CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT  Đường tiệm cận ngang  a;   ,   ; b  Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng    ;  ) Đường thẳng hàm số y  f ( x) y  y0 điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) y0 , lim f ( x) y0 x   đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị x    Đường tiệm cận đứng  Đường thẳng x x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) , lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  x  x0  x  x0 x  x0 x  x0 Lưu ý:  Với đồ thị hàm phân thức dạng y y ax  b  c 0; ad  bc 0  cx  d ln có tiệm cận ngang a d x  c tiệm cận đứng c  Dấu hiệu nhận biết đường tiệm cận đồ thị hàm số  Hàm phân thức mà nghiệm mẫu không nghiệm tử có tiệm cận đứng  Hàm phân thức mà bậc tử  bậc mẫu có TCN  Hàm thức dạng: y  f  x  g  x  , y  f  x   g  x  , y g  x   ngang (dùng liên hợp) y a x ,   a 1  Hàm  Hàm số có tiệm cận ngang y log a x ,   a 1 y 0 có tiệm cận đứng x 0  Cách tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số  Tiệm cận đứng: ta tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử  Tiệm cận ngang: tính giới hạn: lim y x   lim y x    Một số ý trình tìm tiệm cận  Nếu x    x   x  x x Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” f  x có tiệm cận CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x có lim f  x   lim f  x  2 A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Mệnh đề sau đúng? B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 x x Lời giải Chọn B VÍ DỤ Cho hàm số A Vì y C B lim f  x   x 2x2  x x  5x  Số đường tiệm cận đồ thị hàm số là: D nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x 1 Lời giải Chọn C  x  x  5x  0    x  , hai nghiệm không nghiệm tử số nên Xét phương trình hai đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x2  x 2 Mặt khác: x  x  5x  , nên đường y 2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận lim VÍ DỤ Cho hàm số A y x3  x  3x  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B C D Lời giải Chọn D x3  x 1   , x 1 x  3x   x  1  x   x    x  2 x    Ta có:    x 2 Khi ta thấy đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim 0 x    x  2 x   Mặt khác: , nên đồ thị hàm số nhận y 0 làm tiệm cận ngang   f ( x)  VÍ DỤ Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y 2; y  B y  2; y  x  5x  C y  x  3x D y 2 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Lời giải Chọn B 5  x2  5x  x2  3x D   ;0    ;   lim f ( x)  lim  x   2  Ta có x    2x Tập xác định Và lim f ( x)  lim x   x   x2  5x  x  3x   2x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y  VÍ DỤ Cho hàm số y  f ( x) ax  bx  cx  d có đồ thị hình bên y g  x   Hỏi đồ thị hàm số A 2x f  x B có đường tiệm cận đứng? C D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: f ( x) 0 Từ đồ thị ta thấy f ( x) 0 x  , x  x 2 Khi f ( x) a( x  4)( x  1)( x  2) có nghiệm y VÍ DỤ Biết đồ thị hàm số A  Do đồ thị hàm số x   ax  b  x  2 B 10 y g  x  khơng có tiệm cận đứng Khi 4a  b bằng: C  D có đường tiệm cận đứng Lời giải Chọn A y Đồ thị hàm số x   ax  b  x  2  f  x   3x   ax  b 0 khơng có tiệm cận đứng có nghiệm kép x 2 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN  f   0    f   0 1  a  b 0     a 0   2.3   a   b 2   3 a  b 4       2 Vậy y  x  1  x  3x   mx  x  VÍ DỤ Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận         m  ;0 m    ;   m    ;0  m    ; 0         A B C D Lời giải Chọn A Ta có  x  1  x   x  0  x 1 Trường hợp 1: Nếu m 0 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Do đồ thị hàm số khơng thể có ba đường tiệm cận Trường hợp 2: Nếu m 0 đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 0 Do đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận  mx  x  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  1;   thuộc nửa khoảng   1  3m     '     0  m    x1  1  x2  1 0 1  m   x1  1   x2  1   m  VÍ DỤ Cho hàm số y  m    m     m  m       m  ;0   Vậy x x  có đồ thị  C  , gọi d tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh độ C A x ;y m  Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng   điểm  1  cắt tiệm cận ngang B x ;y điểm  2  Gọi S tập hợp số m cho x2  y1  Tính tổng bình phương phần tử S A B C 10 D C Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Lời giải Chọn C y  Ta có  x  2 Với x m  2  y 1  A  m  2;1    m 0    m m:  C   : y 3 x  m  2    m m Phương trình tiếp tuyến d C Đồ thị   có tiệm cận ngang y 1 tiệm cận đứng x   3 y   x  m  2   m  m   x  Tọa độ điểm A nghiệm hệ:    y 1  m  y1 1   x   m nên  3 y   x  m  2   m   y 1 m    y 1  x 2m  nên x2 2 m  Tọa độ điểm B nghiệm hệ:  Suy x2  y1  2m   m 1     m  m  2m2  4m  0 12     10 Vậy tổng bình phương phần tử S Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”