Đang tải... (xem toàn văn)
LÍI C.M ÌN Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh kha luªn, em ¢ nhªn ÷đc s h÷ỵng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh ca gi£ng vi¶n Nguy¹n Th H£i, s giĩp , t¤o i·u ki»n ca c¡c gi£ng vi¶n khoa To¡n - Lþ - Tin ni chung v c¡c gi£ng vi¶n gi£ng d¤y b mỉn ¤i s ni ri¶ng v s ng vi¶n, giĩp , ng h ca c¡c b¤n sinh vi¶n K50 HSP To¡n Tr÷íng ¤i hc T¥y Bc. çng thíi º ho n th nh kha luªn n y em cơng ¢ nhªn ÷đc s giĩp , t¤o i·u ki»n v· cì sð vªt ch§t, thíi gian v t i li»u tham kh£o ca Phng o t¤o, c¡c phng ban, th÷ vi»n Tr÷íng ¤i hc T¥y Bc. Em xin b y t lng bi¸t ìn ch¥n th nh tỵi c¡c Th¦y, Cỉ gi¡o, c¡c b¤n sinh vi¶n v c¡c ìn v ni tr¶n ¢ ng h v giĩp em ho n th nh kha luªn trong thíi gian qua. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013 Ng÷íi thc hi»n: çng Th Ngc Mai 1
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của giảng viên Nguyễn Thị Hải, sự giúp đỡ, tạo điều kiện của các giảng viên khoa Toán - Lý - Tin nói chung và các giảng viên giảng dạy bộ môn Đại số nói riêng và sự động viên, giúp đỡ, ủng hộ của các bạn sinh viên K50 ĐHSP Toán Trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời để hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện về cơ sở vật chất, thời gian và tài liệu tham khảo của Phòng đào tạo, các phòng ban, thư viện Trường Đại học Tây Bắc. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên đã ủng hộ và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận trong thời gian qua. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện: Đồng Thị Ngọc Mai 1 Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 MỞ ĐẦU 4 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 7 1.1 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Module tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Module kiểu hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Hạng của một module . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Module trên vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Chuẩn và vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Phần tử nguyên trên một vành . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Phần tử nguyên trên một vành . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Vành đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Iđêan phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Một số vành trong số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.3 Vành Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.4 Vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.5 Vành Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Chuẩn của một iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 2 VÀNH CÁC PHẦN TỬ NGUYÊN CỦA TRƯỜNG ĐẠI SỐ BẬC HAI K = Q( √ d) VỚI d LÀ SỐ NGUYÊN KHÔNG CÓ NHÂN TỬ BÌNH PHƯƠNG KHÁC 1 31 2.1 Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q( √ d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Một số trường hợp vành các phần tử nguyên là vành chính; vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Trường toàn phương K = Q[ √ −19] . . . . . . . . . 36 2.2.2 Trường toàn phương K = Q( √ 5) . . . . . . . . . . . 40 2.2.3 Trường toàn phương K = Q[ √ 13] . . . . . . . . . . 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một bộ môn khoa học có nhiều ứng dụng với các ngành khoa học cũng như thực tiễn. Toán học giúp cho người học phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho người học óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy luận, trong học tập. Nhưng nó cũng là một môn học mang tính trừu tượng cao và khô khan. Trong quá trình học môn "Đại số đại cương" ở trường Đại học Tây Bắc, do thời gian có hạn và chưa có các phương pháp tốt để nghiên cứu môn này nên một số nội dung của nó chưa được các sinh viên nghiên cứu sâu. Vành các phần tử nguyên là vành quan trọng trong số học. Chương trình Đại số đại cương đã trình bày những kiến thức tổng quát và chỉ ra một số trường hợp vành các phần tử nguyên là vành chính và vành Euclide, trong đó trình bày ví dụ, tính chất và đã kết luận được nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính. Chúng ta đã biết điều ngược lại không đúng qua chứng minh vành Z 1 + i √ 19 2 = a + b 1 + i √ 19 2 /a, b ∈ Z không phải là vành Euclide nhưng là một vành chính. Giáo trình Đại số đại cương mới chỉ dừng lại ở mức khẳng định vành Z 1 + i √ 19 2 là vành chính mà chưa chứng minh, vì vậy tôi chọn vấn đề "Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai" và chỉ ra một số trường hợp cụ thể về vành các phần tử nguyên là vành chính và vành Euclide. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của khóa luận này là nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai và chỉ ra một số trường hợp cụ thể vành các phần tử nguyên là vành chính, vành Euclide. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai 4 K = Q( √ d) và chỉ ra một số trường hợp cụ thể d = −19; 5; 13 vành các phần tử nguyên là vành chính, vành Euclide. - Nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai một cách có hệ thống, logic, chứng minh một số định lý một cách chi tiết. 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Các định nghĩa, tính chất về vành các phần tử nguyên của trường toàn phương Q( √ d) ở đó d là số nguyên không có nhân tử bình phương khác 1 đưa ra các ví dụ về một số vành các phần tử nguyên với d là một số cụ thể: -19; 5; 13. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm và tập hợp tài liệu, đọc, nghiên cứu, lựa chọn để thu thập các thông tin, dữ liệu liên quan sau đó trao đổi, thảo luận với Thầy, Cô giáo và bạn bè. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, danh mục tài liệu tham khảo nội dung của khóa luận có 2 chương: Chương 1: Kiến thức cơ sở Trình bày các kiến thức cơ sở chuẩn bị cho chương 2 đó là các kiến thức về module, phần tử nguyên trên một vành, iđêan phân, một số vành trong số học và chuẩn của một iđêan. Chương 2: Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q( √ d) với d là một số nguyên không có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1. Chương này là nội dung chủ yếu của khóa luận, tập trung giải quyết vấn đề vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q( √ d) ở đó d là số nguyên không có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1 và khẳng định vành các phần tử nguyên ứng với một số trường hợp cụ thể là vành chính hay không là vành chính, vành Euclide hay không là vành Euclide. 5 7. Đóng góp của khóa luận - Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán ở trường Đại học Tây Bắc, giúp sinh viên có thể hiểu sâu hơn về vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q( √ d) với d là một số nguyên không có nhân tử bình phương khác 1. - Chứng minh được vành các phần tử nguyên K = Q( √ −19) là vành chính và vành các các phần tử nguyên của trường toàn phương K = Q( √ 5); Q( √ 13) vừa là vành Euclide vừa là vành chính mà ở các giáo trình và tài liệu liên quan chưa chứng minh hoặc chứng minh bằng tiếng anh. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Các vành ở đây được giả sử là vành giao hoán có đơn vị, ngoài ra một vành con của vành có đơn vị chứa đơn vị của vành ấy. Chương này sẽ cung cấp những kiến thức cơ sở phục vụ cho quá trình nghiên cứu vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc hai K = Q( √ d) ở đó d là số nguyên không có nhân tử bình phương là một số nguyên khác 1. 1.1 Module 1.1.1 Định nghĩa Khái niệm module trên một vành là sự mở rộng của khái niệm không gian vectơ trên một trường, nói rõ hơn nếu vành đã cho là một trường thì module trên trường này sẽ là không gian vectơ trên trường đó. Định nghĩa 1.1. Giả sử E là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu bằng x, y, z, và A là một vành (vẫn giả sử là vành giao hoán có đơn vị như đã quy ước ban đầu) mà các phần tử được ký hiệu bằng λ, µ, γ, Giả sử cho hai phép toán - Phép cộng: E × E −→ E (x, y) −→ x + y - Phép nhân một phần tử của A với một phần tử của E: A ×E → E (λ, x) → λx thỏa mãn các tính chất sau với mọi x, y ∈ E và mọi λ, µ ∈ A 1) E cùng với phép cộng là một nhóm aben. 7 2) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của vành A: (λ + µ)x = λx + µy 3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng của E: λ(x + y) = λx + λy 4) Phép nhân kết hợp: (λµ)x = λ(µx) 5) 1x = x với 1 là đơn vị của vành A Lúc đó ta nói E cùng với phép cộng trong E và phép nhân với một phần tử của vành A, thỏa mãn các tính chất 1), 2), 3), 4), 5) là một module trên vành A, hay A- module, hay module khi A được hiểu ngầm. Như vậy, ta thấy định nghĩa module là một mở rộng của định nghĩa không gian vectơ vì trường K được thay bằng vành A; đồng thời lớp các module chứa lớp các nhóm aben vì mỗi nhóm aben có thể coi như một module trên vành số nguyên Z. Cho một module ta cũng có khái niệm module con, module thương, module tích, ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu (module) như trong không gian vectơ. Cũng vậy, ta cũng có khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, hệ sinh, cơ sở. Nhưng vì thay trường K bằng vành A nên không phải module nào cũng có cơ sở như trong không gian vectơ. Một module có cơ sở được gọi là module tự do, đó là một hệ (e i ) i∈I (I có thể hữu hạn hay vô hạn) những phần tử của module, sao cho mọi phần tử x của module được viết duy nhất dưới dạng: x = i∈I λ i e i λ i ∈ A và λ i = 0 tất cả trừ một số hữu hạn. 1.1.2 Module tự do Cho một vành A và một tập hợp I. Ta ký hiệu bằng A I module tích: A I = {(a i ) i∈I |a i ∈ A} 8 với cấu trúc A - module xác định bởi các thành phần: (a i ) + (b i ) = (a i + b i ) λ(a i ) = (λa i ) a i , b i , λ ∈ A Ta ký hiệu bằng A (I) module con sau đây của A I : A (I) = {(a i ) i∈I |a i = 0 tất cả trừ một số hữu hạn} Trong A (I) ta xét phần tử e j = (δ ji ) i∈I sao cho δ ji = 1 và δ ji = 0 với i = j. Mọi phần tử (a j ) j∈I của A (I) được viết một cách duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các e j (do a j = 0 tất cả trừ một số hữu hạn): (a j ) i∈I = j∈I a j e j Người ta bảo (e j ) j∈I là cơ sở chính tắc của A (I) và A (I) là một module tự do vì có cơ sở. Khi I hữu hạn thì A I = A (I) = A là A - module tự do với cơ sở chính tắc là {1}, phần tử đơn vị là vành A. Giả sử M là một A - module, và (x i ) i∈I là một họ phần tử của M. Cũng như trong không gian vectơ, ánh xạ e i → x i với i ∈ I, mở rộng một cách duy nhất thành một ánh xạ tuyến tính từ module tự do A (I) vào module M f : A (I) → M (a i ) i∈I = i∈I a i e i → i∈I a i x i và ta cũng có các tương đương sau đây: (x i ) i∈I độc lập tuyến tính ⇔ f đơn ánh. (x i ) i∈I là hệ sinh ⇔ f là toàn ánh. (x i ) i∈I là cơ sở ⇔ f song ánh. 1.1.3 Module kiểu hữu hạn Định nghĩa 1.2. Một module gọi là kiểu hữu hạn nếu nó có một hệ sinh hữu hạn. 9 Chúng ta hãy đặc trưng các module có các module con kiểu hữu hạn (như vậy trước hết các module đó phải là kiểu hữu hạn) để làm cơ sở cho việc nghiên cứu vành và module nơte. Bổ đề 1.1. Giả sử E là một tập hợp sắp thứ tự. Các điều kiện sau là tương đương: a) Mọi họ không rỗng những phần tử của E có một phần tử tối đại. b) Mọi dãy tăng (x n ) n≥0 những phần tử của E là dừng (nghĩa là tồn tại n 0 sao cho x n = x n 0 với mọi n ≥ n 0 ). Định lý 1.1. Giả sử M là một A - module. Các điều kiện sau đây là tương đương: a) Mọi họ không rỗng những module con của M có một phần tử tối đại (đối với quan hệ bao hàm). b) Mọi dãy tăng (M n ) n≥0 (đối với quan hệ bao hàm) những module con của M là dừng. c) Mọi module con của M có kiểu hữu hạn. Hệ quả 1.1. Trong một vành chính A, mọi họ không rỗng những iđêan của A có một phần tử tối đại. Thậy vậy, các module con của A - module A là các iđêan của nó. Các iđêan này có dạng Ax vì A là vành chính, vậy là những module kiểu hữu hạn. Áp dụng c) ⇒ a) của định lý. 1.1.4 Hạng của một module Giả sử A là một miền nguyên và K là trường các thương của nó. Xét A- module tự do A (I) và K - không gian vectơ K (I) , với I là một tập hợp nào đó. Hiển nhiên ta cũng có thể coi K (I) như một A - module và lúc đó A (I) là một A - module con của A - module K (I) . Bây giờ ta xét một module con M của A (I) , nó cũng là một module con của A - module K (I) . Gọi E là K - không gian sinh bởi A- module con M trong K (I) ; các phần tử E có dạng: E = 1 a x|0 = a ∈ A; x ∈ M 10 [...]... 1.5 Giả sử A là một vành con của vành R; vành B gồm các phần tử của R nguyên trên A gọi là cái đóng nguyên của A trong R Giả sử A là một miền nguyên và K là trường các thương của A; cái đóng nguyên của A trong K gọi là cái đóng nguyên của A Giả sử A là một vành con của một vành C; ta bảo C là nguyên trên A nếu mọi phần tử của C là nguyên trên A, nói một cách khác: nếu cái đóng nguyên của A trong C trùng... KHÔNG CÓ NHÂN TỬ BÌNH PHƯƠNG KHÁC 1 2.1 Vành các phần tử nguyên của trường đại số bậc √ hai K = Q( d) Định nghĩa 2.1 Người ta gọi là trường toàn phương mọi mở rộng bậc 2 của trường Q các số hữu tỉ √ Định lý 2.1 Mọi trường toàn phương K có dạng Q( d) với d là một số nguyên không có nhân tử là bình phương của một số nguyên khác 1 Chứng minh Giả sử K là một trường toàn phương, mọi x ∈ K − Q có bậc 2 trên... biết tổng, hiệu, tích của hai số nguyên đại số (theo thứ tự đại số) là một số nguyên đại số ( theo thứ tự đại số) Hệ quả 1.7 Giả sử A là vành con của vành R Tập hợp B các phần tử của R nguyên trên A là một vành con của B chứa A Chứng minh Giả sử x, y ∈ B theo hệ quả 1.5; x − y ∈ B và xy ∈ B vậy B là một vành con của R Mặt khác mọi a ∈ A là nghiệm của đa thức đơn vị X − a vậy là nguyên trên A, từ đó... Do đó A là vành Euclide √ Định lý 2.6 Cho K = Q[ d] là trường toàn phương, A là vành các phần 35 tử nguyên của K, xét số nguyên tố chẵn 2 Khi đó a) Nếu d ≡ 1 (mod 8) thì 2A = P1 P2 và P1 , P2 là hai iđêan nguyên tố phân biệt của A b) Nếu d ≡ 5 (mod 8) thì 2A là iđêan nguyên tố của A √ Định lý 2.7 Cho trường toàn phương K = Q( d), A là vành các phần tử nguyên của K Thế thì mọi lớp các iđêan của K chứa... iđêan Ở đây chúng ta sẽ định nghĩa chuẩn của một iđêan của vành Dedekind √ đặc biệt: Vành các phần tử nguyên của trường toàn phương K = Q[ d] Giả sử K là một trong những trường số đại số với bậc [K : Q] = n và A là vành các phần tử nguyên của K Với mỗi x ∈ K , ta ký hiệu chuẩn NK/Q (x) bằng N(x) Nếu x ∈ A thì N (x) ∈ Z Định lý 1.22 Nếu x là một phần tử khác 0 của A thì ta có |N (x)| = card(A/Ax) Chứng... b ∈ Z} là một vành Euclide A chính là vành các phần tử nguyên của trường toàn phương √ Q[ −1] √ 3) Vành A = {a + bi 2|a, b ∈ Z} các phần tử nguyên của trường √ toàn phương Q[ −2] là một vành Euclide 1.4.2 Vành chính Định nghĩa 1.11 Một miền nguyên A gọi là vành chính nếu mọi iđêan của nó là chính Định lý 1.10 Nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính Chứng minh Giả sử A là một vành Euclide với... nghĩa 1.15 Một miền nguyên A gọi là vành Dedekind nếu nó là Noether, đóng nguyên và nếu mọi iđêan nguyên tố khác (0) của A là tối đại 24 Ví dụ Vành Z là vành Dedekind và tổng quát hơn mọi vành chính là vành Dedekind Hệ quả 1.9 Vành các phần tử nguyên của một trường những số đại số là vành Dedekind Từ hệ quả trên mọi vành chính là vành Gauss, nghĩa là có sự phân tích thành tích những phần tử bất khả quy... A là vành các phần tử nguyên của K = Q[ d] và tùy 34 theo d > 0 (theo thứ tự d < 0) ta gọi K là trường toàn phương thực (theo thứ tự trường toàn phương ảo) Tùy theo giá trị của d mà A sẽ cho ta những ví dụ về vành có tính chất phong phú √ Định lý 2.5 K = Q[ d] là trường bậc hai, A là vành các phần tử nguyên đại số của K Thế thì A cùng với hàm trị tuyệt đối của chuẩn ϕ : A∗ → N x → |N (x)| là vành Euclide... phân chính của A sao cho: I = J d 1.4 Một số vành trong số học Trong bài này chúng ta sẽ đề cập tới một số vành đóng vai trò quan trọng trong số học, đó là các vành: Euclide, vành chính, vành Gauss, vành Noether và vành Dedekind Các vành này đã được trình bày trong giáo trình Đại số của các trường Đại học sư phạm, ở đây ta sẽ nhắc lại 1.4.1 Vành Euclide Định nghĩa 1.10 Giả sử A là một miền nguyên và... gọn vào phần tử trung hòa Đảo lại, giả sử C(A) thu gọn vào phần tử trung hòa, nghĩa là J(A) = M thế thì mọi I ∈ J(A) đều là iđêan chính, đặc biệt mọi iđêan nguyên của A là chính, vậy A là vành chính Sau đây ta định nghĩa chuẩn của một iđêan của vành Dedekind đặc 27 √ biệt: Vành các phần tử nguyên của trường toàn phương K = Q( d) ở đó d là số nguyên không có nhân tử bình phương khác 1 1.5 Chuẩn của một