UBND H QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab  bc  ca 0 b) Cho f ( x)  ax  bx  c với a, b, c số thỏa mãn: 13a  b  2c 0 Chứng tỏ rằng: f ( 2) f (3) 0 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  y  xy  x  y  Bài (2.0 điểm): Giải phương trình sau: a) x x x x    2013 2012 2011 2010 b) (2 x  5)  ( x  2) ( x  3) Bài (2.5 điểm): Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Hạ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD a) Chứng minh DE ^ CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi G, H hình chiếu C AB AD Chứng minh : a) ABC đồng dạng với  HCG b) AC AB.AG  AD.AH Bài (1.0 điểm): Chứng minh với số n nguyên dương thì: 5n (5n  1)  6n (3n  2n )  91 HƯỚNG DẪN CHẤM http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Bài 1(2.5 điểm): Có: a2 + b2  2ab; a2 + c2  2ac; b2 + c2  2ac Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2  2ab + 2ac + 2bc  a2 + b2 + c2  ab + ac + bc (1) 2 a + b + c =  a + b + c +2ab + 2ac + 2bc =  -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) Cộng (1) với (2) 3ab + 3ac + 3bc   ab + bc + ca  f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = nên: Hoặc: f(-2) = f(3) =  f(-2).f(3) = Hoặc: f(-2) f(3) hai số đối  f(-2).f(3) < Từ (1) (2) f ( 2) f (3) 0 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) 0,25 0,25 4M 4x  4y  4xy  4x  4y  (2x  y  1)  3y  2y  (2x  y  1)  3(y  y  )  (2x  y  1)  3(y  )  3 Giá trị nhỏ 4M y  ; x = nên 3 2 Giá trị nhỏ M y  ; x = 3 0,50 0,50 Bài 2(2.0 điểm): x x x x  1  1  1 1 2013 2012 2010 2011 x  2013 x  2012 x  2010 x  2011         2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011 x  2014 x  2014 x  2014 x  2014     2013 2012 2010 2011 1    (x  2014)      0  2013 2012 2010 2011  1 1    Do  nên phương trình có nghiệm x = 2014 2013 2012 2010 2011  Đặt 2x - = a; x - = b  a - b = x -3 Phương trình cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 3ab(a-b) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 a =  x  ; b =  x = 2; a = b  x = 0,25 Bài (1.0 điểm): A = 5n (5n  1)  6n (3n  n ) 25n  5n  18n  12 n 0,25 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 A (25n  18n )  (12n  5n ) A chia hết cho A (25n  12n )  (18n  5n ) A chia hết cho 13 Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91 0,25 0,25 0,25 Bài (2.5 điểm): E A F B M D C Chứng tỏ AE = DF (Cùng MF)   Chứng tỏ CDF = DAE  FCD  EDA     Có EDA phụ  ECD phụ hay CF^ DE EDC EDA 0,25 0,25 0,25 Tương tự có CE ^ BF Chứng minh CM ^ EF: Gọi G giao điểm FM BC; H giao điểm CM EF   (Hai HCN nhau) MCG  EFM     (Đối đỉnh)  MHF = 900 CMG  FMH  MGC CM, FB, ED ba đường cao tam giác CEF nên chúng đồng quy 0,25 (AE - ME)2 0 nên (AE + ME)2  4AE.ME  AE.ME   SAEMF   AE  ME  AB2 Do AB = const nên SAEMF lớn AE = ME 0,50 0,25 0,25 0,50 Lúc M trung điểm BD Bài (2.0 điểm): Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH CG BC BC   CH DC BA    (Cùng bù với BAD ) ABC  HCG 0,25 0,25  0,50  ABC đồng dạng với HCG Gọi E, F hình chiếu B, D AC AF AD   AF.AC AD.AH AH AC AE AB   AE.AC AG.AB AEB đồng dạng AGC: AG AC 0,25 Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB 0,25 AFD đồng dạng AHC: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB Chứng tỏ AE = FC Thay được: AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB  AC2 = AD.AH+AG.AB http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25