Đang tải... (xem toàn văn)
Slide chươnSlide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương g 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương
Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo giảng đại số tuyến tính Nhóm ngành KT CN TS Nguyễn Quốc Thơ Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường ĐHSP - ĐH Vinh TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Nội dung Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu môn học ã Kiến thức: Trang bị cho người học kiến thức về: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian vetơ Euclid toán phân loại đường, mặt bậc hai ã Kỹ năng: Thực thành thạo phép toán ma trận, tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng ma trận Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Giải toán liên quan đến không gian vectơ, như: +) Chứng minh hệ vectơ độc lập tun tÝnh, phơ thc tun tÝnh, hƯ sinh +) KiĨm tra không gian vectơ con, tìm sở, số chiều không gian vectơ TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu môn học +) Tìm tọa độ vectơ, đổi sở Kiểm tra ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc, kiểm tra dạng toàn phương xác định dương, âm hay không xác định ã Thái độ: Bồi dưỡng lực tư khoa học, tư lôgíc, cung cấp cho người học cung cụ toán học cao cấp để vận dụng vào giải toán thực tế xà hội đặt Người học thấy môn học cung cấp cho họ kiến thức toán học cao cấp để tiếp tục học môn toán khác hay môn chuyên ngành khác TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính, NXB Hà nội 2013 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp - Tập - Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội 2004 [3] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình giảng dạy toán học MAPLE, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2002 [4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006 [5] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2001 TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Chương Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương Nội dung chương trình bày khái niệm: Dạng song tuyến tính: Định nghĩa, biểu thức tọa độ, ma trận hạng dạng song tuyến tính Dạng toàn phương: Định nghĩa, biểu thức tọa độ, ma trận hạng dạng song tuyến tính đối xứng dạng toàn phương Dạng tắc dạng toàn phương: Định nghĩa dạng tắc dạng toàn phương phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương dạng tắc Dạng toàn phương xác định TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.1 Dạng song tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa Cho V R kgvt n chiều Một dạng song tuyến tính V ánh xạ : V × V −→ R, (x, y) 7→ ϕ(x, y) thỏa mÃn điều kiện sau: 0 (x + x , y) = ϕ(x, y) + ϕ(x , y) 2) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) 0 3) ϕ(x, y + y ) = ϕ(x, y) + ϕ(x, y ) 4) ϕ(x, β y) = βϕ(x, y) 0 víi ∀α, β ∈ R vµ ∀x, x , y, y V Chú ý ã Một dạng song truyến tính V hàm hai biến 1) V nhận giá trị thực cố định biến tuyến tính theo biến lại Cụ thể: TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.1 Dạng song tuyến tính V phần tử cố định ánh xạ x : V R xác định bởi: x (y) = (x, y), y V ánh xạ tuyến tính +) Nếu y V phần tử cố định ánh xạ y : V R xác định bởi: y (x) = (x, y), x V ánh xạ tuyến tính ã Có thể ghép điều kiện 2) 4) Định nghĩa 5.1.5 thành ®iỊu kiƯn ϕ(λx, y) = ϕ(x, λy) = λϕ(x, y) ∀λ ∈ R, ∀x, y, ∈ V 2 VÝ dụ Cho ánh xạ : R ì R R, xác định (x, y) = x1 y1 + x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 Khi dạng song tuyến tính R +) Nếu x Lời giải Dễ dàng ta kiểm tra điều kiện Định nghĩa 5.1.5 thỏa mÃn TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.1 Dạng song tuyến tính 5.1.2 Ma trận biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính Giả sử : V ì V R dạng song tuyến tính không gian = {e1 , e2 , , en } sở V vectơ n chiều V E ã Đặt (ei , ej ) = aij , , = 1, 2, , n i j = [aij ]n lµ ma trËn vuông cấp n gọi ma trận sở E ã Cho hai vectơ x, y ∈ V Gi¶ sư (x1 , x2 , , xn ) vµ (y1 , y2 , , yn ) tương ứng tọa ®é cđa x, y ®èi víi c¬ së E NghÜa lµ: Ký hiƯu A cđa x = n X i=1 TS Ngun Qc Th¬ i i, xe y = n X j= j j ye Giíi thiƯu m«n häc Tài liệu tham khảo Chương 5.1 Dạng song tuyến tÝnh Khi ®ã, ta cã n P aij xi yj yj ej = xi ei , ϕ(x, y) = ϕ i ,j = j=1 i=1 x1 Ký hiÖu n P n P x2 [x] = , n x ! (1) y1 y2 [y] = n y tương ứng ma trận cột T= tọa độ x, y sở E [x] x1 x2 n x ma trận chuyển vị [x] (1) viết dạng ma trận là: (x, y) = [x]T A[y] (2) (1) (2) gọi biĨu thøc täa ®é cđa ϕ Khi ®ã biĨu thøc Biểu thức sở E TS Nguyễn Quốc Thơ c¬ VËy rank(ϕ) = cđa TS Ngun Qc Th¬ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.1 Dạng song tuyến tính Ví dụ Trong không gian vectơ thực R3 ì R3 R3 cho dạng song tuyến : R, xác định bởi: (x, y) = x1 y1 + x2 y2 − 2x3 y3 + 2x1 y2 − 2x2 y3 + x3 y1 + 3x3 y2 , ∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 , Tìm hạng Lời giải ã Từ biểu thức täa ®é cđa ϕ, ta cã ma trËn cđa ϕ là: tính A ã = 1 Làm tương tự Ví dụ 4, ta tìm rank(A) Ta có det(A) A tồn định thức cấp D2 = Do rank(A) = ⇒ rank(ϕ) = TS Ngun Qc Th¬ =0 = 6= Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.2 Dạng toàn phương 5.2.1 Định nghĩa Dạng song tuyến tính : V ì V R không gian vectơ V gọi đối xứng (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ V ϕ : R2 × R2 −→ R, x¸c ϕ(x, y) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 VÝ dơ Cho d¹ng song tun tÝnh bởi: định đối xứng x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 , ta cã: ϕ(x, y) = ϕ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 = y1 x1 + y1 x2 + y2 x1 + y2 x2 = ϕ((y1 , y2 ), (x1 , x2 )) = ϕ(y, x) VËy ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ R đối xứng Khi Lời giải Với TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.2 Dạng toàn phương : R2 × R2 −→ R, x¸c ϕ(x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 − 2x2 y1 + x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 VÝ dơ Cho d¹ng song tuyến tính bởi: Khi định không đối xứng Lời giải Chứng minh tương tự Ví dụ 1, ta cã ϕ(x, y) 6= ϕ(y, x), ∀x, y R2 Vậy không đối xứng : R2 ì R2 R, xác (x, y) = x1 y1 + ax1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 vµ a ∈ R VÝ dụ Cho dạng song tuyến tính bởi: đối xứng Lời giải Ta có đối xứng chØ ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ R2 a = Tìm a để TS Nguyễn Quốc Thơ định Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.2 Dạng toàn phương Nhận xét ã Nếu A = [aij ]n ma trận phần tử thực, đối xứng cho trước dạng song tuyến tính : Rn ì Rn R xác đinh bëi n P ϕ (x1 , x2 , , xn ), (y1 , y2 , , yn ) = aij xi yj i,j=1 dạng song tuyến tính đối xứng ã Ngược lại, ma trận dạng song tuyến tính đối xứng không gian vectơ n chiều ma trận ®èi xøng Tãm l¹i: ϕ ®èi xøng ⇔ A ®èi xứng TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.2 Dạng toàn phương Ví dụ : R3 ì Xét tính đối xứng dạng song tuyến tính R3 R, x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) R3 xác định bởi: ϕ(x, y) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 2) ϕ(x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 + x2 y2 + x3 y3 Lêi gi¶i 1) Tõ biĨu thøc täa ®é cđa ϕ, ta cã ma trËn −1 0 ⇒ A ®èi xøng Do ®ã ϕ ®èi xøng A = −1 1) 0 2) T¬ng tù ta cã ma trËn cđa TS Ngun Quốc Thơ là: đối xứng Do cđa ϕ lµ: B = 0 0 không đối xứng B không Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 5.2 Dạng toàn phương 5.2.2 Định nghĩa Giả sử dạng song tuyến tính đối xứng không gian vectơ V Khi ánh xạ :V R x (x) = (x, x) gọi dạng toàn phương V tương ứng với dạng song Ta gọi dạng song tuyến tính cực dạng toàn phương 2 Ví dụ Cho dạng song tuyến tính đối xứng : R ì R R, xác định bởi: (x, y) = ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + x2 y2 Khi dạng toàn phương : R R tương ứng ω(x) = ω(x1 , x2 ) = ϕ(x, x) = ((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) = x21 + x22 tuyến tính đối xứng TS Nguyễn Quốc Thơ