Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác - Biểu thức đại số Tiết 10: Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB. Trên tia BN lấy điểm B / sao cho N là trung điểm của BB / . Trên tia CM lấy điểm C / sao cho M là trung điểm của CC / . Chứng minh: a. B / C / // BC b. A là trung điểm của B / C / C / Giải: a. Xét hai tam giác AB / N và CBN M N ta có: AN = NC; NB = NB / (gt); ANB / = BNC (đối đỉnh) Vậy CBNNAB  / suy ra AB / = BC B C và B = B / (so le trong) nên AB / // BC Chứng minh tương tự ta có: AC / = BC và AC / // BC Từ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC. Vậy AB / và AC / trùng nhau nên B / C / // BC. b. Theo chứng minh trên AB / = BC, AC / = BC Suy ra AB / = AC / Hai điểm C / và B / nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC Vậy A nằm giữa B / và C / nên A là trung điểm của B / C / Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M, tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN và EM Hướng dẫn: Chứng minh: EDMDEN    (g.c.g) Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng) Bài 11: Cho hình vẽ b ên A B trong đó AB // HK; AH // BK Chứng minh: AB = HK; AH = BK. Giải: Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K  A 1 = K 1 (so le trong) AH // BK  A 2 = K 2 (so le trong) Do đó: KHA ABK    (g.c.g) Suy ra: AB = HK; BK = HK Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC ở F, Chứng minh rằng a. AD = EF b. EFCADE    A c. AE = EC Giải: a.Nối D với F do DE // BF A EF // BD nên FBD DEF    (g.c.g) Suy ra EF = DB Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF D E b.Ta có: AB // EF  A = E (đồng vị) AD // EF; DE = FC nên D 1 = F 1 (cùng bằng B) Suy ra EFCADE    (g.c.g) B F C c. EFCADE    (theo câu b) suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng) Tiết 11: Bài 13: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh: A a. DB = CF b. FCDBDC    D F E c. DE // BC và DE = 2 1 BC Giải: B C a. CEFAED     AD = CF Do đó: DB = CF (= AD) b. CEFAED    (câu a) suy ra ADE = F  AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le) AB // CF  BDC = FCD (so le trong) Do đó: ECDBDC    (c.g.c) c. ECDBDC    (câu b) Suy ra C 1 = D 1  DE // BC (so le trong) FCDBDC     BC = DF Do đó: DE = 2 1 DF nên DE = 2 1 BC Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. Kẻ Ot nằm giữa Ox và Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các điểm A, B, C, D sao cho OA = OC và OB = OD. Chứng minh hai đường thẳng AD và BC vuông góc với nhau. Giải: Xét tam giác OAD và OCB có t z OA = OC, O 1 = O 3 (cùng phụ với O 2 ) OD = OB (gt) x C Vậy OCBOAD    (c.g.c) A D F  A = C mà E 1 = E 2 (đối đỉnh) Vậy CFE = AOE = 90 0  AD  Bc O B y Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD = BM (M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I. a. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng b. Chứng minh: AM // DB c. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = AD Chứng minh EC // DB Giải: D A E a. AD // Bm (gt)  DAB = ABM IBM IAD    có (AD = BM; DAM = ABM (IA = IB) Suy ra DIA = BIM mà DIA + DIB = 180 0 nên BIM + DIB = 180 0 B M C Suy ra DIM = 180 0 Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng b. BID AIM    (IA = IB, DIB = MIB) ID = IM  BDM = DMA  AM // BD. c. AE // MC  EAC = ACM; AE = MC (AC chung) Vậy CMAAEC    (c.g.c) Suy ra MAC = ACE  AM // CE mà AM // BD Vậy CE // BD Bài 16: Ở hình bên có A 1 = C 1 ; A 2 = C 2 . So sánh B và D chỉ ra những cặp đoạn thẳng bằng nhau. Giải: B C Xét tam giác ABC và tam giác CDA chúng có: A 2 = C 2 ; C 1 = A 1 cạnh Ac chung Vậy CDAABC    (g.c.g) A D Suy ra B = D; AB = CD Và BC = DA Bài 17: Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thức tự là D và E. Chứng minh rằng DE = BD. Giải: A DI // DC  I 1 = B 1 (so le) BI là đường phân giác của góc B  B 1 = B 2 D I E Suy ra I 1 = B 2 Tam giác DBI có: I 1 = B 2  Tam giác DBI cân BD = BI (1) B C Chứng minh tương tự CE = EI (2) Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DE Bài 18: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều. Giải: A Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F Hay BD = CE = AF Tam giác ABC đều A = B = C = 60 0 B E C BED ADF    (c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng) FCEEBD    (c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng) Do đó: DF = DE = EF Vậy tam giác DEF là tam giác đều. . Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác - Biểu thức đại số Tiết 10: Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh. A nằm giữa B / và C / nên A là trung điểm của B / C / Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M, tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ. tam giác ABC và tam giác CDA chúng có: A 2 = C 2 ; C 1 = A 1 cạnh Ac chung Vậy CDAABC    (g.c.g) A D Suy ra B = D; AB = CD Và BC = DA Bài 17: Cho tam giác ABC các tia phân giác của