Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giải ngân hàng đề thi toán kỹ thuật dành cho sinh viên và học viên cao học, các bải giải ngân hàng đề thi toán kỹ thuật
A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 1: Cho hàm biến phức ( ) zcoszf 2 = , tính ( ) if ' . Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) zsinzsinzcoszcoszcoszcoszf 222 2 −=−= ′ = ′ = ′ Vậy: ( ) ( ) isinifzsinzf 22 −= ′ ⇒−= ′ Câu 2: Cho hàm biến phức ( ) z ezf 2 = , tính π 3 i f ' . Bài giải: Ta có: ( ) ( ) z2 e2 z2 ez2 z2 ezf = ′ = ′ = ′ Vậy: ( ) 3 i2 e2 3 i 2 e2 3 i f z2 e2zf π = π = π ′ ⇒= ′ 3i1 3 2 sini 3 2 cos2 +−= π + π = Câu 3: Cho hàm biến phức ( ) zf , thoả mãn ( ) 16 −= zzf ' và ( ) iif 91 =+ . Bài giải: Từ: ( ) ( ) ( ) ( ) czzcz z dzzdzzfzfzzf +−=+−=−==⇒−= ∫∫ 2 2 '' 3 2 6 1616 ( ) czzzf +−=⇒ 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ciciiiciiif +−=+−−++=++−+=+⇒ 1512131131 2 2 mà ( ) 1491591 +=⇒=+−⇒=+ iciciiif Vậy: ( ) 1433 22 ++−=+−= izzczzzf Câu 4: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {tsin3t}. Bài giải: Áp dụng: ( ) { } ( ) ( ) sX n ds n d n 1tx n tL −=⋅ Ta có: { } ( ) ( ) 2 2 22 9 6 3 3 2 3 2 3 ds d 13sin. + = ′ + −= + −= s s s s ttL Vậy: ( ) 24 9 6 ss s sF + = Câu 5: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e -2t cos 2 2tsin3t}. 1 Bài giải: Ta có: ( ) tttt 3sin4cos1 2 1 3sin2cos 2 += ( ) ttt 4cos3sin 2 1 3sin 2 1 += ( ) ttt sin7sin 2 1 2 1 3sin 2 1 −⋅+= Vậy: ( ) { } { } { } teLteLteLsF ttt sin 4 1 7sin 4 1 3sin 2 1 222 −−− ++= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 12 1 4 1 72 7 4 1 32 3 2 1 ++ + ++ + ++ = sss Câu 6: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e -4t sin 2 3t}. Bài giải: Ta có: ( ) { } − == −− 2 6cos1 3sin 424 t eLteLsF tt { } { } teLeL tt 6cos 2 1 2 1 44 −− −= ( ) ( ) 2 2 64 4 2 1 4 1 2 1 ++ + ⋅− + ⋅= s s s Câu 7: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L { t 3 e -2t }. Bài giải: Ta có: ( ) { } ( ) 43 3 23 2 6 2 1 + −= + −== − s s ds d etLsF t Câu 8: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {(4cos3t – 5sin2t)ch2t}. Bài giải: Ta có: ( ) { } + == − 2 e 5sin2t) -(4cos3t t5sin2t)ch2 -(4cos3t 22t t e LLsF { } { } { } { } sin2te 2 5 -sin2te 2 5 -cos3te 2 4 cos3te 2 4 2t-2t2t-2t LLLL += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42 2 2 5 42 2 2 5 92 2 2 4 92 2 2 4 2222 ++ − +− − ++ + + +− − = sss s s s Câu 9: Tính ( ) ( ) ( ) 3 4547 Γ ΓΓ . 2 Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !! 2 41 4 1 43 4 3 2 41 4 1 43 4 3 12 411431 3 4547 ΓΓ = ΓΓ = +Γ +Γ+Γ = Γ ΓΓ ( ) ( ) 216 3 2 2 2 16 3 2 2 2 16 3 2 4 3 16 3 12 43143 16 3 π = π ⋅ = π ⋅ = π π ⋅ = −ΓΓ = sin . Câu 10: Tính ( ) ( ) ( ) 29 233 Γ ΓΓ . Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 105 16 7531 16 7 2 2 142 21 2 1 2 214 21112 29 233 4 4 == π π = π− Γ⋅ = +Γ +Γ+Γ = Γ ΓΓ !!!!. ! Câu 11: Sử dụng hàm Gamma tính tích phân dxex x ∫ ∞ − 0 28 . Bài giải: Đặt 2x = t; dx = 1/2dt. Ta có: ( ) 9 2 1 2.2 1 22 1 9 0 8 8 0 8 0 28 Γ== = ∫∫∫ ∞ − ∞ − ∞ − dtetdte t dxex ttx ( ) 99 2 !8 18 2 1 =+Γ= Câu 12: Cho x(t) = 2t, 0 < t < 2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm cos Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) t n cos n tx n n 2 4 112 1 22 π π −−+= ∑ ∞ = Câu 13: Cho x(t) = 2t, 0 < t < 2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm sin Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) t n sin n tx n n 2 2 11 1 π π −−= ∑ ∞ = 3 Câu 14: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e -3n u(n). Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 1ze ze ze 1 zeznxzX 3 3 0n n 3 0n n3nn n − = =⋅== ∑∑∑ ∞ = ∞ = −−− ∞ −∞= , |z|> e -3 Vậy: ( ) 1ze ze zX 3 3 − = , |z|> e -3 Câu 15: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e -3(n -1) u(n). Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = −− ∞ = −−−− ∞ −∞= =⋅=⋅== 0n 3 3 0n n3n3 0n n1n3n n ze 1 ezeezeznxzX 11 3 6 3 33 − = − ⋅ = ze ze ze zee , |z|> e -3 Vậy: ( ) 1 3 6 − = ze ze zX , |z|> e -3 Câu 16: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) = 5 -n u(n). Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) nfi ez zX fi e fi e fi e n n fi e nfi e n nxfX π = = − π π = π − = − ∑ ∞ = π = π− ∑ ∞ −∞= = ∧ 2 1 2 5 2 5 2 5 1 1 1 0 2 5 2 Câu 17: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) = 2 -n +1 u(n). Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) nfi ez zX fi e fi e fi e n n fi e nfi e n nxfX π = = − π π = π − = − ∑ ∞ = π = π− ∑ ∞ −∞= = ∧ 2 1 2 2 2 4 2 2 1 1 2 0 2 2 2 B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 1: Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực U(x,y) = x 2 – y 2 + 3e -2y cos2x + 3y, với z = x + iy. Bài giải: Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2,, 1,, yx x v yx y u yx y v yx x u 4 Ta có: ( ) ( ) 32sin62, 2 xexyx x u y− −= ∂ ∂ ( ) ( ) 432cos62, 2 +−−= ∂ ∂ − xeyyx y u y Từ (2) và (4) suy ra V(x,y) = 2xy + 3e -2y sin2x 3x + C ⇒ f(z) = x 2 – y 2 + 3e -2y cos2x + 3y +i2xy + i3e -2y sin2x-i3x +Ci ( ) ( ) ( ) iCiixyyxeyxyix y +−+++−+= − 2sin2cos32 222 ( ) ( ) Ciiyxieeiyx xiy ++−⋅++= − 33 22 2 CiiZeZ iZ +−+= 33 22 Câu 2: Tìm hàm phức giải tích f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần ảo 3 2x 6xy -cosx 3e x x y)V(x, y- 22 +++ + = y , với z = x + iy. Bài giải: Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có: ( ) ( ) ( ) 1,, yx y v yx x u ∂ ∂ = ∂ ∂ Ta có: ( ) ( ) ( ) 26x -cosx 3e x 2xy- , y- 2 22 − + = ∂ ∂ y yx y v Từ (1) và (2) suy ra ( ) 2y- 22 3x -sinx 3e x y , − + = y yxU ( ) +++ + +− + =⇒ 3 2x 6xy -cosx 3e x x i 3x -sinx 3e x x y- 22 2y- 22 yy zf với z = x + iy. Có thể tiếp tục như câu 1… Câu 3: Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z = x + iy), biết rằng f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực U(x,y) = e -x (xcos y + ysin y) và F(0) = i. Bài giải: Ta có: ( ) y cose y)ysin y (xcose, x-x- ++−= ∂ ∂ yx x u Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có: ( ) ( ) yx y v yx x u ,, ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) ( ) y,x y v y cosey ysin ey xcosey,x x u x-x-x- ∂ ∂ =+−−= ∂ ∂ ⇒ sinyey sin ey ycosexsiny eV -x-x-x-x +−+−=⇒ ( ) xsiny-y ycose -x = ( ) ( ) ( ) xsiny-y ycoseiysiny-y xcosezf -x-x +=⇒ với z = x + iy. 5 Có thể tiếp tục như câu 1… Câu 4: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: dx gx x I ∫ = 2 0 2 cot 2sin π Bài giải: Ta có: ( ) ∫∫∫ Π −− ΠΠ ⋅=== 2 0 1 4 7 21 4 5 2 2 0 2 5 2 3 2 2 1 2 1 2 224 2 xdxsinxcosxdxsinxcosdx xsin xcos xcosxsin I o Vậy: ( ) ( ) 12 1 1 3 1 4 1 2 3 4 7 4 5 2 4 7 4 5 4 7 4 5 2 4 7 4 5 2 +Γ +Γ +Γ = Γ Γ Γ = +Γ Γ Γ = Β= ,I 28 3 !2 4 sin 4 3 4 1 2 !2 4 1 1 4 1 4 3 4 1 2 !2 4 3 4 3 4 1 4 1 2I π = Π Π = −Γ Γ = Γ Γ = Câu 5: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: dx tgx xcos I ∫ π = 2 0 2 . Bài giải: Ta có: ( ) xdxsinxcos1xcos2I 2 1 2 1 2 o 2 − Π ∫ −= ∫∫ Π − Π − −= 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 5 xdxsinxcosxdxsinxcos2 ∫∫ Π −− Π −− ⋅−= 2 0 1 4 1 21 4 3 2 2 0 1 4 1 21 4 7 2 2 1 22 xdxsinxcosxdxsinxcos Vậy: = +Γ Γ Γ ⋅− +Γ Γ Γ = Β⋅− Β= 4 1 4 3 4 1 4 3 2 1 4 1 4 7 4 1 4 7 4 1 4 3 2 1 4 1 4 7 ,,I ( ) π= π − π = π − π π = π π − Γ Γ Γ = 2 2 2 2 3 2 2 4 3 4 3 4 3 2 2 4 1 4 3 4 3 sinsin I Câu 6: 6 Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: dxxcosgxcot.I ∫ π = 2 0 2 3 2 . Bài giải: Ta có: ( ) ∫∫∫ ∫ Π − Π − Π − Π − +−= +−= 2 0 3 1 3 1 2 0 3 1 3 7 2 0 3 1 3 13 2 24 3 1 3 1 44 144 xdxsinxcosxdxsinxcosxdxsinxcos dxxcosxcosxsinxcosI o Vậy: Β+ Β− Β= 6 2 , 6 4 2 1 6 2 , 6 10 2 6 2 , 6 16 2I ( ) ( ) ( ) 12 6 2 6 4 2 6 2 6 10 2 3 6 2 6 16 2 Γ Γ Γ + Γ Γ Γ − Γ Γ Γ = ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 2 2 1 2 3 1 3 2 3 2 2 3 3 1 3 5 3 5 2 Γ Γ Γ + Γ Γ Γ⋅ − Γ Γ Γ⋅ = 1 3 2 sin 2 1 !1 3 2 sin 3 2 2 !2 3 2 sin 3 2 3 5 2 π π ⋅+ π π ⋅⋅ − π π ⋅⋅⋅ = 3 2 sin18 94620 3 2 sin2 3 2 sin3 4 3 2 sin9 10 π π+π⋅−π = π π + π π − π π = 39 5 3 2 sin18 5 π = π π = Vậy: 39 5 dxx2cosgxcot.I 2 0 2 3 π == ∫ π Câu 7: a) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) xJxxJx dx d n n n n 1− = . b) Tính ( ) ∫ dxxJx 1 2 . Bài giải: a. Ta có: ( ) ( ) ( ) xJxxJx xdx d.1 1n 1n n n − − = (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xJxxJx dx d xJx.xxJx xdx d.x 1n n n n 1n 1n n n −− − =⇔= Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) xJxdxxJx dx d dxxJx 2 2 2 2 1 2 == ∫∫ 7 ( ) ( ) ∑ ∞ = + − = 0k k2 k 2 2 2 x !nk!k 1 2 x x ( ) ( ) ∑ ∞ = + − = 0k k2 k 4 2 x !nk!k 1 4 x Câu 8: a) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) xJxxJx dx d n n n n 1− = . b) Tính ( ) dxxxJ ∫ λ 1 0 0 . Bài giải: a. Ta có: ( ) ( ) ( ) xJxxJx xdx d.1 1n 1n n n − − = (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xJxxJx dx d xJx.xxJx xdx d.x 1n n n n 1n 1n n n −− − =⇔= Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 xxJdxxxJ dx d dxxxJ 1 1 0 1 1 0 0 λ=λ=λ ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = λ + −λ =λ=λ−λ 0k k2 k 2!nk!k 1 2 J0.J.01.J.1 Câu 9: a) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) xJxxJx dx d 1n n n n + −− −= . b) Tính ( ) ∫ dx x xJ 2 3 . Bài giải: a. Ta có: ( ) ( ) ( ) xJxxJx dx d x 1 1n 1n n n + −−− =⋅− (1) Nhân hai vế của (1) cho -x ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xJxxJx.xxJx dx d x x 1n n 1n 1n n n + − + −−− −=−=⋅ − − Đây là điều phải chứng minh. b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) xJxdxxJ.x dx d dxxJ.xdx x xJ 2 2 2 2 3 2 2 3 −−− −=−== ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∞ = ∞ = − + − −= + − −= 0k k2 k 0k k2 k 2 2 2 x !2k!k 1 4 1 2 x !2k!k 1 2 x x Câu 10: Tìm biến đổi Fourier của ( ) > < = 5t neáu 5t neáu 0 1 tx Bài giải: 8 Ta có: ( ) ( ) ( ) dtft2cos2dtetxfX 5 0 ft2i ∫∫ π== π− ∞ ∞− ∧ ( ) ( ) ( ) = = === 0f neáu 1f neáu 0 10Csin10 f10Csin10f5.2Csin5.2 Câu 11: Tìm biến đổi Fourier của các hàm số x(t) = Π(t)cos 3t. Bài giải: Ta có: ( ) ( ) tf2costxtx 0 π= (1) ( ) ( ) ( ) 00 ffX 2 1 ffX 2 1 fX(1) ++−=⇒ ∧∧∧ (2) Như vậy từ (1) và (2) áp dụng vào hàm x(t) = Π(t)cos 3t Ta có: ( ) ( ) ( ) 00 ff 2 1 ff 2 1 fX +Π+−Π= ∧∧∧ ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 0 0 0 0 ff ffsin 2 1 ff ffsin 2 1 +π +π ⋅+ −π −π ⋅= (3) Đặt: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) +π +π =+ −π −π =− 5 ff ffsin ffCsin 4 ff ffsin ffCsin 0 0 0 0 0 0 Thay (4), (5) vào (3) ta được ( ) ( ) ( ) 00 ffCsin 2 1 ffCsin 2 1 fX ++−= ∧ Trong đó vì: π =⇒=π 2 3 ft3tf2 00 Câu 12: a) Chứng tỏ rằng ( ) ( ) ( ) yHxGyxy,xzz ++== 33 6 1 là nghiệm tổng quát của phương trình yx yx z 2 2 = ∂∂ ∂ , trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2. b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện z(x, 0) = x 2 , z(1, y) = cos y. Bài giải: a. Do G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2 nên ta có: ( ) ( ) ( ) / x 23 / x x yHxGyx 6 1 x z y,xZZ ++= ∂ ∂ == ′ ( )( ) ( )( ) / x 22 / x 22 xGyx 2 1 xGyx 6 3 +=+= ( ) ( )( ) yxxGyx 2 1 yx z y,xZZ 2 / y / x 22 2 / xy xy = += ∂∂ ∂ == ′ ⇒ ( ) ( ) ( ) yHxGyx 6 1 y,xZZ 23 ++==⇒ 9 là nghiệm tổng quát của phương trình yx yx z 2 2 = ∂∂ ∂ , trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2. b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) xG0HxGy0 6 1 0,xZ 2 =++⋅⋅= mà ( ) 2 x0,xZ = nên suy ra: ( ) 2 xxG = ( ) ( ) yHxyx 6 1 y,xZZ 223 ++==⇒ (*) Ta có: ( ) ( ) yH1y 6 1 y,1Z 2 ++= mà ( ) ycosy,1Z = nên suy ra: ( ) ycosyH1y 6 1 2 =++ ( ) 1y 6 1 ycosyH 2 −−=⇒ (1) Thay (1) vào (*) ta được: ( ) 1y 6 1 ycosxyx 6 1 y,xZ 2223 −−++= Hay ( ) 1y 6 1 ycosxyx 6 1 y,xZZ 2223 −−++== Là nghiệm của phương trình yx yx z 2 2 = ∂∂ ∂ Câu 13: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình yx e y u x u + = ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 4 , biết rằng phương trình có một nghiệm riêng dạng u = kxe 2x + y , k là một hằng số. Bài giải: Từ nghiệm riêng u = kxe 2x + y ta có: yx2yx2yx2 2 2 yx2yx2 kxe4ke2ke2 x u kxe2ke x u +++++ ++= ∂ ∂ ⇒+= ∂ ∂ yx2yx2 kxe4ke4 ++ + (1) yx2 2 2 yx2 kxe y u kxe y u ++ = ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ (2) Thay (1) vào (2) vào phương trình: yx e y u x u + = ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 4 ta được : 4 1 keke4 yx2yx2 =⇒= ++ Vậy ( ) y2x xe 4 1 y,xuu + == là nghiệm tổng quát cần tìm. Câu 14: Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(µ;σ 2 ). Đặt y(t) = Xe -t , t > 0. Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y(t), t > 0. Bài giải: -Ta có hàm trung bình: ( ) ( ) Const== tExtm . 10 [...]... người vào cửa hàng trong số đó 3 người có nhu cầu phục vụ và 5 người không có nhu cầu phục vụ Giải: Gọi X(t) là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t, theo giả thi t X(t) là quá trình Poisson tham số λ =10 Gọi X1(t) là số khách hàng tới cửa hàng có nhu cầu phục vụ trong thời gian t thì là quá trình Poisson tham số λ 1 = λ p = 10x0,6 = 6 Gọi X2(t) là số khách hàng tới cửa hàng không nhu... = Bài giải: Biến đổi Fourier của hàm số x(t) là 1 t +4 4 ∧ ∞ e − i 2πft X( f ) = F{ x ( t )} = ∫ dt t 2 +4 −∞ ∞ cos( 2πft ) 2 ∞ cos( 2πft ) =2∫ dt = dt ∫ 2 +22 2 2 2 0 t 0 t +1 22 (1) t ⇔ 2λ = t ⇔ 2dλ = dt 2 ∧ ∞ cos( 4πfλ ) 2 ∞ cos( 2πf 2λ ) π − 4π f X( f ) = 2dλ = ∫ dλ = e Thay vào (1) ta được ∫ 2 2 22 0 λ2 +1 0 λ +1 ∧ − 4π f Vậy X( f ) = π e (Áp dụng bài tập 2.37.c) 2 Đặt λ = Câu 12: Giải bài toán. .. thống sắp hàng có tốc độ đến λ = 12, tốc độ phục vụ µ = 14 a) Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân bằng trong các trường hợp sau: M / M /1, M / D /1, M / E5/1 b) Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng L M / E / 1 không vượt quá 3 k Giải: a- Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân bằng: độ µ + hàng M/M/1:Quá... + uzz ) u( x, y, z,0 ) = ( x + y − z ) 2 thoả mãn điều kiện 3y − 4 x sin 5z u t ( x, y, z,0 ) = e Câu 6: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau: u tt = 4 u xx u t = u xx , t > 0 a b u( x,0) = sin 3x u( x,0) = sin x, x ∈ R u ( x,0 ) = e − 2 x t Câu 7: Giải bài toán Cauchy utt = k2(uxx + uyy) thoả mãn điều kiện đầu 2 2 u( x, y,0) = 2x − y u t (x, t ,0) = e −y Câu 8: d n x J... 22 Vậy nghiệm của phương trình vi phân đã cho : y (t ) = 42 25(4 + i )e ( 2+ i +t 25(4 − i )e ( 2−i ) t + − 5 4i − 22 4i + 22 Câu 9: Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích: X( z ) = 1 1 trong miền z > z ( 3z − 1)( 2z + 1) 2 4 Bài giải: 1 1 1 X( z ) = 4 = − Ta có: z ( 3z − 1)( 2z + 1) z 4 5 ( 3z − 1) z 4 5 ( 2z + 1) 3 2 1 1 1 1 = − = − 5 5 1 z 4 ( 3z − 1) z 4 ( 2z + 1) 5z 5 1 − 5z 5 1 − −... ( λk x ) k =1 λ k J 1 ( λ k ) ∞ 2 (Thầy ơi không biết em làm sai ở chỗ nào mà em có kết quả không giống như đề bài cho) Câu 10: n 1 4 ∞ a) Cho quá trình dừng { x( n )} n =−∞ có hàm tự tương quan K x ( n ) = − Tìm mật độ phổ 9 5 -2n b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3 u(n) Giải: a- Tìm mật độ phổ: Ta áp dụng công thức: P( f ) = ∞ ∑ e −in 2πf K x ( n ) = n = −∞ ∞ ∑ e −in 2πf n = −∞... là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn [0, 2π], R là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm nếu 0< r < ∞ r −r 2 e 2σ , mật độ fR ( r ) = σ 2 0, 2 nếu ≤ 0 Giả sử Θ và R độc lập a) Chứng minh rằng x(t) = Rcos(5t + Θ)là một quá trình dừng b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không? Giải: Theo giả thi t R và Θ độc lập,do đó: E [ x(t )]... tiếp thứ n Hãy tính ES4 và E[X(4) – X(2)|X(1) = 3] Giải: Áp dụng định lý và công thức đối với các biến ngẫu nhiên S(n) có phân bố mũ tham số λ do đó ta có : E[S(4)]= 1 1 = =0,2 λ 5 Do X(4)-X(2) và X(1) độc lập do đó : E[X(4)-X(2)/X(1)=3]=E[X(4)-X(2)]=4λ-2λ=2λ =2.5=10 Câu 17: Hãy tính các số đo hiệu năng: L, Lq; W, Wq của hàng M / M / 2 với λ = 14, µ = 10 Giải: λ 14 7 Với k=2 ,ta có: + ρ= = = µ 10 5 20... i 3 t 2 + −2 ; 3 + i3 3 2 i3 3 − 3 ⋅e P( s ) Q′( s ) s= 3+ i 3 2 = 2 i3 3 − 3 ; 3+ i 3 t 2 Câu 6: 3 + 4s 8 − 6s 6 − 2 + 2 2s − 3 9s − 16 16s + 9 −1 Tìm biến đổi Laplace ngược f ( t ) = L Bài giải: 6 3 + 4s 8 − 6s 6 −1 3 + 4s −1 −1 −1 8 − 6s − 2 + Ta có f ( t ) = L =L −L 2 +L 2 2 2s − 3 9s − 16 16s + 9 2s − 3 9s − 16 16s + 9 3 t 6 6 −1 1 ... 3 3i 3i t 25 3 t 7 − 3 t 16i − 9 − 4 t 16i + 9 4 t 2 Vậy ta có: f ( t ) = 3e − e − e + e − e 24 24 12 12 −1 Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’’(t) – y(t) = et, thoả mãn điều kiện đầu: 0 Bài giải: ( s ) = L{ y( t )} ⇒ L{ y′′′( t )} = s 3 Y( s ) Đặt Y y(0) = y’(0) = y’’(0) = 1 s − 1 t −1 Ta có e = L 1 s −1 1 1 1 1 s 1 s ⇔ s 3 + 1 Y( s ) = ⇒ Y( s ) = 3 = 2 = 2 − 3 = 2 2 − 3 3 2