BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ANH TUẤN VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC MD(5,kC)-PHÂN LÁ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 Tai Lieu Chat Luong Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Anh Vũ TS Nguyễn Hà Thanh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại:………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh - Thư viện Khoa học Tổng hợp TP Hồ Chí Minh i MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 1.4 Lớp MD Tôpô phân C*-đại số liên kết với phân Phương pháp K-hàm tử Chương – LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n-1) 10 2.1 2.2 2.3 Phân loại lớp MD(n,1) 10 Phân loại lớp MD(n,n-1) 11 Một số nhận xét 11 Chương – LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ 14 3.1 3.2 3.3 Hình học MD(5,kC)-phân 14 C*-đại số liên kết với MD(5,kC)-phân 17 Một số nhận xét 18 KẾT LUẬN 21 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) nghiên cứu số loại phép biến đổi hình học đặt móng cho lý thuyết đặc biệt sau gọi Lý thuyết Lie Ngày nay, Lý thuyết Lie, hiểu lý thuyết liên quan đến nhóm Lie đại số Lie, phát triển vượt bậc với phạm vi ứng dụng đa lĩnh vực [3, 4, 12, 13] nên nhận quan tâm đặc biệt cộng đồng toán học Tuy nhiên, toán Lý thuyết Lie phân loại nhóm Lie đại số Lie lại tốn khó cịn toán mở Kết Lý thuyết Lie cho thấy hạn chế xét lớp nhóm Lie liên thơng đơn liên, có song ánh tập nhóm Lie liên thơng đơn liên tập đại số Lie Bởi vậy, phép phân loại lớp nhóm Lie liên thông đơn liên (tương ứng, đại số Lie) “phiên dịch”' thành phép phân loại lớp đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thông đơn liên) Trong luận án này, tác giả tiếp cận toán phân loại lớp đại số Lie Theo Định lý Levi–Malcev [16, 17] năm 1945 với kết Cartan [6] năm 1894 Gantmacher [10] năm 1939, toán phân loại đại số Lie tổng quát quy phân loại đại số Lie giải Có hai cách tiếp cận toán phân loại đại số Lie giải được: phân loại theo số chiều phân loại theo cấu trúc Nhìn chung, cách cách tiếp cận theo số chiều khó vượt qua số chiều Tuy nhiên, tiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức phân loại đại số Lie giải với hay vài tính chất bổ sung Luận án tiếp cận việc phân loại đại số Lie giải theo cấu trúc số chiều K-quỹ đạo [15] nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với đại số Lie Dựa quan sát số chiều Kquỹ đạo nhóm Lie Heisenberg  2m  1 -chiều H m1 nhóm Lie Kim cương thực 4-chiều, Diep [9] năm 1980 đề xuất việc khảo sát lớp nhóm Lie giải (và đại số Lie tương ứng) có tính chất tương tự mà gọi MD-nhóm MD-đại số Cụ thể hơn, MDn-nhóm nhóm Lie thực giải n-chiều mà K-quỹ đạo có số chiều số chiều cực đại Đại số Lie MDn-nhóm gọi MDn-đại số Bài tốn phân loại lớp MD giải lớp MD4 Vu [23] năm 1990 khơng có thêm kết đáng kể lớp MDn với n  2007 Để giảm bớt tính phức tạp phân loại lớp MDn, xét thêm hạn chế số chiều ideal dẫn xuất thứ đại số Lie thuộc lớp MDn Cụ thể hơn, xét lớp MD  n, k  lớp MDn bao gồm MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ k-chiều phân loại lớp MDn dựa việc phân loại lớp MD  n, k  với  k  n  Theo ý tưởng này, gần đây, từ 2008 đến 2011, lớp MD5 phân loại triệt để [24, 26] Như vậy, kết phân loại lớp MD  n, k  trường hợp tổng quát hay trường hợp riêng đóng góp cho tốn phân loại đại số Lie thực giải theo hướng tiếp cận cấu trúc [4, tr 87] Một điểm đặc biệt đáng ý khác họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD-nhóm lập thành phân Về mặt lịch sử, Lý thuyết phân bắt đầu xuất cơng trình Reeb [19] năm 1952 ngày trở thành công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phân thơng thường Tơpơ vi phân [18, Mở đầu] Chính vậy, phân trở thành đối tượng thú vị Hình học đại Nói cách khác, K-quỹ đạo “chiếc cầu nối” lớp MD lớp phân Bởi vậy, tốn nghiên cứu lớp MD có ý nghĩa khoa học Trong tơpơ phân lá, họ nghiệm hệ phương trình vi phân thích hợp nên tính chất hình học đặc trưng tơpơ họ nghiệm Những tính chất hình học đặc biệt dẫn tới hai lớp phân quan trọng có nhiều ý nghĩa phân trắc địa hoàn toàn phân Riemann nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát Một hướng khác nghiên cứu tôpô phân kết hợp lý thuyết phân đại số toán tử Năm 1982, Connes [7] liên kết cách tắc phân  V, F  với C*-đại số ký hiệu C*  V F  đề ý tưởng khảo sát C*  V F  C*  V F  cung cấp thông tin không gian phân xét Một câu hỏi nảy sinh làm để mô tả cấu trúc C*  V F  ? Lý thuyết C*-đại số khai sinh Gelfand & Neumark [11] năm 1943 Và nhận nhiều quan tâm cộng đồng toán học Năm 1975, Diep [8] sử dụng K-hàm tử đồng điều BDF Brown & Douglas & Fillmore [5] để đặc trưng cấu trúc tồn cục C*-đại số nhóm nhóm Lie Aff  ¡  phép biến đổi affine đường thẳng thực Năm 1976, Rosenberg [20] sử dụng “Z’ep’s method” để đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số nhóm nhóm Lie Aff  £  phép biến đổi affine đường thẳng phức vài nhóm giải khác Một câu hỏi tự nhiên là: mơ tả C*-đại số Connes C*  V, F liên kết với phân  V, F   phương pháp K-hàm tử không? Đáng ý, câu trả lời khẳng định! Các công trình Torpe [22] năm 1985, Vu [23] năm 1990 Hịa [1] năm 2014 thể điều Những lập luận cho thấy việc kết hợp hướng nghiên cứu phân loại đại số Lie giải theo cấu trúc với hướng nghiên cứu cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD-nhóm phương pháp K-hàm tử vấn đề có ý nghĩa khoa học Vì vấn đề đặt rộng đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp nên luận án tập trung vào hai vấn đề cốt yếu sau:  Những kỹ thuật Vu [23] lớp MD(4,1)-đại số lớp MD(4,3)-đại số, Vu & Shum [24] lớp MD(5,1)-đại số lớp MD(5,4)-đại số phát triển để nghiên cứu lớp MD-đại số tổng quát lớp MD-đại số có ideal dẫn xuất 1-chiều đối chiều  Những kỹ thuật Vu [23] lớp MD4-phân lá, Vu & Thanh [25] lớp MD(5,3C)-phân Hòa [1] lớp MD(5,4)-phân vận dụng, phát triển để nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân Đó sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu luận án Về lớp MD-đại số tổng quát lớp MD(5,kC)-phân Luận án này có hai mục đích chính: Thứ nhất, nghiên cứu tốn phân loại đại số Lie thực, giải theo cấu trúc số chiều K-quỹ đạo Cụ thể hơn, tác giả nghiên cứu toán phân loại lớp MD-đại số tổng quát có ideal dẫn xuất thứ 1-chiều đối chiều Thứ hai, nghiên cứu lớp phân cụ thể theo hai hướng tôpô phân Chi tiết hơn, tác giả xét MD(5,kC)-phân tạo K-quỹ đạo chiều cực MD(5,kC)-nhóm với  k  Cụ thể hơn, tác giả khảo sát tính chất hình học MD(5,kC)-phân phương diện toàn cục đồng thời nghiên cứu cấu trúc C*-đại số liên kết với MD(5,kC)-phân phương pháp K-hàm tử Với mục đích nghiên cứu cụ thể trên, luận án bố cục bao gồm phần mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung phần kết luận Cụ thể hơn:  Phần mở đầu: giới thiệu xuất xứ đề tài, mục đích nghiên cứu bố cục luận án  Chương 1: trình bày vắn tắt kiến thức chuẩn bị sử dụng chương sau  Chương – 3: trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ phép chứng minh  Phần kết luận: đề xuất vấn đề mở nghiên cứu Các kết đạt luận án báo cáo số Hội nghị Toán học nước quốc tế sau:  Hội nghị Đại số – Hình học – Tơpơ tháng 11/2011 Đại học Thái Nguyên, tháng 12/2014 Tuần Châu, Quảng Ninh tháng 10/2016 Cao Đẳng Sư phạm Đắc Lắc  Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng 08/2012 Đại học Sư phạm, Đại học Huế  Hội nghị Toán học Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013 Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan  Hội thảo khoa học tháng 10/2012, tháng 11/2014 tháng 10/2015 Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lớp MD Định nghĩa 1.7 (Biểu diễn đối phụ hợp) Cho nhóm Lie G G đại số Lie G Ký hiệu G * không gian đối ngẫu G Tác     * * động K : G  Aut G , g  G a K ( g )  Aut G xác định bởi: K  g  F , Y  F , Ad  g 1  Y , F  G * , Y  G * ký hiệu F , Y để giá trị F  G Y  G Ad * biểu diễn phụ hợp, gọi biểu diễn đối phụ hợp G G Định nghĩa 1.8 (K-quỹ đạo) Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn gọi * K-quỹ đạo G G K-quỹ đạo G qua F ký hiệu F  K  g  F : g  G Định nghĩa 1.11 (Lớp MD) MD-nhóm nhóm Lie thực giải mà K-quỹ đạo có số chiều chiều cực đại Đại số Lie MD-nhóm gọi MD-đại số Lớp MD tập tất MD-đại số Nếu số chiều n ta có MDn-nhóm, MDn-đại số, lớp MDn Định nghĩa 1.13 (Lớp MD  n, k  MD  n, kC  ) Một MDn-đại số G 1 với dim G  k gọi MD  n, k  -đại số Thêm nữa, G giao hốn (tương ứng, G khơng giao hốn) G gọi MD  n, kC  - đại số (tương ứng, MD  n, kNC  -đại số) Lớp MD  n, k  MD  n, kC  tương ứng tập tất MD  n, k  -đại số MD  n, kC  -đại số 1.2 Tôpô phân   L A V Định nghĩa 1.5 (Phân lá) Phép phân hoạch F = đa tạp liên thông gọi Cr-phân với x V , tồn Cr-bản đồ (hệ tọa độ địa phương)   1 , 2  : U  ¡ p  ¡ n p xác định lân cận mở U x cho thành phần liên thông U  L mơ tả phương trình 2  const Đa tạp V gọi đa tạp phân Mỗi phần tử F gọi thành phần liên thông U  L gọi Các số p n–p tương ứng gọi số chiều số đối chiều F , ký hiệu tương ứng dim F codim F Định nghĩa 1.32 Nếu có phân thớ trơn p : V  B cho thớ F ta bảo F cho phân thớ p Nếu có nhóm Lie G tác động trơn, tự tự địa phương lên V cho G -quỹ đạo F ta bảo F cho tác động G Định nghĩa 1.34 (Không gian lá) Trên đa tạp phân V, xét quan hệ tương đương thuộc Khi đó, tập thương V F với tôpô thương V gọi không gian phân V , F  Định nghĩa 1.8 (Phân tương đương) Hai phân chiều F F V gọi tương đương hay kiểu có vi phơi (trơn) V ánh xạ F lên F Định nghĩa 1.9 (Phân đo được) Phân V , F  gọi phân đo trang bị độ đo hoành  phân V , F  ánh xạ  -cộng tính B a   B  từ họ tập hoành Borel V đến  0,  cho tiên đề sau thỏa mãn: Tính đẳng biến Borel:  : B1  B2 song ánh Borel   x  thuộc chứa x với x  B1   B1     B2    K    K tập compact đa tạp hoành Định nghĩa 1.10 (Phân trắc địa hoàn toàn) Phân F V , g  gọi trắc địa hoàn toàn tất F đa 10 Chương LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n–1) Chương trình bày kết nghiên cứu vấn đề thứ luận án, nghiên cứu toán phân loại đại số Lie thực, giải theo cấu trúc số chiều K-quỹ đạo Như đề cập phần Mở đầu, để giảm bớt tính phức tạp xét tốn phân loại MDn-đại số G tổng quát, xét số chiều k ideal dẫn xuất thứ G Vì  k  n  nên lớp MDn tổng quát phân hoạch thành n 1 lớp lớp MD  n, k  mà phần tử lớp MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ k-chiều Từ đó, tốn phân loại lớp MDn tổng quát quy toán phân loại n 1 lớp MD  n, k  Trong n 1 lớp kể trên, hai trường hợp “dễ chịu nhất'” xảy k  k  n 1 Bởi vậy, chương này, tác giả trình bày hai kết phân loại hai lớp này, phép phân loại lớp MD(n,1) lớp MD(n,n-1) Số chiều n  hữu hạn tùy ý 2.1 Phân loại lớp MD(n,1) Định lý 2.1 (Phân loại MD  n,1 -đại số) Cho G đại số Lie thực giải n-chiều với n  Nếu dim G  G MD  n,1 - đại số G đại số Lie affine thực đại số Lie Heisenberg thực mở rộng tầm thường chúng Diễn đạt Định lý 2.12 theo cách khác cho đặc trưng đại số Lie Heisenberg thực sau: Hệ 2.2 (Một đặc trưng đại số Lie Heisenberg thực) Cho G đại số Lie thực n-chiều với n  Khi đó, khẳng định sau tương đương: G bất khả phân G  ¡ G MD  n,1 -đại số bất khả phân G đại số Lie Heisenberg n-chiều với n lẻ 11 2.2 Phân loại lớp MD(n,n-1) Định lý 2.3 (Điều kiện cần đủ lớp MD(n,n-1)) Cho G đại số Lie thực giải n-chiều với n  dim G  n  Khi đó: Nếu G giao hốn G MD(n,n-1)-đại số bất khả phân Nếu G MD(n,n-1)-đại số G giao hoán Định lý 2.4 (Phân loại MD(n,n-1)-đại số) Giả sử G  X ,, X n không gian vector n-chiều  n   G  X 1,, X n1 không gian đối chiều G Khi đó, có khẳng định sau: Mỗi (n-1)-ma trận thực khả nghịch A xác định cấu trúc Lie G cho G MD(n,n-1)-đại số với ideal dẫn xuất thứ giao hốn G A ma trận ánh xạ phụ hợp ad X n G sở  X ,, X n1  chọn Hai (n-1)-ma trận thực khả nghịch A B xác định hai cấu trúc Lie đẳng cấu G tồn số thực c  (n-1)-ma trận thực khả nghịch C cho cA  CBC1 2.3 Một số nhận xét Nhận xét 2.5 Trước tiên, kết đạt Định lý 2.1 cho thấy lớp MD  n,1 -đại số đơn giản Nếu xét tính bất khả phân lớp có đại số Lie affine thực đại số Lie Heisenberg thực Nhận xét 2.6 Khẳng định 1 Định lý 2.4 cho thấy MD  n, n  1 -đại số G có dạng tổng nửa trực tiếp: G  ¡ X ad X  ¡ X L  ¡ X n   ¡  ¡ n 1 Tiếp theo, hai ma trận thực khả nghịch A B cấp gọi đồng dạng tỷ lệ tồn số thực c  ma trận thực khả nghịch C cấp với A B cho cA  CBC1 Do đó, khẳng định   Định lý 2.4 cho phân loại MD  n, n  1 -đại số phân loại ma trận thực khả nghịch theo quan hệ tương đương đồng dạng tỷ lệ biết Thật vậy, giả sử hai MD  n, n  1 -đại số 12 G1  ¡ 1 ¡ n 1  sở cA  CBC 1 G  ¡ 2 ¡  X ,, X n  n 1 có ma trận biểu diễn 1 A B Khi đó, đẳng thức diễn tả 1 tương đương với  , tức G1  G tồn số thực c  cho dạng chuẩn Jordan 1 c 2 trùng Ví dụ 2.7 Sự phân loại MD(5,4)-đại số bất khả phân [24, Định lý 3.1] cho minh họa rõ ràng Định lý 2.4 n  Chẳng hạn, xét MD(5,4)-đại số G1  ¡ 1 ¡ với ma trận biểu diễn 1 có dạng sau: 0 0 1   0   1 0  , 1  6  Bằng tính tốn, dạng chuẩn Jordan 1 ad X G 5,4,10 0 [24, Định lý 3.1], tức G1  G 5,4,10  Ví dụ 2.8 Bằng cách áp dụng Định lý 2.4, liệt kê MD(n,n-1)-đại số không đẳng cấu với n nhỏ  n  10  Chẳng hạn, xét hai MD(6,5)-đại số G1  ¡ 1 ¡ G  ¡ 2 ¡  1 0    1  0 1 1 1 Bằng tính tốn, có dạng chuẩn Jordan 1 1  4  1   2 1   3 1  8 2 1  3  1 ,  3  7  5 sau: 3 0 5  2   1  1  là: 13 2      J1   ,   1    2       J2     1   3 Như vậy, có hai họ MD(6,5)-đại số không đẳng cấu sau:  Họ G 6,5,1   X , X , X , X , X , X  ¡ ad ¡ với ma trận toán X1 tử ad X sở  X , X , X , X , X  có dạng sau:         ;   ¡ \ 0 ad X       1      Họ G 6,5,2 ,   X 1, X , X , X , X , X  ¡ ad ¡ với ma trận toán X1 tử ad X sở  X , X , X , X , X  có dạng sau: 1   ad X      1 1 2     ; 1 , 2  ¡ \ 0 , 1  2  1 2   Nhận xét cuối chương Chương tiến hành phép phân loại lớp MD(n,1) lớp MD(n,n-1) cách cố định số chiều n đại số Lie xét Một hướng khác phép phân loại lớp MD tổng quát dựa ý tưởng Arnal & Cahen & Ludwig [2], cố định số chiều cực đại K-quỹ đạo Ngoài ra, kết hợp cố định số chiều đại số Lie xét cố định số chiều cực đại K-quỹ đạo để phân loại 14 Chương LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ Chương cuối trình bày vấn đề nghiên cứu thứ hai: nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân tạo quỹ đạo chiều cực đại MD(5,kC)-nhóm Như đề cập phần Mở đầu, Diep [9] năm 1980 đề xuất việc khảo sát lớp nhóm Lie đặc biệt lớp MD-nhóm có K-quỹ đạo chiều cực đại lập thành phân mà gọi MD-phân Nhờ ý tưởng đặc sắc Connes [7] năm 1982 việc kết hợp lý thuyết phân đại số toán tử, phân liên kết cách tắc với C*-đại số gọi C*-đại số liên kết với phân Những kết Torpe [22] năm 1985, Vu [23] năm 1990 gần Hòa [1] năm 2014 cho thấy C*-đại số liên kết với phân thích hợp với phương pháp K-hàm tử Năm 2008, Vu & Shum [24] phân loại triệt để lớp MD(5,kC) thông qua việc phân loại bốn lớp lớp MD(5,1), lớp MD(5,2), lớp MD(5,3C) lớp MD(5,4) Hiển nhiên, có bốn lớp MD(5,kC)-phân tương ứng tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD(5,kC)-nhóm Trên sở đó, năm 2014, Hịa [1] khảo sát K-lý thuyết MD(5,4)-phân Tuy nhiên, kết dừng lại hướng kết hợp lý thuyết phân đại số toán tử Bởi vậy, chương này, cách kết hợp đồng thời mở rộng kết Vu & Thanh [25] Hòa [1], toàn lớp MD(5,kC)-phân nghiên cứu trọn vẹn theo hai hướng Tơpơ phân lá, là: nghiên cứu đặc trưng hình học tồn cục bất biến đại số tốn tử 3.1 Hình học MD(5,kC)-phân Định lý 3.1 (K-quỹ đạo MD(5,kC)-nhóm) Với MD(5,kC)nhóm G tương ứng với MD(5,kC)-đại số liệt kê [24, Định lý 3.1], K-quỹ đạo  F qua F có dạng cụ thể sau: Nếu G  G5,1 F    b ;   a ;  d ;  c ;  : a, b, c, d  ¡  Nếu G  G5,2 F    b ;   a  c ;  b ; ;  : a, b, c  ¡  Giả sử G MD(5,3C)-nhóm 15 a) Nếu G nhóm G5,3,1  ,  , G5,3,2   , G5,3,3( ) , G5,3,4 , G5,3,5(  ) , G5,3,6(  ) , G5,3,7  F tương ứng sau: a  i     e  ; y; e a ; e a ; ea  : y, a  ¡ 1   1 ii   1  e   ; y; e ; e ; e  : y, a  ¡  a a a a a   iii     e  ; y;  e a ; ea ; ea  : y, a  ¡    iv         1  e   ; y; e ; e ; e  : y, a  ¡  a a a a    e a v     ; y; ea ; ea ;  a    ea  : y, a  ¡    vi      1  e   ; y; e ; a    e ; e  : y, a  ¡  a a a a   vii    1  ea   ; y; ea ;(a   )ea ;  a   a    ea  : y, a  ¡    b) Nếu G  G5,3,8(  , ) Đồng G F   ;  ;  i ;  , có: F   x; y;e ae i  * 5,3,8  ,     ¡ £ ¡   (  i ); ea : y, a  ¡ Giả sử G MD(5,4)-nhóm a) Nếu G nhóm G5,4,1( 1 ,2 ,3 ) , G5,4,2( 1 ,2 ) , G5,4,3(  ) , G5,4,4(  ) , G5,4,5 , G5,4,6( 1 ,2 ) , G5,4,7(  ) , G5,4,8(  ) , G5,4,9( ) , G5,4,10  F tương ứng sau: i ii  x;  e  x;  e a1    : x, a  ¡  ; ea2 ; ea3 ; ea : x, a  ¡ a1 ; ea2 ; ea ; ea iii iv v vi vii viii  x;  e  x;  e 16 a    : x, a  ¡  a ; e ; e ; e : x, a  ¡ a ; ea ; ea ; ea a a  x;  e ; e ; e ; e  : x, a  ¡   x;  e ; e ; e ; a    e  : x, a  ¡   x;  e ; e ; e ;( a   )e  : x, a  ¡   x;  e ;( a   )e ; e ;( a   )e  : x, a  ¡  a a a a a1 a2 a a a a a a a a a a ix  x;  ea ; ea ;( a   )ea ;   a   a    ea  : x, a  ¡           x  x;   ;  a   ;  a   a   ;  a   a   a    ea  : x, a  ¡           b) Nếu G nhóm G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12(  , ) , * * * G 5,4,12( G5,4,13(  , ) Đồng G 5,4,11(  , ) , G 5,4,13(  , ) với 1 ,2 , ) , ¡ £ ¡ F   ;   i ; ;  Khi đó,  F tương ứng sau: i ii iii  x;e  x;e  x;e c) Nếu G    : x, a  ¡   ae i (   i ); ea1 ; ea2  : x, a  ¡ ae i (   i ); ea ; ea ae i (   i ); ea ; ea ( a   ) : x, a  ¡  G  G5,4,14(  , , ) * 5,4,14(  ,  , ) F  Bằng cách  đồng  ¡  £  £ F   ;   i ;  i  , có:  x;e ae i   (   i ); ea(  i ) (  i ) : x, a  ¡ Định lý 3.2 (Lớp MD(5,kC)-phân lá) Với G MD(5,kC)-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với MD(5,kC)-đại số 17 bất khả phân nêu Mệnh đề 3.1, gọi F G họ K-quỹ đạo chiều cực đại G VG : ò  Khi đó,  VG , F G  phân F G đo gọi MD(5,kC)-phân liên kết với G Định lý 3.3 (Phân loại MD(5,kC)-phân lá) MD(5,1)-phân  V1 , F1  cho phân thớ (trơn) ¡ \ 0 MD(5,2)-phân  V2 , F  cho phân thớ (trơn) ¡  S1 Có kiểu phân họ MD(5,3C)-phân Cụ thể hơn, tập xác định kiểu phân lá:  V , F  ,  V , F b)  V , F  a) 3,1 1 ,2  8  ,  3,2(  )  ,,  V , F  3,7 Các kiểu ký hiệu tương ứng F F Hơn nữa, kiểu cho tác động trơn thích hợp ¡ đa tạp phân V3 Có kiểu phân 14 họ MD(5,4)-phân sau:  V , F b)  V , F 4,1 1 ,2 ,3  4,2 1 ,2   ,,  V , F  4,11 1 ,2 , 4,12(  , ) , V , F c)  V , F 4,14(  ,  , ) a) , V , F  , V , F  4 4,10 4,13(  , )  Các kiểu ký hiệu tương ứng F , F , F Hơn nữa, kiểu F cho phân thớ S , kiểu F F cho tác động thích hợp ¡ đa tạp phân V4 Định lý 3.4 (Hình học MD(5,kC)-phân lá) Tất MD(5,kC)-phân xét khả trắc địa Riemann 3.2 C*-đại số liên kết với MD(5,kC)-phân Để thuận tiện, sử dụng số ký hiệu sau: 18  Đối với MD(5,1)-phân F MD(5,2)-phân F , C*-đại số liên kết với chúng tương ứng ký hiệu C  F1  * C*  F   Định lí 3.6 cho thấy họ MD(5,3C)-phân lập thành hai kiểu F F ; 14 họ MD(5,4)-phân lập thành ba kiểu F , F F Nhờ Mệnh đề 1.85, C*-đại số liên kết với MD(5,3C)-phân kiểu F F MD(5,4)-phân kiểu * * F , F F ký hiệu tương ứng C  F  , C  F  , C  F  , C  F  C  F  * * * Định lý 3.5 (Mơ tả giải tích cấu trúc C  F1  , C  F  C  F  ) * * * Với ký hiệu trên, có: C*  F1   C0  ¡ \ 0  K , C*  F   C0  ¡  S1   K , C*  F   C  S3   K Định lý 3.6 (Index C  F  , C  F  , C  F  , C  F  ) * * 1   1 Ext  Bj , J j   Hom ¢ , ¢   * Index C F j j  * * KK-nhóm  Index C  F    ,   , đó: * 0 1 2  KK-nhóm Ext  B3 , J3   Hom ¢ , ¢   1 b)     KK-nhóm Ext  B4 , J4   Hom ¢ , ¢    a)     Index C  F     1 *   KK-nhóm Ext  B5 , J5   Hom  ¢ , ¢  3.3 Một số nhận xét Nhận xét 3.7 Trước tiên, kết đạt Định lý 3.8 cho thấy lớp 19 MD(5,kC)-phân lớp phân sở hữu tính chất hình học đặc sắc, lớp phân Riemann trắc địa hoàn toàn (vừa phân trắc địa hoàn toàn vừa phân Riemann) Theo quan điểm Hình học vi phân, hai lớp phân quan trọng có nhiều ứng dụng Bởi vậy, lớp MD(5,kC)-phân “nguồn cung” ví dụ cụ thể phong phú cho lý thuyết phân tổng quát Nhận xét 3.8 Bên cạnh đó, việc kết hợp lý thuyết phân đại số toán tử nghiên cứu cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với MD(5,kC)-phân thể rõ Cụ thể là: * *  Các C*-đại số C  F1  liên kết với MD(5,1)-phân lá, C  F  liên kết với MD(5,2)-phân C  F  liên kết với * MD(5,4)-phân kiểu F mô tả (triệt để) tường minh giải tích Định lý 3.5  Các C*-đại số C  F  C  F  liên kết với MD(5,3C)* * phân kiểu F F đặc trưng bất biến số    ; đó, C*-đại số C  F  C  F  liên kết với * * MD(5,4)-phân kiểu F F tương ứng đặc trưng (hệ) bất biến số  ,    Tất bất biến thể cụ thể Định lý 3.6 Chú ý kết Định lí 3.6 cịn tất MD(5,kC)-nhóm liên thơng (khơng thiết đơn liên), bất khả phân Cụ thể hơn, G MD(5,kC)-nhóm liên thơng, bất khả phân tranh K-quỹ đạo G hoàn toàn trùng khớp với tranh K-quỹ đạo phủ đơn liên G% G Tiếp theo, họ K-quỹ đạo chiều cực đại G lập thành MD(5,kC)-phân phủ đơn liên G% G Do đó, kết liên quan đến MD(5,kC)-phân C*-đại số Connes liên kết với chúng không thay đổi Nhận xét cuối chương Hai lớp phân tổng quát hóa quan trọng có nhiều ứng dụng phân trắc địa hoàn toàn phân Riemann phân umbilic hoàn toàn phân bảo giác Bởi vậy, kết luận Định lý 3.8 thay “khả trắc địa” “khả umbilic” 20 “Riemann” “bảo giác” Nói cách khác, lớp MD(5,kC)-phân góp phần cung cấp ví dụ tường minh cho lớp phân đặc biệt không gian Euclid Xa hơn, lớp MD(n,1)-phân có tính chất đặc biệt mà cụ thể tính bảo giác Vì vậy, khảo sát lớp MDn-phân tổng quát toán lý thú 21 KẾT LUẬN Luận án giải vấn đề sau: Phân loại triệt để lớp MD  n,1 lớp MD  n, n  1 với số chiều tùy ý Việc phân loại hai lớp góp phần bổ sung hai kết vào toán phân loại đại số Lie thực giải theo hướng tiếp cận cấu trúc Phân loại số đặc trưng hình học lớp MD  5, kC  -phân Những đặc trưng hình học bổ sung thêm nguồn ví dụ phản ví dụ phân đặc biệt lớp đa tạp Riemann không gian Euclid Mô tả cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với MD  5, kC  -phân phương pháp K-hàm tử Kết góp phần khẳng định thêm tương thích phương pháp K-hàm tử với tốn mơ tả cấu trúc C*-đại số liên kết với MD-phân 22 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Lê Anh Vũ, Nguyễn Anh Tuấn, Dương Quang Hịa (2013), “Phân loại tơpơ phân liên kết với MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn 3-chiều”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 43 (77), 50–57 Le Anh Vu, Nguyen Anh Tuan, Duong Quang Hoa (2015), “On some geometric characteristics of the orbit foliations of the co-adjoint action of some 5-dimensional solvable Lie groups”, J Science and Technology Development, 18 (K4), 114–122 Vu L A., Hoa D Q., Tuan N A (2014), “K-Theory for the Leaf Space of Foliations Formed by the Generic K-orbits of a Class of Solvable Real Lie Groups”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 38 (5), 751–770 Vu L A., Tuan N A., Hoa D Q (2014), “K-Theory for the Leaf Spaces of the Orbit Foliations of the co-adjoint action of some 5dimensional solvable Lie groups”, East-West Journal of Mathematics, 16 (2), 141–157 Vu L A., Hieu H V., Tuan N A., Hai C T T., Tuyen N T M (2016), “Classification of Real Solvable Lie Algebras Whose Simply Connected Lie Groups Have Only Zero or Maximal Dimensional Coadjoint Orbits”, Revista de la Unión Matemática Argentina, 57 (2), 119–143 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Quang Hịa (2014), K-lý thuyết khơng gian lớp MD5-phân lá, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM Arnal D., Cahen M., Ludwig J (1995), “Lie groups whose coadjoint orbits are of dimension smaller or equal to two”, Lett Math Phys., 33 (2), 183–186 Bordag L A (2015), Geometrical Properties of Differential Equations: Applications of the Lie Group Analysis in Financial Mathematics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd., Singapore Boza L., Fedrian E M., Nunez J., Tenorio A F (2013), “A historical review of the classifications of Lie algebras”, Rev Un Mat Argentina, 54 (2), 75–99 Brown L G., Douglas R G., Fillmore P A (1977), “Extensions of C*-algebras and K-Homology”, Ann of Math., 105 (2), 265–324 Cartan M E (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, PhD Thesis, Nony, Paris Connes A (1982), “A survey of foliations and operator algebras”, Proc Sympos Pure Math., 38 (Part 1), 521–628 Diep D N (1975), “Structure of the group C*-algebra of the group of affine transformations of a straight line”, Funct Anal Appl., (1), 58–60 Diep D N (1999), Method of non-commutative geometry for group C*-algebras, Chapman & Hall/CRC Press, Cambridge 10 Gantmacher F R (1939), “On the classification of real simple Lie groups”, Sb Math., (2), 217–250 11 Gelfand I., Neumark M (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Sb Math., 12 (2), 197– 213 12 Grebenev V N., Oberlack M., Grishkov A N (2008), “Lie algebra methods for the applications to the statistical theory of turbulence”, J Nonlinear Math Phys., 15 (2), 227–251 24 13 Hernandez I., Mateos C., Nunez J., Tenorio A F (2009), “Lie Theory: Applications to problems in Mathematical Finance and Economics”, Appl Math Comput., 208 (2), 446–452 14 Kasparov G G (1980), “The operator K-functor and extensions of C*-algebras”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., 44 (3), 571–636 15 Kirillov A A (1976), Elements of the theory of representations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 16 Levi E E (1905), “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”, Atti Accad Sci Torino Cl Sci Fis Mat Natur., 40, 551–565 17 Malcev A I (1945), “On solvable Lie algebras”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., (5), 329–356 18 Narmanov A Ya., Kaypnazarova G (2011), “Foliation theory and its applications”, TWMS J Pure Appl Math., (1), 112–126 19 Reeb G (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci Indust 1183, Hermann, Paris 20 Rosenberg J (1976), “The C*-algebras of some real p -adic solvable groups”, Pacific J Math., 65 (1), 175–192 21 Rosenberg J (1982), “Homological invariants of extensions of C*algebras”, Proc Sympos Pure Math., 38 (Part 1), 35–75 22 Torpe A M (1985), “K-theory for the leaf space of foliations by Reeb components”, J Funct Anal., 61 (1), 15–71 23 Vu L A (1990), “On the foliations formed by the generic K-orbits of the MD4-groups”, Acta Math Vietnam., 15 (2), 39–55 24 Vu L A., Shum K P (2008), “Classification of 5-dimensional MDalgebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, World Scientific, Singapore, 353–371 25 Vu L A., Thanh D M (2006), “The geometry of K-orbits of a subclass of MD5-groups and foliations formed by their generic Korbits”, Contributions in Mathematics and Applications: East-West J Math., Special Volume, 169–184 26 Vu L A., Hieu H V., Nghia T T H (2011), “Classification of 5dimensional MD-algebras having non-commutative derived ideals”, East-West J Math., 13 (2), 115–129