UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2016 – 2017 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (5,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  144 Cho biểu thức P   x 1 x2  x  x2  :     x2  x 1  x x  x2  x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P 1 b) Tìm x để P  c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị nhỏ P x  Câu (3,0 điểm) 2017 Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn (2017  1) chia hết a  11a Cho đa thức F ( x) x3  ax  b (với a, b   ) Biết đa thức F ( x) chia cho x  dư 12, F ( x) chia cho x  dư  Tính giá trị biểu thức: B (6a  3b  11)(26  5a  5b) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 12 3x  16    1 a) x  x  x  x  10 b) x(8 x  1) (4 x  1) 9 Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: y  xy  x  0 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ), kẻ đường cao AH đường trung tuyến AM ( H , M  BC ) Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: a) DE BH HC b) AH  AD.DB  AE EC c) DE vuông góc với AM Giả sử diện tích tam giác ABC lần diện tích tứ giác ADHE Chứng minh tam giác ABC vuông cân Câu (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 Q (1  )(1  )  xy x y -Hết - UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2016 - 2017 Câu Câu (4,5điểm) Đáp án Điểm A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 = (x2 + x - + 5)(x2 + x - - 5) - 144 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 = (x2 + x - 7)2 - 169 = (x2 + x - - 13)(x2 + x - + 13) = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) (4,0 điểm) a) (1,0 điểm)  x 0  ĐKXĐ :  x 1  x   0,25 Khơng có ĐK x -1 trừ 0,25 đ P x  x  1  ( x  1)( x  1) x  x2  :     x( x  1) x( x  1)   x  1  x( x  1) 0,25 P x  x  1 x   x   x : x( x  1)  x  1 0,25 P x  x  1  x  1 : x  x  1 x ( x  1) x 1 x2    x( x  1)  x  1 x 1 x 0,25 b) (1,0 điểm) P 1 x2 1  P  với x  ĐKXĐ x 0,25  x  x  0   x  1  x  1 0 0,25  x  (TM )     x  1( L) Vậy x  P  0,5 1 (Nếu khơng loại x = - trừ 0,25 điểm ) c) (1,0 điểm) P x2 ( x  1)  ( x  1)(x  1)  1   x   x x x x Với x    x  1  Để P nguyên  x  1   1; 1 *) x  1  x 2 (TMĐK) *) x    x 0 (Loại do) ĐKXĐ nguyên  x  ước x 0,25 0,25 0,25 Vậy x 2 P nhận giá trị nguyên 0,25 c) (1,0 điểm) x2 2 x   = x  1 x x x 1 Vì x  nên x   > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho x 1 1 2  x  1  2 số dương x  ta có x   x x x 1  ( x – 1)2 = Đẳng thức xảy x   x P 0,25 0,25 0,25  x – = (vì x – > 0)  x = (TMĐK) Vậy giá trị nhỏ P x = 0,25 (1,5 điểm) Câu (3 điểm) 2017 Giả sử tồn số nguyên a thỏa mãn (2017  1) chia hết a  11a A a  11a = ( a  a )  12a a (a  1)( a  1)  12a ta có (a  1); a;(a  1) số nguyên liên tiếp nên tồn số bội suy (a  1)a(a  1)3 Vì 12a chia hết A3 (1) 2017 2017 Mặt khác 2017  (2016  1)  chia cho dư (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử sai, tức khơng có số nguyên thỏa mãn điều kiện toán cho 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) Gọi thương phép chia F ( x ) cho x  x  P ( x ) Q( x) Suy x3  ax  b ( x  2) P( x)  12 (1) x  ax  b ( x  1)Q( x )  (2) Thay x 2 vào (1) ta có  2a  b 12  2a  b 4  6a  3b 12 Thay x  vào (2) ta có   a  b    a  b    5a  5b 25  B (6a  3b  11)(26  5a  5b) 1.1 1 Câu 1a) (1,5 điểm) (4,0 điểm)  1)  ( PT  ( 12 x  16  1)  (  1)  (2  ) 0 x 2 x2  x 8 x  10  x2  x2  x2  x2    0 x  x  x  x  10 1 1  (4  x )(    ) 0 (1) x  x  x  x  10 1 1     với giá trị x Vì x  x  x  x  10  x 2 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Nên (1)   x 0   x    x   0    x  0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S   2; 2 1b) (1,5 điểm) 0,25 x(8 x  1) (4 x  1) 9  (64 x  16 x  1)(8 x  x) 9  (64 x  16 x  1)(64 x  16 x) 72 Đặt 64x2 -16x = t ta có (*)  t(t+1) – 72 =  t =- t = Với t = -9 ta có 64x2 -16x = -9  64x2 -16x + =  (8x -1)2 +8 = (vơ nghiệm (8x -1)2 +8 > 0) Với t = ta có 64x2 -16x =  64x2 - 16x – =  (8x -1)2 -9 =  x 1  x       x    x   0,25 0,25 0,25 0,25 1 Câu S ; Vậy tập nghiệm phương trình (6,0 điểm)   1c) (1,0 điểm) Ta có: y  xy  x  0  x  xy  y x  5x   ( x  y ) ( x  2)( x  3) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số  x  0  x     x  0  x  *) Với x   y 2 *) Với x   y 3 0,25 0,25 0,25 Vậy có cặp số nguyên ( x; y) ( 2; 2) ( x; y) ( 3;3) 0,25 A E O 0,25 D B H M C a) (1,75 điểm) Chứng minh: DE BH HC Xét AHB CHA  CAH   Có AHB  AHC 900 , B (vì phụ với BAH AH HB   AH BH CH CH HA  H  E  900  Tứ giác Lại có AH  BC , HE  AC , HD  AB nên D ADHE hình chữ nhật  DE  AH  DE DH CH b (1,5 điểm) Chứng minh: AH  AD.DB  AE EC  AHB  CHA (g-g)  0,5 0,5 0,5 0,25 Chứng minh HDB  ADH  HD  AD.DB Chứng minh AHE  ACH  HE  AE.EB Mà tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DH  AE Do 0,5 0,5 HD  HE AE  HE = AH = AD.DB  AE.EC ( Định lý Pytago áp dụng 0,5 vào tam giác vuông AEH ) c) (1,5 điểm) Chứng minh: DE  AM Gọi O giao điểm AH DE , Tứ giác ADHE hình chữ nhật nên  OA OE  OAE cân O  HAE  AED ABC vng A , có M trung điểm BC nên   MA MB MC  MAC cân M  MAC MCA 0,5     AED  MAC HAE  MCA 900  DE  AM 0,5 0,5 (1,0 điểm) Theo giả thiết S ABC 2 S ADHE 4S ADE hay S AED  S ABC (1) S AED AE AD ( AE AC ).( AD AB) AH    Ta có S ABC AB AC ( AB AC ) ( AB AC ) AH AH AM     (2) ( AH BC ) BC BC Từ (1) (2)  AH AM   AH  AM  H M nên ABC vuông cân BC BC 0,25 0,5 0,25 A (1,5 điểm) 1 )(1  )  xy x2 y2 1 x2  y 1     xy    2  xy = 2 2 2 y x x y x y x y ( x  y )  xy 1  xy  2  xy 1  2  2  xy 1  xy  = 1 2 x y x y x y x y xy Câu 4 (*) (1,5điểm) Áp dụng BĐT AM-GM ta có x  y 2 xy  4 xy  xy 31 Q 1  xy  1  ( xy  ) xy 16 xy 16 xy Q (1  0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp (*) ta có: 31 37 Q 1   4  16 0,25 Đẳng thức xảy  x  y  Vậy MinQ  37 x  y  0,25 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm