PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút - Không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (3,0 điểm): 2  x2   x 3x   x   3 :  Cho Biểu thức : A =  x 1  x 1 3x  3x a) Tìm điều kiện x để A xác định, Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức : 3 a + b + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác Câu (1,5 điểm): Tìm n  Z cho: n2 + n – 17 bội n + Câu (2,0 điểm): Lúc sáng, ca nô xi dịng từ bến A đến bến B, cách 36 km, quay trở bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ lúc xi dịng, biết vận tốc nước chảy km/h Câu (2,5 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vng góc với DF b) Chứng minh AM = AD c) Tính diện tích  MDC theo a Câu (1,0 điểm): Cho số nguyên dương m, n Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 36 m  n …………………………….Hết…………………………… Họ tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh:…………… Cán coi thi khơng giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN LỚP A Một số ý chấm bài:  Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách Thí sinh giải cách khác mà cho kết tổ chấm thống cho điểm phần ứng với thang điểm Hướng dẫn chấm  Giám khảo cần bám sát yêu cầu phần tính phần lí luận giải thí sinh điểm  Tổ chấm chia nhỏ thang điểm đến 0,25 Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn Câu u cầu nội dung Điểm  x   (x  1)  6x  9x(x  1) : 2(1  2x)  3x 1  x A 3x(x  1) x 1 3x 2  x 3x   x x  x x    A= 3x 3x 3x x b) Ta có: A  a) ĐKXĐ : x  ; x   ; x  Câu1 A nhận giá trị nguyên x nguyên x- chia hết cho Ta có : x - = 3k  x = 3k + ( với k nguyên ) Vậy với x = 3k + ( k nguyên ) A nhận giá trị nguyên b) a , b, c, độ dài ba cạnh tam giác a , b , c > Ta có : a  b3  c3  3abc 0  (a + b)3 + c3 - 3a2b - ab2 - 3abc =  ( a + b + c) [(a + b)2 - c( a + b) + c2) - 3ab( a + b + c) =  (a + b + c) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2   a  b  c   a  b    b  c    c  a  0 2 2   a  b    b  c    c  a  0  a b c Do tam giác ABC tam giác  0,75 0,25 0,75 0,5  n2 + n – 17 bội n + => n2 + n – 17 0,25 0,25 Xét phép tính n  n  17 ( n  )  n5 n5 Để n2 + n – 17 n  n  0,5 0,25 0,75 (n-4) + n  số nguyên, tức n + ước => n + nhận giá trị 1,3 Xét ta : n = -6, n = -4, n = -8, n= -2 0,5 Học sinh thực đầy đủ bước giải toán: Giải toán cách lập phương trình Gải vận tố ca nơ lúc xi dịng 24km/h E A 2,0 0,5 B 0,25 N D 1 F M K C a) chứng minh được: BEC CFD(c.g.c) C1 D1 CDF vuông C => F1 + D1 = 900 =>F1 + C1 = 900 => CMF vuông M Hay CE  DF b) Gọi K trung điểm CD N giao điểm DM AK Chứng minh AECK hình bình hành  AK  DM N Xét  DCM có DK = KC ; KN // CM  ND = NM Do đó:  ADM cân A  AM = AD c) Chứng minh được: CMD ~ FCD => Do : 0,25 CD CM  FD FC SCMD  CD   CD     SCMD   SFCD SFCD  FD   FD  0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1 Mà : SFCD  CF CD  CD Vậy : SCMD CD  CD FD 0,25 Trong DCF theo Pitago ta có : 1  DF CD  CF CD   BC  CD  CD  CD 4 2  CD 1 SMCD  CD  CD  a Do : 5 CD 4 m Vì 36 có tận 5n có tận nên 36m > 5n P có tận 1, ngược lại 36m < 5n P có tận Xét P = => 36m – = 5n (1) Do VT chia hết cho 35, hay chia hết cho VP ko chia hết (1) không xảy P > Xét P = 5n - 36m = 5n = 36m +9 (2) 0,25 0,25 0,25 Ta thấy VP chia hết cho VT không chia hết cho 9=> (2) khơng 0,25 xảy Xét P = 11 36m - 5n = 11 (3) 0,25 (3) có nghiệm m= n = => giá trị nhỏ P 11 Câu (2,5 điểm) 2  x2   x 3x   x   3 :  x 1  x 1 3x  3x Cho biểu thức : A =  a) Tìm điều kiện x để A xác định, Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu 2,5điểm Câu (2,0 điểm) Chứng minh P = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 với n  N Ta có: P = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 5n.52 + 26.5n +82n.8 = (25.5n + 34.5n) + (82n.8 – 8.5n) Câu = 59.5n + 8(64n - 5n) 2,0điểm = 59.5n + 8(64 - 5)(64n-1 + 64n-2.5 + …+5n-1) = 59.5n + 8.59(64n-1 + 64n-2.5 + …+5n-1) = 59[5n +8(64n-1 + 64n-2.5 + …+5n-1)]Chia hết cho 59 Vậy P = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 với n  N 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vng góc với DF b) Chứng minh AM = AD c) Tính diện tích  MDC theo a Câu 3,0điểm E A B 0,5 0,25 N D 1 F M 0,25 K C a) chứng minh được: BEC CFD(c.g.c) C1 D1 0,5 CDF vuông C => F1 + D1 = 900 =>F1 + C1 = 900 => CMF vuông M 0,25 Hay CE  DF b) Gọi K trung điểm CD N giao điểm DM AK Chứng minh AECK hình bình hành  AK  DM N 0,25 Xét  DCM có DK = KC ; KN // CM  ND = NM 0,25 Do đó:  ADM cân A  AM = AD 0,5 CD CM c) Chứng minh được: CMD ~ FCD => FD  FC 0,25 2 SCMD  CD   CD   Do :   SCMD   SFCD SFCD  FD   FD  0,25 1 Mà : SFCD  CF CD  CD Vậy : SCMD CD  CD FD 0,25 Trong DCF theo Pitago ta có : 1  DF CD  CF CD   BC  CD  CD  CD 4 2  Do : SMCD CD 1  CD  CD  a 5 CD 4 0,25