Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 52 PHẦN II. HÀM SỐ - ĐẠO HÀM – VI PHÂN Chương 3. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN 3.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN: 3.1.1. Ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, được cho tương ứng duy nhất một y  Y theo một qui tắc f thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y và được ký hiệu một trong các dạng sau: )x(fyx YX:f    f: XY )x(fyx   )x(fx  a) Nếu với mọi x 1 , x 2  X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) thì f được gọi là đơn ánh. b) Nếu với mỗi y  Y, tồn tại x  X sao cho y = f(x) thì f được gọi là toàn ánh. c) f được gọi là song ánh từ X lên Y nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh. Nếu f: XY là song ánh thì f -1 : YX là ánh xạ ngược của f thì: a) x  X, y  Y: y = f(x)  x = f -1 (y) b) f[f -1 (y)] = y với mọi y  Y c) f[f -1 (x)] = x với mọi x  X 3.1.2. Hàm số và miền xác định của hàm số: Với X  , một ánh xạ f: X được gọi là một hàm số một biến. Ký hiệu y = f(x), f(x) hay f. X : Miền xác định của f. f(X) = {f(x): x  X}: Miền giá trị của f. x : Biến độc lập y = f(x): Biến phụ thuộc )x(fmaxM Xx  : Giá trị lớn nhất Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 53 )x(fminm Xx  : Giá trị nhỏ nhất Nếu f(x) cho bởi một công thức mà không nói gì thêm thì miền xác định là tập hợp tất cả giá trị x  để f(x) có nghĩa. Ví dụ: 1xy 2  có miền xác định là x 2 – 1  0 <=> x  -1, x  1 3.1.3. Đồ thị của hàm số : Đồ thị của hàm số f với miền xác định X là tập C = {(x,f(x): x  X} và ta đồng nhất nó với quỹ tích các điểm có toạ độ (x,f(x)) (x  X) trên mặt phẳng toạ độ Descartes Oxy. 3.1.4. Các phép toán trên hàm số : Giả sử các hàm số f, g có cùng miền xác định X, ta có: (f + g) = f(x) + g(x), x  X (f - g) = f(x) - g(x), x  X (fg)(x) = f(x)g(x), x  X f/g = f(x)/g(x), x  X: g(x)  0 af = af(x), x  X, a  Ví dụ: Cho 3 hàm số f(x) = 2x 2 + 1, x)x(g  , h(x) = x + 1. Xác định hàm số (f – 3g)/h và miền xác định của nó. Giải: 1 x 1x3x2 h )g3f( 2     Miền xác định: 0x 01x 0x       3.1.5. Hàm số hợp: Cho hàm số y = f(u), u = g(x). Khi đó, hàm số y = f[g(x)] được gọi là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu là f o g. Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên ta có g o f, h o g. 1x2fg 2o  Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 54 1xgh o  3.1.6. Hàm số ngược: Cho hàm số f(x) có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh (phép tương ứng 1 – 1) thì f -1 : YX được gọi là hàm số ngược của f. Đồ thị của f và f -1 đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Ví dụ: Hàm số 3 xy  có hàm số ngược là 3 xy  Hàm số y = x 4 không tồn tại hàm số ngược. 3.1.7. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số f xác định trên (a,b) - Hàm số f được gọi là tăng nếu: x 1 ,x 2  (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) - Hàm số f được gọi là giảm nếu: x 1 ,x 2  (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) > f(x 2 ) Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: - Một hàm số đã cho có thể không đơn điều trên miền xác định X của nó, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X. - Nếu hàm số f có miền xác định là một khoảng M và f đơn điệu trên N thì f có hàm số ngược f -1 : N = f(M)M và ta có f tăng (giảm) trên M  f -1 tăng (giảm) trên N. Ví dụ: y = x 2 là hàm số không tăng, không giảm. y = x 2 , x  [0,2] là hàm số tăng. 3.1.8. Hàm số bị chặn : f gọi bị chặn trên nếu M: f(x)  M, x f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x)  m, x f gọi bị chặn nếu M: |f(x)|  M, x Ví dụ : Hàm số y = cosx bị chặn trên vì 1xcos  Hàm số 2 xy  bị chặn dưới trên vì 0 2 x Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 55 Chú ý : Hàm số f bị chặn khi và chỉ khi f bị chặn trên và bị chặn dưới. 3.1.9. Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Một hàm số tuần hoàn có thể có hoặc không có chu kỳ cơ sở. Ví dụ: Hàm sinx, cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2. Hàm tg(x), cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 =. Ví dụ: Hàm số Dirichlet     tineu x vo 0 huu tineu x 1 f(x) Đây là hàm số tuần hoàn vì f(x) = f(x+T) với T là hữu tỉ hoặc vô tỉ. Nhưng không tìm được T > 0 nhỏ nhất để f(x) = f(x+T) với mọi x  . 3.1.10. Hàm số chẵn và hàm số lẻ. Cho hàm số f có miền xác định X, với x  X, -x  X : a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X Nếu f là hàm số chẵn thì đồ thị (C) đối xứng qua Oy: (x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (x,f(x))  (C) b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ: (x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (-x,-f(x))  (C) Ví dụ: y = x 2 là hàm số chẵn. y = x 3 là hàm số lẻ. 3.1.11. Các hàm số sơ cấp cơ bản: 1. Hàm số hằng số: y = c , c là hằng số. Hàm hằng số có miền xác định , tập giá trị {c}. Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 56 2. Hàm số luỹ thừa: y = x  , với   Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc . - Với  nguyên dương: miền xác định x  . - Với  nguyên âm: miền xác định x ≠ 0. - Với  có dạng 1/p, p  thì: * Với p nguyên dương: với p chẵn: miền xác định là + với p lẻ: miền xác định là * Với p nguyên âm thì miền xác định cũng phụ thuộc p chẵn hay lẻ - Với  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x  . Miền xác định với mọi x ≥ 0 nếu  > 0 và với mọi x > 0 nếu  < 0. Đồ thị của y = x  luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0. Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 57 3. Hàm số mũ: y = a x , a > 0, a ≠ 1 Số a gọi là cơ số của hàm số mũ. Hàm số mũ xác định với mọi x dương. - Hàm số mũ tăng khi a > 1. - Hàm số mũ giảm khi a < 1. Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 4. Hàm số logarit: y = log a x, a > 0, a ≠ 1 Số a được gọi là cơ số của logarit. Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. - Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ. y = log a x <=> x = a y - Hàm số log a x tăng khi a > 1 - Hàm số log a x giảm khi a < 1 Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị. Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 58  Một số tính chất của log a x: log a (xy) = log a x + Log a y yx y x aaa loglog)(log  log a x α = αlog a x xlog a ax  a b b c c a log log log  5. Hàm số lượng giác:  Hàm y = sinx Hàm số y = sinx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1]. Hàm sinx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2  Hàm y = cosx Hàm số y = cosx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1]. Hàm cosx là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2 Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 59  Hàm y = tgx Hàm số y = tgx có miền xác định  x ≠ (/2+k), k  và có miền giá trị là . Hàm số tgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và tăng trong từng khoảng xác định (/2+k, /2+(k+1)), k   Hàm y = cotgx Hàm số y = cotgx có miền xác định  x ≠ k, k  và có miền giá trị là . Hàm số cotgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và giảm trong từng khoảng xác định (k, (k+1)), k  Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 60 6. Các hàm số lượng giác ngược:  Hàm số y = arcsinx Hàm số arcsinx là hàm số ngược của hàm số sinx: y = arcsinx <=> x = siny Hàm arcsinx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2] Hàm arcsinx là hàm số tăng.  Hàm số y = arccosx Hàm số arccosx là hàm số ngược của hàm số cosx: y = arccosx <=> x = cosy Hàm arccosx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [0,] Hàm arccosx hàm số giảm. Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 61  Hàm số y = arctgx Hàm số arctgx là hàm số ngược của hàm số tgx: y = arctgx <=> x = tgy Hàm arctgx có miền xác định là , miền giá trị (-/2,/2) Hàm arctgx là hàm lẻ, tăng.  Hàm số y = arccotgx Hàm số arccotgx là hàm số ngược của hàm số cotgx: y = arccotgx <=> x = cotgy Hàm arccotgx có miền xác định là , miền giá trị (0,) Hàm arctgx là hàm lẻ, giảm. [...]...Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến 3 .1. 12 Hàm số sơ cấp: Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp  2e x  sin 2 x  1   là hàm số sơ cấp Ví dụ: y  lg   x2  2    x  1, x  1 y 2 không phải là hàm số sơ cấp , x 1 x  1, x  0  y  sgn... x 0  xx0 , xx 0  x  1, x  1 Ví dụ: Tính lim f ( x ) : y   2 x 1 , x 1 x Giải: lim f ( x )  lim(  x  1)  0 x 1 x 1 Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 63 Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến lim f ( x )  lim x 2  1 x 1 x 1 Định lý: lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L x x 0 x x 0  x x 0  3 .1. 2 Định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số: a) lim f ( x )   nếu... lim x 1 x 3 3x 2 x 1 x 1  2 9) lim 1   x   x x x 1  x 2  1  x 1  11 ) lim  2 12 ) lim x 1  2 x x   x  1  x0   9 Xét tính liên tục của hàm số: x2  4  1) f ( x )  x 2) f ( x )   x  2  A  1 3) f ( x )  e x2 khi x  2 khi x  2  2x khi 0  x  1 , nếu x0 và f(0)=0 4) f ( x )   2  x khi 1  x  2 10 Xét tính liên tục của hàm số:  sin x  1) f ( x )   x  1  x0...  Ví dụ: Tìm giới hạn lim cos  2x 3  x   x    Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 65 Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến  x 3  x 2  5   x 3  x 2  5     cos lim   cos( )  0 Giải: lim cos 3 3  2x  x   x 2 x  x  x  2     3 .1. 4 Một số giới hạn đặc biệt: sin x 1 x 0 x 1) lim x  1 2) lim 1    e x   x 1/ x 3) lim 1  x  x 0 e a x 1  ln a x 0... x a 1   xa Giải: Giả sử L = +, ta có: M > 0, 1 1  M  x  a  Đặt  = 1/ M > 0 x a A Vậy, M  0,   1 1  0, x - a     M (đpcm) M x a 1 0 x  x Ví dụ, chứng minh rằng lim Giải: Giả sử L = 0, ta có:  > 0, 1 1 x 0 1  0    x   x  Đặt M = 1/  > 0 x   Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 64 Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến Vậy,  > 0, M = 1/  > 0: x > M => 1 ... x0 1   x sin 2) f ( x )   x  1  Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam x0 x0 70 Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến  ex x0 11 Cho f ( x )   hãy chọn a sao cho f(x) liên tục ax x0  12 So sánh vô cùng bé khi x →0 của g(x) = x với các vô cùng bé sau: 1) f  tgx 3 2) f  3 sin 2 x 4) f  1  cos x 3) f  9  x  3 5) arctg x 13 Chứng minh các VCB tương đương khi x →0: 1) 1  1 1 1 ~... của hàm số : 1) f(x) = 3x – x3 4) f ( x )  ln 2) f ( x )  3 (1  x ) 2  3 (1  x ) 2 1 x 1 x 3) f(x) = ax + a-x (a>0) 5) f ( x )  ln(x  1  x 2 ) 8 Tìm các giới hạn sau: x 2  x 1 x   2x 2  5 2) lim 3x 2  2x  1 2x 3  8 3) lim 2 x x  x  1 x3  4 x2  4 x 2 x  2 5) lim 1) lim 4) lim x 0  7) lim x 2  1  x 2  1 x   2x  3  10 ) lim   x   2 x  1  x 1  3 1 x 1 x sin... Hàm số và giới hạn hàm số một biến  1 khi x  0  sgn x  0 khi x  0 1 khi x  0  Vẽ đồ thị và chứng minh x  x sgn x 5 Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x)) nếu:  0 khi x  0  0 2) f ( x )   , g( x )   2  x khi x  0 - x khi x  0 khi x  0 1 2) f ( )  x  1  x 2 , x  0 x 1) f(x) = x2, g(x) = 2x x )  x2 x 1 6 Tìm f(x) nếu: 1) f(x +1) = x2 – 3x + 2 3) f ( 7 Xét tính chẵn lẻ của hàm. .. arccotgx  0; lim arccotgx   x   x   Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 66 Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến Ví dụ: a) lim arccotg(lnx)   x 0 b) lim x 0 sin2x 2  3x 3 1/ x c) lim (1  sin x ) x 0  lim [ (1  sin x ) 1 sin x sin x x x 0 ]  e1  1 3 .1. 5 So sánh vô cùng bé (VCB): Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 Cho f(x), g(x) là hai VCB... 0 ln (1  x ) 1 x 6) Hàm số luỹ thừa:   0 : lim x   ; lim  x   0 x  x 0   0 : lim x   0; lim x    x  x 0 7) Hàm số mũ: a 1 : lim a x  ; lim a x  0 x   x  0  a  1 : lim a x  0; lim a x   x   x  8) Hàm số logarit: a 1 : lim log a x  ; lim log a x   x  x 0 0  a  1 : lim log a x  ; lim log a x    x   x 0 9) Hàm số ngược hàm số lượng . Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 52 PHẦN II. HÀM SỐ - ĐẠO HÀM – VI PHÂN Chương 3. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN 3 .1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM. là hàm số lẻ. 3 .1. 11. Các hàm số sơ cấp cơ bản: 1. Hàm số hằng số: y = c , c là hằng số. Hàm hằng số có miền xác định , tập giá trị {c}. Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán. trị [0,] Hàm arccosx hàm số giảm. Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam 61  Hàm số y = arctgx Hàm số arctgx là hàm số ngược của hàm số tgx: