Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi viết chung với đồng tác giả Các kết viết chung với đồng tác giả trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tai Lieu Chat Luong Nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng thống kê ký hiệu Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 11 0.3 Phương pháp nghiên cứu 11 0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu luận án 12 0.5 Các kết đạt ý nghĩa đề tài 13 Tính chất địa phương lớp Eχ,loc (Ω) 15 1.1 Giới thiệu 15 1.2 Kiến thức chuẩn bị 18 1.2.1 Lớp N (Ω) 18 1.2.2 Lớp Eχ,loc (Ω) 19 Tính chất địa phương lớp Eχ,loc 20 1.3 Tô pô không gian δEχ 30 2.1 Giới thiệu 30 2.2 Kiến thức chuẩn bị 31 2.2.1 Các lớp Cegrell 32 2.2.2 Không gian δEχ 32 2.2.3 Khái niệm dung lượng 33 Các kết không gian δEχ 34 2.3.1 Tô pô không gian δEχ 34 2.3.2 Sự hội tụ không gian δEχ 39 2.3.3 Tốn tử Monge-Ampère khơng gian δEχ 41 2.3.4 Một số ý 46 2.3 Hội tụ theo dung lượng siêu mặt phức trơn ca a Kă ahler compact 48 3.1 Gii thiu 48 3.2 Kiến thức chuẩn bị 49 3.3 Sự hội tụ theo dung lượng siêu mặt phức trơn 54 Kết luận 65 Các cơng trình sử dụng luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 Phụ lục 74 Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Phạm Hoàng Hiệp Nhân dịp này, xin gửi đến Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi thực cảm thấy vô may mắn làm việc Thầy nhận nhiều hướng dẫn trình làm nghiên cứu sinh Nhân xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS TSKH Lê Mậu Hải GS TSKH Nguyễn Quang Diệu trao đổi lời góp ý vơ q báu Thầy Đặc biệt GS TSKH Nguyễn Văn Khuê gợi mở việc so sánh tô pô xây dựng δEχ chương với tô pô cảm sinh từ tô pô xây dựng tác giả khác trước Điều khiến cho việc nhận thức tô pô vừa xây dựng thêm sâu sắc kết đạt chương thêm hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Giảng viên, thành viên nhóm seminar Giải tích phức Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội có tranh luận, trao đổi, góp ý hữu ích q trình làm nghiên cứu sinh Tổ môn Lý thuyết hàm Các kết luận án viết thành ba báo cụ thể sau: • [1] Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), "Convergence in ca4 pacity on smooth hypersurfaces of compact Kăahler manifolds", Ann Polon Math 103, 175-187 • [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hồng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Local property of the class Eχ,loc ", J Math Anal Appl., 402, 440–445 • [3] Hoàng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δEχ ", Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73 Nhân muốn gửi lời cảm ơn tới GS S Kolodziej trao đổi, góp ý làm hồn thiện số kết luận án Tôi biết ơn Phòng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tạo điều kiện để thực đầy đủ thủ tục kịp thời quy chế trình làm nghiên cứu sinh Nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy Bảng thống kê ký hiệu Ký hiệu Nội dung PSH− (Ω) Tập hàm đa điều hòa âm Ω PSH(X, ω) Tập hàm tựa đa điều hòa đa tạp X E0 Xem định nghĩa mục 2.2.1 F Xem định nghĩa mục 2.2.1 E Xem định nghĩa mục 2.2.1 χ Xem định nghĩa mục 1.3 Eχ Xem định nghĩa mục 1.1 N (Ω) δH Xem định nghĩa mục 1.2.1 Xem định nghĩa mục 2.1 Eχ,loc (Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2 δEχ Xem định nghĩa mục 2.2.2 hϕD,Ω Xem định nghĩa mục 1.2.2 Ký hiệu B(Ω) Nội dung Xem định nghĩa mục 3.2.5 DMA(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.6 E(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7 Ep (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7 F(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8 Ka (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8 D(S, a) Xem định nghĩa mục 3.2.9 cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3 capX (E) Xem định nghĩa mục 3.2.2 eχ (u) Xem định nghĩa mục 2.2.2 Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung lý thuyết đa vị nói riêng thu hút nhiều quan tâm đầu tư nghiên cứu nhà toán học lớn giới nửa sau kỷ thứ XX Sau nửa kỷ phát triển, đến hiểu biết lớp hàm đa điều hịa - đối tượng nghiên cứu lý thuyết đa vị, cộng cụ thiết lập tương đối sâu sắc phong phú Tại Tổ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lý thuyết đa vị bắt đầu giảng viên tập trung nghiên cứu vài thập kỷ trở lại Và đến vấn đề mà giảng viên môn tập trung nghiên cứu riêng vấn đề seminar chung tiếp cận xu hướng nghiên cứu chuyên gia lý thuyết đa vị giới Trong số nhiều kết đạt lý thuyết đa vị, quan tâm tới lớp hàm đa điều hịa có lượng Monge - Ampère hữu hạn Năm 2004, U Cegrell đưa nhiều lớp lượng hữu hạn miền siêu lồi Cn E0 (Ω), E(Ω), F(Ω), E(Ω) lớp hàm đa điều hòa lớn mà tốn tử Monge - Ampère định nghĩa độ Radon khơng âm bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm hàm đa điều hòa Năm 2006, Z Blocki đưa đặc trưng lớp Cegrell E(Ω) tập mở Cn đề cập tới tính chất địa phương lớp E(Ω) Năm 2009, nhóm tác giả S Benelkourchi, V Guedj, A Zeriahi đưa lớp lượng với trọng Eχ (Ω) Quan sát tính chất địa phương lớp nhận thấy rằng, lớp E(Ω) F(Ω) có quan hệ địa phương tồn cục, tức hàm u ∈ E(Ω) tập K b Ω tồn v ∈ F(Ω) cho u = v K, lớp E(Ω) có tính chất địa phương lớp F(Ω) khơng có Đối với lớp Eχ (Ω) khơng có tính chất địa phương Vậy vấn đề quan tâm nghiên cứu xây dựng lớp từ lớp Eχ (Ω), có tính chất địa phương có quan hệ địa phương toàn cục với lớp Eχ (Ω) tương tự cặp E(Ω) F(Ω) Tiếp tục nghiên cứu sâu lớp hàm Eχ (Ω), dẫn đến giới thiệu nghiên cứu luận án lớp hàm δEχ Về lớp hàm δ - đa điều hòa (δ - psh) đề cập nghiên cứu năm 1977 Ta ký hiệu H = H(Ω) lớp hàm thuộc lớp PSH(Ω) δH = H − H tập hàm u ∈ L1loc (Ω) cho u = v − w, với v, w ∈ H Khi H = PSH(Ω) khơng gian δPSH(Ω) với tơ pơ cảm sinh từ tô pô không gian L1loc (Ω) nghiên cứu C O Kiselman 1977 [36] U Cegrell 1979 [13] Các kết sau lớp δH nghiên cứu với tô pô cảm sinh từ chuẩn Monge - Ampère Với H = F(Ω), lớp hàm δF đưa nghiên cứu bới U Cegrell J Wiklund 2005 [19], tác giả 10 chứng minh lớp δF không gian Banach không khả ly không gian đối ngẫu tô pô (δF)0 phân tích (δF)0 = δF Với H = E(Ω), lớp hàm δE đưa nghiên cứu bới L M Hải P H Hiệp 2006 [27], tác giả δE không gian Fréchet không khả ly khơng phản xạ tốn tử Monge - Ampère định nghĩa δE Với H = Ep (Ω), lớp hàm δEp đưa nghiên cứu P ˚ Ahag R Czy˙z 2010 [4] Bắt nguồn từ gợi mở kết đây, luận án đưa nghiên cứu lớp δEχ với tô pô sinh họ tập lồi, cân, hấp thụ Và với tô pô không gian δEχ không gian Fréchet không khả ly không phản xạ Một vấn đề khác lý thuyết đa vị thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu hội tụ theo dung lượng dãy hàm đa điều hòa Khái niệm dung lượng giới thiệu nghiên cứu tác giả E Bedford B A Taylor năm 1982 [6], tiếp tục nghiên cứu Y Xing từ 1996 [43] Và gần hơn, năm 2003, S Kolodziej đưa nghiên cứu khái niệm dung lượng trờn a Kăahler compact [41] Tip tc nghiờn cu khái niệm này, tác giả P H Hiệp thu số kết công bố vào năm 2008 2010 [32], [31] [34] Đặc biệt [24], tác giả S Dinew P H Hiệp đưa nhiều hệ điều kiện đủ để dãy hàm tựa đa điều hòa l hi t theo dung lng trờn a Kăahler compact Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu hệ điều kiện có đảm bảo cho hội tụ theo dung lượng hàm tựa đa điều hòa chúng thu hẹp siêu mặt trơn 71 [26] Guedj V., Zeriahi A (2007), "The weighted Monge-Ampère energy of quasiplurisubharmonic functions", J Funct Anal 250, 442– 482 [27] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp (2006), "The Topology on the space of δ−psh Functions in the Cegrell classes", Result in Math 49, 127-140 [28] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp (2011), "Some Weighted Energy Classes of Plurisubharmonic Functions", Potential Analysis 34, 43–56 [29] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Local property of the class Eχ,loc ", J Math Anal Appl 402, 440–445 [30] Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê, Phạm Hoàng Hiệp (2007), "ωpluripolar sets and subextension of ω-plurisubharmonic functions on compact Kăahler manifolds", Ann Polon Math 91, 25-41 [31] Phạm Hoàng Hiệp (2008), "Convergence in capacity", Ann Polon Math 93, 91-99 [32] Phạm Hoàng Hiệp (2008), "On the convergence in capacity on compact Kăahler manifolds and its applications", Proc of Amer Math Soc 136, 2007-2018 [33] Phạm Hoàng Hiệp (2008), "Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes", Complex Var and Elliptic Equations 53, 675– 684 72 [34] Phạm Hoàng Hiệp (2010), "Convergence in capacity and applications", Math Scand 107, 90-102 [35] Nguyễn Văn Khuê, Phạm Hoàng Hiệp (2009), "A Comparison Principle for the complex Monger-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications", Trans Amer Math Soc 361, 55395554 [36] Kiselman C O (1977), Fonctions delta - convexes, deltasousharmoniques et delta-plurisousharmoniques, In Séminaire Pierre Lelong (Analyse), année 1975/76, pages 93 - 107 Lectures Notes in Math., Vol 578 Springer Berlin [37] C.O Kiselman, Sur la définition de l’opérateur de Monge-Ampère complexe, Complex Analysis (Toulouse, 1983), 139 - 150, Lectures Notes in Math 1094, Springer, Berlin, (1984) [38] Klimek M (1991), Pluripotential Theory, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, Oxford Science Publications [39] Kolodziej S (1995), "The range of the complex Monge-Ampère operator", Indiana Univ Math J II 44, 765–782 [40] Kolodziej S (1998), "The Monge-Ampère equation", Acta Math 180, 69–117 [41] S Kolodziej, The Monge-Ampère equation on compact Kăahler manifolds, Indiana Univ Math J 52 (2003), 667-686 73 [42] Kolodziej S (2005), "The complex Monge-Ampère equation and pluripotential theory", Mem Amer Math Soc 178 [43] Xing Y (1996), "Continuity of the complex Monge-Ampère operator", Proc Amer Math Soc 124, 457-467 [44] Xing Y (2010), "The general definition of the complex MongeAmpốre operator on compact Kăahler Manifolds", Canad J Math 62, 218-239 Phụ lục Trong mục nhắc lại cách vắn tắt khái niệm liên quan tới đa tạp phức, đa Kăahler, dng vi phõn, dũng v toỏn t Monge - Ampốre a phc v a Kă ahler • Cho M không gian Hausdorff với sở đếm được, K ∈ {R, C} Trên M cho họ đồ tọa độ {Uα , ϕα }α∈A cho M = ∪α∈A Uα ánh xạ ϕα : Uα → ϕα (Uα ) ⊂ Km đồng phơi Uα ∩ Uβ 6= ∅ ánh xạ sau gọi phép biến đổi tọa độ ϕαβ := ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ), Khi ta có khái niệm sau i Nếu K = R ánh xạ ϕαβ vi phôi lớp C k tập mở Rm M gọi đa tạp khả vi lớp C k có chiều m (nếu k = ∞ thi M gọi đa tạp trơn) ii Nếu K = C ánh xạ ϕαβ chỉnh hình tập mở Cm M gọi đa tạp phức có chiều m • Cho M đa tạp khả vi Vectơ tiếp tuyến ξ điểm a ∈ M xác định toán tử vi phân không gian hàm xác định gần a có 74 75 dạng C (Ω, R) f 7−→ ξ · f = X ξj 1≤j≤m ∂f (a) ∂xj (x1 , , xm ) hệ tọa độ địa phương tập mở Ω a Hay P ta viết đơn giản ξ = ξj ∂/∂xj Vì ta có (∂/∂xj )1≤j≤m sở không gian tiếp tuyến với M a, ký hiệu TM,a • Cho f hàm xác định lân cận a ∈ M Vi phân f dạng tuyến tính TM,a xác định sau: X dfa (ξ) = ξ · f = ξj ∂f /∂xj (a), ∀ξ ∈ TM,a Đặc biệt ta có dxj (ξ) = ξj , ta viết ngắn gọn df = P (∂f /∂xj )dxj Vì (dx1 , , dxm ) có sở đối ngẫu (∂/∂xj )j=1, ,m ∗ không gian đối tiếp tuyến TM,a ∗ ∗ = ∪x∈M TM,x gọi Ta đặt TM = ∪x∈M TM,x TM chùm tiếp tuyến chùm đối tiếp tuyến M • Cho M đa tạp phức m chiều Khi ta coi M đa tạp thực với số chiều 2m Giả sử (z1 , , zm ) hệ tọa độ địa phương M Đặt zk = xk + iyk , k = 1, , m (xk , yk )k=1, ,m hệ tọa độ địa phương đa tạp thực M Gọi (∂/∂xk , ∂/∂yk )k=1, ,m (dxk , dyk )k=1, ,m sở đối ngẫu lần lươt sở ∗ không gian tiếp tuyến TM,x không gian đối tiếp tuyến TM,x với M x Gọi Jx cấu trúc phức xác định không gian TM,x Jx ( ∂ ∂ ∂ ∂ )= , Jx ( )=− ∂xk ∂yk ∂yk ∂xk Ta thấy Jx2 = −id : TM,x → TM,x Ta chứng minh Jx không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ địa phương gần x 76 Thật vậy, giả sử (w1 , , wm ) hệ tọa độ địa phương gần x khác Khi phép đổi tọa độ zj = zj (w1 , , wm ) chỉnh hình với j = 1, , m Đặt wk = uk + ivk , theo phương trình Cauchy - Riemann ta có ∂yj ∂xj ∂yj ∂xj = , =− ∂uk ∂vk ∂vk ∂uk Vì ta có X ∂xj ∂ X ∂yj ∂ ∂ ∂ Jx ( ) = Jx ( + )= ∂uk ∂uk ∂xj ∂uk ∂yj ∂vk j j Jx ( X ∂xj ∂ X ∂yj ∂ ∂ ∂ ) = Jx ( + )=− ∂vk ∂vk ∂xj ∂vk ∂yj ∂uk j j Vậy Jx tác động lên sở ( ∂u∂ k , ∂v∂ k )k=1, ,m có dạng tác động lên sở ( ∂x∂ k , ∂y∂ k )k=1, ,m • Gọi H cấu trúc Hermitian khơng gian vectơ thực TM,x Khi ξ, η ∈ TM,x H(Jx ξ, η) = iH(ξ, η) Đặt ∂ ∂zk = 12 ( ∂x∂ k − i ∂y∂ k ) Khi ta suy Jx ( ∂z∂k ) = i · ∂ ∂zk Khi cấu trúc Hermitian H khơng gian vectơ thực TM,x với cấu trúc phức Jx sinh cấu trúc Hermitian không gian vectơ phức TM,x ⊗ C lúc M đa tạp Hermitian ∂ ∂ ¯ ¯jk ma trận H = (hj k¯ ) Đặt hj k¯ = hkj ¯ = H( ∂z , ∂z ) Suy hj k¯ = h j k xác định dương Gọi ξ, η trường vectơ tiếp tuyến loại (1, 0) Khi ξ= X ξj j Khi H(ξ, η) = P j,k hj k¯ ξj η¯k X ∂ ∂ ,η = ηk zj zk k 77 Dng Kăahler trờn M l m X i ˆ = H hj k¯ dzj ∧ d¯ zk j,k=1 ˆ đa tạp Hermitian M dng vi phõn úng, Nu dng Kăahler H = thỡ M c gi l a Kăahler tc dH Đa tạp trơn • Giả sử M, N đa tạp trơn với số chiều m n, ánh xạ ϕ : M → N thỏa mãn: i ϕ đơn ánh ii Với điểm p ∈ M bất kỳ, ánh xạ tiếp tuyến ϕ∗ : TM,p → TN,ϕ(p) không suy biến, tức ϕ∗ đơn ánh p Khi (M, ϕ) gọi đa tạp trơn N • Đặc biệt, M ⊂ N M đa tạp trơn m chiều N với p ∈ M tồn hệ tọa độ địa phương (p ∈ U ; uj )j=1, ,n cho: M ∩ U = {q ∈ U : um+1 (q) = · · · = un (q) = 0} Nếu m = n − M gọi siêu mặt trơn đa tạp N Dạng vi phân dịng • Ký hiệu Λp (Rn , C) tập ánh xạ p - tuyến tính thay dấu từ Rn × × Rn vào C Ω ⊂ Rn tập mở Một p - dạng vi phân Ω ánh xạ α : Ω → Λp (Rn , C) P0 Với x ∈ Ω α(x) có dang α(x) = I αI (x)dxI , I = 78 (i1 , , ip ), ≤ i1 < < ip ≤ n, dxI = dxi1 ∧ ∧ dxip αI hàm Ω • Tích ngồi dạng vi phân α= X αI dxI p - dạng vi phân Ω I β= X βJ dxJ q - dạng vi phân Ω J Khi tích ngồi α ∧ β p + q - dạng vi phân Ω cho công thưc sau α∧β = X γL dxL L γL dxL = có ik = jl (1 ≤ k ≤ p, ≤ l ≤ q) γL dxL = (−1)σ αI βJ dxl1 ∧ ∧ dxlp+q với ≤ l1 < < lp+q ≤ n, σ hoán vị i1 < < ip j1 < < jq tập {1, 2, , n} Một số tính chất tích ngồi: + (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) + (α + β) ∧ γ = α ∧ γ + β ∧ γ + α ∧ β = (−1)pq β ∧ α + Nếu p > n α = • Vi phân dạng vi phân: Cho α = P I αI dxI p - dạng vi phân, vi phân ngồi dα p + - dạng vi phân có dạng sau: dα = X I dαI ∧ dxI 79 Một số tính chất vi phân ngoài: α, α0 p - dạng vi phân lớp C β q - dạng vi phân lớp C Khi ta có + d(α + α0 ) = dα + dα0 + d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)p α ∧ dβ + d2 α = d(dα) = với α p - dạng vi phân lớp C • Ký hiệu D(p) (Ω) tập p - dạng vi phân trơn có giá comP pact Ω Với α = 0I αI dxI ∈ D(p) (Ω) giá α suppα = ∪I suppαI Ta gọi dạng tuyến tính liên tục T : D(n−p) (Ω) → C dòng bậc p hay p - dòng Ω Như ta biết T ∈ (D(n−p) (Ω))0 dòng bậc p T viết dạng: T = X TI dxI I TI phân bố, tức TI ∈ (D(Ω))0 • Cho T p - dòng Ω β q - dạng vi phân Ω Khi tích ngồi T ∧ β p + q - dòng Ω xác định < T ∧ β, α >=< T, β ∧ α >, ∀α ∈ Dn−p−q (Ω) Khi ta có β ∧ T = (−1)pq T ∧ β • Cho T p - dịng Ω, vi phân ngồi T dT p + - dòng xác định < dT, α >= (−1)p+1 < T, dα >, ∀α ∈ Dn−p−1 (Ω) 80 Dịng T gọi đóng dT = • Dịng lý thuyết đa vị Với z = (z1 , , zn ) ∈ Cn , ta đặt zk = xk + iyk , k = 1, , n Khi ta coi Cn ∼ = R2n Bằng cách đặt dxk = dyk = 2i (dzk (dzk + d¯ zk ) − d¯ zk ) khái niệm dạng vi phân dịng R2n xem xét Cn xuất khái niệm dạng vi phân dòng song bậc (p, q) Với ≤ p, q ≤ n, ta ký hiệu C(p,q) tập dạng phức song bậc (p, q) có hệ số Cn Cho w ∈ C(p,q) , ta viết w= X wJK dzJ ∧ d¯ zK |J|=p,|K|=q wJK số phức Dạng vi phân w ∈ C(p,p) gọi thực w = w, ¯ tức wJK = w¯KJ , ∀|J| = |K| = p Dạng Kăahler chớnh tc trờn Cn cú dng nh sau: n iX β= dzj ∧ d¯ zj j=1 Dạng thể tích Cn dV = n i β = ( )n dz1 ∧ d¯ z1 ∧ ∧ dzn ∧ d¯ zn n! Dạng dương sơ cấp C(p,p) dạng có biểu thức sau: i w = ( )p w1 ∧ w¯1 ∧ ∧ wp ∧ w¯p wj ∈ C(1,0) , j = 1, 2, , p Dạng w ∈ C(p,p) gọi dương với dạng dương sơ cấp 81 α ∈ C(n−p,n−p) ta có w ∧ α = τ dV, với τ ≥ Cho Ω ⊂ Cn tập mở Tập dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số thuộc C0∞ (Ω, C) ký hiệu D(p,q) (Ω) Khi với T ∈ (D(n−p,n−q) (Ω))0 gọi dòng song bậc (p, q) hay (p, q) - dòng Ω Cho T (p, q) - dòng Ω ψ (k, l) - dạng Ω với hệ số C ∞ (Ω, C) cho max{p + k, q + l} ≤ n Khi T ∧ ψ (p + k, q + l) - dòng xác định sau: < T ∧ ψ, ϕ >=< T, ψ ∧ ϕ >, ∀ϕ ∈ D(n−p−k,n−q−l) (Ω) Ta xét toán tử sau đây: ∂ : D(p,q) (Ω) → D(p+1,q) (Ω) ∂¯ : D(p,q) (Ω) → D(p,q+1) (Ω) Khi với T (p, q) - dịng Ω ta có < ∂T, ϕ >= (−1)p+q+1 < T, ∂ϕ > ¯ ϕ >= (−1)p+q+1 < T, ∂ϕ ¯ > < ∂T, ¯ dc T = i(∂T ¯ − ∂T ) Từ suy ddc T = 2i∂ ∂T ¯ Đặt dT = ∂T + ∂T, (p + 1, q + 1) - dòng xác định sau: < ddc T, ϕ >=< T, ddc ϕ >, ∀ϕ ∈ D(n−p−1,n−q−1) (Ω) Cho T (p, p) - dòng tập mở Ω ∈ Cn Khi T gọi dương với dạng dương sơ cấp i α = ( )n−p α1 ∧ α ¯ ∧ ∧ αn−p ∧ α ¯ n−p 82 ta có T ∧ α phân bố dương độ đo Borel dương Ω Giả sử T = P TJK ( 2i )p dzJ ∧ d¯ zK (p, p) - dòng dương tập mở Ω Với E ⊂ Ω tập Borel ta gọi trọng T E, ký hiệu ||T ||(E), xác định sau: ||T ||(E) = X |TJK |(E) J,K |TJK |(E) biến phân độ đo TJK • Dạng vi phân đa tạp Cho M đa tạp khả vi m chiều Khi p - dạng vi phân M ∗ ∗ ánh xạ u từ M vào Λp TM cho với x ∈ M u(x) ∈ Λp TM,x thỏa mãn liên hệ với hệ tọa độ địa phương khac gần x qua phép đổi tọa độ Cụ thể, (x1 , , xm ) hệ tọa độ địa phương gần x biểu thức u(x) có dạng sau: u(x) = X uI (x)dxI , |I|=p uI (x) hàm xác định lân cận x dxI = dxi1 ∧ ∧ dxip Giả sử (y1 , , ym ) hệ tọa độ địa phương khác gần x biểu thức u(x) lúc là: u(x) = X u0J (x)dyJ , |J|=p dyJ = dyi1 ∧ ∧ dyip Gọi xj = xj (y1 , , ym ), j = 1, , m phép đổi tọa độ Khi 83 liên hệ dxI dyJ cho công thức sau: dxI = dxi1 ∧ ∧ dxip m X ∂xi ∂xi1 dyj ) ∧ ∧ ( p dyj ) =( ∂yj ∂yj j=1 X ∂xip ∂xi1 = ··· · dyi1 ∧ ∧ dyjp ∂y ∂y j j p 1≤j , ,j ≤m = p X 1≤j1 , ,jp ∂xip ∂xi1 ··· dyJ ∂y ∂y j j p ≤m Toán tử Monge - Ampère • Cho z = (z1 , , zn ) ∈ Cn , zj = xj + iyj , xj , yj ∈ R Ta nhắc lại số ký hiệu sau ¯j dzj = dxj + idyj , d¯ zj = dxj − idyj − dz ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ( −i ), = ( +i ) ∂zj ∂xj ∂yj ∂ z¯j ∂xj ∂yj n n X X ∂ ∂ ∂= dzj , ∂¯ = d¯ zj ∂z ∂ z ¯ j j j=1 j=1 ¯ dc = i(∂¯ − ∂) từ suy ddc = 2i∂ ∂¯ d = ∂ + ∂, Nếu u ∈ C (Ω), với Ω ⊂ Cn tập mở ta có c dd u = 2i n X j,k=1 ∂ 2u dzj ∧ d¯ zk ∂zj ∂ z¯k Khi tốn tử Monge - Ampère phức Cn định nghĩa c (ddc )n = dd ∧ ddc} | ∧ {z n lần 84 Với u ∈ C (Ω) ta tính cụ thể sau ∂ 2u (dd u) = n!det( )dV ∂zj ∂ z¯k c n n dV = ( 2i )n dz1 ∧ d¯ z1 ∧ ∧ dzn ∧ d¯ zn dạng thể tích Cn • Sau ta trình bày vắn tắt việc mở rộng toán tử Monge Ampère cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương Trước hết ta nhắc lại số kết sau Mệnh đề Nếu u ∈ PSH(Ω) ddc u (1, 1) - dòng dương với hệ số độ đo Chứng minh Xem [38] Kết sau E Bedford B A Taylor [5] cơng thức tích phân phần đóng vai trị quan trọng việc mở rộng định nghĩa toán tử Monge - Ampère Mệnh đề Cho ≤ m ≤ n, u1 , , um ∈ C (Ω) ψ (n − m, n − m) - dạng vi phân với hệ số C0∞ (Ω) Ω Khi với m > ta có Z ψ ∧ ddc u1 ∧ ∧ ddc um = − Ω Z ddc ψ ∧ du1 ∧ dc u2 ∧ ddc u3 ∧ ∧ ddc um Ω Z c c Z ψ ∧ dd u1 ∧ ∧ dd um = Ω u1 ddc ψ ∧ ddc u2 ∧ ∧ ddc um Ω Chứng minh Xem [5] Cho u1 , u2 , , un ∈ PSH ∩ L∞ loc (Ω) ≤ k ≤ n Gọi ψ (n − k, n − k) - dịng dương có giá compact Ω dãy {ukj }∞ j=1 ⊂ PSH ∩ C ∞ (G) giảm tới hàm uk G, với suppψ ⊂ G b Ω Ta 85 chứng minh ddc u1 ∧ ∧ ddc uk (k, k) - dòng dương với hệ số độ đo Ω quy nap - Ta có kết với k = - Giả sử chứng minh ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 (k − 1, k − 1) dòng dương với hệ số độ đo k Do uk ∈ PSH ∩ L∞ loc (Ω) nên u khả tích địa phương theo hệ số dòng ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 dịng uk ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 có hệ số độ đo Từ ta định nghĩa dòng ddc u1 ∧ ∧ ddc uk công thức sau Z Z c c k dd u ∧ ∧ dd u ∧ ψ = uk ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ψ Ω Ω Tính dương ddc u1 ∧ ∧ ddc uk giải thích sau Do ddc ukj ∧ ψ dương giả thiết quy nạp ta có Z (ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ) ∧ (ddc ukj ∧ ψ) ≥ Ω Theo định lý hội tụ trội cơng thức tích phân phần ta có Z Z c c k dd u ∧ ∧ dd u ∧ ψ = uk ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ψ Ω Ω Z = lim ukj ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ψ j→+∞ Ω Z = lim ddc u1 ∧ ∧ ddc uk−1 ∧ ddc ukj ∧ ψ ≥ j→+∞ Ω Vậy ddc u1 ∧ ∧ ddc uk (k, k) - dòng dương với hệ số độ đo Ω Các nghiên cứu Z Blocki U Cegrell tiếp tục mở rộng miền định nghĩa toán tử Monge - Ampère cho cac lớp hàm đa điều hòa rộng Trong [15], U Cegrell lớp E(Ω) lớp hàm lớn mà toán tử Monge - Ampère định nghĩa bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm