , , an ) Ma trận đường chéo với phần tử đường chéo a1 , a2 , , an K(n) Số nguyên dương lớn cho tồn K(n) ma trận K(n) có tính chất P Kh (n) Số nguyên dương lớn cho tồn Kh (n) ma trận Hermit Kn×n có tính chất P Ks (n) Số nguyên dương lớn cho tồn K(n) ma trận đối xứng Kn×n có tính chất P Lời mở đầu Ma trận công cụ cốt lõi để nghiên cứu nhiều tốn khơng Đại số tuyến tính mà cịn nhiều lĩnh vực khác Tốn học ngành ứng dụng Toán học Các nghiên cứu đại Lý thuyết ma trận không nhằm phát kĩ thuật đại số (tuyến tính) mà phục vụ cho lĩnh vực cần nhiều kỹ thuật tính tốn ma trận như: Tốn tổ hợp, Lý thuyết số, Lý thuyết đồ thị, Lý thuyết toán tử lĩnh vực khác Một số toán nêu dẫn đến phương trình ma trận Hurwitz, có xuất khái niệm số Radon-Hurwitz họ ma trận như: Ma trận Hermit, ma trận đối xứng, ma trận phản giao hoán Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu số tính chất liên quan đến số RadonHurwitz số chùm ma trận cho trước ma trận vuông, ma trận Hermit, đối xứng, phản giao hoán mối liên hệ chúng Chúng tơi tập trung nghiên cứu “tính chất P” ma trận thực phức tùy ý, ma trận Hermit, tổ hợp tuyến tính họ hữu hạn ma trận Từ đó, trùng ba định nghĩa chùm ma trận có “tính chất P” số Radon-Hurwitz cho họ ma trận phản giao hoán trường hợp đặc biệt, khơng địi hỏi tính khả nghịch ma trận Ngoài Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm có hai chương sau Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị cho chương sau Các kiến thức gồm không gian véctơ, không gian véctơ con, ma trận khả nghịch, ma trận xác định dương ma trận Quaternion; phương pháp chéo hóa thơng thường ma trận trường; ánh xạ song tuyến tính Chương Số Radon-Hurwitz số họ ma trận Trong chương này, chúng tơi trình bày số Radon-Hurwitz số họ ma trận: Ma trận vuông tùy ý, ma trận đối xứng thực, ma trận Hermit họ ma trận phản giao hoán Mặc dù thân tác giả cố gắng, xong luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Quy Nhơn, ngày 28 tháng 07 năm 2022 Học viên Nguyễn Thị Mỹ Hiền Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị cho chương sau như: Không gian véctơ, không gian véctơ con, ma trận khả nghịch, ma trận xác định dương ma trận Quaternion; chéo hóa ma trận điều kiện chéo hóa ma trận, ánh xạ song tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ [1] [2] Trong suốt luận văn này, K hiểu trường số thực R hay trường số phức C Tập ma trận cỡ m × n ký hiệu Km×n Đơi khi, ta đồng véctơ Kn ma trận cột Kn×1 1.1 Khơng gian véctơ, không gian véctơ Một tập hợp V 6= ∅ gọi K-không gian véctơ V trang bị hai phép toán cộng phép nhân với vô hướng thỏa mãn tiên đề sau đây: Đối với phép cộng véctơ, ta có (a) (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ V (b) x + y = y + x, với x, y ∈ V (c) Trong V tồn phần tử trung hòa: tồn ∈ V : x + = + x = x, với x ∈ V (d) Mọi phần tử V có phần tử đối: với x ∈ V , tồn −x ∈ V cho x + (−x) = Phần tử −x gọi véctơ đối x Đối với phép nhân với vô hướng, ta có (a) (αβ)z = α(βz) với α, β ∈ K z ∈ V (b) (α + β)z = αz + βz với α, β ∈ K z ∈ V (c) α(x + y) = αx + αy, với α ∈ K x, y ∈ V (d) 1x = x với x ∈ V Mệnh đề 1.1 Một tập W V không gian véctơ V W đóng kín phép cộng nhân vô hướng Tức i x + y ∈ W, với x, y ∈ W ii ax ∈ W, với a ∈ K x ∈ W Cho V K-không gian véctơ, hệ x1 , x2 , xn ∈ V gọi là: • Độc lập tuyến tính thỏa mãn: Nếu có phần tử α1 , α2 , , αn ∈ K cho α1 x1 + α2 x2 + + αn xn = α1 = α2 = = αn = • Phụ thuộc tuyến tính khơng độc lập tuyến tính • Hệ sinh V x ∈ V biểu diễn dạng x = α1 x1 + α2 x2 + + αn xn với α1 , α2 , , αn ∈ K • Cơ sở V chúng độc lập tuyến tính đồng thời hệ sinh V Ta có số ghi sau: • Một khơng gian véctơ V có nhiều sở sở có số phần tử • Nếu khơng gian véctơ V có sở gồm n phần tử ta gọi n số chiều khơng gian véctơ V Kí hiệu dim V = n Trong luận văn này, ngồi ma trận vng R C, ta quan tâm đến số tập ma trận sau đây: • Tập ma trận đối xứng thực: RSn = {A ∈ Rn×n |AT = A}, AT ma trận chuyển vị A • Tập ma trận đối xứng phức: CSn = {A ∈ Cn×n |AT = A} 36 Suy αr+1 xH x + xH r X ! αi E i y = − αr+1 y H y + y H r X !H x = αi Ei i=1 i=1 Hay αr+1 xH x + xH r X ! y = y H αi Ei r X !H αi Ei x = αr+1 y H y i=1 i=1 Do αr+1 xH x + αr+1 y H y = 0, hay αr+1 (xH x + y H y) = Suy αr+1 = ( x, y khơng đồng thời khơng.) Từ suy k X ! αi Ei y= i=1 Do x, y không đồng thời nên r X !H αi Ei x = i=1 r P αi Ei suy biến Suy α1 = α2 = = i=1 αr = (vì E1 , E2 , , Er sở W) Vậy F1 , F2 , , Fr+1 độc lập tuyến tính khơng gian W Vì E ∈ W nên E biểu diễn dạng tổ  hợp tuyến tính  λI r ma trận Ei , i = 1, r Suy ma trận F có dạng F =  E E H −λI   biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính r + ma trận Fi , i = 1, r + Do F1 , F2 , , Fr+1 hệ sinh W , hay W có số chiều r + Suy K(n) + = r + = dim W ≤ Kh (2n) Bổ đề 2.5 Ta có Ch (n) + ≤ C(n) Chứng minh Gọi W không gian r-chiều họ ma trận Hermit Ei = E1 , E2 , , Er ∈ Cn×n ∩ Hn có “tính chất P” Xét họ r + ma trận Cnìn nh sau: Ei v àI, i = 1, r 37 Bây ta chứng minh hệ r + ma trận có “tính chất P” Cn×n Thật vậy, giả sử tồn số thực αi , i = 1, r λ cho αi Ei + λµI suy biến Khi tồn x ∈ Cn×1 , x 6= cho (αi Ei + λµI)x = Hay αi Ei x = àx Vỡ i Ei Cnìn Hn ta có −λµxH x = xH αi Ei x = xH αi EiH x = (αi Ei x)H x = (−λµx)H x = λµxH x Mà x 6= ta suy λ = Suy αi Ei = α1 E1 + α2 E2 + + αr Er suy biến Suy α1 = α2 = = αr = Tóm lại, họ αi Ei , i = 1, r µI, suy biến α1 = = αr = λ = Do αi Ei µI, i = 1, r có “tính chất P” Cn×n Vậy Ch (n) + ≤ C(n) Bổ đề 2.6 Ta có Rh (n) + ≤ R(8n) Chứng minh Gọi W không gian ma trận thực Hermit cấp n có số chiều r Xét tập K số Cayley Khi khơng gian véctơ Rn ⊗R K có số chiều 8n Với E ∈ W số µ ∈ K không chứa phần thực, xét ánh xạ tuyến tính từ Rn ⊗R K vào sau: F (x ⊗ y) = Ex ⊗ y + x ⊗ µy Dễ thấy khơng gian ma trận F nói có số chiều r + 7, ta cần chứng minh khơng gian thỏa mãn “tính chất P” Thật vậy, giả sử F suy biến, xét µ 6= Khi với µ ∈ K 1, µ sở khơng gian K , ta đồng khơng gian với C Khi tách Rn ⊗R K thành 38 phiên sau Rn ⊗R C Vì F tác động tổng, nên phải suy biến Điều có nghĩa ma trận thực đối xứng E có giá trị riêng phức ảo (mâu thuẫn) Do µ phải F = E ⊗ Chọn sở K , chia Rn ⊗R K thành tổng phiên Rn Từ suy E suy biến, E = 0, ta có điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 2.2 Trước hết ta chứng minh Rh (n) = p( n) + cách sử dụng R(n) = p(n) Định lý 2.1 Biểu diễn n = (2a+1)24v+u , 8n = (2a + 1)4v+u+3 n = (2a + 1)24v+u−1 Ta có 4v + u − = 4(v − 1) + u + Do 4v + u + ≡ 4v + u − ( mod 4), thương sau chia đơn vị Do ta có p(8n) − p( n) = 8, hay p(8n) − = p( n) + Mặt khác, theo Bổ đề 2.4 Bổ đề 2.6 ta có 1 p( n) + = p(8n) − = R(8n) − ≥ Rh (n) ≥ R( n) + = p( n) + 2 Vậy Rh (n) = p( 21 n) + Tiếp theo ta tính C(n) Từ Bổ đề 2.4, 2.6, ta có C(n) + ≤ C(2n) Suy C(n) + ≤ C(2n) − Ta thấy n ≥ 2b nên C(n) ≥ C(2b ) Do C(n) ≥ C(2b ) ≥ C(2b−1 ) + 2.1 ≥ C(2b−2 ) + 2.2 ≥ ≥ C(1) + 2b = + 2b Chọn e ≥ cho b + e ≡ 1(mod4) ta có C(n) + 2e ≤ C(2e n) 39 Theo Mệnh đề 2.3 ta có C(2e n) ≤ p(2e+1 n) = 2b + 2e + Suy C(n) + 2e ≤ 2b + 2e + 2, hay C(n) ≤ 2b + Vậy C(n) = 2b + Bây ta tính Ch (n) Mệnh đề 2.5 suy bất đẳng thức Ch (n) ≤ C(n) − = 2b + Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.4, ta có Ch (n) ≥ Ch (2b ) ≥ C(2b−1 ) + Kết hợp bất đẳng thức C(2b−1 ) ≥ 2b, ta suy Ch (n) ≥ 2b + Vậy Ch (n) = 2b + 2.2.4 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận đối xứng phức Mệnh đề 2.3 Ta có Rh (n) + ≤ Cs (n) Chứng minh Gọi E1 , E2 , , Er ma trận có “tính chất P” RSn Tương tự Bổ đề 2.3 ta chứng minh họ r + ma trận E1 , E2 , , Er iI có “tính chất P” Cn×n ∩ CSn Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.4 Ta có Cs (n) + ≤ Qs (n) Chứng minh Gọi E1 , E2 , , Er ma trận có “tính chất P” Cn×n ∩ Sn Tương tự chứng minh trước ta có họ ma trận E1 , E2 , , Er , iI, jI có “tính chất P” Qn×n ∩ Sn Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.3 Với số nguyên dương n > ta có 2 Rs (n) = p( n) + 1; Cs (n) = p( n) + 2; Qs (n) = p( n) + Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3 2.4 ta có Rh (n) + ≤ Cs (n) ≤ Q(n) − 2(= Rh (n) + 1) Suy Cs (n) = Qs (n) − = Q(n) − Kết hợp với Q(n) = p( 21 n) + ta Qs (n) = p( n) + Mặt khác, ta có Rs (n) = Rh (n) = p( n) + Định lý chứng minh xong Cs (n) = p( n) + 2), 40 2.3 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận phản giao hoán Trong mục ta xét số Radon-Hurwitz họ ma trận phản giao hoán, tức họ ma trận thỏa mãn (2.5) có bình phương khác khơng mà khơng thiết thỏa mãn (2.3), tức khơng địi hỏi tính khả nghịch ma trận Nội dung phần tham khảo từ tài liệu [4] [6] Định nghĩa 2.5 Họ ma trận E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n gọi phản giao hoán Ei Ej = −Ej Ei với i 6= j ∈ {1, , k} Ví dụ 2.2 E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n họ ma trận phản giao hốn họ sau phản giao hoán     In  −In     ,    In   E1   Er  ,  , ,   ∈ C2n×2n E1 Er −In Ví dụ, với ma trận E1 = [1] ∈ C1×1 , ta có     1 F1 =   −1   ; F2 =  1 F1 F2 =   0 −1 1 −1   −1     1 =   = −1    −1   = −1  = −F3 F1 ,  −1     = −F2 F1 ,  −1     −1  −1   −1      =    F2 F3 =   1    −1   = =     0 1  ; F3 =    −1   F1 F3 =      −1 họ phản giao hoán Thật vậy,       −1  = −F3 F2 41 Hơn nữa, từ F1 , F2 , F3 ta xây dựng họ ma trận phản giao hoán sau:       I2   =    0 −I2   0   0 0 −1 0 −1     0   0 I2   =   −1 0       −I2    ;  0    −1 0     0   F1   0 =   0      F1 −1    −1  ;  0    0   0      F2   =       F2 0 0 −1 0  F3   ;       0   F3   0 =        −1        ;     0      0     0 42 Ví dụ 2.3 (Ma trận lũy linh) Cho n ≥ 2, ma trận vuông cấp n cho    ui    Ei =  vit   , i = 1, 2, , r = n − 2,    với ui , vi ∈ Cn−2 véctơ hàng Khi  0  Ei Ej =    ui vjt       Do đó, Ei Ej = −Ej Ei ui vit = −uj vit Hơn Ei2 6= ui vit 6= Ta xây dựng véctơ hàng u1 , , u2r , v1 , , v2r ∈ Cr cho ∀i, j = 1, 2, , 2r ui vit 6= 0, ui vjt = −uj vit i 6= j Đây trường hợp tổng quát họ ma trận đối xứng Điều cho ta họ ma trận phản giao hoán E1 , , E2n−4 ∈ Cn×n , Ei2 6= Ta thêm hai ma trận   −1  E0 =  In−2    −1   1    với E02 =  In−2      −1    6=   vào họ ma trận để E0 , E1 , , E2n−4 ∈ Cn×n họ 2n + ma trận phản giao hoán Ei2 6= Nhận xét 2.1 Nếu E1 , E2 , , Ek họ ma trận vng phản giao hốn r P E12 , , Ek2 6= chúng độc lập tuyến tính Thật vậy, ta giả sử E1 = aj Ej Từ j>1 P P E1 phản giao hoán với Ej , j > 1, ta có E12 = E1 ( aj Ej ) = −( aj Ej )E1 = −E12 E12 = Điều có nghĩa k ≤ n2 E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n Định lý 2.4 [4, Theorem 2] Cho E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n họ ma trận phản giao hoán với E12 , E22 , , Ek2 6= Khi k ≤ O(n), “ O” ký hiệu vô lớn 43 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tồn véctơ cột u, v ∈ Cn cho uEi2 v t 6= ∈ C, ∀i = 1, 2, , k Điều xảy ta xem uEi2 v t đa thức theo 2n tọa độ u v Nếu Ei2 6= đa thức không tầm thường hay uEi2 v t 6= 0, ∀i = 1, 2, , k Định nghĩa ma trận M = [Mij ] cỡ n × n xác định Mij := {uEi Ej v t }i,j=1,2, ,k (2.50) Theo Mệnh đề 1.4, tồn L ma trận cỡ k × n với hàng thứ i uEj R ma trận cỡ n × k với cột thứ j Ej v t , cho M = L.R Từ    uE1        L =   , R = E1 v T · · · Ek v k   uEk rank(M ) ≥ k Mặt khác, Mij 6= Ei Ej = −Ej Ei nên Mij = −Mji , ∀i 6= j Do M + M T ma trận đường chéo với phần tử đường chéo khác suy rank(M +M T ) = k Theo Mệnh đề 1.4(ii), rankM < k2 k = rank(M +M T ) ≤ rank(M ) + rank(M T ) < k2 + k2 = k vơ lý Do rankM ≥ k2 Suy k ≤ rank(M ) ≤ n Vậy k ≤ 2n Các kết sau dùng để chứng minh Định lý 2.7 Đây kết mục Bổ đề 2.7 Cho A B ma trận vng có dạng      A1 A=  B1 B3  , ,B =   A2 B4 B2 A1 , B1 ∈ Cn×n , A2 , B2 ∈ Cm×m Giả sử AB = −BA, i Nếu khơng có λ cho λ ∈ Λ(A1 ) −λ ∈ Λ(A2 ) B3 = B4 = 0, 44 ii Nếu Λ(A1 ) = {λ1 } Λ(A2 ) = {λ2 }, λ1 , λ2 6= B1 , B2 = Để chứng minh Bổ đề ta sử dụng khẳng định: Cho X ∈ Cp×p ; Y ∈ Cq×q Z ∈ Cp×q cho XZ = ZY Nếu Λ(X)∩Λ(Y ) = ∅ Z = Thật vậy, Khơng tính tổng qt, ta giả sử Y ma trận tam giác với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λq đường chéo Gọi v1 , v2 , , vq cột Z, giả sử vi 6= 0, Xvi = λi vi điều mâu thuẫn với λi ∈ / Λ(X) Chứng minh Từ tính phản giao hoán A B ta suy A1 B3 = −B3 A2 , A2 B4 = −B4 A1 Nếu A1 , A2 thỏa mãn giả thiết (i), ta có Λ(A1 ) ∩ Λ(−A2 ) = ∅ Và từ khẳng định ta suy B3 , B4 = Ta có A1 B1 = −A1 B1 Nếu A1 thõa mãn giả thiết (ii), ta có Λ(A1 ) ∩ Λ(−A1 ) = ∅, B1 = Tương tự ta B2 = Mệnh đề 2.5 Cho E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n họ ma trận phản giao hốn bất khả quy Khi : i) ∀Ei , Λ(Ei ) ⊆ {λi , −λi }, λi ∈ C Đẳng thức xảy có ma trận họ E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n khác ii) Nếu hai ma trận họ khả nghịch n số chẵn bội λi n2 Ei Hơn    Ei Ei =  0 −Ei0 n n   , Ei ∈ C × với Λ(Ei0 ) = {λi } 45   iii) Giả sử E1 =  E10   00 E1 00  khả nghịch với Λ(E10 ) = {λ1 }, Λ(E1 ) = {−λ1 } Khi họ ma trận có dạng   E1 E1 =     E 0j    , Ej =   00 E1 E 00j  , j = {2, 3, , k}, (2.51) E10 , E100 , Ej0 , Ej00 ma trận, Cr×r , C(n−r)×(n−r) , Cr×(n−r) , C(n−r)×r r bội λ1 E1 Hơn họ E2 E3 , E2 E4 , , E2 Ek phản giao hoán khả quy < r < n Chứng minh i) Giả sử có vài Ei với giá trị λ, λ0 cho λ 6= −λ0 Ta giả định    Ei Ei =  0  00 Ei , Ei0 ∈ Cr×r , Ei00 ∈ C(n−r)×(n−r) cho Λ(Ei0 ) ⊆ {λ, −λ0 } Λ(Ei00 ) ∩ {λ, −λ0 } = ∅, với < r < n Từ (i) Bổ đề 2.7 suy    Ej Ej =  0  00 Ej  họ khả quy Nếu Λ(Ei ) = {λ} với λ 6= 0, suy Ej = 0, i 6= j Hơn nữa, E2 , , Ek phản giao hốn E2 E3 , , E2 Ek phản giao hoán Khi họ E2 E3 , , E2 Ek có dạng   00  E 2E j E2 Ej =  0 E 002 E 0j   , i ∈ {3, , k}, (2.52) bất khả quy (ii) Giả sử E1 , E2 khơng suy biến Theo (i) ta có Λ(E1 ) ⊆ {λ1 , −λ1 } Ta giả định Ei giống (iii) với r bội λ1 , E2 giống (2.51) Do , E20 , E200 có kích thước r × (n − r) (n − r) × r, hạng E2 nhỏ 2r 2(n − r) Do r = n2 Hơn nữa, tính phản giao hốn E1 , E2 suy E10 E20 = −E20 E100 46 Vì E20 khả nghịch nên ta có E100 = −E2−1 E10 E20 Do đó, E10 = −E100 ,   E1 E1 =   −E10   Định nghĩa 2.6 Với số tự nhiên n, gọi α(n) số nguyên dương k lớn để tồn họ ma trận phản giao hoán E1 , E2 , , Ek ∈ Cn×n với E12 , E22 , , Ek2 6= Số α(n) gọi số Radon-Hurwitz họ ma trận phản giao hoán Bổ đề 2.8 Đặt E1 , E2 , , Ek ∈ Rn×n họ ma trận phản giao hốn, n = m2q m lẻ Khi k ≤ 2q + Chứng minh Theo tính quy nạp n Nếu n > 1, ta cần xét trường hợp họ bất khả quy Nếu k > 1, từ (ii) Mệnh đề 2.5 cho thấy λ1 có bội n2 E1 Theo (iii) Mệnh đề 2.5, họ viết dạng 2.51, Ei0 , Ei00 ∈ n n n n C × , i = 1, 2, , k Ta viết E2 Ej 2.52, E20 E300 , , E20 Ek00 ∈ C × họ k − ma trận phản giao hoán Từ giả thiết quy nạp ta có k − ≤ 2(q − 1) + k ≤ 2q + Bổ đề 2.9 Nếu n > 1, α(n) giá trị lớn của: a) 2n − 3, b) + α( n2 ), α( n2 ) = −1 n lẻ, c) max0 4, từ Bổ đề 2.9 suy α(n) ≥ 2n − 3, Giả sử n nhỏ nhất, n > cho α(n) > 2n − Tức ∀n0 < n, α(n0 ) = 2n0 − (n0 ) (n0 ) = n0 ∈ {1, 2} (n0 ) > Khi α(r) + α(n − r) > 2n − với < r < n, + α( n2 ) > 2n − Trường hợp < r < n khơng thể: Ta có α(r) + α(n − r) = 2n − (r) − (n − r) Nhưng (r) + (n − r) < nghĩa r, (n − r) ∈ {1, 2} n ≤ 4, vơ lý Với trường hợp cịn lại, n + α( ) > 2n − 3, ta có Do n n + 2( ) − 2( ) > 2n − 2 n n < − 2( ) ≤ 3, vô lý Vậy α(n) = 2n − với n > Định lý chứng minh xong 49 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt số kết sau Đọc hiểu trình bày số Radon-Hurwitz số chùm ma trận vuông, ma trận Hermit, ma trận đối xứng Đặc biệt, chứng minh trùng ba định nghĩa chùm ma trận có “tính chất P” tài liệu Rajwade [2], Adams[3].(xem mục 2.1) 2.Trình bày mối quan hệ số Radon-Hurwitz chùm ma trận nêu (xem mục 2.1 2.2) 3.Trình bày số Radon-Hurwitz cho họ ma trận phản giao hoán (xem mục 2.3) 50 Tài liệu tham khảo [1] R A Horn and C R Johnson, Matrix analysis, Cambridge University Press, 1985 [2] R A Rajwade, Squares, Cambrigde University Press, 1993 [3] J F Adams, P D Lax and R S Phillips, On matrices whose real linear combinations are nonsingular, Proceeding of American Mathematical Society 16: 318-322, 1965 [4] Pavel Hrubes, On family of anticommuting matrices, Linear Algebra and its Applications 1493: 494-507, 2016 [5] N.Jacobson, Lie algebras, Interscience, New York, 1962 [6] J F Adams, Vector fields on spheres, Annals of Mathematics 75(3): 318322, 1962