Đang tải... (xem toàn văn)
Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh )
Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo giảng đại số tuyến tính Nhóm ngành KT CN TS Nguyễn Quốc Thơ Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường ĐHSP - ĐH Vinh TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Nội dung Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Anh xạ tuyến tính TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu môn học ã Kiến thức: Trang bị cho người học kiến thức về: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian vetơ Euclid toán phân loại đường, mặt bậc hai ã Kỹ năng: Thực thành thạo phép toán ma trận, tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng ma trận Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Giải toán liên quan đến không gian vectơ, như: +) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tun tÝnh, hƯ sinh +) KiĨm tra mét kh«ng gian vectơ con, tìm sở, số chiều không gian vectơ TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu môn học +) Tìm tọa độ vectơ, đổi sở Kiểm tra ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc, kiểm tra dạng toàn phương xác định dương, âm hay không xác định ã Thái độ: Bồi dưỡng lực t khoa häc, t l«gÝc, cung cÊp cho người học cung cụ toán học cao cấp để vận dụng vào giải toán thực tế xà hội đặt Người học thấy môn häc cung cÊp cho hä c¸c kiÕn thøc to¸n häc cao cấp để tiếp tục học môn toán khác hay môn chuyên ngành khác TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính, NXB Hà nội 2013 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp - Tập - Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội 2004 [3] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình giảng dạy toán học MAPLE, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2002 [4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006 [5] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2001 TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Chương Anh xạ tuyến tính Nội dung chương trình bày khái niệm: Khái niệm ánh xạ: Định nghĩa, cách nhận biết tương ứng ánh xạ Định nghĩa, tính chất ảnh tạo ảnh Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, tích ánh xạ ánh xạ ngược Khái niệm ánh xạ tuyến tính: Định nghĩa, tính chất đơn giản ánh xạ tuyến tính Định lý xác định ánh xạ tuyến tính Khái niệm đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính: Khái niệm ảnh hạt nhân Mối liên hệ ảnh, hạt nhân tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu ánh xạ tun tÝnh Ma trËn - BiĨu thøc täa ®é ánh xạ tuyến tính: Xác định ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng - Vectơ riêng: Định nghĩa, cách xác giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.1 Khái niệm ánh xạ 4.1.1 Định nghĩa.ã Cho hai tập hợp X, Y 6= Một ánh xạ f từ tập X vào Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với Y ã Phần tử y gọi ảnh phần tử x qua ánh xạ f, ký hiệu y = f(x) (hoặc x y) Tập hợp X gọi tập nguồn (hay tập tạo ảnh), tập Y gọi tập đích (hay tập ảnh) ánh xạ f ã Ký hiệu phần tử xác định y f :X x −→ Y 7−→ y = f(x) f TS Nguyễn Quốc Thơ : X Y : x 7→ y = f(x) Giíi thiƯu m«n học Tài liệu tham khảo Chương 4.1 Khái niệm ánh xạ = { sinh viên lớp häc }, Y = { ti } vµ Z = { tên } Ví dụ Đặt X 1) Quy tắc đặt tương ứng sinh viên A với tuổi A có phải ánh xạ từ X vào Y không? Vì sao? 2) Quy tắc đặt tương ứng sinh viên A với tên người thân A có phải ánh xạ từ X vào Z không? Vì sao? Ví dụ Đặt X = { tam giác}, Y = { đường tròn } 1) Quy tắc đặt tương ứng tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác có phải ánh xạ từ X vào Y không? Vì sao? 2) Quy tắc đặt tương ứng đường tròn với tam giác nội tiếp đường tròn có phải ánh xạ từ Y vào X không? Vì sao? Ví dụ Quy tắc đặt tương ứng số thực x với bình phương có phải ánh xạ từ TS Nguyễn Quốc Thơ R vào R+ không? Vì sao? Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.1 Khái niệm ánh xạ 4.1.2 Định nghĩa Cho hai ánh xạ f Khi f : X Y vµ g : X −→ Y = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ X : X −→ Y • Khái niệm ảnh +) Với a X phần tử p = f(a) Y gọi ảnh phần tử a qua ánh xạ f +) Với A X tập hợp f(A) = {f(u) | u A} gọi ảnh tập A qua ánh xạ f +) Nếu A = X tập hợp f(X) = {f(k) | k X} gọi ảnh ánh xạ f viết Im(f) = f(X) ãTạo ảnh +) Với b Y tập hợp f−1 (b) = {x ∈ X | f(x) = b} gọi tạo ảnh phần tử b qua ánh x¹ f −1 (B) = {t ∈ X | f(t) B} gọi tạo +) Với B Y tập hợp f ảnh tập B qua ánh xạ f 4.1.3 Khái niệm ảnh tạo ảnh Cho ánh xạ f TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo 4.1 Khái niệm ánh xạ : R\{1} R xác định +1 x R\{1} f(x) = x1 Tìm tạo ảnh b = B = [0, 2] Lời giải ã Tạo ảnh phần tử b = −1 (2) = {k ∈ R\{1} | f(k) = 2} f k+1 = {k ∈ R\{1} | = 2} = {3} k1 ã Tạo ảnh tập B = [0, 2] lµ −1 ([0, 2]) = {t ∈ R\{1} | f(t) ∈ [0, 2]} f t+1 = {t ∈ R\{1} | ≤ ≤ 2} = {t ∈ (−∞, −1] ∪ [3, +∞)} t−1 VÝ dơ Cho ¸nh xạ f x TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.4 Ma trận - Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Ví dụ Giả sử A tuyÕn tÝnh f : R3 = ma trận phép biến đổi R3 sở tắc R3 Xác định biểu thức tọa độ f Lời giải Đặt [x] = x2 vµ [f(x)] = y2 x1 x3 ì1 y1 y3 tương ứng ma 3ì1 trận tọa độ vectơ x f(x) sở tắc R3 Khi theo công thức xác định biểu thức tọa độ ánh xạ tun tÝnh, ta cã: TS Ngun Qc Th¬ Giíi thiƯu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.4 Ma trận - Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tÝnh y1 [f(x)] = A.[x] ⇒ y2 = 4 y3 −3 + x2 + 2x3 5 x2 = 4x1 + 5x3 x3 x1 − 3x2 + 4x3 x1 3x1 y1 = 3x1 + x2 + 2x3 ⇒ y2 = 4x1 + 5x3 y3 = x1 − 3x2 + 4x3 VËy phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh f f(x) : R3 R3 xác định bởi: = (3x1 +x2 +2x3 , 4x1 +5x3 , x1 −3x2 +4x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 TS NguyÔn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.5 Giá trị riêng vectơ riêng ã Cho V K không gian vectơ : V V phép biến đổi tuyến tính V 1) Số gọi giá trị riêng f tồn vectơ x V, x 6= V , cho f(x) = .x 2) Mỗi vectơ x ∈ V, x 6= θV , cho f(x) = .x x gọi vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng Chú ý ã Giả sử a V, a 6= V vectơ riêng f : V V tương ứng với giá trị riêng Khi ka vectơ riêng f tương ứng với giá trị riªng λ, ∀k ∈ K, k 6= Chøng minh Vì V 6= a V vectơ riêng f ⇒ f(a) = λa ⇒ kf(a) = kλa ⇒ f(ka) = (ka) Vậy ka vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng , k K, k 6= 4.5.1 Định nghĩa n chiều f TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.5 Giá trị riêng vectơ riêng ã Giả sử a, b vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng Nếu a + b 6= θV λ λ th× a + b cịng vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng V 6= a, b V vectơ riêng cđa f ⇒ f(a) = λa vµ f(b) = λb ⇒ f(a) + f(b) = λa + λb ⇒ f(a + b) = λ(a + b) VËy a + b vectơ riêng f tương ứng với giá trị riªng λ 2 VÝ dơ Cho phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh f : R −→ R , x¸c ®Þnh bëi f(x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 − x2 ), ∀x = (x1 , x2 ) R Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Lời giải Giả sử x = (x1 , x2 ) 6= (0, 0) vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng Ta cã f(x) = λx ⇒ (x1 + x2 , x1 − x2 ) = λ(x1 , x2 ) = (λx1 , x2 ) Chứng minh Vì Do dẫn tới hệ pttt sau TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.5 Giá trị riêng vectơ riêng ( + x2 = x1 ( − 1)x1 − x2 = ⇔ (∗) x1 − x2 = λx2 −x1 + (λ + 1)x2 = 2 V× x = (x1 , x2 ) 6= (0, 0) hay x1 + x2 6= Do ®ã hƯ pttt thn nhÊt √ λ − −1 = ⇒ λ = ± (∗) có nghiệm khác không, nên + (√ √ ( − 1)x1 − x2 = ã Nếu = 2, hệ () cã d¹ng −x1 + ( + 1)x2 = Vậy, tập vectơ riêng ứng với λ = lµ {(( 2+1)a, a) | ∀a ∈ R } ( √ √ (1 + 2)x1 + x2 = √ • NÕu λ = − 2, ®ã hƯ (∗) cã d¹ng −x1 + (1 − 2)x2 = Tập vectơ riêng ứng víi λ = − lµ {((1 − 2)b, b) | ∀b ∈ R } ( x1 TS NguyÔn Quèc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.5 Giá trị riêng vectơ riêng 4.5.2 Bài toán tìm giá trị riêng vectơ riêng K kgvt V gồm có n vectơ Đặt : V V sở E Tìm tất giá trị riêng vectơ riêng f Cho E sở A = [aij ]n ma trận phép biến đổi tuyến tính f V vectơ riêng = f : V V tương ứng với giá trị riêng Khi f(x) = x Mặt khác, ta có [f(x)] = A[x] Vậy A[x] = λ[x] ⇒ A[x] − λIn [x] = [0] ⇒ [A In ][x] = [0], In ma trận đơn vị cấp n +) Ma trận [A In ] gọi ma trận đặc trưng phép biến đổi tuyến tính f 4.5.2.1 Định nghĩa Giả sư x TS Ngun Qc Th¬ ∈ V, x Giíi thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 4.5 Giá trị riêng vectơ riêng In | gọi định thức đặc trưng n +) Khai triển |A − λIn | = c0 + c1 λ + c2 λ + cn λ gäi lµ đa thức đặc trưng với ẩn n +) |A − λIn | = ⇒ c0 + c1 λ + c2 λ + cn = gọi phương trình đặc trưng với ẩn +) |A TS Nguyễn Quốc Thơ