PHỊNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức :  x2 y  x2 y2  x y P     với x 0, y 0, x  y  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y a Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x  y  10 2( x  y ) Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a.) 2x  2x  6x  9x   1  2x 1 2x  ( x  1)(2 x  7) b x  11 x  22 x  33 x  44    115 104 93 82 Câu (3,5 điểm)Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O  Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 900 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD, K giao điểm OM BN a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM BIO = ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a   b) Chứng minh BKM BCO c) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c    Chứng minh rằng:  b2  c2  a 2 Bài (1,0 điểm) Cho sè tù nhiªn n  Chøng minh r»ng nÕu 2n  10a  b (a, b  N ,  b  10) th× tÝch ab chia hÕt cho Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA Bài Bài (2,0đ) Nội dung Với x 0, y 0, x  y P= a (1.0)  x 2 Điểm ta có:  x y  ( x  y )( x  y )  xy  xy   2 xy ( x  y )   x  xy  y x y xy ( x  y )  ( x  y ).( x  y ) = x  xy  y x xy ( x  y ) = = b (1.0) ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Mơn:Tốn Lớp: x x + + 0.25 x y ( x  y )( x  xy  y ) x  xy  y xy ( x  y ) x y xy = 0.25 x y xy 0.25 0.25 Ta có: x  y  10 2( x  y )  x  x   y  y  0 0.25   x  1   y  3 0 Lập luận suy x 1; y  Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: x 0, y 0, x  y xy nên thay x = 1; y =- vào biểu thức P = xy  ( 3) (2,0đ ) a (1.0) 0.25 ta có: P= 1.( 3)  Bài2 0.25 0.25 1 7 ;x  2 x  (2 x  7) x    x  1  x    x  1    x2  x      x  1 (2 x  7)  x    x 1  x    x 1  x    x 1 ĐK: x  0.25 x  20 x  21  x  12 x  x  16 x   x  x    x    x  1  x    x 1 0.25   x  16  x  x  16   x    x  1  x    x 1 0.25  x 0  x  16  x  x  16  x  x 0  x(2 x  1) 0    x  (Lo¹i)  2 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x = b ( (1.0)  x  11 x  22 x  33 x  44  1)  (  1) (  1)  (  1) 115 104 93 82 x  126 x  126 x  126 x  126    115 104 93 82 x  126 x  126 x  126 x  126     0 115 104 93 82 0.25 0.25  0.25 0.25  x  126 0  x  126 A I O Câu (3.5) a (1.0) B M K 0.5 E D N C Xét BIO CMO có:   IBO MCO (450 ) ( tính chất đường chéo hình vng) BO = CO ( tính chất đường chéo hình vng)    ( phụ với BOM ) BOI COM  BIO = CMO (g.c.g)  S BIO SCMO mà S BMOI S BOI  S BMO 4 Do S BMOI SCMO  S BMO S BOC  S ABCD  a Ta có BIO = CMO (cmt)  CM = BI ( cặp cạnh tương ứng)  BM = AI b (1.0) BM AM IA AM    Vì CN // AB nên Từ suy IM // BN CM MN IB MN Ta có OI = OM ( BIO = CMO )  IOM cân O    IMO MIO 450 0.5 0.5 0.5 0.5     Vì IM // BN  BKM IMO 450  BKM BCO Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE ABM ( g.c.g )  AE  AM 0.25 Ta có ANE vng A có AD  NE nên c (1.0) Câu (1.5) AD.NE AN AE   AD.NE  AN AE  ( AD.NE ) ( AN AE )2 2 Áp dụng định lí Pitago vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AN  AE 1 1  AD ( AN  AE )  AN AE      2 2 AN AE AD AE AN AD 1   Mà AE  AM CD = AD  2 CD AM AN 0.25 Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên 0.25 S AEN  0.25 0.25 a ab ab ab a  a  a  2 1 b 1 b 2b b bc c ca b  c  Tương tự ta có : ; 2 1 c 1 a 0.25 0.25 a b c ab  bc  ca     (1)  b2  c2  a 2 Cũng từ a + b + c =  (a + b + c)2 =  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca)   ab + bc + ca  (2) a b c 3   3   đpcm Từ (1) (2) suy 2 1 b 1 c 1 a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = mà a + b + c = nên Ta có 2n  10a  b  b   ab  (1) Ta chứng minh ab  (2) Bài (1.0) Thật vậy, từ đẳng thức 2n  10a  b  2n có chữ số tận b Đặt n  4k  r (k, r N,  r  3) ta có: 2n  16k2r Nếu r  2n  16k tận  b   ab 6 Nếu  r  2n  2r  2r(16k  1)  10  2n tận 2r suy b  2r  10a  2n  2r  2r(16k  1)   a   ab  Từ (1) (2) suy ab 6 - HẾT - 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25