BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2022 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 9460104 : Phản biện thứ : GS.TSKH Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2022 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả, nội dung luận án “Nghiệm đại số số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” tơi thực hướng dẫn thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các nội dung kết sử dụng Luận án có trích dẫn thích nguồn gốc, kết trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Nếu có điều gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Quy Nhơn, ngày 14 tháng 01 năm 2022 TM Tập thể hướng dẫn TS Lê Thanh Hiếu Tác giả Hà Trọng Thi ii Lời cảm ơn Luận án hoàn thành trình học tập nghiên cứu Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các thầy bảo tận tình hướng dẫn tơi từ bước đầu làm nghiên cứu Các thầy hướng dẫn nghiêm túc ln tạo tình cảm thân thiện suốt thời gian học tập Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện tốt để học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán Thống kê thầy cô giáo Khoa ủng hộ, động viên suốt thời gian tham gia học tập trường Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Bình Định, đồng nghiệp bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt để tham gia học tập Trân trọng iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Kiến thức sở đại số 1.1.1 Mở rộng trường 1.1.2 Kết thức 10 Đại số vi phân 13 1.2.1 Trường vi phân 14 1.2.2 Nghiệm đa thức vi phân 19 Đường cong đại số hữu tỷ 24 Phép biến đổi tương đương phương trình vi phân đại số cấp 27 2.1 Phép biến đổi tương đương 27 2.2 Phép biến đổi Măobius 32 Nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp 40 3.1 Nghiệm đại số 40 3.2 Một số tính chất bảo tồn nghiệm 44 iv 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số 47 Sự tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hóa hữu tỷ 4.1 52 Phương trình vi phân đa thức 53 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b 53 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw 59 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b 60 4.2 Phương trình vi phân Riccati 66 4.3 Phương trình vi phân Abel 69 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp tham số hóa hữu tỷ 74 4.5 Nghiệm tổng quát đại số phương trình tham số hóa hữu tỷ thuộc lớp autonom 80 Kết luận 89 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 v BẢNG CÁC KÝ HIỆU C trường số phức i số phức đơn vị ảo C(x) trường vi phân hàm hữu tỷ theo biến x K bao đóng đại số trường K K[x] vành đa thức n biến x = (x1 , , xn ) với hệ số K deg(f ) bậc đa thức f K{y} vành đa thức vi phân theo biến y trường K prem(P, F ) phần dư phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F res(f, g, x) kết thức f g theo biến x disc(f ) biệt thức đa thức biến f δF bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân F (1) AODE K M ΦM tập phương trình vi phân đại số cấp trường K au + b phộp bin i Măobius trờn K ; M (u) = cu + d ánh xạ hữu tỷ tương ng vi phộp bin i Măobius M ;   ∂M (u) ∂M (u) ΦM (u, v) = M (u), ∂x + ∂u v vi (1) GK nhóm phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM • tác động nhóm GK lên AODE K Tc ánh xạ tịnh tiến theo c (1) (1) MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp có dạng F (y, y ) = 0, F ∈ C(x)[y, y ] F có chứa biến đạo hàm y Nếu F ∈ C[y, y ] ta nói phương trình F (y, y ) = autonom (tức hệ số F số) Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số cấp cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 với cơng trình tiêu biểu L Fuchs [14], H Poincaré [27] J Malmquist [19] Một nghiệm chung F (y, y ) = ∂ F (y, y ) = gọi nghiệm kỳ dị Các nghiệm kỳ dị ∂y phương trình F (y, y ) = ln nghiệm đại số có hữu hạn nghiệm kỳ dị vậy, đồng thời việc tìm nghiệm kỳ dị đơn giản Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y ) = có nghiệm tổng qt đại số hay khơng đưa thuật tốn tính tốn tường minh nghiệm tổng quát đại số vấn đề khó Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân cấp giải cách có hệ thống cho trường hợp phương trình vi phân autonom Trong trường hợp tồn nghiệm đại số không tầm thường định tồn nghiệm tổng quát đại số Câu hỏi tự nhiên đặt liệu có cịn lớp phương trình khác rộng có tính chất hay khơng? Vấn đề tương tự cho phương trình vi phân cấp không autonom (non-autonomous) giải cho số trường hợp đặc biệt; lớp nghiệm hình thức phương trình F (y, y ) = quan tâm nghiên cứu nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, Hiện thuật tốn hữu hiệu để tìm kiếm dạng nghiệm nói giới hạn phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati, phương trình Abel) Việc sử dụng phép biến i Măobius trỡnh by cỏc bi bỏo [22, 23] lớp phương trình vi phân đại số cấp khơng autonom biến đổi cách tương đương phương trình autonom có nghiệm tổng quát đại số Như cần nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề Bên cạnh đó, dựa vào chặn bậc cho nghiệm đại số không tầm thường phương trình vi phân đại số cấp autonom, ta suy chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số Vấn đề mở rộng cho phương trình vi phân cấp khơng autonom câu hỏi mở cần nghiên cứu Một nghiệm phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = trường mở rộng vi phân K C(x) phần tử η ∈ K cho F (η, η ) = 0, “ ” phép đạo hàm K mở rộng phép đạo hàm thông thường C(x) Nếu F đa thức bậc theo y phương trình vi phân tương ứng viết dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y), 29 với ∈ C(x) với i = 0, 1, 2, ổn định qua phép biến đổi x = t, y= a(t)u + b(t) , c(t)u + d(t) với a, b, c, d ∈ C(t) ad − bc 6= Chứng minh Ta có ad − bc (a0 u + b0 )(cu + d) − (au + b)(c0 u + d0 ) y = u + (cu + d)2 (cu + d)2 Suy phương trình Riccati cho biến đổi thành u0 = a ˜2 (t)u2 + a ˜1 (t)u + a ˜0 (t) với hệ số xác định sau     (a2 a2 + a1 ac + a0 c2 + (ac0 − a0 c)), a ˜ =   ad − bc   a ˜ = (2a2 ab + a1 (ad + bc) + 2a0 cd + (ad0 − a0 d) + (bc0 − b0 c)),  ad − bc      a (a2 b2 + a1 bd + a0 d2 + (bd0 − b0 d)) ˜0 = ad − bc (2.1) Đây rõ ràng phương trình Riccati Vậy tập hợp phương trình Riccati đóng tác động phép biến đổi Lập luận tương tự ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2 Tập hợp phương trình Abel loại loại hai y = a3 y + a2 y + a1 y + a0 , a3 y + a2 y + a1 y + a0 y = y + b0 ổn định qua phép biến đổi x = t, y= với a, b, c, d ∈ C(t) ad − bc 6= a(t)u + b(t) , c(t)u + d(t) 30 Nếu ta xét tập hợp phương trình Abel loại một, tức phương trình dạng y = a3 y + a2 y + a1 y + a0 , tập hợp ổn định qua phép biến đổi dạng x = t, y = a(t)u + b(t) Tổng quát hơn, ta xét tập phương trình vi phân đại số cấp tựa tuyến tính (quasilinear) dạng y = R(x, y), R(x, y) hàm hữu tỷ theo y với hệ số phụ thuộc vào x Trong tập hợp hạn chế điều kiện bậc đạo hàm Một tập hợp khác lớn bao gồm phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = C(x) cho đường cong đại số tương ứng F (y, w) = có giống 0, tức đường cong hữu tỷ Trong tập hợp không hạn chế lên bậc đạo hàm mà hạn chế lên tính chất tham số hóa hữu tỷ đường cong đại số tương ứng Trong luận án này, chúng tơi xét phương trình vi phân thường đại số (algebraic ordinary differential equations-AODEs) cấp F (y, y ) = trường vi phân K , với K mở rộng hữu hạn C(x); nghiên cứu nghiệm (tổng quát) đại số chúng, từ đưa thuật tốn để tính tốn tường minh nghiệm Mỗi phương trình liên kết với đường cong đại số xác định phương trình F (y, w) = 0, tức phương trình nhận từ phương trình vi phân ban đầu cách xem biến hàm biến đạo hàm độc lập với Do đó, chúng tơi xét phép biến đổi phương trình vi phân cho chúng bảo tồn cấp phương trình, bảo tồn lũy thừa cao đạo hàm, bảo tồn tính chất có nghiệm đại số (tổng quát), bảo toàn giống 31 đường cong đại số tương ứng Khi xét phương trình vi phân hữu tỷ y = R(x, y), P Appell [1] xét phép biến đổi tương đương có dạng x = F (t), y(x) = P (t)u(t) + Q(t) t u(t) biến độc lập biến phụ thuộc mới, F, P Q hàm tùy ý thỏa mãn F 6= P 6= Với phép biến đổi tương đương nghiệm đại số phương trình tương ứng với nghiệm khơng đại số phương trình ngược lại Chẳng hạn, xét phép biến đổi x = et , y(x) = u(t) Khi nghiệm y(x) = x2 , đại số C(x), tương ứng với nghiệm u(t) = e2t khơng đại số C(t) Vì vậy, luận án chúng tơi xét nhóm khác phép biến đổi có dạng x = t, y(x) = a(x)w + b(x) , c(x)w + d(x) ad − bc 6= xét tác động phép biến đổi phương trình vi phân đại số cấp Khi xác định phép biến đổi tương đương phương trình vi phân xét, vấn đề xác định liệu hai phương trình cho có tương đương qua phép biến đổi xét hay không Đây toán tương đương (equivalence problem) Một vấn đề tương tự phương trình cho có thuộc vào lớp tương đương cho hay khơng (bài tốn thành viên - membership problem) Để giải vấn đề chúng tơi tìm bất biến phương 32 trình vi phân tác động phép biến đổi xét Định nghĩa sau bất biến trình bày [31] Định nghĩa 2.3 Cho F (x, y, y ) = phương trình vi phân đại số cấp với hệ số a1 , , aN phụ thuộc vào x Giả sử a ˜1 , , a ˜N hệ số phương trình biến đổi thành qua phép biến đổi xét Một biểu thức Φ thỏa mãn Φ(˜ a1 , , a ˜N ) = Φ(a1 , , aN ) gọi bất biến phương trình vi phân F (x, y, y ) = Một phương trình vi phân autonom phương trình có tất hệ số Việc tìm nghiệm phương trình autonom thường dễ nhiều so với phương trình khơng autonom Do đó, phương trình khơng autonom thường biến đổi dạng “gần autonom” Định nghĩa 2.4 Một dạng chuẩn tắc hữu tỷ (rational normal form) phương trình vi phân đại số phương trình với số hệ số khác nhỏ mà phương trình nhận từ phương trình cho phép biến đổi theo biến phụ thuộc biến độc lập Như phương trình vi phân autonom dạng chuẩn tắc hữu tỷ ca lp tng ng autonom 2.2 Phộp bin i Mă obius Trong phần đưa tác động ca cỏc phộp bin i Măobius lờn cỏc phng trỡnh vi phân đại số cấp Các kết phần 33 tác giả đăng báo [6] Cho C(x) trường vi phân hàm hữu tỷ theo biến x với phép đạo d = Ký hiệu K mở rộng trường hữu hạn hàm thơng thường dx trường C(x) Khi có phép đạo hàm K mở rộng phép đạo hàm để K trở thành trường vi phân Ta ký hiệu (1) AODE K = {F (y, y ) = | F ∈ K[y, w]} tập tất phương trình vi phân đại số cấp trường K Một phộp bin i Măobius trờn K l mt hm hu tỷ có dạng M (u) = au + b , cu + d a, b, c, d ∈ K ad − bc 6= Đặt ∂M (u) (a0 u + b0 )(cu + d) − (au + b)(c0 u + d0 ) = ∂x (cu + d)2 (a0 c − ac0 )u2 + (a0 d − ad0 + b0 c − bc0 )u + (b0 d − bd0 ) = (cu + d)2 Au2 + Bu + C = , (cu + d)2 ≤ degu (Au2 + Bu + C) ≤ 2, A = a0 c − ac0 , B = a0 d − ad0 + b0 c − bc0 , C = b0 d − bd0 ∂M (u) ad − bc = ∂u (cu + d)2 a số c Tương ứng với M (u) ta có ánh xạ hữu tỷ ΦM : K 99K K Lưu ý A = c = định nghĩa   ∂M (u) ∂M (u) ΦM (u, v) = M (u), + v ∂x ∂u 34 Khi đó, ánh xạ đồng Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng (tương ứng với M (u) = u) ΦM ánh xạ song hữu tỷ nghịch đảo ánh du − b , tức xạ song hữu tỷ liên kết với M −1 (u) = −cu + a   −1 −1 ∂M (u) ∂M (u) −1 Φ−1 + v M (u, v) = M (u), ∂x ∂u Ta có mệnh đề sau (1) Mệnh đề 2.5 Tập hợp GK tất phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM lập thành nhóm phép hợp thành ánh xạ song hữu tỷ Nhóm ny ng cu vi nhúm cỏc phộp bin i Mă obius K (1) Tiếp theo, xét tác động nhóm GK lên tập hợp (1) AODE K khảo sát lớp tương đương phương trình vi phân đại số cấp một, đặc biệt lớp tương đương phương trình với hệ số Chú ý qua phép nghịch đảo y 7→ , phương trình vi y phân với hệ số biến đổi thành phương trình vi phân với hệ số Do xét phương trình ta xét chúng tác ng ca cỏc phộp bin i Măobius trờn K vi hệ số c 6= 0, tức phép biến đổi thực phân thức (1) (1) Để biểu diễn tác động nhóm GK lên tập hợp AODE K , ta định nghĩa bậc tổng thể vi phân (differential total degree) phần tử (1) AODE K sau (1) Định nghĩa 2.6 (Bậc tổng thể vi phân F ) Cho F ∈ AODE K giả sử F (y, y ) = A0 y 0m + A1 y 0m−1 + · · · + Am−1 y + Am , 35 m ∈ N∗ , Ai ∈ K[y] với i = 0, , m, A0 6= Số δF := max{2(m − i) + degy Ai | i = 0, , m} gọi bậc tổng thể vi phân (differential total degree) F Nhắc lại bậc tổng thể (total degree) F định nghĩa dF := max{(m − i) + degy Ai | i = 0, , m} Do đó, dF ≤ δF Với đa thức vi phân bất khả quy F (y, y ) = Q(x, y)y − P (x, y) ta có δF = max{2 + deg Q, deg P } Đặc biệt, bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân Riccati y − A(x)y − B(x)y − C(x) Bậc tổng thể vi phân có tính chất thơng thường bậc tương ứng với phép nhân đa thức vi phân, cụ thể sau (1) Mệnh đề 2.7 Cho F, G ∈ AODE K khác khơng Khi δF ·G = δF + δG Chứng minh Giả sử F = i 0j i,j bij y y G = P P k,l ckl y k 0l khác không Khi δF = max{2j + i | bij 6= 0}, δG = max{2l + k | ckl 6= 0} Ta có F ·G= X bij ckl y i+k y 0j+l i,j,k,l Do δF ·G = max{2(j + l) + i + k | bij ckl 6= 0} = max{(2j + i) + (2l + k) | bij ckl 6= 0} =δF + δG Mệnh đề chứng minh (1) y thuộc AODE K 36 (1) (1) Định nghĩa 2.8 Tác động nhóm GK lên tập hợp AODE K định nghĩa ΦM • F = (−cy + a)δF (F (ΦM −1 (y, y ))), (1) với ΦM ∈ GK xác định M (u) = au + b (1) với F ∈ AODE K cu + d Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 2.9 Ta có ΦM • (ΦN • F ) = ΦM ◦N • F ; ΦM • (F · G) = (ΦM • F ) · (ΦM • G) Tác động nhóm định nghĩa quan hệ tương đương tập hợp (1) AODE K sau (1) Định nghĩa 2.10 Cho F, G ∈ AODE K Ta nói F tương đương với G, (1) ký hiệu F ∼ G tồn ΦM ∈ GK cho ΦM • F = G (1) Quan hệ tương đương ∼ phân hoạch tập AODE K thành lớp tương đương Có vơ hạn lớp tương đương lớp tương đương chứa vơ hạn phương trình tương đương với Từ trở đi, nói lớp autonom phương trình vi phân đại số cấp có nghĩa lớp tương đương phương trình vi phân đại số cấp autonom Tiếp theo chúng tơi chứng tỏ bậc tổng thể vi phân bất biến số lớp tương đương, tức phương trình vi phân đại số lớp có bậc tổng thể vi phân Sau sử dụng kết 37 để đưa chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát lớp autonom phương trình vi phân đại số cấp Định lý 2.11 Giả sử F (y, y ) = A0 y 0m +· · ·+Am−1 y +Am ∈ K[y, y ], A0 6= (1) G = ΦM • F , ΦM ∈ GK Giả sử δF bậc tổng thể vi phân F Khi degy0 G = degy0 F ; degy G ≤ δF ; δG = δF ay + b Ta có cy + d m−i  m −1 −1 X ∂M (y) ∂M (y) • F =(−cy + a)δF + y0 Ai (M −1 (y)) ∂x ∂y i=0 Chứng minh Giả sử M (y) = G = ΦM δF =(−cy + a) m X Bi (y) i=0 Bi (y) = Pi j=0 Aj (M −1 (y)) (ad − bc)m−i 0m−i y , (−cy + a)2(m−i) m−j i−j
 ∂M −1 (y) i−j ∂x Vì  δF (−cy + a) A0 dy − b −cy + a  (ad − bc)m 6= (−cy + a)2m nên degy0 G = m = degy0 F Xét hệ số y 0m−i ta có (−cy + a)δF −2(m−i) Bi (y) =(−cy + a)δF −2(m−i) i X j=0 Aj (M −1 (y)) m−j i−j ! ˜ + By ˜ + C˜ Ay (−cy + a)2 !i−j , 38 ˜ B, ˜ C˜ hệ số tử số A, ∂M −1 (y) ∂x ˜ + By ˜ + C) ˜ ≤ ≤ k ≤ Ta có trường hợp Gọi k = degy (Ay c sau: Nếu c degy Aj (M −1 (y)) = degy Aj Do degy (−cy + a)δF −2(m−i) Bi (y) ≤ max {degy Aj + k(i − j)} ≤δF 0≤j≤i Nếu c khác degy Aj (M −1 (y)) = Do degy (−cy + a)δF −2(m−i) Bi (y) ≤ max {δF − 2(m − i) + (k − 2)(i − j)} 0≤j≤i ≤ δF − 2(m − i) ≤ δF Như hai trường hợp ta có degy G ≤ max i∈{0,1, ,m} n o δF −2(m−i) degy (−cy + a) Bi (y) ≤ δF Mặt khác, i = 0, ta có δG = max {2(m − i) + degy (−cy + a)δF −2(m−i) Bi (y)} = δF 0≤i≤m Định lý chứng minh Nhận xét 2.12 Ta sử dụng tính chất thứ thứ ba Định lý 2.11 điều kiện cần để kiểm tra hai phương trình vi phân đại số có tương đương qua tác động nhóm khơng Mệnh đề 2.13 Cho P (x, y) = a0 y m +a1 y m−1 +· · ·+am−1 y+am ∈ C[x][y] a, b, c, d ∈ C[x]với ad − bc 6= Giả sử deg < n, i = 0, 1, , m
a, b, c, d đa thức bậc nhỏ N Khi tử số P x, ay+b cy+d đa thức theo x có bậc nhỏ n + mN 39 Chứng minh Cho P = m (cy + d) m X i=0 Pm i=0 y  ay + b cy + d m−i Khi tử số P (x, ay+b cy+d ) m−i = m X (ay + b)m−i (cy + d)i i=0 Ta có deg a ≤ N, deg b ≤ N, deg(ay + b) ≤ N, deg(cy + d) ≤ N Do deg (ay + b)m−i (cy + d)i ≤ n + (m − i)N + iN = n + mN Mệnh đề chứng minh Từ định nghĩa phép biến đổi song hữu tỷ thấy hầu hết nghiệm phương trình tương đương biến đổi qua lại với (1) (1) Hệ 2.14 Cho F ∈ AODE K ΦM ∈ GK với M (u) = au + b Đặt cu + d d G = ΦM • F Khi nghiệm khác − F = biến đổi thành c a nghiệm G = nghiệm khác G = biến đổi c thành nghiệm F = KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương đưa số tính chất bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân cấp Đó tính chất tương thích bậc phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính chất tương thích tác động nhóm với phép hợp thành ánh xạ (Mệnh đề 2.9), tính chất bất biến bậc tổng thể vi phân tác động nhóm phép biến i Măobius (nh lý 2.11) 40 Chng Nghim đại số phương trình vi phân đại số cấp Trong chương này, thiết lập số tính chất bảo tồn nghiệm phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp tương ng di tỏc ng ca cỏc phộp bin i Măobius Đặc biệt, nghiệm tổng quát đại số bảo tồn Kết hợp với tính chất bất biến bậc tổng thể vi phân, đưa chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số phương trình vi phân đại số cấp thuộc lớp tương đương autonom Các kết chương đăng báo [6] 3.1 Nghiệm đại số Định nghĩa 3.1 Cho K trường vi phân F ∈ K{y} đa thức vi phân Một nghiệm đại số F = K nghiệm F đồng thời phần tử đại số trường K Trong luận án chúng tơi quan tâm đến việc tìm nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = K 41 Mệnh đề 3.2 Nếu F ∈ K{y} đa thức vi phân bất khả quy cấp nghiệm kỳ dị F (y, y ) = nghiệm đại số Hơn nữa, số nghiệm kỳ dị F (y, y ) = hữu hạn ∂F =0 ∂y nghiệm biệt thức F (disc(F ) = res(F, S, y )), Chứng minh Nhận xét nghiệm chung F = S = nghiệm hệ số đầu F Vì F đa thức vi phân cấp nên disc(F ) in(F ) đa thức biến theo y với hệ số K Từ suy nghiệm kỳ dị F (y, y ) = nghiệm đại số K số nghiệm đại số F (y, y ) = nhỏ degy disc(F ) + degy in(F ) Mệnh đề 3.3 Cho P (y) đa thức tối tiểu nghiệm đại số η ∈ L F (y, y ) = K Khi đó, ξ ∈ L thỏa P (ξ) = nghiệm đại số F (y, y ) = Chứng minh Vì P đa thức tối tiểu η nên η nghiệm tổng quát hP i Giả sử F (η) = 0, theo Mệnh đề 1.53, ta có prem(F, P ) = Từ suy SPk IPl F = Q1 P + Q2 P , P đạo hàm P , SP IP tương ứng tách hệ số đầu P Chú ý rằng, với ξ thỏa P (ξ) = ta có P (ξ) = SP (ξ) 6= 0, IP (ξ) 6= Do đó, F (ξ) = Trong luận án này, ta xét K = C(x) tìm nghiệm đại số F (y, y ) = C(x) Thực việc tìm nghiệm đại số F (y, y ) = việc tính đa thức tối tiểu trường sở C(x) Ta nói đa thức bất khả quy P (x, y) nghiệm đại số F (y, y ) = có nghĩa hàm đại số y(x), xác định P (x, y(x)) = 0, 42 nghiệm F (y, y ) = Bậc nghiệm đại số hiểu bậc đa thức tối tiểu xác định nghiệm đại số Phần cịn lại mục chúng tơi trình bày lại số kết nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp autonom (tức hệ số hằng) báo J M Aroca cộng [2] Các kết tổng quát hóa cho phương trình khơng autonom tương đương với phương trình autonom Đối với phương trình vi phân đại số cấp autonom, để tính nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = ta cần tính nghiệm đại số không tầm thường Định nghĩa 3.4 ([2]) Một nghiệm đại số P (x, y) = phương trình vi phân đại số cấp autonom F (y, y ) = gọi không tầm thường degx P > Mệnh đề 3.5 ([2]) Cho F ∈ C{y} đa thức vi phân bất khả quy cấp với hệ số Giả sử P (x, y) = nghiệm đại số không tầm thường F (y, y ) = Khi P (x + c, y) = nghiệm tổng quát đại số F (y, y ) = 0, với c số tùy ý Chặn bậc sau sở để đưa thuật tốn tìm nghiệm đại số khơng tầm thường phương trình vi phân đại số cấp autonom Định lý 3.6 ([2]) Cho F ∈ Q[y, y ] đa thức bất khả quy Q Giả sử P ∈ Q[x, y] bất khả quy P (x, y) = nghiệm đại số khơng tầm thường phương trình vi phân autonom F (y, y ) = Khi degx P = degy0 F, degy P ≤ degy F + degy0 F 43 Hơn nữa, P (x + c, y) = nghiệm tổng quát đại số phương trình F (y, y ) = chặn bậc mịn theo nghĩa phương trình vi phân autonom F (y, y ) = mà chặn bậc đạt dấu Ví dụ 3.7 a) Cho phương trình vi phân đại số cấp autonom F (y, y ) = y 02 − 2y − = ∂ 0 F (y, y ) = 2y , nghiệm kỳ dị F = y = − ∂y Nghiệm tổng quát đại số F = Tách F S = y = ((x + c)2 + 3(x + c)) Ở P (x, y) = 21 ((x + c)2 + 3(x + c)) − y Suy degx P = degy0 F = degy P = thỏa mãn = degy P ≤ degy F + degy0 F = + = b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m > (m, n) = Đặt P (x, y) = y n − xm đa thức bất khả quy Rõ ràng P (x, y) = nghiệm đại số phương trình vi phân đại số F (y, y ) = y n−m 0m y − Khi ta có degy P = degy F + degy0 F  m m n =