CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I - BẤT ĐẲNG THỨC Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng. - Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si: a) Đối với 2 số không âm a và b: ab ba   2 hay abba 2 . a. Đẳng thức xảy ra  a = b. b) Đối với 3 số không âm a, b và c: 3 3 abc cba    hay 3 3 abccba  . a. Đẳng thức xảy ra  a = b = c. c) Tổng quát: Đối với n số không âm n aaaa ; ;;; 321 : a. n n n aaaa n aaaa 321 321      d) Ch ý: a. abba 2 22  với mọi số thực a, b. b. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2, ghép cặp 3, ví dụ: e) b aa ba bbaba      2 2 ;2 f) 2 1 2 1 1 2 2 1  a aa a . : Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2) baba  3) 0 22  baba . 4) 3 a c c b b a , với a, b, c > 0. 5) 233 963 abba    0, ba 6) Tìm GTNN của     22 31  xxA 7) Tìm GTLN của 835  xxxA , 0  x . 8) Tìm GTNN của 2 2 3 x xA  , 0  x . 9) Tìm GTNN của 2 1   x xA , 2  x 10) . 11) Chứng minh bất đẳng thức: Rdcba   ,,, ,       2222 2 . dcbabdac  (BĐT Bunhiacopxki) HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về   0 2  bcad . 12) ba a b b a  , 0;0   ba HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về: a.     0 2  baba ,   22 2 baba  , 0;0   ba HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế. 13) zyxzyx 61221434 222  , với mọi x, y, z. HD: biến đổi tương đương. 14) Cho .1534   yx Chứng minh: 9 22  yx HD: Rt x hoặc y từ ,1534   yx thế vo . 22 yx  15) Chứng minh: cabcabcba  với 0,,  cba HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a). 16) Chứng minh:         abccbcaba 1611  với a, b, c dương. 17) Với a bất kì, chứng minh: 4 2 6 2 2    a a . HD: Tch 2 4 2 2 42 2 6 2 2 2 2 2 2        a a a a a a 18) Cho 0,,  cba , chứng minh:       abcaccbba 8 . 19) Cho 0,  ba , chứng minh: baabba  1 . 20) Cho 0,  ba , chứng minh:   2 2 1 2 1         ba ba . 21) Với Rx   , tìm GTNN của 2 2 1 3 x xA  . 22) Tìm GTNN:     22 31  xxA . 23) HD: Khai triển     22 31  xx , nhóm hằng đẳng thức. Chứng minh: 2  A . 24) Tìm GTNN của 1 3 1   x xA với .1  x 25) Tìm GTNN của: 2 2   x xA , với 2   x . 26) HD: Phn tích: 2 2 2 2    x xA . Áp dụng bất đẳng thức đối với 2 số 2 2 ;2   x x . 27) (Đáp án:   122min A 28) Tìm GTLN của:     xxA  13 với 31   x . 29) Tìm GTLN của:     xxA  532 , với 5 2 3  x . 30) HD: Phn tích:   xxA         5 2 3 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với 2 số xx  5; 2 3 . 31) Tìm GTNN v GTLN của hm số:     4221  xxy với 2 1 2  x . 32) Tìm GTNN của: x xA   2 1 với 2  x . 33) Tìm GTNN của: 2010 1 2 2    x x xxA . 34) Chứng minh rằng : 1 1 1, 1 a a a a       . 35) Tìm GTNN của 1 1 ,0 1 1 y x x x      . 36) Tìm GTNN của 4 9 ,0 1 1 y x x x      37) Tìm GTLN của 3 4 4 ,0 4 y x x x     38) Chứng minh rằng : 4 4 3 3 x y x y xy    . 39) Chứng minh rằng : 2 2 2 4 3 14 2 12 6 x y z x y z       . 40) Chứng minh rằng : a b a b b a    . 41) Chứng minh rằng : 1 1 4 a b a b    . 42) Chứng minh rằng : 4 4 a b c d abcd     . 43) Chứng minh rằng : 1 1 1 1 16 a b c d a b c d        . 44) Chứng minh rằng : 2 1 2 a b a b   . 45) Chứng minh rằng :       8 . a b b c c a abc     46) Chứng minh rằng :     2 2 2 a b a b ab    . 47) Chứng minh rằng : 1 1 1 9 a b c a b c      . 48) Chứng minh rằng :     2 2 2 2 4 , , . x y xy x y x y     49) Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 0, , . x y xy y x y       50) Chứng minh rằng :         1 1 16 . , , 0. a b a c b c abc a b c        51) Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 1 , , 0. 2 a b c a b b c c a a b c a b c                 52) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b a b b c c a               53) Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 6 4 6 4 6 4 4 4 4 x y z x y y z z x x y z         54) Cho 3 số thực dương a, b v c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh rằng : 55)       4 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 a b b c c a ab a b bc b c ca c a          56) Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 57) x t t y y z z x A t y y z z x x t             58) Chứng minh rằng : 2 2 2 a b c a b c b c a      với a, b, c là các số thực dương. 59) Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức 60) 6 6 6 3 3 3 3 3 3 a b c B b c c a a b       trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mn 1 a b c    . 61) Cho x,y,z>0 v thoả : 2 2 2 1 3 x y z    62) Tìm gi trị nhỏ nhất của: 3 3 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 y x z x y z y z x z x y         63) Cho a,b,c>0 v thoả : a.b.c = 1 . 64) Chứng minh rằng:       2 2 2 3 3 3 3 a b c b c a c a b       65) Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : 3 x y z    .Tìm GTNN của 66) A = 2 2 2 y x z x yz y zx z xy      67) Với x, y, z là số dương và . . 1 x y z  68) Chứng minh rằng: 3 2 x y z x yz y zx z xy       . CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I - BẤT ĐẲNG THỨC Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức. tương đương bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng. - Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si: a) Đối với 2 số không âm a và b: ab ba   2 hay abba 2 . a. Đẳng thức xảy ra. 0;0   ba HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức v : a.     0 2  baba ,   22 2 baba  , 0;0   ba HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2