PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 2/05/2019 Bài (6,0 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x  2019 x  2019 x  2018 b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x  y  x  y  0 c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 Bài (4,0 điểm) 2 a Chứng minh a  b  c   ab  bc  ca  với số thực a, b, c b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương P  x+5   x+7   x    x  11 + 16 Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P  1 1     x  x x  x  x  x  x  x  12 x  x  20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AC  AB  Vẽ đường cao AH  H  BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK Bài (2.0 điểm): ˆ  ABC ˆ Đường Cho tam giác ABC có Aˆ  Bˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HAC ˆ cắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH phân giác góc BAH F Chứng minh rằng: CF // AE Hết \ ĐÁP ÁN Câu 1: a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x  2019 x  2019 x  2018 A = x  2019 x  2019 x  2018 A = x   2019( x  x  2019) A = (x - 1)(x  x  1)  2019( x  x  1) A =  x  x  1 ( x   2019) A = (x + x + )(x  2018) b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x  y  x  y  0 x  y  x  y  0  ( x  x  4)  ( y  y  1) 0  ( x  2)  ( y  1) 0  x 2 y 1 c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 59.5n  59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59 vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) Câu 2: 2 a Chứng minh a  b  c   ab  bc  ca  với số thực a, b, c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:  a  b  c  a  ab  ca ;  b  c  a  b  bc  ab  c  a  b  c  ca  bc Do đó, suy ra: a  b  c  2(ab  bc  ca ) b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương Ta có: P  x+5   x+7   x    x  11 + 16     P ( x  5)( x  11)( x  7)( x  9) + 16 P ( x  16 x  55)( x  16 x  63)+ 16 P ( x  16 x  55)  8( x  16 x  55)+ 16 P ( x  16 x  55)  2( x  16 x  55).4+ 42  P ( x  16 x  59) Vơi x số nguyên P số CP Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P  1 1     x  x x  x  x  x  x  x  12 x  x  20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 b) Rút gọn đúng: 1 1     x( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5)   1   1   1   1            =      x  x   x  x  1  x  x    x  x    x  x   1    x  x x  x  5 P I K B H   Q Câu P C A Chứng minh: ABC S KPC ( G.G) b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK PB (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền tam giác vng) Lại có: HK HA (Giả thiết) Do đó: QH đường trung trực AK Ta có: AQ KQ  S (2đ) ˆ HAC ˆ  EAH ˆ CAE ˆ ˆ Bˆ  BAE Ta có: CEA  CAE cân C  CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF K Ta có: BE MB MA FA    EH KH KH FH 0,5đ (2) BE AB  (3) EH AH AB CA CE    CAH  CBA đồng dạng  AH CH CH 0,25 đ AE phân giác  ABH  (theo (1)) (4) Từ (2), (3), (4)  0,5đ FA CE AH EH    AE CF (đpcm) hay FH CH FH CH 0,25 đ 0,5đ