PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Mục tiêu Sau nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng: - Phân biệt phân phối xác suất phổ biến: phân phối nhị thức, phân phối Poisson phân phối bình thường - Tính xác suất phân phối nhị thức phân phối poisson cung cấp tham số - Xác định phân phối xác suất phân phối chuẩn giá trị bất kì, phép sử dụng bảng số phân phối chuẩn - Tính tỉ lệ dân số có đặc trưng định đại lượng có phân phối bình thường cung cấp tham số bảng số phân phối chuẩn Phân phối xác suất Như trình bày,nếu quan tâm đến giá trị đại lượng xác định kết cục phép thử,chúng ta mô tả biến cố biến số ngẫu nhiên Thí dụ tung đồng tiền mà quan tâm đến số đồng tiên mặt ngửa tạo biến số ngẫu nhiên X số đồng tiền ngửa Khi kí hiệu (X=1) để biến cố gồm kết có số đồng tiền ngửa (gồm biến cố Sấp -Sấp - Ngửa; Sấp - Ngửa - Sấp; Ngửa - Sấp - Sấp) Xác suất biến cố được gọi phân phối xác suất X Áp dụng vào thí dụ có phân phối xác suất X sau: xi Số biến cố thuận lợi f(xi)=P(X=xi) F(xi)=P(X £ x) 1/8 1/8 3/8 4/8 3/8 7/8 1/8 Ðịnh nghĩa: Phân phối xác suất biến số rời rạc bảng mô tả giá trị biến số rời rạc với xác suất xác suất tích luỹ tương ứng Xác suất biến số ngẫu nhiên X gọi hàm khối (mass function) X - kí hiệu f(x) Xác suất tích luỹ biến số ngẫu nhiên X gọi hàm phân phối (distribution function) X kí hiệu F(x) Hai đặc tính phân phối xác suất biến số rời rạc: (1) £ P(X=x) £ (2) S P(X=x) = Có hai phân phối xác suất rời rạc sử dụng rộng rãi phân phối nhị thức phân phối Poision Chúng ta thảo luận hai phân phối phân phối bình thường phần sau Phân phối nhị thức Bài toán: Giả sử thực n phép thử đồng độc lập với nhau, phép thử có kết thành công hay thất bại với xác suất thành công lần thử p Hãy tính xác suất có x lần thành cơng Khi thực n lần thử có n kết cục Trong số kết cục có x lần thành cơng = px(1-p)n-x số kết cục có x lần thành cơng nCr Vì vậy, xác suất có x lần thành cơng sau n lần thử P( X  x) n C x p x (1  p ) ( n  x ) Do xác suất phụ thuộc vào x nên hàm số x gọi hàm khối xác suất nhị thức (binomial probability mass function) f ( x)  P( X  x) n C x p x (1  p ) ( n  x ) Thí dụ: giả sử dân số định, tỉ lệ sinh trai 52% Nếu xem xét kết lần sinh Để tính xác suất lần sinh có lần sinh trai lập luận sau: - Ðể lần sinh có lần sinh trai, có 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác (đó TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT, GTTGT) Xác suất xảy cách = 0,52 3(1-0,52)2= 0,2304 x 0,1406 = 0,032 Như xác suất lần sinh có lần sinh trai 10 x 0,032 = 0,32 - Chúng ta xem lần sinh thử nghiệm nhị thức gồm lần thử đồng lần thử có hai kết (sinh trai sinh gái ) xác suất sinh trai 0,52 không thay đổi lần thử Áp dụng hàm mật độ xác suất nhị thức ta f (3)  P( X 3) 5 C3 0,523 0,48(5 3) 0,32 Thí dụ: Cho 10% niên dân số hút thuốc Để tính xác suất có niên hút thuốc nhóm 10 niên sử dụng hàm mật độ xác suất nhị thức với n = 10, x = 2, and p = 0,1 Trong trường hợp xác suất 0,1937 Thí dụ: Giả sử có 30% trẻ tuổi bị suy dinh duỡng Trong mẫu 10 trẻ 5, tính xác suất có bị suy dinh dưỡng Phân phối Poisson Bài toán: Giả sử đơn vị thời gian trung bình có l lần xuất kết cục quan tâm Hãy tính xác suất đơn vị thời gian có x lần xuất kết cục Giả định đơn vị thời gian chia thành N phân tử thời gian với N số vơ lớn Khi xác suất xảy kết cục quan tâm phân tử thời gian l/N Khi tốn đặt dạng: Thực thử nghiệm nhị thức với N lần thử đồng xác suất xảy kết quan tâm lần thử l/N Áp dụng công thức hàm mật độ xác suất nhị thức ta x x f ( x) P ( X  x) N C x p (1  p) x Nx l  l  1  x  x! N  N  N ( l ) l x f ( X  x)  x l e l  x! l e l x! ( N  x) N ( N  1)  ( N  x  1)  l   l    1   x! N  N ( N  x) để nắm vững phép biến đổi đại số kể cần nhớ lại định nghĩa số e (cơ số logarithm Neper) U 1  e  lim    U    U  =2,7183 Bài toán: Giả sử đơn vị thời gian trung bình có l lần xuất kết cục quan tâm Hãy tính xác suất t đơn vị thời gian có x lần xuất kết cục Giả định đơn vị thời gian chia thành N phân tử thời gian với N số vô lớn Như t đơn vị thời gian có Nt phân tử thời gian Xác suất xảy kết cục quan tâm phân tử thời gian l/N Khi tốn phát biểu dạng: Thực thử nghiệm nhị thức với Nt lần thử đồng xác suất xảy kết quan tâm lần thử l/N Áp dụng công thức hàm mật độ xác suất nhị thức ta f ( x) P ( X  x) Nt C x p x (1  p )( Nt  x )  x  Nt x Nt ( Nt  1)  ( Nt  x  1)  l    x! N x l  1   N   Nt ( l ) ( l ) (l t ) x e  lt N xt x l  l l t xl  l l    1   1   x! N x  N x!  N x! Một cách tổng quát, phân phối Poisson dùng làm mơ hình cho số lần xuất biến số thuận lợi khoảng thời gian (t đơn vị thời gian) biết l, trung bình số lần xuất biến cố đơn vị thời gian Hàm khối xác suất Poisson trình bày cơng thức sau f ( X  x)  (l t ) x e  lt x! với l tham số phân phối số lần xuất trung bình biến cố khoảng thời gian định (hay không gian định) e=2,7183 Thí dụ: Giả sử số lần nhập viện ngày cấp cứu bệnh viện có phân phối Poisson với số lần nhập viện trung bình lần/ngày Tính xác suất a Vào ngày 12 tháng năm 2003, có trường hợp cấp cứu b Vào ngày 12 tháng năm 2003, có trường hợp cấp cứu c Trong tuần có trường hợp cấp cứu Tỉ suất Số lần xuất trung bình biến cố đơn vị thời gian, l, gọi tỉ suất (rate) hay mật độ mắc (incidence rate) Khác với xác suất, l đại lượng có đơn vị Qua hàm khối phân phối Poisson nhận xét trung bình số lần xuất biến cố đơn vị thời gian l trung bình số lần xuất t đơn vị thời gian lt Phân phối xác suất biến liên tục Giả sử ta muốn tìm phân phối xác suất biến liên tục (thí dụ trọng lượng trẻ sơ sinh), ta phân loại trọng lượng sơ sinh thành nhiều nhóm nhỏ (thí dụ từ 2,0kg đến < 2,1 kg, từ 2,1kg đến < 2,2 kg, v.v) Khi biến liên tục trở thành biến số ( Nt  x ) rời rạc ta dùng phương pháp phân phối xác suất biến rời rạc cho loại biến số Nếu lại chia thành nhóm nhỏ hơn, phân phối tinh vi và: - Ða giác tần suất trở thành đường cong trơn gọi hàm mật độ (density function) phân phối với kí hiệu f(x) - Phần diện tích đường cong, bao quanh trục x hai đường thẳng vng góc qua a b P (a < X ≤ b) - Phần diện tích đường cong nằm bên trái đường thẳng vng góc qua x xác suất biến số ngẫu nhiên nhỏ hay x, kí hiệu P(X£x) hay F(x) gọi hàm phân phối (distribution function) biến ngẫu nhiên X Phân phối bình thường Phân phối bình thường phân phối xác suất liên tục phổ biến Hình đồ thị phân phối xác suất bình thường với trung bình độ lệch chuẩn Hình Phân phối xác suất bình thường - Phân phối bình thường phân phối có hàm mật độ: 2 e  ( x   ) / 2 2 Với  trung bình phân phối với  2 phương sai độ lệch chuẩn phương sai phân phối Để thể biến số X có phân phối bình thường với trung bình  phương sai 2 cịn sử dụng kí hiệu X ~ N(,2) Phân phối bình thường có đặc tính quan trọng sau: - Mật độ cao tập trung quanh giá trị , xa giá trị  hàm mật độ giảm - Hàm mật độ tiến tới zero giá trị cách xa  - Hàm mật độ đối xứng qua đường thẳng đứng qua  - Ngồi từ hàm mật độ phân phối bình thường người ta chứng minh biến số có phân phối bình thường với trung bình  độ lệch chuẩn , xác suất giá trị biến số nằm từ trung bình – 1,96 độ lệch chuẩn đến trung bình + 1,96 độ lệch chuẩn 95% f ( x)  X~N(,2) => P( - 1,96