25 câu ơn phần Tốn - Đánh giá tư ĐH Bách Khoa HN - Phần (Bản word có giải) Toán trắc nghiệm (câu hỏi 36 - 60)  3x Câu 36 Đồ thị hàm số có y  tâm đối xứng là  x A I   1;  3 B I   1;1 C I   3;1 D I  1;  3 Câu 37 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đoạn   1; 4 hình vẽ bên Khi đó, tích phân I  f  x  dx bao nhiêu? 1 A I 3 11 B I  C I 5 D I  Câu 38 Thầy Thắng muốn sau năm có tỉ đồng để mua ơtơ Hỏi thầy Thắng phải gửi ngân hàng tháng số tiền gần với số tiền sau đây? Biết lãi suất hàng tháng 0,5%, tiền lãi sinh hàng tháng nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng A 14 261 000 đồng B 14 260 500 đồng C 14 260 000 đồng D 14 261 500 đồng Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng  P  : x  y  z  0 ,  Q  : x  my  z  0  R  :  x  y  nz 0 Tính tổng A –6 m  2n , biết  P    R   P  / /  Q  B C D Câu 40 Gọi I  t  số ca bị nhiễm bệnh Covid-19 quốc gia X sau t ngày khảo sát Khi ta có cơng r  t  1 thức I  t   A.e với A số ca bị nhiễm ngày khảo sát đầu tiên, r0 hệ số lây nhiễm Biết ngày khảo sát có 500 ca bị nhiễm bệnh ngày thứ 10 khảo sát có 1000 ca bị nhiễm bệnh Hỏi ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh gần với số đây, biết suốt trình khảo sát hệ số lây nhiễm không đổi? A 2000 B 2160 C 2340 D 2520 Câu 41 Một xe lửa chuyển động chậm dần dừng lại hẳn sau 20s kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Trong thời gian xe chạy 120m Biết cơng thức tính vận tốc chuyển động biến đổi v v0  at ; a  m / s  gia tốc, v (m/s) vận tốc thời điểm t(s) Hãy tính vận tốc v0 xe lửa lúc bắt đầu hãm phanh A 30 m/s B m/s C 12 m/s D 45 m/s Trang Câu 42 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng  BCD  Biết tam giác BCD vuông C AB  a , AC a , CD a Gọi E trung điểm AC Góc hai đường thẳng AB DE A 45° B 90° C 30° D 60° Câu 43 Một tổ có 10 học sinh Số cách chọn hai bạn học sinh làm tổ trưởng tổ phó là  A 10 B 90 Câu 44 Cho x  C 45 D 24 m ; m, n  * ,  m, n  1 Biết ba số log x , –1, log  81x  theo thứ tự lập thành n cấp số cộng Tính m  n A 28 B 82 C 10 D   Câu 45 Số nghiệm phương trình sin x  cos x 2sin x khoảng  0;  là   2 A B C D Câu 46 Hình bên bao gồm hình chữ nhật ABCD hình thang vng CDMN Các điểm B, C, N thẳng hàng, AB CN 2 dm ; BC 4 dm ; MN 3 dm Quay hình bên xung quanh cạnh BN ta khối trịn xoay tích A 54 dm3 C B 86 dm 86 dm3 D 54dm3 Câu 47 Gọi  H  tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn  z  2 mặt phẳng phức Khi đó, diện tích hình  H  A 2 B 3 C 4 D 5 Câu 48 Chu kì bán rã ngun tố phóng xạ Poloni 210 138 ngày (nghĩa sau 138 ngày khối lượng ngun tố cịn nửa) Biết ban đầu có m (gam) Poloni 210 Sau ngày khối lượng Poloni 210 cịn lại A 460 ngày khối lượng ban đầu? 10 B 456 ngày C 459 ngày D 458 ngày Câu 49 Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy cm, chiều dài lăn 25 cm Sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo diện tích tường phẳng A 1500  cm  B 150  cm  C 3000  cm  D 300  cm  2 Trang Câu 50 Người ta dự định xây dựng tòa tháp 11 tầng ngơi chùa theo cấu trúc, diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp 15 m Yêu cầu tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm) Tính số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp A 333 viên gạch Câu 51 Cho hàm số y  B 334 viên gạch C 332 viên gạch D 335 viên gạch m sin x  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn   5;5 để giá cos x  trị nhỏ y nhỏ – 1? A B C D Câu 52 Trong không gian Oxyz, cho điểm A  1;1;1 , B  4;1;1 , C  1;1;5  Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC A I   2;1;   B I  2;1;  C I  2;1;   D I   2;  1;   Câu 53 Gọi S tổng giá trị thực m để phương trình z  z   m 0 có nghiệm phức thỏa mãn z 1 Tính S A 20 B 12 C 14 D Câu 54 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có M, N, P trung điểm cạnh BC, C D , DD (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144, thể tích khối tứ diện AMNP A 15 B 24 C 20 D 18 Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  0 mặt phẳng  Q  : 2x  y  z  10 0 song song với Biết A  1; 2;1 điểm nằm hai mặt phẳng  P   Q  Gọi  S  mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng  P   Q  Biết  S  thay đổi tâm ln nằm đường trịn Tính bán kính r đường trịn A r  B r  2 C r  D r  Câu 56 Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 12 đội tham gia, có đội Việt Nam Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu, bảng đội Tính xác suất để đội Việt Nam nằm bảng đấu A 55 B 330 C 110 D 55 Câu 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng  ABCD  góc 30° Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng  SCD  theo a Trang A d a B d  2a C d  2a 21 21 D d  a 21 Câu 58 Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y  x  x  12 x  m nghịch biến khoảng   ;  1 ? A B C D Câu 59 Có giá trị nguyên dương tham số m nhỏ 2020 để phương trình   log m  m  x 2 x có nghiệm thực? A 2017 B 2018 C 2020 D 2019.  Câu 60 Cho hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính khối cầu nhỏ có bán kính Biết khối cầu tiếp xúc với tiếp xúc với mặt hình hộp (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối hộp bằng? A 32  32 B 48  32 C 32  64 D 32  32 Toán tự luận Bài Bảng giá cước hãng taxi X cho bảng đây: Quãng đường Giá cước (VNĐ/km) Từ đến 10 km 10 000 Từ 10 km đến 40 km 15 000 Trên 40 km 12 500 Thiết lập công thức liên hệ quãng đường di chuyển số tiền tương ứng phải trả Nếu người taxi hãng X phải trả số tiền xe 475 000 VNĐ người quãng đường bao nhiêu? Một người taxi hãng X từ A đến B, sau phải bắt taxi lần để từ B đến C Biết quãng đường AB khoảng từ 10 đến 40 km, quãng đường BC dài quãng đường AB 32 km Số tiền người phải trả quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả quãng đường AB Tính độ dài quãng đường AB Ngày Valentine, hãng X áp dụng chương trình giảm giá 10% cho khách hàng, tối đa 50 000 VNĐ Một người taxi hãng X dịp phải trả 360 000 VNĐ người quãng đường bao nhiêu? Trang  Bài Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BCD 120 Biết hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC BD Diện tích tam giác AAB a2 Tính góc hai mặt phẳng  ABBA  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D Trang Đáp án 36-D 41-C 51-A 37-D 42-D 52-B 38-D 43-B 53-B 39-C 44-A 54-A 40-B 45-D 55-A 46-B 56-A 47-B 57-D 48-C 58-D 49-A 59-D 50-B 60-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Toán trắc nghiệm (câu hỏi 36 - 60) Câu 36 Ta có: lim y lim  3x   nên đường thẳng x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x Lại có, lim y lim  3x  nên đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x x x x  x  Giao điểm hai đường tiệm cận tâm đối xứng đồ thị Do I  1;  3 Câu 37 4 Ta có: I  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx  1 1 1   1      2 Bản word từ website Tailieuchuan.vn Câu 38 Gọi a số tiền hàng tháng thầy Thắng phải gửi vào ngân hàng, r lãi suất hàng tháng Sau n tháng số tiền gốc lẫn lãi Tn  a n   r     r   1 r Suy a  Tn r   r     r  n  1   1000 000 000.0,5% 14 261494 đồng 60   0,5%     0,5%   1 Câu 39 Ta có:  +)  P  : x  y  z  0 có VTPT a  1;1;1  +)  Q  : x  my  z  0 có VTPT b  2; m;   +)  R  :  x  y  nz 0 có VTPT c   1; 2; n    P    R   a.c 0  n   P / /  Q  m    m 2 1 Vậy m  2n 2    1 0 Câu 40 Trang Theo giả thiết ta có I  1  A 500 9r 9r Ngày thứ 10 có 1000 ca nên I  10   A.e  1000 500.e  r0  Vậy ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh I  20  500.e 19ln ln 2160 Câu 41 Tại thời điểm t 20  s  , v  20  0 nên v0  20a 0  a  v0 20 v0 t 20 Do đó, v  t  v0  20 Mặt khác, v  t  s t   20 20 v  t  dt  s t  dt s  t  0 20 v   Suy ra,  v0  t  dt 120  20   v0    v0t  40 t    s  20   s   120 20 120 Từ ta có phương trình 20v0  10v0 120  v0 12  m / s  Câu 42 Gọi F trung điểm BC Xét ABC cố E; F trung điểm AC; BC  EF đường trung bình ABC  , DE  EF / / AB  AB, DE  EF     Ta có AB   BCD   EF   BCD   EF  FD (vì FD   BCD  )    , DE FED   EFD vng F EF CD  BC  CD   ABC   CD  AC hay ACD vuông C Lại có  CD  AB Xét tam giác vng ECD có 2 a 2 a  AC  2 ED  EC  CD     a    CD       2   Xét EFD vng có cos FED EF AB     FED 60 ED ED Vậy góc hai đường thẳng AB DE 60° Câu 43 Trang Số cách chọn hai bạn học sinh làm tổ trưởng tổ phó từ 10 học sinh A10 90 Câu 44 Điều kiện: x  Vì ba số log x , –1, log  81x  theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:  log x  log  81x    log x  log  81x    log  x   2 1 2  1   x  3    x     x  , x   x  27  3 Vậy m 1 , n 27  m  n 28 Câu 45 Phương trình    sin x  cos x sin x  sin  x   sin x 2 3      x 5 x   k 2 x   k      sin x sin  x       k   3   x    x     k 2  x    k     3 18    Xét khoảng  0;  :  2 +)    1    k     k   k  k 0  x  6    k 0  x 18     k  2  k 1  x  +)   k     k     18 3   k 2  x  7  18 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn u cầu tốn Câu 46 Khi quay hình quanh cạnh BN ta khối tròn xoay gồm khối trụ có bán kính đáy dm, chiều cao dm khối nón cụt có bán kính hai đáy 2dm dm, chiều cao dm Do thể tích khối tròn xoay V 4  86 4  9  4 9   dm3  3   Câu 47 Đặt z  x  yi , z   x   yi   x  1  y2 Do  z  2 Trang  1  x  1 2  y 2   x  1  y 4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình phẳng nằm đường trịn tâm I  1;0  bán kính R 2 nằm ngồi đường trịn I  1;0  bán kính r 1 Diện tích hình phẳng S  22   12 3 Câu 48 Theo giả thiết ta có Lượng Poloni 210 ban đầu T0 m   Lượng Poloni 210 lại sau 138 ngày: T1  m 2 1 Lượng Poloni 210 lại sau 138 2 ngày: T2   m  2 m 1 Cứ lượng Poloni 210 lại sau 138 n ngày: Tm   m  2 n 1 1 3,3 Yêu cầu toán tương đương   m  m  n log 10  2 10 Vậy sau 138 n 138 3,3 459 ngày khối lượng Poloni 210 cịn lại khối lượng ban 10 đầu Câu 49 Diện tích xung quanh hình trụ S xq 2 Rh  6.25 150  cm  Khi lăn sơn quay vòng quét diện tích diện tích xung quanh hình trụ Do trục lăn quay 10 vịng qt diện tích S 10.S xq 1500  cm  Câu 50 Gọi S1 diện tích mặt đáy tháp Ta có: S1 15  m  Theo u cầu xây dựng tịa tháp, diện tích mặt đáy tầng là: S  S1 2 1 S3  S   S1  2 …… 1 S n    2 n S1 Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp Trang 11   1 S S1  S   S11 S1      10  15.1 29,98  m    2 1 1 2 Diện tích viên gạch 30.30 900  cm  0,09  m  Số lượng gạch hoa cần mua S 333,17 (viên) Vậy cần mua 334 viên gạch 0, 09 Câu 51 Do cos x   , x   nên hàm số xác định  Ta có y  m sin x   m sin x  y cos x 2 y  cos x  Do phương trình có nghiệm nên m  y  y  1  y  y   m 0  Vậy giá trị nhỏ y 2 Do u cầu tốn tương đương 2 3m   3m  y  3 3m  2 3m     3m   25  m   m  2   m   2 Vì m giá trị nguyên thuộc đoạn   5;5 nên m    5;  4;  3;3; 4;5   Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 52 Cơng thức tính nhanh Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC     Khi BC.IA  CA.IB  AB.IC 0 Áp dụng, gọi I  a; b; c   AB 3; BC 5; AC 4  Do        5IA  IB  3IC 0  12 IA 4 BA  3CA    12 IA   12;0;  12   IA   1;0;  1 1  a    1  b 0  1  c    a 2  b 1  I  2;1;  c 2  Câu 53 Phương trình z  z   m 0  * có  9    m  9m Xét hai trường hợp sau: Trường hợp  * có nghiệm thực   0  m 0 Trang 10  z 1 Khi đó, z 1    z  +) z 1  m 16 (thỏa mãn) +) z   m 4 (thỏa mãn) Trường hợp  * có nghiệm phức z a  bi  b 0      m  Nếu z nghiệm phương trình z  z   m 0 z nghiệm phương trình z  z   m 0 1 m 1  m  (thỏa mãn) Ta có z 1  z 1  z.z 1  Vậy tổng giá trị thực m 12 Câu 54 Gọi E  NP  CD Đặt DC 2d , BC 2r Ta có S EMA S ECBA  S EMC  S ABM 5dr  dr  dr  dr 2 1 VNEAM  S EMA d  N ,  EMA    S EMA CC  3  5 4dr.CC   VABCD ABC D 30 24 24 VNPAM  VNEAM 15 Câu 55 Ta thấy M  1;0;0  điểm thuộc  P  Vì  P  / /  Q  nên d   P  ,  Q   d  M ,  Q     10 22    1     4 Giả sử I  a; b; c  tâm  S  Vì  S  tiếp xúc với  P   Q  nên bán kính mặt cầu  S  R d   P , Q   2 Do IA 2 nên I thuộc mặt cầu  T  tâm A, bán kính Ngồi ra, d  I ,  P   d  I ,  Q    a  b  2c  2 22    1      2a  b  2c  10 22    1      2a  b  2c   2a  b  2c  10  2a  b  2c    2a  b  2c  10  Trang 11  2a  b  2c  0 Do đó, I thuộc mặt phẳng  R  : x  y  z  0 Gọi H hình chiếu vng góc A lên  R  Vì A,  R  cố định nên H cố định Ta có AH d  A,  R    2.1   2.1  22    1      Mà AH   R   AH  HI , AHI vuông H nên  2 HI  AI  AH       3 2 Vậy I ln thuộc đường trịn tâm H, nằm mặt phẳng  R  , bán kính r  Câu 56 4 Gọi ba bảng đấu có tên A, B, C Chọn đội cho bảng A có C12 cách, chọn đội cho bảng B có C8 cách đội cịn lại vào bảng C có cách Theo quy tắc nhân, số cách chia 12 đội thành bảng đấu n    C124 C84 34650 (cách) Gọi A biến cố “3 đội Việt Nam nằm bảng đấu” Giả sử đội Việt Nam nằm bảng A Khi bảng A chọn đội đội nước đội Việt Nam, đội lại chia vào bảng B C Trong trường hợp ta có số cách chọn C9 C8 630 (cách) Vì vai trị bảng nên trường hợp đội Việt Nam bảng B hay bảng C cho kết Vậy số kết thuận lợi cho biến cố A  A  3.630 1890 (cách) Xác suất biến cố A là: P  A   n  A  1890   n    34650 55 Câu 57 Gọi O  AC  BD Ta có ABC cạnh a có H trọng tâm  BO  a a 2a , CH  , HD  BO  3     30 Mặt khác, SD,  ABCD  SDH 2a   SH HD.tan SDH  Lại có CH  AB  CH  CD Trang 12 Kẻ HK  SC  K  SC     SH  CD  CD   SHC   HK  CD Ta có  CH  CD  HK   SCD   d H , SCD   HK  Mà d H , SCD   d B , SCD   SH HC SH  HC  2a 21 21 HD a 21   d B , SCD    BD  Câu 58 3 Xét hàm số f  x  3x  x  12 x  m  f  x  12 x  12 x  24 x  x   Ta có f  x  0   x 0  x 2 Bảng biến thiên x y –1  – +  0 m –  +  y m m  32 Hàm số y  f  x  nghịch biến   ;  1  m  0  m 5 Do m số nguyên nhỏ 10 nên ta có m   5;6;7;8;9 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 59 Phương trình cho tương đương với phương trình m  m  x 22 x   m  x   m  x 2 x  x  1 Ta có x m  x 0 ,  Xét hàm đặc trưng f  t  t  t  0;   Ta có f  t  2t  0 , t   0;    f  t  đồng biến khoảng  0;   Do  1  f   m  2x  f  x   m  x 2 x  m 22 x  x   Đặt a 2 x , a  Ta có    m g  a  a  a Trang 13 x g  a   1 Phương trình cho có nghiệm  m  mà m giá trị nguyên dương nhỏ 2020 nên m   1; 2;3; ; 2019 Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 60.  Gọi tâm cầu lớn S, tâm cầu nhỏ A, B, C, D Khi điểm S, A, B, C, D tạo thành khối chóp tứ giác đều, có cạnh đáy 2, cạnh bên Ta có BO  BD  , SO  SB  BO  Khi đó, chiều cao hình hộp là: h 2 SO  2.1 2  Vậy thể tích khối hộp là: V 4.4.h 32  32 Toán tự luận Bài 1 Gọi x (km) quãng đường di chuyển Khi đó, ta có cơng thức liên hệ quãng đường di chuyển số tiền tương ứng phải trả f(x) sau: 10000 x   x 10   f  x  10000.10   x  10  15000  10  x 40    x  40  10000.10  15000.30   x  40  12500 10000 x   x 10    f  x  15000 x  50000  10  x 40    x  40  12500 x  50000 Để xác định số tiền xe 475 000 VNĐ mà người xe phải trả ứng với quãng đường di chuyển dài bao nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng Với f  x  10000 x ;  x 10  f  x  100000 Với f  x  15000 x  50000 , 10  x 40 100000  f  x  550000 Với f  x  12500 x  50000 , x  40 f  x   550000 Trang 14 Vì 100000  475000  550000 nên ứng với số tiền xe 475 000 VNĐ người xe quãng đường dài 475000  50000 35  km  15000 Vậy người quãng đường dài 35km Gọi x (km)  10  x  40  độ dài quãng đường AB Vì quãng đường BC dài quãng đường AB 32km nên quãng đường BC dài x  32  km  Vì số tiền người phải trả quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả quãng đường AB nên ta có phương trình 12500  x  32   50000 2,8  15000 x  50000   x 20  km  (thỏa mãn) Vậy quãng đường AB dài 20km Nếu khơng giảm giá 10% người xe phải trả số tiền là: 360000 :  100%  10%  400000 (đồng) Vì 100000 < 400000 < 550000 nên người xe quãng đường là: 400000  50000 30  km  15000 Vậy người quang đường dài 30km Bài Gọi H giao điểm AC BD  Hình thoi ABCD có BCD 120  ABC 60 Do ABC tam giác  S ABC  a2 a2  S ABH  S ABC  Tam giác ABH hình chiếu tam giác ABH Gọi góc  ABBA  ABCD   Khi ta có S ABH S ABA cos   cos   Ta có S ABCD 2 S ABC  S ABH    60 S ABA a2 Gọi M trung điểm AB, I trung điểm AM Khi HI  AB  góc  ABBA  ABCD  góc AIH 60 a 3a Ta có IH  CM   AH IH tan 60  4 Trang 15  VABCD ABC D  AH S ABCD  3a a 3a 3  Tài liệu mang tính chất tham khảo, vui lịng kiểm tra kỹ trước áp dụng Trang 16