Đang tải... (xem toàn văn)
Kiến thức Sinh viên cần lĩnh hội được các khái niệm cơ bản về: Ma trận. Định thức. Không gian véc tơ: không gian con, khái niệm tổ hợp, độc lập tuyến tính, cơ sở số chiều hạng véc tơ ... Hệ phương trình tuyến tính. Ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính. Nó là cơ sở của ĐSTT Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương Kỹ năng Sinh viên vận dụng thành thạo tính định thức, giải hệ PTTT, các phép tính về ma trận, cách tìm véc tơ riêng, giá trị riêng, tính hạng ma trận, ma trận chuyển cơ sở. Sinh viên cần nắm vững ánh xạ tuyến tính: sự tồn tại và mối liên hệ với ma trận, khái niệm chéo hoá, đưa ma trận về dạng chéo, nắm vững cách đưa ma trận của phép biến đổi tuyến tính về dạng chính tắc hay trực chuẩn.
Giáo án Đại số tuyến tính CĐ chun ngành Tốn Chương I: ĐỊNH THỨC A- Mục đích yêu cầu: Giúp sinh viên nắm được: Về kiến thức: - Định nghĩa phép thế, nghịch thế, dấu phép thế, phép chẵn, lẻ - Khái niệm ma trận, ma trận vuông, ma trận chuyển vị - Khái niệm định thức, tính chất định thức, định thức con; cách khai triển định thức theo dòng, r dòng - Các phương pháp tính định thức - Khái niệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn, cách giải hệ phương trình bậc n phương trình, n ẩn, phương pháp Cramer Về kĩ năng: - Xác định số nghịch - Vận dụng thành thạo cá tính chất định thức để làm tập - Triển khai định thức theo dịng, r dịng - Biến đổi, tính tốn ma trận, giải hệ phương trình phương pháp Cramer Về thái độ, tư duy: - Có lịng ham mê tìm tịi học hỏi - Phát triển tư logic, trừu tượng B- Chuẩn bị Chuẩn bị giáo viên: - Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham khảo, soạn giáo án Chuẩn bị sinh viên: - Đọc sách giáo trình, đọc trước nhà C- Nội dung cụ thể chương §1 PHÉP THẾ I Định nghĩa phép Định nghĩa: Giả sử tập Xn = {1; 2; …; n} Một song ánh: : X n X n gọi phép tập Xn Nói riêng, song ánh đồng gọi phép đồng Một phép tập Xn gọi chuyển trí hai phần tử i, j thuộc Xn nếu: i j; j i k k , k X n , k i, j Kí hiệu bởi: i, j - Tập hợp tất phép tập Xn, kí hiệu Sn Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính CĐ chun ngành Tốn Phép : X n X n biểu diễn: n 1 3 n i ảnh phần tử i X n tương ứng 4 + Ví dụ: 1 Chú ý: - Ảnh phần tử tập Xn qua phép cho ta hoán vị tập Xn Ngược lại, hoán vị lại xác định phép thế, chẳng hạn hoán vị 4 (3; 4; 2; 1) xác định phép tập X - Số phép tập X n số hoán vị tập ấy, n! Ví dụ: S3 có 3! = phần tử II Nghịch thế: Định nghĩa: Giả sử phép tập X n Với i, j X n , i j ta nói cặp i ; j nghịch i < j i j 3 + Ví dụ: Trên X3 , xét phép thế: có nghịch (2; 1) (3; 1) 1 III Dấu phép thế: Định nghĩa: Ta gọi phép phép chẵn có số chẵn nghịch thế, phép lẻ có số lẻ nghịch Ta gán: Phép chẵn giá trị Phép lẻ giá trị – Giá trị phép gọi dấu kí hiệu Sgn( ) Sgn( ) = chẵn – lẻ Quy ước Sgn( ) = khơng có nghịch + Ví dụ: Xác định dấu phép thế: 3 3 ; 1 2 có nghịch (2; 1) (3; 1) có nghịch (3; 2) Các tính chất * Tính chất 1: i j Sgn i , j i j Chứng minh: Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính CĐ chuyên ngành Toán i j Sgn số nghịch chẵn, -1 số i , j i j nghịch lẻ Trong i, j chạy khắp tập tập gồm phần tử X n Rõ ràng số nhân tử tử số mẫu số + Ta chứng minh tử số có nhân tử i j , tồn h, k X n cho: h i, k j Nếu tử số có h – k mẫu số có h k hay i – j, tử số có k – h mẫu số có j – i 1 i j Vậy: i , j i j i j số âm i ; j nghịch số i j dương ngược lại * Tính chất 2: Với phép Xn, ta có: Sgn Sgn Sgn Chứng minh: i j Sgn Ta có: , đó: i , j i j Nhưng Sgn i , j i , j i j i j i j i j i j i j i j i , j i j Sgn Sgn i ; j chạy khắp tập tập gồm phần tử Xn * Tính chất 3: Mọi chuyển trí phép lẻ Chứng minh: i j n Thật vậy, giả sử i j j i n Khi tất nghịch i, k với k thỏa mãn i k j l , j với l thỏa mãn i l j tức có tất j i j i 1 2 j 1 nghịch 1 + Ví dụ: Xét chuyển trí: 1 Lời giải: Các nghịch dòng thứ Số bé số lớn nên chúng không tham gia vào nghịch Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính CĐ chun ngành Tốn Các nghịch có dạng: 5, r : 5,4 ; 5,3 ; 5,2 s,2 : 3,2 ; 4,2 ; 5,2 Vì nghịch (5,2) nhắc lại lần nên có nghịch Vậy chuyển trí phép lẻ §2 KHÁI NIỆM MA TRẬN I Định nghĩa 1: Một bảng gồm m n số viết thành m dòng, n cột sau: Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính CĐ chun ngành Tốn a11 a12 a 21 a22 am1 am a1n a2 n amn gọi ma trận kiểu m, n Mỗi số aịj gọi thành phần ma trận, nằm dịng thứ i cột thứ j Ma trận thường kí hiệu: A, B, C, … Ma trận A viết: A aij mn Ma trận có dòng (một cột) gọi ma trận dòng (cột) Nếu m = n ma trận A ma trận vuông cấp n viết A aij n + Ví dụ: 1 A ma trận cỡ (3,4) 10 11 12 B = (1 8) ma trận dòng 1 3 C ma trận cột 5 6 II.Định nghĩa 2: Ta gọi ma trận: a11 a21 am1 a a a 12 22 m a1n a2 n amn ma trận chuyển vị ma trận (1) Ma trận chuyển vị ma trận A, kí hiệu At Ac thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i At ( Ac ) Nếu A ma trận kiểu m, n At ma trận kiểu n, m §3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC I Định nghĩa: Cho ma trận: Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính a11 a12 a a22 A 21 an1 an CĐ chuyên ngành Toán a1n a2 n ann (2) Sgn a1 1 a2 an n định thức ma trận A kí ta gọi tổng D S n hiệu: a11 a12 a a22 D 21 an1 an a1n a2 n hay A ann hay det(A) Trong kí hiệu này, aij thành phần, thành phần ai1 , , , ain tạo thành dòng thứ i, thành phần a1 j , a2 j , , anj tạo thành cột thứ j định thức Khi ma trận A vuông cấp n ta nói A định thức cấp n + Ví dụ 1: Nếu A a11 ma trận vuông cấp định thức cấp 1: A a11 II Tính chất định thức: Tính chất 1: Nếu định thức: a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n D ' ai1 ai''1 ai' ai''2 aij' aij'' ain' ain'' an1 an anj ann ' '' mà thành phần dịng thứ i có dạng aij aij aij thì: a11 a12 a21 a22 D ' ai1 ai' an1 an a1 j a1n a11 a12 a2 j a2 n a21 a22 aij' ain' ai''1 ai''2 anj ann an1 an a1 j a1n a2 j a2 n aij'' ain'' anj ann Chứng minh: dựa vào định nghĩa Tính chất 2: Nếu thành phần dịng thứ i định thức có thừa số chung c đặt c ngồi dấu định thức: Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính a11 a12 a1 j a21 a22 a2 j D cai1 cai caij an1 an anj a1n a11 a2 n a21 c cain ai1 ann an1 CĐ chuyên ngành Toán a12 a1 j a1n a22 a2 j a2 n aij ain an anj ann Chứng minh: dựa vào tính chất Tính chất 3: Trong định thức đổi chỗ hai dịng cho định thức đổi dấu a11 a12 a1n a11 a12 a1n ah1 ah ahn ak1 ak akn ak1 ak akn ah1 ah ahn an1 an ann an1 an ann Tính chất 4: Nếu định thức có dịng giống định thức Tính chất 5: Nếu định thức có dịng mà thành phần (cùng cột) tương ứng tỉ lệ định thức Tính chất 6: Nếu nhân thành phần dòng thứ i với số c cộng vào thành phần cột dòng thứ k định thức định thức cho t Tính chất 7: Với At ma trận chuyển vị ma trận A, ta có: A A , tức hai ma trận chuyển vị có định thức Chú ý: Từ tính chất 7, thay từ “dịng” từ “cột” tính chất 1, 2, 3, 4, 5, ta tính chất định thức phát biểu với cột §4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC I Định thức con, phần bù đại số Định nghĩa: Cho định thức D cấp n: i) Nếu chọn r dòng i1 , i2 , , ir r cột j1 , j2 , , jr r n , thành phần j1 jr nằm r dòng r cột lập thành định thức, kí hiệu M gọi i1 ir định thức cấp r D Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính CĐ chun ngành Tốn ii) Nếu xóa r dịng r cột thành phần lại lập thành định j1 jr j1 jr thức kí hiệu M gọi định thức bù định thức M i1 ir i1 ir j1 jr j jr i i j j 1 r r M iii) A gọi phần bù đại số i1 ir i1 ir j jr M i1 ir Chú ý: Mỗi thành phần aij định thức D định thức cấp D Để đơn giản cách viết, định thức phần bù phần bù đại số aij , kí hiệu M ij Aij Ví dụ: Cho: 1 2 D 6 + Có a23 định thức cấp D 1 + M 23 định thức bù -2 6 + A23 1 23 M 23 1 3 1 phần bù đại số -2 6 II Khai triển định thức theo dịng Định lí : Cho định thức D cấp n có thành phần aij Với i 1,2, , n ta có : D ai1 Ai1 Ai ain Ain n a A ij ij j 1 Ta nói cách khai triển định thức theo dịng thứ i Chú ý: Định lý thay từ ‘dòng’ từ ‘cột’ Hệ : Cho định thức D với thành phần aij , ta có : ai1 Ak1 aij Aij ain Akn 0 k i Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính Ví dụ : Tính định thức : CĐ chuyên ngành Toán D 1 Giải: Khai triển theo dòng thứ nhất, ta có : D 2 A11 A12 1A13 11 A11 1 A12 1 12 A13 1 13 29 23 Vậy D = 2.(-29) + 5.23 – = 52 III Khai triển định thức theo r dòng : Định lý Laplace : Nếu định thức D chọn r dòng cố định i1 , i2 , , ir , M , M , , M s tất định thức cấp r D chọn r dòng A1 , A2 , , As phần bù đại số tương ứng : s D M j A j j 1 Ví dụ : Tính định thức : D 2 5 Giải: Chọn dòng Hai dòng cho ta định thức cấp : 0 5 M1 ; M2 ; M3 ;M4 ; M5 ; M6 2 0 2 2 Gọi A1; A2 ; ; A6 phần bù đại số M 1; M ; ; M Theo định lí ta có : D M A1 M A2 M A6 Chỉ có M 0 nên ta tính M4 Vì M4 tạo thành từ dòng 1,3 cột 2,3 nên : Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước Giáo án Đại số tuyến tính A4 1 1323 CĐ chuyên ngành Toán 38 D M A4 11 38 418 5 §5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC Để tính định thức cấp n, ta tiến hành theo hai cách : Cách : Khai triển định thức theo hàng cột để đưa định thức cấp n – (người ta thường biến đổi sơ cấp để làm xuất thêm số hàng cột dự định khai triển để làm giảm bớt số định thức cấp n – ) Cách : Đưa định thức dạng tam giác : Định nghĩa : Định thức tam giác định thức có dạng : Đặng Xuân Quỳnh Khoa Tự nhiên – CĐSP Bình Phước