Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH
Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH Nguyễn Đức Phương Họ tên: Mssv: TP HCM, Ngày 21 tháng năm 2014 Mục lục Chương Ma trận, định thức 1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1 (Ma trận) Một bảng số thực hình chữ nhật có m dịng n cột a11 a12 a1n Ba C B 21 a22 a2n C ADB : : : : C : A @ : : : : am1 am2 amn gọi ma trận cấp m n: Tập hợp tất ma trận cấp m n R ký hiệu Mmn R/: Chú ý A D aij mn aij phần tử dòng i cột j Ví dụ 1.1 Ma trận AD Số dòng? số cột? aij ? Định nghĩa 1.2 (Ma trận vng) Ma trận có số dịng với số cột (m D n) gọi ma trận vuông cấp n Trang Chương Ma trận, định thức Ví dụ 1.2 Ma trận ma trận vuông cấp A D @ 8A Định nghĩa 1.3 (Đường chéo ma trận vuông) Đường chéo chứa a11; a22 ; : : : ; ann đường chéo a11 a12 a1n Ba a a C 2n C B 21 22 ADB : : : A : : C : @ : : : an1 an2 ann Đường chéo ngược lại đường chéo phụ a11 a12 a1n Ba a a C 2n C B 21 22 ADB : : : C : : A @ : : : : an1 an2 ann Định nghĩa 1.4 (Các ma trận vuông đặc biệt) Ma trận vng cấp n có tất phần tử ngồi đường chéo gọi ma trận chéo cấp n Ma trận chéo cấp n có phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In: Ví dụ 1.3 gọi ma trận đường chéo 0 A D @0 0A 0 1 0 I3 D @0 0A 0 ma trận đơn vị cấp 1.2 Các phép toán ma trận Trang Định nghĩa 1.5 Ma trận vng có tất phần tử (dưới) đường chéo gọi ma trận tam giác (trên) Ví dụ 1.4 0 A D @ 0A 0 B D @ 6A 0 A gọi ma trận tam giác B gọi ma trận tam giác Định nghĩa 1.6 Ma trận vng có phần tử đối xứng qua đường chéo (aij D aj i ) gọi ma trận đối xứng Ví dụ 1.5 ma trận đối xứng 1.2 AD@ 1 1 0A Các phép toán ma trận Định nghĩa 1.7 (Phép chuyển vị) Ma trận AT có từ việc chuyển tất dòng A thành cột gọi ma trận chuyển vị A: Ví dụ 1.6 Ma trận Tìm AT AD Tính chất 1.8 Cho A; B Mmn R/: Khi T i AT D AI ii AT D BT A D B: Trang Chương Ma trận, định thức Định nghĩa 1.9 (Nhân vô hướng) Cho ma trận A D aij ta định nghĩa kA D kaij mn mn k R, Ví dụ 1.7 2 D 4 Tính chất 1.10 Cho A; B Mmn R/ ˛; ˇ R Khi i .˛ˇ/A D ˛.ˇA/I ii .˛A/T D ˛AT : Định nghĩa 1.11 (Phép cộng, trừ) Cho hai ma trận A D aij B D bij mn cấp, ta định nghĩa A ˙ B D aij ˙ bij mn mn Ví dụ 1.8 2 3 C D 3 D 6 Tính chất 1.12 Cho A; B Mmn R/ ˛; ˇ R: Khi i A C B D B C AI ii ˛.A C B/ D ˛A C ˛BI iii .˛ C ˇ/A D ˛A C ˇA: Định nghĩa 1.13 (Nhân hai ma trận) Cho hai ma trận A D aij mp B D bij pn (số cột A với số dòng B), ta định nghĩa AB D cij /mn cij D (dịng i A/ (cột j B/ 2 Ví dụ 1.9 Cho A D ; B D @ A Tính AB: 2 1.2 Các phép toán ma trận Ví dụ 1.10 Cho hai ma trận 1 A D @2 A ; 3 Tính AB; BA so sánh kết Trang @0 BD 2 1A 0 1 Ví dụ 1.11 Cho ma trận A D @ 2A Tính AI3 I3 A so sánh kết Nhận xét Tổng quát, phép nhân khụng cú tớnh giao hoỏn ngha l AB Ô BA: Tính chất 1.14 Cho A; B; C thỏa điều kiện nhân i .AB/C D A.BC/I ii A.B C C/ D AB C ACI iii .AB/T D BT AT I Trang Chương Ma trận, định thức iv AIn D In A D A: 1.3 Ma trận bậc thang Định nghĩa 1.15 Trong ma trận, dòng có tất phần tử gọi dịng khơng Trong ma trận, phần tử khác khơng (trái sang phải) dịng gọi phần tử sở dịng Ví dụ 1.12 Ma trận A D @0 Xác định phần tử sở A ! dịng khơng B0 ADB @0 0 2 3C C 0A Định nghĩa 1.16 (Ma trận bậc thang) Ma trận thỏa hai điều sau gọi ma trận bậc thang: Các dòng nằm bên dòng khác Phần tử sở dòng phài nằm bên phải phần tử sở dịng Ví dụ 1.13 Các ma trận sau bậc thang: 0 A D @ 0 AI B D @ 0 0 0 0 A Ví dụ 1.14 Các ma trận sau không ma trận bậc thang 1 0 A D @ AIB D @ A 0 0 1.4 Phép biển đổi sơ cấp dòng Trang Định nghĩa 1.17 Ma trận bậc thang rút gọn (đơn giản) ma trận bậc thang có phần tử sở dòng phần tử khác cột chứa phần tử Ví dụ 1.15 Ma trận sau ma trận bậc thang rút gọn: 3 A D @0 1A I B D 0 0 0 1.4 Phép biển đổi sơ cấp dòng Định nghĩa 1.18 (Phép biến đổi sơ cấp dòng) Cho A D aij Ta gọi phép biến đổi sau phép biến đổi sơ cấp dịng i) Đổi vị trí hai dịng i k: A mn : di $dk ! B: ii) Nhân dũng i vi s thc Ô 0: A di !di ! B: iii) Thay dòng i dòng i cộng lần dòng k khác: A di !di Cdk ! B: Chú ý Phép biến đổi ii) iii) thay A di !di Cdk ! B: ú Ô 0: Ma trn B nhận từ A qua phép biến đổi sơ cấp dịng, ta nói A tương đương dịng với B; ký hiệu A B: Định lý 1.19 Mọi ma trận đưa ma trận bậc thang số hữu hạn phép biến đổi sớ cấp 4.5 Chéo hóa ma trận vng Trang 65 4.5.2 Ma trận làm chéo hóa ma trận vuông Giả sử ma trận A Mn R/ chéo hóa Khi đó, tồn ma trận khả nghịch P có cột vector sở E.i / thỏa P AP D D với D ma trận đường chéo có phần tử đường chéo i (mỗi i xuất ni lần) 1 C B 2 C B C B 3 DDB C C B ::: A @ n Ví dụ 4.22 Chéo hóa ma trận sau (nếu R): 1 3 AD@ A 1 Trang 66 Chương Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.23 Chéo hóa ma trận sau (nếu R): 1 3 AD@ A 1 4.5 Chéo hóa ma trận vng Ví dụ 4.24 Chéo hóa ma trận sau (nếu R): A D @ 2A Trang 67 Chương Dạng toàn phương 5.1 Dạng song tuyến tính Định nghĩa 5.1 (Dạng song tuyến tính) Ánh xạ f W Rn Rn ! R x; y/ 7! f x; y/ gọi dạng song tuyến tính Rn f tuyến tính theo biến x; y: Nghĩa là, với x; y; z Rn ˛ R ta có: i ii iii iv f x C y; z/ D f x; z/ C f y; z/I f x; y C z/ D f x; y/ C f x; z/I f ˛x; y/ D ˛f x; y/I f x; ˛y/ D ˛f x; y/: Ví dụ 5.1 f W R2 R2 ! R có biểu thức f x; y/ D x1 y1 dạng song tuyến tính x2 y1 C 4x1 y2 5.1 Dạng song tuyến tính Trang 69 Giả sử f x; y/ dạng song tuyến tính Rn: Gọi U sở Rn : Với hai vector x; y thuộc Rn xD n X i D1 ui xi y D ta có f x; y/ D n n XX n X uj y j j D1 f ui ; uj /xi yj i D1 j D1 Định nghĩa 5.2 (Ma trận dạng song tuyến tính) Ma trận A D aij / aij D f ui ; uj / gọi ma trận dạng song tuyến tính f sở U; ký hiệu A D Œf U : Khi dạng song tuyến tính f viết lại dạng ma trận f x; y/ D ŒxU /T A ŒyU Ví dụ 5.2 Xét dạng song tuyến tính f W R2 R2 ! R có biểu thức f x; y/ D x1 y1 x2 y1 C 4x1 y2 với x D x1; x2 / y D y1; y2 /: Tìm ma trận f sở: a U D fu1 D 2I 1/; u2 D 1; 1/g : b Chính tắc (5.1) Trang 70 Chương Dạng tồn phương Ví dụ 5.3 Xét dạng song tuyến tính1 W R3 R3 ! R có ma trận f f sở tắc A D @4 6A : Tìm biểu thức f: Chú ý Khi sở không rõ ta ngầm hiểu sở tắc Rn : Định nghĩa 5.3 (Dạng song tuyến tính đối xứng) Dạng song tuyến tính f Rn gọi đối xứng f x; y/ D f y; x/ với x; y Rn : Định nghĩa 5.4 (Dạng song tuyến tính phản đối xứng) Dạng song tuyến tính f Rn gọi đối xứng f x; y/ D f y; x/ với x; y Rn : Ví dụ 5.4 Dạng song tuyến tính f x; y/ D 2x1 y1 C 3x1 y2 C 3x2 y1 x2 y2 5.2 Dạng tồn phương Trang 71 đối xứng 5.2 Dạng toàn phương Định nghĩa 5.5 (Dạng toàn phương) Cho f dạng song tuyến tính đối xứng Rn : Ánh xạ q W Rn ! R x 7! q.x/ D f x; x/ gọi dạng toàn phương q Rn ứng với f: Nếu A D Œf U A D ŒqU q.x/ D ŒxU /T AŒxU Ví dụ 5.5 Cho dạng song tuyến tính đối xứng f x; y/ D x1 y1 C 3x1 y2 C 3x2 y1 x2 y2: Xác định dạng tồn phương q tương ứng Ví dụ 5.6 Tìm dạng tồn phương q.x/: Biết ŒqE D Trang 72 Chương Dạng toàn phương Ví dụ 5.7 Tìm ma trận dạng tồn phương q W R3 ! R cho 2 q.x/ D 2x1 C 3x2 5.3 x3 4x1 x2 C 6x2 x3 Dạng tồn phương tắc Định nghĩa 5.6 Trong Rn ; dạng toàn phương q.x/ D ŒxU /T ŒqU ŒxU 2 D a11x1 C a22x2 C C ann xn gọi dạng tồn phương tắc hay gọi tắt dạng tắc Nếu có i D 0; dạng tắc gọi suy biến Ví dụ 5.8 Trong R2 ; cho dạng tắc q có ma trận Œq D : Tìm biểu thức q.x/: 5.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Trang 73 2 Ví dụ 5.9 Trong R3 ; cho dạng tắc q.x/ D x1 C 2x3 : Tìm ŒqE ‹ 5.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 5.4.1 Phương pháp chung Trong Rn , dạng tồn phương q.x/ có ŒqE D A: Xét sở U Rn : Gọi P D PE!U ; thực đổi biến Œx D P Œy ta q.x/ D ŒxT AŒx suy q.y/ D ŒyT P T AP /Œy Nếu P T AP có dạng chéo ta nói dạng tồn phương q.x/ đưa dạng tắc q.y/: 5.4.2 Chéo hóa trực giao Định nghĩa 5.7 (Ma trận trực giao) Ma trận P gọi trực giao PT D P : Tính chất 5.8 i P D aij / ma trận trực giao n P i D1 aij D 1: ii Nếu W sở trực chuẩn PE!W ma trận trực giao Trang 74 Chương Dạng toàn phương Thuật tốn chéo hóa trực giao Bước Tìm trị riêng i Avà vector riêng sở ui không gian riêng ứng với trị riêng i : Bước Trực chuẩn hóa Gram - Schmidt fui ; : : : ; ung thành sở trực chuẩn W D fwi ; : : : ; wn g Bước Ma trận P D PE!W ma trận trực giao Bước Đổi biến Œx D PŒy ta dạng tắc Ví dụ 5.10 Đưa dạng tồn phương q.x/ D 3x2 C 4x1 x2 R2 dạng tắc thuật tốn chéo hóa trực giao 5.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Trang 75 Ví dụ 5.11 Đưa dạng tồn phương 2 q.x/ D 3x1 C 6x2 C 3x3 4x1 x2 C 8x1 x3 C 4x2 x3 R3 dạng tắc thuật tốn chéo hóa trực giao Trang 76 Chương Dạng toàn phương 5.4.3 Thuật toán biến đổi ma trận đối xứng Trong Rn , giả sử dạng tồn phương q.x/ có Œq D A: Bước Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng biến đổi T AjIn / ! A jP 5.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Trang 77 A ma trận đường chéo, phần tử đường chéo i : Ví dụ 5.12 Đưa dạng tồn phương 2 q.x/ D 3x1 C 6x2 C 3x3 4x1 x2 C 8x1 x3 C 4x2 x3 R3 dạng tắc thuật tốn chéo hóa trực giao Trang 78 Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo [1] Bùi Xuân Hải (2001) Đại số tuyến tính NXB ĐHQG TP HCM [2] Đoàn Vương Nguyên (2012) Đại số tuyến tính NXB ĐHCN TP.HCM [3] Serge Lang (1970) Linear algebra, 2nd edition Addison - Wesley ... dụ 2.6 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss ˆ x C y C z D < 2x C 3y z D ˆ : x C 4y C z D 10 Trang 24 Chương Hệ phương trình tuyến tính Định lý 2.4 (Kronecker-Capelli) Hệ phương trình tuyến... nghiệm Ví dụ 2.7 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss ˆ 3x C 7y D < 2x C 3y z D ˆ : x C y C 2z D 2.3 Giải hệ phương pháp Gauss Trang 25 Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss ˆ... 2.4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình ( m C 1/x C y D mC2 x C m C 1/y D có nghiệm Trang 22 Chương Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.5 Biện luận theo m số nghiệm phương trình ˆ 2x C 3y z D