Đang tải... (xem toàn văn)
1.Định nghĩa 1 Nhóm là tập X , trân đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX thì (xy)z=x(yz). N2.(Đơn vị): xX,eX thì ex=xe=x. N3.(Nghịch đảo): xX,x1X thì x.x1=x1x=e. 2.Định nghĩa 2 Nhóm là tập X , trong đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX thì (xy)z=x(yz). N2.(Đơn vị): xX,eX thì ex=x. N3.(Nghịch đảo): xX,x1X thì x1x=e. 3.Định nghĩa 2’: Nửa nhóm X được gọi là nhóm nếu nó có đơn vị và mọi phần tử đều có nghịch đảo.
Bài Nhóm nửa nhóm 1.Định nghĩa Nhóm tập X , trân xác định phép tốn hai ngơi thỏa mãn điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX (xy)z=x(yz) N2.(Đơn vị): xX,eX ex=xe=x N3.(Nghịch đảo): xX,x-1X x.x-1=x-1x=e 2.Định nghĩa Nhóm tập X , xác định phép tốn hai ngơi thỏa mãn điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX (xy)z=x(yz) N2.(Đơn vị): xX,eX ex=x N3.(Nghịch đảo): xX,x-1X x-1x=e 3.Định nghĩa 2’: Nửa nhóm X gọi nhóm có đơn vị phần tử có nghịch đảo 4.Định nghĩa Nhóm nửa nhóm X mà phương trình ax=b xa=b có nghiệm X với a,bX Bài tập 1.Cho tập X=ZxZ={(k1,k2),k1,k2Z} xác định X phép toán sau: (k1,k2) (m1,m2)=( k1+m1,k2+(-1)k1m2) CMR: X với phép toán nhóm a b X : ac c 2.cho Chứng minh rằng: X nhóm phép nhân ma trận Nhóm 1.Tiêu chuẩn Một tập A nhóm X nhóm X nếu: +x,yA xyA +eA +xA x-1A Ví dụ: 2.Tiêu chuẩn Một tập A nhóm X nhóm X nếu: +x,yA xyA +xA x-1A Ví dụ: 3.Tiêu chuẩn Một tập hợp A nhóm X nhóm X nếu: x,yA xy-1A Ví dụ: Bài 3.Nhóm Cyclic cấp phần tử nhóm Định nghĩa: Nhóm X gọi nhóm cyclic tồn phần tử aX X= Tức X trùng với nhóm sinh phần tử a, gồm tất lũy thừa nguyên a Vậy: X=={an: nZ} Định nghĩa 2: Cho nhóm X aX cấp phần tử a cấp nhóm cyclic sinh phần tử a Bài tập: Câu 1: Cho A tập phức bậc n đơn vị Chứng minh A với phép nhân thông thường số phức nhóm cyclic Giải: Bài Nhóm chuẩn tắc Định nghĩa: Một nhóm A nhóm X gọi nhóm chuẩn tắc X A thỏa mãn điều kiện sau: xX,aA xax-1A x-1axA (điều kiện chuẩn tắc) Để kiểm tra AX ta kiểm tra: +A nhóm X +A thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc Bài tập 1.Cho nhóm a b b X : ac ;A : c 0 c c Chứng minh rằng: AX 2.Trong nhóm X: a b a b b X : ac ;B : a ;C : b R c 1 Chứng minh rằng: Các phận B,C nhóm chuẩn tắc 3.Trong nhóm nhân M*n ma trận vng cấp n, không suy biến, chứng minh phận sau nhóm chuẩn tắc: i.M1n={AM*n:detA=1} ii.M1n={AM*n:detA2=1} iii.M+n={AM*n:detA>0} Bài 5: Đồng cấu nhóm Cho X,Y nhóm, ánh xạ f: X®Y gọi đồng cấu nhóm nếu: a,bX: f(ab)=f(a).f(b) Ví dụ: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp đến nhóm cyclic cấp 24 Giải: Cho nhóm X=6; Y=24 nhóm cyclic cấp 24 Nếu f:X®Y đồng cấu, tồn k mà 0k24 cho anX f(an)=(bk)n Biết f đồng cấu 6k chia hết cho 24 Vậy đồng cấu f:X®Y số nguyên k mà 0k24 thỏa mãn 6k chia hết cho 24 có số ngun k là: k=0,4,8,12,16,20 Vậy có đồng cấu khác từ nhóm cyclic cấp tới nhóm cyclic cấp 24 là: f1:an|®e; f2:an|®b4n; f3:an|®b8n; f4:an|®b12n; f5:an|®b16n; f6:an|®b20n; Câu 1: Chứng minh rằng: f:(R,+)®(R,.) với xR f(x)=ex đồng cấu nhóm Câu 2: X nhóm A ben CMR: g:X®X mà g(x)=xk, với kZ +g đồng cấu nhóm +tìm Img Kerg Câu 3: X nhóm CMR: g:X®X mà g(x)=x-1, với xX +g đồng cấu nhóm +Tìm Img Kerg Câu 4: X nhóm CMR: g:X®X mà g(x)=x-1, với xX, g đồng cấu nhóm X nhóm A ben Câu 5: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 24 đến nhóm cyclic cấp Câu 6: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp n đến Câu 7: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp đến nhóm cyclic cấp 20 Bài Nhóm đẳng cấu Định nghĩa: Nhóm X đẳng cấu với nhóm Y (XY) tồn ánh xạ đẳng cấu f:X®Y Quan hệ đẳng cấu lớp nhóm quan hệ tương đương Vì: +Với nhóm X XX theo ánh xạ đồng 1X +Nếu XY theo f YX theo ánh xạ ngược f-1 +Nếu XY theo f YZ theo g XZ theo gf Như vậy, để chứng tỏ hai nhóm X Y đẳng cấu với ta thiết lập ánh xạ đẳng cấu từ X tới Y hay từ Y tới X thiết lập ánh xạ đẳng cấu từ X,Y tới nhóm thứ ba Ví dụ: Cho tập hợp ma trận vuông cấp hai: a A : a R 1 Chứng minh: i.A nhóm với phép tốn nhân ma trận ii.A(R+,.), (R+,.) nhóm nhân số thực dương Định lí (Nơte): Cho f:X®Y tồn cấu tồn đẳng cấu f’:X/kerf®Y để cho f=f’.p p:X®X/kerf đồng cấu chiếu Sử dụng định lí ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thương X/AY, ta cần thiết lập tồn cấu f:X®Y để cho kerf=A từ định lí ta có đẳng cấu f’:X/AY Ví dụ: Bài 7: Mơ tả cấu trúc nhóm Các tốn thường có nội dung: Cho X nhóm thỏa mãn số điều kiện cho trước đó, kết luận tốn u cầu rằng, nhóm X thỏa mãn số tính chất xác định Ví dụ: Cho X nhóm mà aX: a2=e chứng minh X nhóm A ben Giải: Mọi a,b thuộc X thì: a2=e, aX: a=a-1, a-1X Do đó: a,bX: ab=(ab)-1= b-1a-1=ba Định lí (Lagran): Cho nhóm hữu hạn X A nhóm X, cấp A ước số cấp X Hệ 1: Cấp phần tử a nhóm X ước số cấp X Hệ 2: Nếu cấp nhóm X số ngun tố X nhóm cyclic Bài 8: Vành vành Định nghĩa: Vành nhóm cộng giao hốn (R,+) trang bị thêm phép tốn nhân có tính chất kết hợp: +x,y,zR (xy)z=x(yz) +Có tính chất phân phối với phép cộng x,y,zR x(y+z)=xy+xz (y+z)x=yx+zx Như vậy: Vành tập R xác định hai phép tốn hai ngơi: 1.(R,+) nhóm giao hốn 2.Phép nhân R có tính chất kết hợp 3.Phép nhân phân phối phép cộng Ví dụ: Cho tập Mn ma trận thực vuông cấp n vành với hai phép toán cộng nhân ma trận Câu 1: Cho R vành, Z vành số nguyên Trên tập R.Z={(r,n):rR,nZ} Ta xác định phép toán: (r1,n1)+(r2,n2)=(r1+r2;n1+n2) (r1,n1).(r2,n2)=(r1r2+n1r2+ n2r1+ n1n2) Chứng minh R.Z vành có đơn vị, vành giáo hốn khơng? Tiêu chuẩn vành con: Cho vành R, phận A R vành R khi: +x,yA x-yA +x,yA xyA Hay tập A R vành R A ổn định phép trừ nhân Ví dụ: Cho R vành Ta gọi tậm vành R tập Z(R)={aR: ar=ra,rR} i.CMR: Z(R) vành vành R ii.Tìm Z(Mn) với Mn vành ma trận thực vuông cấp n Câu 1: Cho R vành, Z vành số nguyên Trên tập: R.Z={(x,n): xR,nZ} Ta xác định phép toán: (x1,n1)+(x2,n2)=(x1+x2;n1+n2) (x1,n1)(x2,n2)=(x1x2+n1x2+ n2x1;n1n2) Chứng minh rằng: R.Z vành có đơn vị, vành có giao hốn khơng? Điều kiện R R.Z giao hốn? Câu 2: Cho R vành Ta gọi tâm vành R tập: Z(R)={aR:ax=xa,xR} +CMR: Z(R)=là vành vành R +tìm Z(Mn) với Mn vành ma trận thực vuông cấp n Câu 4: Một ma trận A=(aij)mxn gọi ma trận tam giác a ij=0 i>j chứng minh tập MTn ma trận tam giác lập thành vành phép cộng nhân ma trận Câu: Cho R nhóm cộng giao hoán Gọi End(R) tập tất tự đồng cấu f:R®R, End(R) ta định nghĩa phép tốn sau: (+): f,gEnd(R): f+g:X®X mà xR: (f+g)(x)=f(x)+g(x) (.): fg:X®X mà xR: fg(x)=f[g(x)] a.Chứng minh: End(R) vành có đơn vị với hai phép toán cộng nhân b.Cho A nhóm R, gọi N(A) tập tất đồng cấu fEng(R) mà f(A)=0 Chứng minh rằng: N(A)End(R) c.Với số nguyên nZ ta xác định ánh xạ gn:X®X mà xR: gn(x)=nx Chứng minh: gn tự đồng cấu, H={gn:nZ} vành giao hốn có đơn vị End(R) Câu: cho ma trận vuông cấp n sau: +Mcn={A=(aij)mxn: ai1=0, i=1…n} +MFn={A=(aij)mxn: ai1=0=a1j, I,j=1…n} Chứng minh rằng: Các tập hợp vành với hai phép toán cộng nhân ma trận Bài 9: Miền nguyên trường Định nghĩa 1: Miền nguyên R vành giao hốn có đơn vị 10 (và |R|>1) tích hai phần tử khác không khác không Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán R, phần tử a0 gọi ước không tồn phần tử b0 để cho ab=0 Ví dụ: Cho R vành giao hốn có đơn vị 10 Chứng minh rằng: R miền nguyên R có luật giản ước cho phần tử a0 phép nhân Như vậy: Miền ngun vành giao hốn có đơn vị 10 khơng có ước khơng Định nghĩa: Trường vành giao hốn có đơn vị 10 phần tử khác khơng có nghịch đảo Định nghĩa: Trường tập hợp X có nhiều phần tử xác định hai phép toán cộng nhân thỏa mãn: 1.(X,+) lập thành nhóm giao hốn 2.(X,.) lập thành nhóm giao hốn 3.Luật phân phối phép nhân phép cộng Ví dụ: Cho tập số sau: Z a b : a,b Z ;Q Z 3 Q 3 trường thương miền nguyên Z i.Chứng minh rằng: miền nguyên, tốn cộng nhân thơng thường số ii.Chứng minh rằng: a b : a,b Q Q 3 trường với phép 3 Giải: Bài tập1: Cho ma trận cấp hai: a b M : a,b R b a a Chứng minh rằng: M vành giao hốn có đơn vị với hai phép tốn cộng nhân ma trận a b A b a ước không M detA=0 b.Phần tử a 0 K : a R a trường vành M có trường T c.Tập M mà TK T=K a L b d.Tập b 2 : a,b Q a trường M Trường L có tính chất K không Bài tập: Cho tập ma trận cấp hai sau: a b a a R : a,b ;A : a a a b a Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị (+,.) A iđêan tối đại R Chứng minh rằng: A vành vành R Ví dụ: Cho tập ma trận nguyên cấp hai: a b a b R : a,b Z ;A : a Z b a b a Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị A iđêan nguyên tố vành R Ví dụ: Cho tập ma trận nguyên cấp hai: a b a a R : a,b R ;A : a R b a a a Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị (với phép toán cộng nhân ma trận) A iđêan tối đại vành R Bài tập: Cho tập số phức sau: Z a b : a,b ; I 5a b : a,b i.Chứng minh: IZ phức Z 5 5 vành với hai phép tốn cộng nhân thơng thường số ii.Chứng minh vành thương Z 5 /I trường Giải: i.Chúng ta kiểm tra Z( 5) ( , ,.) Ta kiểm tra Vậy IZ IZ 5 5 ta kiểm tra (-; )I ii.Ta có vành thương: Z / I a b I : a,b a I,a (b I) = I,1 I,2 I,3 I,4 I Z 5 Ta dễ thấy: vành giao hốn có đơn vị nên vành thương vành giao hốn có đơn vị Z 5 /I Ta phải chứng minh phần tử m+I0+I vành thương có nghịch đảo Thật m khơng chia hết (m,5)=1 (nguyên tố nhau) nên tồn số nguyên k t cho: km+5t=1 tồn phần tử k+I mà: (m+I)(k+I)=km+I=1-5t+I=1+I Tức (k+I)=(m+I)-1 Vậy Z 5 /I trường Bài tập: Cho ma trận nguyên cấp hai sau: a b a a R : a,b ;A : a a a b a Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị A iđêan nguyên tố vành R Bài tập: Cho ma trận vuông cấp hai sau: a a b b 3 R : a : a,b ;A 3b a a b Chứng minh rằng: R, A trường hai phép toán cộng nhân ma trận Bài tập: Tìm tất đồng cấu vành sau: +từ Z6 tới Z12 +từ Z15 tới Z9 Bài tập: Tìm tất tự đồng cấu của: +Vành số nguyên Z +Trường số thực R +Trường số phức C +Trường số hữu tỉ Q Bài 10: Idêan vành thương Định nghĩa: Cho X vành, phận I X gọi idêan I nhóm X đồng thời thỏa mãn điều kiện: xX,aI axI xaI (*) Khi I iđêan X (kí hiệu: IX) tập thương X/I={x+I:xX} trang bị phép toán sau: +Phép cộng: (x1+I)+(x2+I)=(x1+x2)I +Phép nhân: (x1+I)(x2+I)=x1x2+I Trở thành vành gọi vành thương vành X theo iđêan I kí hiệu (X/I;+;.) hay X/I Nếu X vành giao hốn X/I giao hốn Nếu X vành giao hốn có đơn vị X/I có đơn vị 1+I Tiêu chuẩn iđêan: Cho vành X, tập I X iđêan X khi: +a,bI a-bI +xX,aI axI xaI Ví dụ: cho tập số phức sau: Z( 5) a b : a,b Z ;I 5a b : a,b Z a.Chứng minh rằng: phức IZ 5 Z 5 vành với hai phép cộng nhân thông thường số b.Chứng minh rằng: Vành thương Z 5 /I trường Định nghĩa: Cho R vành giao hốn có đơn vị +Ideanl IR gọi idean nguyên tố xyI xI yI +Ideanl IR gọi idean tối đại I iđêan thật R không bị chứa iđêan thật khác I (nếu có JR mà JI J=X J=I) Ví dụ: Cho R vành giao hốn có đơn vị Chứng minh IR thì: i.I iđêan nguyên tố vành thương R/I miền nguyên ii.I iđêan tối đại R/I trường Ví dụ: cho tập ma trận cấp hai sau: a 0 R : a,b ;A : a a 0 b i.chứng minh R vành giao hốn có đơn vị (+;.) ii.chứng minh AR R/A trường Ví dụ: Cho tập ma trận cấp hai sau: a b m 5n m R : a,b ;A : m,n m b a 5n m Chứng minh A iđêan tối đại R Ví dụ: Cho tập ma trận cấp hai sau: a b R : a,b b a Chứng minh A iđêan tối đại R Bài 11: Đồng cấu vành Định nghĩa: Cho vành X,Y ánh xạ f:X®Y đồng cấu vành a,bX ta có: +f(a+b)=f(a)+f(b) +f(ab)=f(a)f(b) Đồng cấu vành f gọi đơn cấu ánh xạ f đồng thời đơn ánh Đồng cấu vành f gọi toàn cấu ánh xạ f đồng thời toàn ánh Và Đồng cấu vành f gọi đẳng cấu ánh xạ f đồng thời song ánh Dĩ nhiên f đẳng cấu f đồng thời đơn cấu toàn cấu Hạt nhân đồng cấu f là: kerf=f-1(0) iđêan +Khi chứng minh phận A iđêan vành X f đồng cấu f:X®Y với Y vành kerf=A +Đồng cấu vành f:X®Y đơn cấu kerf=0, cho ta việc kiểm tra f đơn ánh ta cần tính kerf +Nếu f:X®Y tồn cấu vành tồn đẳng cấu f’:X/kerf®Y cho f=f’.p p phép chiếu p:X®X/kerf +Khi chứng minh tồn đẳng cấu từ vành thương X/A tới vành Y ta cần thiết lập tồn cấu f:X®Y kerf=A +Nếu f:X®Y đẳng cấu f-1:Y®X đẳng cấu quan hệ đẳng cấu quan hệ tương đương Bài 12: Phần tử khả nghịch phần tử bất khả quy vành giao hoán có đơn vị Các vành giao hốn có đơn vị, miền nguyên xem tổng quát hóa vành Z số nguyên Ta trang bị yếu tố lí thuyết chia hết vành số nguyên nghiên cứu chúng Cho X vành giao hốn có đơn vị a,bX, ta nói a chia hết cho b hay a bội b tồn phần tử cX để cho a=bc Phần tử khả nghịch vành giao hoán có đơn vị X phần tử uX để cho u ước đơn vị Hay u khả nghịch vX mà u.v=1 Tập U tập tất phần tử khả nghịch miền nguyên X lập thành nhóm phép nhân Nếu X vành giao hốn có đơn vị tập U phần tử khả nghịch X lập thành nhóm phép nhân Ví dụ: Bài 13: Vành Định nghĩa 1: Vành miền nguyên X iđêan X iđêan Ví dụ: Tính chất: +Trong vành A, ước chung lớn hai phần tử tồn +Trong vành A, hai phần tử a,b nguyên tố tồn s,t thuộc A mà sa+tb=1 +Trong vành A ab chia hết c (a,c)=1 b chia hết cho c +Trong vành A phần tử p0 khơng khả nghịch bất khả quy ab chia hết cho p a chia hết p b chia hết p + Trong vành A phần tử a0 khơng khả nghịch phân tích thành tích nhân tử bất khả quy phân tích khơng tính đến thứ tự nhân tử hay sai khác nhân tử khả nghịch Ví dụ: Bài 14: Vành Ơclit Định nghĩa: Vành Ơclit miền nguyên A, cho tập A* phần tử khác không xác định ánh xạ g:A*®N, thỏa mãn điều kiện: +Nếu a,bA* mà a\b g(a)g(b) +Mọi a,bA*, b0 ln tồn q,rA cho a=qb+r, r0 g(r)