PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) (ĐỀ CHÍNH THỨC) Câu (4,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x( x  2)( x  x  2)  b, x  2016 x  2015 x  2016 Câu (3,5 điểm): 3 a, Cho a +b +c 0 a + b + c = 3abc Tính N = a 2016  b 2016  c 2016  a  b  c 2016 b, Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Câu (4,5 điểm): Giải phương trình sau: a, x  (2 x  3)( x  5)  23 b, x  x  20 + x  11x  30 + x  13 x  42 = 18 Câu (6,0 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1   AB CD MN c, Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu (2,0 im) Cho a, b, c số dơng Chứng minh bất đẳng thức: a2 b c + b2 ca + c2 a b  a b c -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn : Tốn lớp (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Tóm tắt đáp án 2 Điểm 0,5 a) x( x  2)( x  x  2) 1 ( x  x)( x  x  2)  ( x  x )2  2( x  x)  = ( x  x  1) Câu (4,0đ) 0,5 0,5 ( x  1) b) x  2016 x  2015 x  2016 = x  x  2016( x  x  1) = x( x3  1)  2016( x  x  1) = x( x  1)( x  x  1)  2016( x  x  1) = ( x  x 1)  x( x  1)  2016 = ( x  x 1)( x  x  2016 Câu a) a3 + b3 + c3 = 3abc (3,5đ)  a3  b3  c3  3abc 0 4 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5  a  b3  3ab(a  b)  c  3ab(a  b)  3abc 0   a  b   c  3ab(a  b  c) 0 2 0,5  (a  b  c)( a  2ab  b  ac  bc  c )  3ab( a  b  c) 0  (a  b  c)( a  b  c  ab  ac  bc) 0  a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( a +b +c  0)  2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc =  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = Vì (a – b)2   a, b; (b – c)2   b,c; (c – a)2   a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2   a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 =  a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 a=b=c Mà a +b +c   a = b = c  (*) Thay (*) vào N ta có: N  0,5 0,5 a 2016  a 2016  a 2016 2016  3a 2016 2016   a  a  a  3a  2 b) Giả sử n  4n  2013 m ,  m   2 Suy  n    2009 m  m   n   2009   m  n    m  n   2009 3a 2016  2015 2016 (3a) Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau xảy ra: 0,5 0,5 0,5 m  n  2009  m  n  1 m 1005  n 1002 m  n  287 m 147  TH2:  m  n  7 n 138 TH1:   m  n  49   m  n  41 TH3:  0,5 m 45  n 2 Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu (4,5đ) a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0  x-5=0 hoc x+8 =0 x=-5 hoc x=-8 b)Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x 4;  5;  6;  7 ) 1 1   = ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1 ( )+( )+( )=    x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 =   (x + 4)(x +7) = 54  x 4 x 7 18  (x + 13)(x – 2) =  x = -13 x = (Thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phơng trình là: S = 13; 2 Câu (6đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B A O M N C D a)( 2,0 điểm)  Lập luận để có OM OD  AB BD Lập luận để có OD OC  DB AC OM ON  AB AB , 0,75 ON OC  AB AC 0,75 0,5  OM = ON b)( 2,0 điểm) OM DM OM AM   ADC để có (1), xét AB AD DC AD 1 AM  DM AD  1 Từ (1) (2)  OM.( AB  CD )  AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB  CD ) 1 Xét ABD để có (2) 0,75 0,75 1 từ có (OM + ON) ( AB  CD ) 2  1   AB CD MN 0,5 c)( 2,0 điểm) Từ ΔCBHΔEAHCBH ΔCBHΔEAHEAH ( cmt) 2 SΔCBHΔEAHCBH SΔCBHΔEAHCBH  BC   BC  = = = nên BC2 = (2AE)2 (gt)    , mà S  SΔCBHΔEAHEAH  AE  ΔCBHΔEAHEAH  AE   BC = 2AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD  Chứng minh 0,5 S AOD  S BOC  S AOB S DOC ( S AOD ) Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2  SAOD = 2015.2016 Do SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (đơn v DT) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp sè a2 b c a2 b c Suy b2 ca Câu T¬ng tù (2đ) c2 a b + 0,5 b c  a-  a2 b c a2 b c bc , =2 b c a a c  c- a b 0,5 không âm ta có : 0,5 =a b c  b- 0,5 0,5 0,5 Céng vÕ theo vế ba bất đẳng thức ta đợc : a2 b c VËy a2 b c + + b2 ca b2 ca + + c2 a b c2 a b  (a+b+c)-  a b c a b c = a b c (®pcm) Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ) 0,5