BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:   lim 0 hay u 0 khi n + . n u n n      b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là a hay (u n ) dần tới a khi n dần tới vô cực ( n  ), nếu   lim 0. n n ua   Kí hiệu:   n lim hay u khi n + . n n u a a       Chú ý:     lim lim nn n uu   . 2. Một vài giới hạn đặc biệt. a) * k 11 lim 0 , lim 0 , n n     n b)   lim 0 n q  với 1q  . c) Lim(u n )=c (c là hằng số) => Lim(u n )=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (u n ),(v n ) và (w n ) có : * n v n nn uw    và       n lim lim lim u nn v w a a    . b) Định lý 2: Nếu lim(u n )=a , lim(v n )=b thì:       lim lim lim n n n n u v u v a b       lim . lim .lim . n n n n u v u v a b       * n lim lim , v 0 n ; 0 lim n n nn u u a b v v b           lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u    4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q  1 lim lim 1 n u S q   5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (u n ) dần tới vô cực   n u   khi n dần tới vơ cực   n   nếu u n lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(u n )=  hay u n   khi n  . b) Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là  khi n  nếu lim   n u   .Ký hiệu: lim(u n )=  hay u n  khi n  . c) Định lý: o Nếu :     * n lim 0 u 0 , n n u     thì 1 lim n u  o Nếu :   lim n u  thì 1 lim 0 n u  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 1. Giới hạn của dãy số (u n ) với     n Pn u Qn  với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a 0 , hệ số cao nhất của Q là b 0 thì chia tử số và mẫu số cho n k để đi đến kết quả :   0 0 lim n a u b  . o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n k để đi đến kết quả :lim(u n )=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho n k để đi đến kết quả :lim(u n )=  . 2. Giới hạn của dãy số dạng:     n fn u gn  , f và g là các biển thức chứa căn. o Chia tử và mẫu cho n k với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Bài tập DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Tính các giới hạn sau : Tính 21 lim n n  Ta có : 1 2 21 lim lim 2 n n n nn       Tính 31 lim 21 n n   Giải Ta có: 1 3 3 1 3 lim lim 1 2 1 2 2 n n n n n n            Tính   2 2 3 2 5 lim 78 nn nn Giải Ta có 2 2 22 2 2 2 2 3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 lim lim lim 18 78 7 8 7 7 nn nn n n n nn nn nn n        Tính lim 3 3 21 523 n nn   Giải Ta có Ta có : lim 3 3 21 523 n nn   =lim )2 1 ( ) 52 3( 3 3 32 3   n n nn n =lim 2 3 2 1 52 3 3 32    n nn Tính 3 32 2 3 1 lim nn nn      Giải Ta có : 3 3 3 3 3 3 32 32 3 33 23 21 3 2 3 1 lim lim 21 3 lim 3 1 1 nn n n n n nn nn nn n nn nn n                    Tính 2 2 41 lim 32 nn n   Giải Ta có 2 2 2 2 2 2 11 4 41 lim lim 2 3 32 2 n nn nn n n n            Tính 2 2 31 lim 12 nn n   Giải Ta có : 2 22 2 2 1 3 31 lim lim 1 2 1 2 1 1 1 3 lim 0 1 2 nn nn n nn n n n n n           Tính lim n nn 21 14 2   BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 giải Ta có : lim n nn 21 14 2   =lim n n n n 21 1 4 2   =lim 2 1 2 1 1 1 4 2    n n Tính   2 14 lim 32 nn n Giải          2 2 2 14 14 lim lim 32 32 1 14 1 4 5 lim 2 33 3 nn nn n n n n n n Tính lim(n- 1 73 2   n nn ) giải Ta có : 2 2 2 3 7 ( ) ( 3 7) lim 11 7 2 27 lim lim 2 1 1 1 n n n n n n n nn n n n n                    Tính 2 2 lim 1 nn nn Giải 2 2 2 2 1 2 20 lim lim 0 11 11 1 n nn n nn n nn         Tính     32 5 2 3 1 lim 14 nn n   Giải     32 5 32 5 5 5 21 31 2 3 1 27 lim lim 1 1 4 4 4 n nn nn n n n                     Tính   2 2 22 lim 21 nn n   Giải Ta có :   2 2 2 2 2 22 1 2 2 1 lim lim 1 2 21 21 n nn nn n n n            Tính 2 42 24 lim 21 nn nn   Giải Ta có : 2 2 2 42 2 24 14 2 2 4 2 lim lim 2 1 1 2 21 2 n nn nn nn n nn           Tính 52 53 1 lim 21 nn nn   Giải Ta có : 5 52 35 53 5 25 11 1 1 lim lim 1 21 21 1 n nn nn nn n nn            BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Tính 23 lim 4 n n n          Giải Ta có : 2 3 2 3 lim lim 0 44 nn n n n                                       Tính 3 4 1 lim 4 2 1 nn nn   Giải Ta có 31 41 44 3 4 1 lim lim 1 4 2 1 11 41 24 nn n nn nn nn n                                        Tính 5.2 5 lim 2 n n cos n Giải Ta có : 5 25 5.2 5 2 lim lim 5 22 n n n nn cos n cos n       Tính 7.2 4 lim 2.3 4 nn nn   Giải Ta có : 7 41 7.2 4 2 lim lim 1 2.3 4 3 4 2 1 4 n nn n nn n n                Tính 11 5.2 3 lim 23 nn nn   Giải Ta có : 11 5.2 3 5.2 3 lim lim 2 3 2.2 3.3 2 3 5 1 3 1 lim 3 2 3 2 3 3 n n n n n n n n n n n n                        Tính 2 cos lim 3 nn n     Giải Ta có : 2 cos cos lim 3 lim 3 3 n n n nn                 Vì cos cos 1 1 cos lim 0 lim 0 n nn mà nên n n n n n     Tính 2 3 cos5 lim 5 nn n     Giải Ta có : 2 3 cos5 cos5 lim 5 lim 5 5 n n n nn           Vì cos5 cos5 1 1 cos5 lim 0 lim 0 n nn mà nên n n n n n     Tính lim( )1 22 nnn  Giải Ta có : lim( )1 22 nnn  =lim nnn nnnnnn   22 2222 1 )1)(1( BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 =lim nnn nnn   22 22 1 )()1( =lim nnn n   22 1 1 =lim 2 1 1 1 1 1 1 1 2    n n n Tính   22 lim 1n n n   Giải Ta có :       22 2 2 2 2 22 lim 1 11 lim 1 n n n n n n n n n n n n              22 2 1 1 11 lim lim 2 11 1 11 n n n n n n n nn                  Tính      2 lim 2 3n n n Giải                           2 22 2 22 2 lim 2 3 2 3 2 3 lim 23 23 lim 23 n n n n n n n n n n n n n n n n n n             2 2 2 3 2 3 lim lim 2 3 2 3 11 nn n n n n n n         2 3 2 2 lim 1 11 23 11 n n n Tính   22 lim 1 2n n n   Giải Ta có :       22 2 2 2 2 22 lim 1 2 1 2 1 2 lim 12 n n n n n n n n nn                  22 2 2 2 2 22 12 3 lim lim 1 2 1 2 33 lim 2 12 11 n n n n n n n n n n nn                        Tính 22 1 4 2 lim 3 n n n n      Giải Ta có               22 2 2 2 2 22 22 22 1 4 2 lim 3 1 4 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 1 4 2 lim 3 1 4 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                              BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943     2 22 31 lim 3 1 4 2 nn n n n n          2 2 2 22 11 3 lim 3 3 1 1 2 1 1 4 n nn n n n n n                     Tính   22 lim 1 2n n n   Giải Ta có :         22 22 22 22 2 2 2 2 22 12 lim 1 2 lim 12 12 3 lim lim 1 2 1 2 33 lim 2 12 11 n n n n n n nn n n n n n n n n n n nn                                Tính    33 lim 2nn Giải                        33 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 33 3 lim 2 2 2 2. lim 2 2. nn n n n n n n n n n n                     33 33 2 3 2 33 3 2 3 2 33 3 2 lim 2 2. 2 lim 2 2. nn n n n n nn n n n n   2 2 3 33 3 2 lim 0 2 2.n n n n      Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 : sin 1 n n u nn   Giải Ta có : sin sin sin 1 11 1 sin lim 0 lim 0 1 nn n nn n n n n n mà nên n nn         2 1 2 n u n    Giải Ta có :         22 1 1 1 1 lim 0 lim 0 22 nn mà nên n n n n         1 ! n u n  Giải Ta có 1 1 1 1 0 lim 0 !! mà lim nên n n n n    2 1 cos 21 n n u n    Giải Ta có : 2 2 1 cos 2 1 cos 2 1 2 1 2 2 1 2 n n vì nên n n n nn         2 1 1 cos lim 0 lim 0 21 n mà nên nn    5 31 n n n u   Giải Ta có : BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 5 5 5 3 1 3 3 55 lim 0 lim 0 3 3 1 n nn nn n n n mà nên           2 sin2 n nn u nn    Giải   2 2 sin2 1 1 1 1 sin2 lim 0 lim 0 n n n n n n n n nn mà nên n n n         2 3 1 sin cos 21 n n nn u n    Giải Ta có :     1 2 3 3 3 3 1 2 3 3 1 sin cos 2 1 1 2 1 2 1 sin cos 1 lim 0 lim 0 21 n n nn n n n n nn mà nên n n                 11 1 1 23 n n nn u    Giải Ta có :     1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 1 11 lim 0 lim 0 2 2 3 n n n n n n n n n n nn mà nên                      5 n n cos n u n n n    Giải Ta có :   5 1 1 1 15 lim 0 lim 0 n cos n n n n n n n n n cos n mà nên n n n n         2 21 n u n n   Giải Ta có :         22 2 2 22 2 2 2 2 1 1 21 1 21 22 11 21 2 n n n n nn nn nn n n n n n n nn                   Mà   2 1 lim 0 lim2 1 0nên n n n     1 n u n n   Giải Ta có :    1 2 11 1 1 1 1 1 1 1 2 12 n n n n nn nn nn n n n n n n                    Mà   1 2 1 lim 0 lim 1 0nên n n n        Tìm giới hạn của dãy số   n u với 3 3 3 1 1 1 . 12 n u n n n n        Giải Ta có số hạng tổng quát là :   3 3 3 11 1,2, , 11 k n u k n n k n n         Nên BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 3 1 0 1 lim 0 lim 0 k k n u n n mà nên u n     Cho dãy số   n u xác định bởi 1 2 1 1 4 2 n nn u u u u n             CMR a)   1 01 4 n u b) 1 3 4 n n u u   Từ đó suy ra lim 0 n u  Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n = 1 ta có 1 11 0 44 u   (đúng) Giả sử (1) đúng với 1n k Nghĩa là 1 0 4 k u (đúng) Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k +1. Thật vậy, ta có : 2 2 1 1 1 1 1 2 16 16 4 16 k k k k u u u u            Vì 1 0 4 k u nên 1 31 0 16 4 k u     Vậy (1) luôn đúng với mọi n. Câu b) Ta có : 2 1 1 1 1 3 2 2 4 2 4 n n n n nn u u u u uu         (ĐPCM). Vậy 1 3 4 nn uu   Từ đó suy ra 21 2 3 2 1 11 11 3 4 33 44 3 3 1 3 4 4 4 4 nn nn uu u u u u u u                                  Mà 1 13 lim 0 44 lim 0 n n u       Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1 10 nn u uu         CMR a)   1, 1 n un b) 1 1 1 2 n n u u    c) Tìm lim n u Giải Câu a) SD phương pháp quy nạp Với n =1 ta có : 1 10 1u  (đúng) Giả sử (1) đúng với .   n k k 1 Nghĩa là 1 k u  Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n= k+1, hay 1 1 k u   Thật vậy ta có : 11 11 k k k k u u màu nên u     Vậy (1) luôn đúng với mọi n. Câu b) theo bài ra ta có: BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943    1 1 11 11 1 11 2 1 nn nn nn n nn n uu uu uu u uu u              Câu c) Đặt 1 1 1 1 10 1 9 1 n n n n v u v và v u          Theo câu b ta có : 1 1 2 nn vv   Vậy 21 2 3 2 1 11 11 1 2 11 22 1 1 1 9 2 2 2 nn nn vv v v v v v v                                  Mà   1 1 lim9 0 lim 0 lim 1 0 2 lim 1 n nn n nên v u u           Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1 5 2 6 3 nn u uu         Gọi   n v là dãy số xác định bởi 18 nn vu a) CMR   n v là cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tìm lim n u . Giải Câu a) theo bài ra ta có: 11 1 22 6 18 12 33 2 12 3 n n n n nn u u u u vu            Mặt khác 18 nn uv Vậy   1 22 18 12 33 n n n v v v      Vậy   n v là CSN lùi vô hạn với công bội 2 3 q  . Câu b) Vì 1 2 3 nn vv   . Nên 21 2 3 2 1 11 11 2 3 22 33 2 2 2 13 3 3 3 nn nn vv v v v v v v                                  Mà 1 2 lim13 0 lim 0 3 lim 18 n n n nên v u         Cho dãy số xác định bởi   1 1 2 1 1 2 n n u u un            Tính lim n u . Giải Ta nhận xét 1 2 3 4 5 3 5 9 17 2, , , , 2 4 8 16 u u u u u     Dự đoán   1 1 21 1 2 n n n u     Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 Kiểm tra với n=1, ta có 1 2u  đúng với bài cho - Giả sử (1) đúng với   1n k k . Nghĩa là 1 1 21 2 k k k u     - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n = k+1.hay 1 21 2 k k k u    - Thật vậy ta có: 1 1 1 1 1 21 1 1 2.2 1 2 1 2 2 2 2.2 2 k kk k k k kk u u               Vậy 1 1 1 11 1 21 21 2 lim lim lim 1 22 n n n n nn u             Cho dãy số   n u xác định bởi   1 1 1 2 1 1 2 n n u un u            Tính lim n u Giải Nhận xét 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , 2 3 4 5 u u u u    Dự đoán   1 1 n n u n   Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp - Với n=1, ta có : 1 1 2 u  (đúng) - Giả sử (1) đúng với   1n k k . Nghĩa là 1 k k u k   - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng với n = k+1. Hay 1 1 2 k k u k     - Thật vậy theo bài ra ta có: 1 1 1 1 22 2 1 k k k u k uk k         Suy ra 1 n n u n   đúng với mọi 1n  Vậy lim lim lim 1 1 1 1 n nn u n n n         Tính tổng 11 2 2 1 2 2 S       Giải Dãy số vô hạn 11 2 2 1 2 2      là một CSN lùi vô hạn với công bội 21 1 2 2 q      Do đó 1 2 2 2 1 1 21 1 2 u S q       Tính tổng 1 1 1 1 1 1, , , , , , 2 4 8 2 n S         Giải Dãy số vô hạn 1 1 1 1 1 1, , , , , , 2 4 8 2 n       Là 1 CSN lùi vô hạn với 1 2 q  Nên 1 12 1 13 1 2 u S q      Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn   n u . Biết tổng của nó bằng 32 và 2 8u  Giải Theo bài ra ta có :   1 32 1 1 u S q   Mặt khác 2 1 1 8 8u u q u q     thế vào (1) [...]... 1   x1  x  1  x 2  x  1 x2 1 2 x 1 x  x  1 lim f  x   lim  mx  2   m  2    lim  x1 x1 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Để hàm số có giới hạn x  1 khi lim f  x   lim f  x    x 1 x 1 1 m  2  m  1 Và lim f  x   1 khi m  1 x1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 ... 1  lim 4           2  4  4     Vì n n 1  BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Tính lim un lim 4n    1 1 1 n n Với un  1       1  1  1   1 2 3 n lim  2   4   4     4  0         Giải Ta có : n 5 2 1 Tính lim Vì là số nhỏ nhất trong n số n 1  2.2 n Giải Nên Ta có : 1 1 1 1 1 un       n  n 2...BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) ta có Ta có 8 1 1 lim n2  n  1  lim x 1   2   1 q n n  32  4q 2  4q  1  0  q   u1  16 1 q 2 1 vậy số hạng tổng quát là un  16   2 n 1 Tính lim 2n3  n2  1 Giải Ta có : lim 2n3  n 2  1  lim n n... n3  2  1 3n  n n    lim  lim 2n  15  2 15  n3  2  3  n  n Vì   3  lim  n 2  1  1     lim  2  15   0 và 2  15  0   n 2 n3  n 2 n3    n 2  n  11 Tính lim 3n 2  n  1 Giải Ta có : 3 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Giải  1 11  n 2 1   2  2 Ta có : n  n  11  n n    lim  lim 2  n3  n 2  2  2  3... 5    Vì    2 n 1 lim  2.   3  3 n   3 5    5    n n n n   2 4  2 4 lim  3. 5   7. 5    0 và 3. 5   7. 5   0              BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 1 3 1 2 lim   x 3 x  2 3 2 5 Tính lim x 3 x3 x 1 Giải Ta có : lim x 3 Tính lim  x...  4   0 và  x  4   0  x  4   x 4 x2   Nên lim 2 x 4  x  4 Tính lim x 2 Giải Ta có : x2  x  2 2 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 1 lim  x  2   4  0 Tính lim 2  x 2 x  x  1  2 2 lim  x  2   0 và  x  2   0  x  2  Giải  x 2 Ta có : x2 Nên lim   1 1 2 x 2   x  2 x 1 x x2  0 lim  lim x5 x ... Ta có : Giải Ta có : 2 x  1 2.4  1 lim  3  x 4 x  1 4 1 Tính lim   3x  7 x2 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Nên Ta có : 3x  9 3  x  3 lim  lim  lim 3  3  lim  3x  7   1  0 x  3 x 3 x  3 x 3 x  3  x 2  lim  x2  x  2   0 và x  2  0 x  2 3x  9  Tính lim  3x  7 x  3 x3 Nên lim    x 2 x  2 Giải... n 2   lim  n 1 n 1   1 2 n3  1   3  n n   lim    1 3 1 n  2  3 n  n Vì BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )   1 2 lim n 2  1  2n 2  1 lim 1   3   1  0    n n   n 2  1  2n 2  1 n 2  1  2n 2  1 1 1  1 1 lim   0 và 2  3  0  lim   n 2 n3  n n    n 2  1  2n 2  1  2n  11  3n  n 2  1   2n 2... 3 x  2 x 4  1 x  x 1  x x  1 lim  lim Giải 3 x   x  1  x  1 x x4 1  13 1  1  Ta có :     x  x       BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Giải 3x  1 Tính lim Ta có : x  x2  1  2x x2  2x  3  x  1 x  3 Giải lim 2  lim x 1 2 x  x  1 x 1 1  1  2  x  1  x ... có :  x  2  x2  2x  4 x3  8 lim 2  lim x 2 x  11x  18 x 2  x  2  x  9   lim x 2 x 2  2 x  4 12   x  2  x9 11  x  3 Tính lim x 0 Giải Ta có : 3 x  27 BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 3  x  3  27  lim x3  9 x 2  27 x  27  27 lim x 0 x 0 x2  5  3 x2  5  3 x x x2  5  3 lim  lim x  x 2  9 x  27  x 2 x 2 . BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN.  n u . Biết tổng của nó bằng 32 và 2 8u  Giải Theo bài ra ta có :   1 32 1 1 u S q   Mặt khác 2 1 1 8 8u u q u q     thế vào (1) BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI.  n fn u gn  , f và g là các biển thức chứa căn. o Chia tử và mẫu cho n k với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ