Đang tải... (xem toàn văn)
Giải tích 1 Chương 2 Hàm số: Giới hạn và tính liên tục Full dạng Free Video Playlists 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 3. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 4. GIẢI TÍCH 2: https:tinyurl.comGiaiTich2Full 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XÁC SUẤT THỐNG KÊ: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni MomoShopeeVietinbankTechcombankVPBank: 0986.960.312 Hoang Ba Manh
EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG HÀM SỐ: GIỚI HẠN & TÍNH LIÊN TỤC Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế NXB Đại học KTQD ĐH KTQD Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010) Giáo trình Giải tích NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập II Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: GIẢI TÍCH 2: TOÁN CAO CẤP NEU: XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: KINH TẾ LƯỢNG: KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: DONATE cho Eureka! Uni https://tinyurl.com/GiaiTich1Full https://tinyurl.com/GiaiTich2Full https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao * Momo/Shopee/Vietinbank/Techcombank/VPBank: 0986.960.312 Hoang Ba Manh MỤC LỤC DẠNG SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1 Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞ 1.1.1 1.1.2 1.2 1.2.2 2.2 Giới hạn vô hạn Giới hạn hàm sơ cấp Giới hạn hàm sơ cấp, hàm hợp DẠNG CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH CƠ BẢN 10 3.1 Tóm tắt lý thuyết 10 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 Các dạng vô định giới hạn vô định 10 Các giới hạn vô định kéo theo thường dùng 10 Tổng kết giới hạn vô định kéo theo thường dùng 12 Ví dụ luyện tập lời giải 13 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Giới hạn hữu hạn DẠNG CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN 2.1 Giới hạn vô hạn Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn 1.2.1 Giới hạn hữu hạn Ví dụ luyện tập 13 Các quy tắc tính giới hạn 13 Giải ví dụ luyện tập 13 DẠNG SỬ DỤNG VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG 16 4.1 Vô bé tương đương dạng 16 4.1.1 4.1.2 4.2 Ứng dụng VCB tương đương tính giới hạn 17 Tìm Vơ bé tương đương cho tổng vô bé 21 4.2.1 4.2.2 4.3 Vô bé vô bé tương đương 16 Tổng vô bé khác bậc – ngắt bỏ VCB bậc cao 21 Tổng vô bé bậc 22 Tìm VCB tương đương khai triển Taylor, Maclaurin 25 4.3.1 4.3.2 4.3.3 5.2 6.2 6.3 Nội dung Quy tắc kẹp 36 Ví dụ luyện tập 36 Nội dung Quy tắc L’Hospital 41 Một số đạo hàm 42 Ví dụ luyện tập giải chi tiết 43 DẠNG GIỚI HẠN DẠNG THỨC LŨY THỪA MŨ 47 7.1 Cách cách dùng riêng cho 1∞ 47 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.2 Áp dụng tính giới hạn 28 DẠNG QUY TẮC L’HOSPITAL 41 6.1 Khai triển gián tiếp cho hàm hợp 27 DẠNG QUY TẮC KẸP (VƠ CÙNG BÉ) × (HÀM BỊ CHẶN) 36 5.1 Các khai triển Maclaurin thường gặp 26 Giới hạn vô định 1∞ 47 Đổi số 𝒆𝒆 49 Quy tắc dùng cho dạng 𝟏𝟏∞ 50 Phương pháp Logarit hóa 50 DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 57 8.1 Hàm số liên tục, gián đoạn phân loại điểm gián đoạn 57 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.1.5 8.2 Gián đoạn điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 59 Liên tục miền 60 Tính liên tục hàm sơ cấp 60 Tính chất hàm liên tục 60 Hàm số Liên tục 61 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3 Liên tục điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 57 Định nghĩa 61 Minh họa Hàm số liên tục 61 Minh họa Hàm số không liên tục 62 Ví dụ luyện tập 63 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) DẠNG SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1 Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞ 1.1.1 Giới hạn hữu hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn 𝐿𝐿 𝑥𝑥 → ∞ ∀ 𝜀𝜀 > bé tùy ý, ∃ 𝑥𝑥0 > cho ∀ |𝑥𝑥 | > 𝑥𝑥0 thì: |𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀 Ví dụ Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: 𝑥𝑥 lim = − 𝑥𝑥→+∞ − 3𝑥𝑥 Xét 𝜀𝜀 > 𝑥𝑥 → +∞ nên xét 𝑥𝑥 > 1, ta có: 2 𝑥𝑥 + � = � � = < < 𝜀𝜀 � − 3𝑥𝑥 3(2 − 3𝑥𝑥 ) 3(3𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 > ⇒ ⇔ 𝑥𝑥 > 𝜀𝜀 (3𝑥𝑥 − 2) > 3𝑥𝑥 − = 𝑥𝑥 + 2(𝑥𝑥 − 1) > 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥 ⇒ 3(3𝑥𝑥 − 2) < 𝑥𝑥 Vậy với > 𝜀𝜀 > bé tùy ý chọn 𝑥𝑥0 = , ∀𝑥𝑥 > 𝑥𝑥0 , ta ln có: Theo định nghĩa: 𝜀𝜀 𝑥𝑥 + � < 𝜀𝜀 � − 3𝑥𝑥 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑥𝑥 lim = − 𝑥𝑥→+∞ − 3𝑥𝑥 Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 = − lim 𝑥𝑥→−∞ − 3𝑥𝑥 Xét 𝜀𝜀 > 𝑥𝑥 → −∞ nên xét 𝑥𝑥 < −1, ta có: 2 1 𝑥𝑥 | | + � = � � = < < 𝜀𝜀 ⇔ 𝑥𝑥 > � − 3𝑥𝑥 3(2 − 3𝑥𝑥 ) 3|3𝑥𝑥 − 2| |𝑥𝑥 | 𝜀𝜀 1 ⇔ −𝑥𝑥 > ⇔ 𝑥𝑥 < − 𝜀𝜀 𝜀𝜀 3 𝑥𝑥 < −1 ⇒ |3𝑥𝑥 − 2| = (3𝑥𝑥 − 2) > 3𝑥𝑥 − = 𝑥𝑥 + 2(𝑥𝑥 − 1) 2 > 𝑥𝑥 > |𝑥𝑥 | Vậy, với > 𝜀𝜀 > bé tùy ý, chọn 𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥 < −𝑥𝑥0 , ta ln có: 𝜀𝜀 Theo định nghĩa: 1.1.2 𝑥𝑥 + � < 𝜀𝜀 � − 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 = − lim 𝑥𝑥→−∞ − 3𝑥𝑥 Giới hạn vơ hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn ∞ 𝑥𝑥 → ∞ ∀ 𝐸𝐸 > lớn tùy ý, ∃ 𝑥𝑥0 cho ∀ |𝑥𝑥 | > 𝑥𝑥0 thì: |𝑓𝑓(𝑥𝑥 )| > 𝐸𝐸 Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Ví dụ Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 = −∞ lim 𝑥𝑥→−∞ 2𝑥𝑥 − Xét 𝐸𝐸 > 𝑥𝑥 → −∞ nên ta xét 𝑥𝑥 < −1, lúc ta có: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 �= > = > 𝐸𝐸 ⇔ 𝑥𝑥 < −5𝐸𝐸 � 2𝑥𝑥 − 3 − 2𝑥𝑥 −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 −5 𝑥𝑥 < −1 ⇒ −𝑥𝑥 > ⇒ − 2𝑥𝑥 < −3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = −5𝑥𝑥 Theo 𝐸𝐸 > lớn tùy ý 𝑥𝑥 < −5𝐸𝐸, ta ln có: Vậy theo định nghĩa: 𝑥𝑥 � > 𝐸𝐸 � 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = −∞ lim 𝑥𝑥→−∞ 2𝑥𝑥 − 1.2 Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn 1.2.1 Giới hạn hữu hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn 𝐿𝐿 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 ∀ 𝜀𝜀 > bé tùy ý, ∃ 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿 (𝜀𝜀 ) > cho ∀ |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 thì: |𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) − 𝐿𝐿| < ⋯ < 𝑘𝑘 |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝜀𝜀 Ví dụ Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: √𝑥𝑥 + =1 𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥 − lim Xét 𝜀𝜀 > 𝑥𝑥 → nên ta xét 𝑥𝑥 > 2, đó: 𝑘𝑘|𝑥𝑥 − 3| < 𝜀𝜀 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube � Eureka Uni (facebook.com) √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 + − (2𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + − 2(𝑥𝑥 − 3) − 1� = � �=� − � 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + − � + 2� � bé tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀/3 Khi với |𝑥𝑥 − 3| < 𝛿𝛿 ta ln có: Vậy, theo định nghĩa: 1.2.2 � √𝑥𝑥 + − 1� < 𝜀𝜀 2𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + =1 𝑥𝑥→3 2𝑥𝑥 − lim Giới hạn vơ hạn Hàm số 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) có giới hạn ∞ 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 ∀ 𝐸𝐸 > lớn tùy ý, ∃ 𝛿𝛿 = 𝛿𝛿 (𝐸𝐸 ) > cho ∀ |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 thì: |𝑓𝑓 (𝑥𝑥 )| > 𝐸𝐸 ⇔ ⋯ ⇔ 𝑘𝑘|𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝑔𝑔(𝐸𝐸) Ví dụ Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng: Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2)2 lim Eureka Uni (facebook.com) Xét 𝐸𝐸 > 𝑥𝑥 → nên ta xét 𝑥𝑥 > 1, đó: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 ( ) � = > > 𝐸𝐸 ⇔ 𝑥𝑥 − < ⇔ |𝑥𝑥 − 2| (𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2 𝐸𝐸 < √𝐸𝐸 � Với 𝐸𝐸 > lớn tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 1/√𝐸𝐸 Khi với |𝑥𝑥 − 2| < 𝛿𝛿 ta ln có: Vậy, theo định nghĩa: 𝑥𝑥 � > 𝐸𝐸 (𝑥𝑥 − 2)2 � 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2)2 lim Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) DẠNG CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN XÁC ĐỊNH VÔ ĐỊNH • Tồn • GH • Tồn tại??? • dạng • GH 2.1 Giới hạn hàm sơ cấp 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 (0, +∞) ℝ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = tan 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = cot 𝑥𝑥 𝜋𝜋 ℝ \{𝑘𝑘𝑘𝑘, } ℝ \ � + 𝑘𝑘𝑘𝑘, � 𝑘𝑘 ∈ ℤ 𝑘𝑘 ∈ ℤ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = arcsin 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arccos 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arctan 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = arccot 𝑥𝑥 (−∞, +∞) (−∞, +∞) [−1,1] [−1,1] 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝐶𝐶 ℝ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = sin 𝑥𝑥 ℝ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 𝛼𝛼 (0, +∞) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = cos 𝑥𝑥 ℝ Tại điểm 𝑥𝑥0 thuộc MXĐ lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 Tại đầu mút MXĐ 0, 𝛼𝛼 > lim+ 𝑥𝑥 𝛼𝛼 = � +∞, 𝛼𝛼 < 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 → 0+ : 𝑥𝑥 → 0, 𝑥𝑥 > Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook lim+ 𝑥𝑥 0,2 = 𝑥𝑥→0 lim+ 𝑥𝑥 −0,2 = lim+ 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 = +∞ 𝑥𝑥 0,2 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 54 Eureka Uni (facebook.com) 𝐿𝐿7 = lim (𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥 )𝑥𝑥 (∞0 ) = lim 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ln�𝑒𝑒 𝑥𝑥→+∞ Xét giới hạn 𝑥𝑥→+∞ 3𝑥𝑥 −cos 2𝑥𝑥� = 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥 )′ ln(𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥 ) ∞ (𝐿𝐿) lim � � = lim 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∞ 3𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − (−2 sin 2𝑥𝑥 ) 3𝑒𝑒 3𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥 = lim = lim 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥 Nhận xét: Do hàm mũ hàm lượng giác đạo hàm có tính lặp lại ⇒ tiếp tục đạo hàm biểu thức đơn giản + 3𝑥𝑥 sin 2𝑥𝑥 + 3𝑒𝑒 3𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 lim = lim = =3 3𝑥𝑥 𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 𝑥𝑥→+∞ − cos 2𝑥𝑥 − − 3𝑥𝑥 cos 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 Quy tắc kẹp = 0, 𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 lim |cos 2𝑥𝑥 | ≤ 1, |sin 2𝑥𝑥 | ≤ 1 sin 2𝑥𝑥 = lim cos 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 𝑥𝑥→+∞ 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 lim 𝑒𝑒 +∞ = +∞, cos(+∞) khơng tồn Ví dụ 𝑥𝑥 �1 + 4𝑥𝑥 � − √𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝐿𝐿8 = lim 𝑥𝑥 ��1 + � − √𝑒𝑒 � (0∞) = lim 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥→+∞ 4𝑥𝑥 𝑥𝑥 Lưu ý: 𝑥𝑥 → +∞, đặt ẩn 𝑡𝑡 = 1/𝑥𝑥 để biểu gọn đẹp 𝑡𝑡 → 0+ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 55 Eureka Uni (facebook.com) 1 1 𝑡𝑡 ln�1+4𝑡𝑡� �1 + 𝑡𝑡� − √𝑒𝑒 𝑡𝑡 𝑒𝑒 − 𝑒𝑒 𝐿𝐿8 = lim+ = lim+ 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1 1 1 ln�1+4𝑡𝑡�−4 1 𝑡𝑡 𝑒𝑒 �𝑒𝑒 − 1� 𝑒𝑒 � ln �1 + 𝑡𝑡� − � 𝑡𝑡 4 = lim+ = lim+ 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1 ln �1 + 𝑡𝑡� ln �1 + 𝑡𝑡� − 𝑡𝑡 − 4 = 𝑒𝑒 lim 𝑡𝑡 4𝑡𝑡 = √𝑒𝑒 lim+ √ + 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡 𝑡𝑡 −1 1 ln + 𝑡𝑡� − 𝑡𝑡 �1 + 𝑡𝑡 (𝐿𝐿) 4 4 = √𝑒𝑒 lim+ � � = √𝑒𝑒 lim+ 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡→0 8𝑡𝑡 4𝑡𝑡 −1 −1 √𝑒𝑒 4 + 𝑡𝑡 + = √𝑒𝑒 lim+ = √𝑒𝑒 × =− 𝑡𝑡→0 8 32 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ln 𝑎𝑎 , 𝑢𝑢 → 0: (𝑒𝑒 𝑢𝑢 − 1)~𝑢𝑢 tan(sin 𝑥𝑥 ) 𝐿𝐿9 = lim � � 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 Đã có video chữa chi tiết cho 𝐿𝐿9 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑥𝑥 (1∞ ) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 56 Eureka Uni (facebook.com) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 57 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 8.1 Hàm số liên tục, gián đoạn phân loại điểm gián đoạn 8.1.1 Liên tục điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) xác định 𝐷𝐷, liên tục điểm 𝑥𝑥0 ∈ 𝐷𝐷 ⇔ lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑦𝑦 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) Hoặc 𝑥𝑥0 Minh họa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0− 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0− lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0+ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 58 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑦𝑦 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥0 Minh họa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥0 Minh họa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục 𝑥𝑥0 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑥𝑥 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑦𝑦 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 59 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � ℎ(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥0 𝑔𝑔(𝑥𝑥) Eureka Uni (facebook.com) ℎ(𝑥𝑥) 𝑥𝑥0 Minh họa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 Ngược lại, 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) gián đoạn 𝑥𝑥0 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) ∃ lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) ≠ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) ≠ lim+ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0− 8.1.2 Loại 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 Gián đoạn điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 Bước nhảy lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0− ) ≠ lim+ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ ) 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0− ) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 60 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑦𝑦 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ℎ(𝑥𝑥) 𝑥𝑥0 Minh họa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) gián đoạn loại 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 Loại Còn lại 8.1.3 Liên tục miền 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) liên tục 𝐷𝐷 liên tục 𝑥𝑥0 ∈ 𝐷𝐷 8.1.4 Tính liên tục hàm sơ cấp Các hàm sơ cấp liên tục lại điểm thuộc MXĐ tự nhiên 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 8.1.5 sin 𝑥𝑥 liên tục 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 Tính chất hàm liên tục TC1: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) liên tục [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] đạt GTLN GTNN đoạn Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 61 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) TC2: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) liên tục [a,b] 𝑓𝑓 (𝑎𝑎) 𝑓𝑓 (𝑏𝑏) < ∃ 𝑥𝑥 ∗ ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] cho 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ∗ ) = Định lý giá trị trung gian: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) liên tục [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], max 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑀𝑀, 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑁𝑁 𝐾𝐾 ∈ (𝑁𝑁, 𝑀𝑀) thì: 𝑥𝑥∈[𝑎𝑎,𝑏𝑏] 𝑥𝑥∈[𝑎𝑎,𝑏𝑏] ∃ 𝑐𝑐 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]: 𝑓𝑓(𝑐𝑐) = 𝐾𝐾 8.2 Hàm số Liên tục 8.2.1 Định nghĩa 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) liên tục 𝐷𝐷 với số 𝜀𝜀 > bé tùy ý, tồn 𝛿𝛿 (𝜀𝜀 ) > cho ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐷𝐷 thỏa mãn |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| < 𝛿𝛿 ta ln có: |𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓(𝑦𝑦)| < 𝜀𝜀 Lưu ý 1: 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) liên tục 𝐷𝐷 liên tục 𝐷𝐷 Lưu ý 2: 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) liên tục tập 𝐷𝐷 đóng bị chặn liên tục 8.2.2 Minh họa Hàm số liên tục 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 liên tục tồn ℝ Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 62 Eureka Uni (facebook.com) Có thể vẽ đồ thị 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 nét vẽ tay 8.2.3 Minh họa Hàm số không liên tục 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 khơng liên tục tồn (0, +∞) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 63 Eureka! Uni - YouTube 8.3 Ví dụ luyện tập Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau 𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = � − , Giải 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 (0)? 𝑥𝑥→0 𝑓𝑓(0) = − 𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥 (𝐿𝐿) − (1 + tan2 𝑥𝑥 ) � � = lim lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = lim 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 3𝑥𝑥 − tan2 𝑥𝑥 = lim = − = 𝑓𝑓(0) 𝑥𝑥→0 3𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ) ( − sin , 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = � 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎, Giải 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 = theo giá trị 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = 𝑔𝑔(1)? 𝑥𝑥→1 𝑔𝑔(1) = 𝑎𝑎 lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = lim (2𝑥𝑥 − 2) sin 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥→1 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook = (theo quy tắc kẹp) 𝑥𝑥 − Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube �sin Với 𝑎𝑎 = 0, ta có: 64 � ≤ 1, 𝑥𝑥 − Eureka Uni (facebook.com) lim (2𝑥𝑥 − 2) = 𝑥𝑥→1 lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = 𝑔𝑔(1) 𝑥𝑥→1 ⇒ 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) liên tục 𝑥𝑥 = Với 𝑎𝑎 ≠ 0, ta có: lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) ≠ 𝑔𝑔(1) 𝑥𝑥→1 ⇒ 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) không liên tục (gián đoạn) 𝑥𝑥 = Vậy, 𝑔𝑔(𝑥𝑥) gián đoạn 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ≠ liên tục 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 + Nháp: , ℎ(𝑥𝑥 ) = �1 + 3𝑥𝑥+2 0, 𝑥𝑥 ≠ −2 𝑥𝑥 = −2 lim ℎ(𝑥𝑥 ) = lim + ℎ(𝑥𝑥 ) = ℎ(−2) 𝑥𝑥→−2− 𝑥𝑥→−2 lim ℎ(𝑥𝑥 ) = lim 𝑥𝑥→−2 𝑥𝑥→−2 𝑥𝑥 + 1 + 3𝑥𝑥+2 3∞ =? ⇒ 3+∞ = +∞, = 1 + 30 3−∞ = ⇒ Giới hạn 𝑥𝑥 = −2 khơng tồn ⇒ giới hạn phía Chú ý: Do khơng nói rõ xét liên tục 𝑥𝑥0 =? Cho nên phải xét toàn ℝ Với 𝑥𝑥 ≠ −2, lúc Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 65 ℎ(𝑥𝑥 ) = Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥+2 1+ hàm sơ cấp ⇒ ℎ(𝑥𝑥) liên tục 𝑥𝑥 ≠ −2 (1) Tại 𝑥𝑥 = −2 ta có: ℎ(−2) = lim − ℎ(𝑥𝑥 ) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙− 𝑥𝑥→−2 𝑥𝑥→−2 1+ lim + ℎ(𝑥𝑥 ) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + 𝑥𝑥→−2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥→−2 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥 + 1+ = 3𝑥𝑥+2 −2 + =1 1+0 =0 � � +∞ � 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℎ(𝑥𝑥 ) ⇒ lim − ℎ(𝑥𝑥 ) ≠ lim + ℎ(𝑥𝑥 ) ⇒ ∃ 𝑥𝑥→−2 𝑥𝑥→−2 ⇒ ℎ(𝑥𝑥 ) 𝑘𝑘ℎô𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑙𝑙ê𝑛𝑛 𝑡𝑡ụ𝑐𝑐 𝑡𝑡ạ𝑖𝑖 𝑥𝑥 = −2 (2) 𝑥𝑥→−2 Từ (1) (2), ℎ(𝑥𝑥 ) liên tục 𝑥𝑥 ≠ −2 gián đoạn (loại – không yêu cầu khơng cần ra) 𝑥𝑥 = −2 Ví dụ Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số sau: 𝑦𝑦1 = Giải cos 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦1 không xác định 𝑥𝑥 = ⇒ 𝑦𝑦1 gián đoạn loại 𝑥𝑥 = vì: cos 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 lim− 𝑦𝑦1 = lim− = −∞ 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 lim+ 𝑦𝑦1 = lim+ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 66 Eureka! Uni - YouTube Giải Eureka Uni (facebook.com) ln(1 + 𝑥𝑥 ) − 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦2 = � 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 − 3, 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥 ≤ ln(1 + 𝑥𝑥 ) − 𝑥𝑥 hàm sơ cấp ⇒ 𝑦𝑦2 liên tục 𝑥𝑥 2𝑥𝑥 > 𝑥𝑥 > 0: 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥 < 0: 𝑦𝑦2 = 2𝑥𝑥 − hàm sơ cấp ⇒ 𝑦𝑦2 liên tục 𝑥𝑥 < Tại 𝑥𝑥 = 0, ta xét: 𝑦𝑦2 (0) = × − = −3 lim 𝑦𝑦2 = lim−( 2𝑥𝑥 − 3) = −3 = 𝑦𝑦2 (0) 𝑥𝑥→0− 𝑥𝑥→0 ⇒ 𝑦𝑦2 liên tục trái 𝑥𝑥 = 1 − − (𝐿𝐿) (𝐿𝐿) ( ) ln + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 (1 + 𝑥𝑥 )2 + 𝑥𝑥 = lim+ = lim+ lim 𝑦𝑦2 = lim+ 𝑥𝑥→0+ 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 4𝑥𝑥 2𝑥𝑥 = − ≠ 𝑦𝑦2 (0) ⇒ 𝑦𝑦2 không liên tục phải 𝑥𝑥 = ⇒ 𝑦𝑦2 gián đoạn 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = điểm gián đoạn loại 1 Bước nhảy: − − (−3) = 11 , 𝑥𝑥 𝑦𝑦3 = + 𝑥𝑥, ⎨ ⎪ ⎩𝑥𝑥 − , ⎧ ⎪ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑥𝑥 ≤ −1 −1 < 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥 > Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 67 Eureka! Uni - YouTube Giải Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 < −1 ⇒ 𝑦𝑦3 hàm sơ cấp ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục 𝑥𝑥 < −1 −1 < 𝑥𝑥 < ⇒ 𝑦𝑦3 hàm sơ cấp ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục −1 < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 > ⇒ 𝑦𝑦3 hàm sơ cấp ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục 𝑥𝑥 > Tại 𝑥𝑥 = −1, ta có: lim − 𝑦𝑦3 = lim − 𝑥𝑥→−1 𝑥𝑥→−1 𝑦𝑦3 (−1) = =1 (−1)2 = = 𝑦𝑦3 (−1) ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục trái 𝑥𝑥 = −1 𝑥𝑥 lim 𝑦𝑦3 = lim +(2 + 𝑥𝑥 ) = = 𝑦𝑦3 (−1) ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục phải 𝑥𝑥 𝑥𝑥→−1+ 𝑥𝑥→−1 = −1 ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục 𝑥𝑥 = −1 Tại 𝑥𝑥 = ta có: 𝑦𝑦3 (2) = + = lim 𝑦𝑦3 = lim−(2 + 𝑥𝑥 ) = = 𝑦𝑦3 (2) ⇒ 𝑦𝑦3 liên tục trái 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥→2− 𝑥𝑥→2 lim+ 𝑦𝑦3 = lim+ 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→2 1 = +∞ � + � 𝑥𝑥 − ⇒ 𝑦𝑦3 gián đoạn loại 𝑥𝑥 = Vậy, 𝑦𝑦3 gián đoạn loại 𝑥𝑥 = Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 68 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: TOÁN CAO CẤP NEU: XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: KINH TẾ LƯỢNG: KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: DONATE cho Eureka! Uni https://tinyurl.com/GiaiTich2Full https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao * Momo/Shopee/Vietinbank/Techcombank/VPBank: 0986.960.312 Hoang Ba Manh Kênh nhóm học tập * Youtube Eureka Uni: https://www.youtube.com/EurekaUni * Group Xác suất thống kê: https://fb.com/groups/xacsuatneu * Group Kinh tế vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu * Group Toán cao cấp: * Group Kinh tế lượng: * Group Kinh tế vĩ mô: * Fanpage Eureka! Uni: * Fanpage Eureka! Uni: * Website Eureka! Uni: Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook https://fb.com/groups/toancaocap.neu https://fb.com/groups/kinhteluong.neu https://fb.com/groups/macroeconomics.neu https://fb.com/EurekaUni.Official https://fb.com/eureka.uni.vn https://eureka-uni.com Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook