Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN KHÁC QUAN ĐIỂM – MẶT PHẲNG – MẶT CẦU Câu 200 Tro[.]
C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM = = MỨC =I ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN KHÁC QUAN ĐIỂM – MẶT PHẲNG – MẶT CẦU Câu 200: Trong không gian với hệ trục S : x2 y z 2 1 Oxyz , cho điểm Điểm M di chuyển mặt cầu A 2; 2; S OM AM 6 Điểm M thuộc mặt phẳng sau đây? A x y z 0 B x y z 0 mặt cầu đồng thời thỏa mãn C x y z 0 D x y z 0 Lời giải M x; y; z OM x; y; z AM x 2; y 2; z Giả sử , x x y y z z 6 2 x y z 1 M S OM AM Vì nên ta có hệ 2 x y z x y z 6 2 x y z z 1 x y z 0 Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: x y z 0 Câu 201: Trong không gian S : x2 y z 2 với 1 hệ trục Oxyz , cho điểm Điểm M di chuyển mặt cầu OM AM 6 Điểm M thuộc mặt phẳng đây? A 2x y 6z 0 B x y 6z 0 C 2x y 6z 0 A 2; 2;2 S mặt cầu đồng thời thỏa mãn D 2x y 6z 0 Lời giải Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chọn D Gọi điểm M x; y; z S điểm cần tìm x y z 1 x y z z 1 x y z z Khi đó: OM x; y; z AM x 2; y 2; z Ta có: 1 OM AM 6 x x y y z z 6 Suy x y z x y z 6 Thay 1 vào 2 2 ta z x y z 0 x y z 0 2 S : x 1 y 1 z 1 1 Câu 202: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu điểm A(2; 2; 2) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) M ln thuộc mặt phẳng cố định có phương trình A x y z – 0 B x y z 0 C 3x y z – 0 D 3x y 3z – 0 Lời giải M A I S có tâm I 1;1;1 bán kính R 1 S Do IA R nên điểm A nằm ngồi mặt cầu 2 AMI vng M : AM AI IM M thuộc mặt cầu S có tâm A bán kính Ta có phương trình S : x y z 2 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ta có M S S x 1 y 1 z 1 1 I 2 x y z Tọa độ M thỏa hệ phương trình 2 x y z x y z 0 I 2 x y z x y z 10 0 x y z 0 x y z 0 Ta có Suy M P : x y z 0 2 M 7;1;3 S : x 3 y z 36 Câu 203: Trong không gian Oxyz , cho , điểm Gọi S N Tiếp điểm N di động đường thẳng di động qua M tiếp xúc với mặt cầu đường tròn A 45 T có tâm B 50 J a, b, c Gọi k 2a 5b 10c , giá trị k C 45 D 50 Lời giải M N J I S : x 3 Mặt cầu 2 y z 36 có tâm I 3; 2;5 , bán kính R 6 S Có IM 25 16 3 R , nên M thuộc miền ngồi mặt cầu S Có MN tiếp xúc mặt cầu N , nên MN IN N Gọi J điểm chiếu N lên MI Có IN I J IM Suy IJ IN 36 12 IM 5 , I cố định P cố định mặt cầu S , nên N thuộc đường tròn C tâm J Suy N thuộc Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x 8 y 12 IJ IM IM z IJ IM N x; y; z 5 5 IM Gọi , có 23 N 5; ; 5 , k 2a 5b 10c 50 Vậy k 50 Câu 204: M 2;1; , N 5;0;0 , P 1; 3;1 I a; b; c Trong không gian Oxyz , cho điểm Gọi tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng biết a b c A B Oyz đồng thời qua điểm M , N , P Tìm c C Lời giải D Chọn B Phương trình mặt cầu S tâm I a; b; c 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0 2 Đk: a b c d 4a 2b 8c d 21 10a d 25 2a 6b 2c d 11 S qua điểm M , N , P tiếp xúc với mặt phẳng Oyz R a 4a 2b 8c 10a 25 21 d 10a 25 a b c 10 a 25 11 a b c d a 6a 2b 8c 4 6a 2b 8c 4 d 10a 25 d 10a 25 8a 6b 2c 14 32a 24b 8c 56 b c d 0 b c d 0 6a 2b 8c 4 c a d 10a 25 d 10a 25 26a 26b 52 b a b c d 0 b c d 0 2 a a 1 10a 25 0 2a 16a 30 0 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN a 3 a 3 b hay a 5 c 2 d 5 a 5 b c 4 d 25 Vì a b c nên chọn c 2 H 1; 2; qua H Câu 205: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm Mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 81 A 243 B 81 C 243 D Lời giải A a;0; B 0; b ;0 C 0;0; c cắt trục Ox, Oy, Oz điểm , , Do H trực tâm tam giác ABC nên a, b, c 0 Mặt phẳng : Khi phương trình mặt phẳng x y z 1 a b c 2 1 1 Mà nên: a b c AH a; 2; BH 1; b; BC 0; b; c AC a;0; c Ta có: , , , AH BC 0 b c BH AC 0 Lại có H trực tâm tam giác ABC , suy hay a 2c (2) H 1; 2; 2 Thay 1 vào 2 9 1 c a 9, b , ta được: 2c c c 9 B 0; ;0 C 0;0; A 9;0;0 2 Vậy , , Khi đó, giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là: 2 x y z 2ax 2by 2cz d 0 Với a b c d Vì điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình: Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN d 0 a b c d 0 18a d 81 81 9b d 81 9c d Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: 2 x2 y z x 9 y z 0 2 , có tâm 9 9 9 9 9 R I ; ; 2 4 4 4 bán kính 9 6 243 S 4 R 4 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tự diện OABC M 6;0;0 N 0; 6;0 P 0;0;6 Câu 206: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , Hai mặt S2 : x cầu có phương y z x y z 0 cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa A B Giả sử mặt cầu S có tâm C I C S1 : x y z trình cắt theo đường tròn x y 0 C Hỏi có mặt tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM C Vô số D Lời giải tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM MNP Gọi H hình chiếu vng góc I Ta có: S tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM d I , MN d I , NP d I , PM d H , MN d H , NP d H , PM H tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác MNP MNP x y z 1 có phương trình 6 hay x y z 0 C S1 S2 Tọa độ điểm thuộc C thỏa mãn hệ phương trình: 2 x y z x y 0 2 x y z x y z 0 x y z 0 Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa C : 3x y z 0 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Vì 1.3 1 0 MNP 1 Ta có: MN NP PM 6 MNP G 2; 2; Gọi G trọng tâm tam giác MNP G tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP Thay tọa độ điểm G vào phương trình mặt phẳng , ta có: G MNP Gọi đường thẳng vng góc với G MNP G Vì d I , MN d I , NP d I , PM r Khi đó: I Mặt cầu tâm I bán kính r tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM Vậy có vơ số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa MN , MP, PM Câu 207: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz P : 2x A r 4 Ta có cho tiếp xúc với ba đường thẳng A 3;1;1 , B 1; 1;5 mặt phẳng S qua hai điểm A, B tiếp xúc với P điểm T T thuộc đường trịn cố định Tính bán kính r đường tròn Biết C y z 11 0 C Mặt cầu C r Lời giải B r 2 AB 4; 2; P mp có vec tơ pháp tuyến C D r n 2; 1; Do AB vng góc với P Giả sử mặt cầu S có phương trình x y z 2ax 2by 2cz d 0 Mặt cầu S qua hai điểm A, B nên ta có 9 6a 2b 2c d 0 1 25 2a 2b 10c d 0 6a 2b 2c d 11 2a 2b 10c d 27 Suy 8a 4b 8c 16 2a b 2c 4 Mặt cầu S tiếp xúc với P nên ta có d I, P 2a b 2c 11 5 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ta có AB 4; 2; AB 16 16 6 d C , AB IM 52 32 4 Goi M trung điểm AB ta có T Vậy C ln thuộc đường trịn cố định có bán kính r 4 5 5 7 A ; ;3 B ; ;3 2 2 Oxyz mặt Câu 208: Trong không gian , cho hai điểm , ( S ) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 6 cầu a, b, c, d : d Xét mặt phẳng ( P ) : ax by cz d 0 , mặt phẳng thay đổi qua hai điểm A, B Gọi ( N ) hình nón có đỉnh tâm mặt cầu ( S ) đường tròn đáy đường tròn giao tuyến ( P ) ( S ) Tính giá trị A T 4 T a b c d thiết diện qua trục hình nón ( N ) có diện tích lớn B T 6 C T 2 Lời giải D T 12 I R B h r A I 1; 2;3 Mặt cầu ( S ) có tâm , bán kính R Có IA IB nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) 5 AB 3; 3;0 1; 1;0 a M ; ;3 , trung điểm AB Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 a (1; 1;0) n Gọi (a; b; c ) với a b c vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) Vì A, B ( P ) nên có I ( P) a.n 0 5 a b 3c d 0 d 6a 3c 2 a b a b 0 h d I , ( P ) (C ) ( P) ( S ) r , , bán kính đường trịn (C ) Gọi r R h2 h Diện tích thiết diện qua trục hình nón ( N ) h2 h2 S h.2r h h 3 2 2 MaxS 3 h 6 h h h d I , ( P ) a 2b 3c d a2 b2 c2 a c a c a c Nếu a c b a; d 9a ( P) : ax ay az - 9a 0 x y z 0 Nếu a c b a; d 3a ( P) : ax ay az - 3a 0 x y z 0 T a b c d 6 Vây m 0;1 : x y z 10 0 Câu 209: Trong không gian Oxyz , xét số thực hai mặt phẳng : x y z 1 m 1 m Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với , Tổng bán kính hai mặt cầu hai mặt phẳng A B C D 12 Lời giải Chọn C Gọi I a; b; c tâm mặt cầu Theo giả thiết ta có Mà R d I , d I , a b c m 1 m d I , 1 1 m 1 m Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ta có 1 1 1 1 1 2 2 m 1 m m 1 m m 1 m 1 1 1 1(do m 0;1 2 m m m m m m Nên a m bm cm m m m m 1 m R 1 m 1 m R a am bm cm cm m m m2 m R Rm Rm a am bm cm cm m m 2 R Rm Rm a am bm cm cm m m m R c 1 m a b c R 1 R a 0 1 m R c 1 m b c a R 1 R a 0 Xét mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng m 0;1 nên pt nghiệm với R c 0 a b c R 0 R a 0 Mà R d I , R m 0;1 với a R b R I R; R;1 R c 1 R R R R 10 , R 3 3R 12 R R 6(l ) Xét tương tự ta R c 0 b c a R 0 R a 0 Mà R d I , R a R b R I R; R; R 1 c R R R R 10 R 6 3R 12 R R 3(l ) Vậy R1 R2 9 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page 10