MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN 1 Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên Với ⊂ ¥M , thay cho ký hiệu :u → ¡M ( ) n u na ta thường dùng ký hiệu ( ) ,{ } ,( ) n n n n n n u u u ∈ ∈M M hay { } n n u Định nghĩa 1.2. Cho dãy ( ) n n u ∈¥ • Dãy ( ) n u được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nếu 1n n u u n + ≤ ∀ ∈¥ • Dãy ( ) n u được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu 1n n u u n + ≥ ∀ ∈¥ • Dãy ( ) n u được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu 1n n u u n + < ∀ ∈¥ • Dãy ( ) n u được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu 1n n u u n + > ∀ ∈¥ Nhận xét. • Nếu ( ) ,( ) n n x yZ Z thì ( ) n n x y+ Z • Nếu ( ) ,( ) n n x y] ] thì ( ) n n x y+ ] • Nếu ( ) n x Z thì ( ) n x− ] . Và nếu ( ) n x ] thì ( ) n x− Z • Nếu hai dãy dương ( ),( ) n n x y cùng tăng (giảm) thì ( ) n n x y tăng (giảm). • Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ ( 1) n n x n= − ∀ ∈¥ Định nghĩa 1.3. Cho dãy số ( ) n n x ∈¥ . • Dãy ( ) n x được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho n x M n≤ ∀ • Dãy ( ) n x được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số m sao cho n x m n≥ ∀ • Dãy ( ) n x vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn. Định lí 1.1. Dãy ( ) n x bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ghằng số 0c ≥ sao cho | | n u c n≤ ∀ 1.2 Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1.4. Dãy số ( ) n u được gọi là hội tụ về α , ký hiệu lim n n u α →∞ = , nếu với mọi 0 ε > cho trước tùy ý, tìm được chỉ số 0 n sao cho với mọi 0 n n≥ đều có | | n u α ε − < Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng 1. lim n c c →∞ = 2. 1 lim 0 n n →∞ = 3. 1 lim 1 n n n →∞ + = Định lí 1.2. (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất Định lí 1.3. (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho lim n n x →∞ = l và a ∈¡ . Khi đó • Nếu a < l thì 0 0 ( : ) n n n n a x∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ <¥ • Nếu a > l thì 0 0 ( : ) n n n n a x∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ >¥ Định lí 1.4. (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho lim n n x →∞ = l và a ∈¡ . Khi đó • Nếu 0 0 ( : ) n n n n x a∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≥¥ thì a≥l • Nếu 0 0 ( : ) n n n n x a∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤¥ thì a≤l Định lí 1.5. (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số ( ),( ),( ) n n n x y z thỏa mãn • 0 0 : n n n n n n z x y∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤ ≤¥ • các dãy ( ),( ) n n y z cùng hội tụ đến l Khi đó dãy ( ) n x hội tụ và lim n n x →∞ = l Định lí 1.6. (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ ( ),( ) n n x y và lim ;lim n n n n x a y b →∞ →∞ = = . Khi đó • Dãy ( ) n x− hội tụ và lim( ) n n x a →∞ − = − • Dãy (| |) n x hội tụ và lim | | | | n n x a →∞ = • Dãy ( ) n n x y+ hội tụ và lim( ) n n n x y a b →∞ + = + • Dãy ( ) n n x y− hội tụ và lim( ) n n n x y a b →∞ − = − • Dãy ( ) n kx hội tụ và lim( ) n n kx ka →∞ = • Dãy ( · ) n n x y hội tụ và lim( · ) n n n x y ab →∞ = • Với 0b ≠ thì dãy 1 n y    ÷   được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và 1 1 lim n n y b →∞   ÷  =   • Với 0b ≠ thì dãy n n x y    ÷   được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và lim n n n x a y b →∞    ÷ =   Ví dụ 1.2. Tìm các giới hạn sau • 2 2 3 2 lim 3 2 n n n n n →∞ − + + − • 2 3 2 2 3 1 lim 3 4 5 n n n n n →∞ − + + − • 2 1 2 lim n n n n →+∞ + − − • 2 2 lim ( 2 1 1) n n n n n →+∞ + − − + + • 0 0 (3 1) lim (2 3) n k n n k k k = →+∞ = + + ∑ ∑ 1.3 Dấu hiệu hội tụ của dãy số 1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass Định lí 1.7. Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ Cụ thể, một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ, một dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Ví dụ 1.3. Cho các dãy số ( ),( ) n n x y được xác định như sau 1 1 1 1 0, 0, , , 1. 2 n n n n n n x y x a y b x x y y n + + + = > = > = = ∀ ≥ Chứng minh rằng các dãy số ( ),( ) n n x y hội tụ và lim lim n n x y= . Lời giải. Ta xét hai trường hợp sau: (i) Nếu a b≥ thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy ( ) n x là dãy giảm bị chặn dưới bởi a , còn dãy ( ) n y là dãy tăng bị chặn trên bởi a . Do đó theo định lý 1.7 tồn tại lim ,lim n n x y và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được lim lim n n x y= . (ii) Nếu a b ≤ tương tự như trường hợp (i). Ví dụ 1.4. Cho dãy số ( ) n x được xác định như sau 1 2 2 1 1, 2, , 1 n n n x x x x x n + + = = = + ∀ ≥ . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải. Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được ( ) n x là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý 1.7 ta có tồn tại lim n x a= . Từ đẳng thức 2 1n n n x x x + + = + chuyển qua giới hạn ta được 2a a= nhưng do 0a > nên chỉ lấy 4a = . Vậy lim 4 n a = . Bài tập tương tự Bài tập 1.5. Cho dãy số ( ) n x xác định bởi 1 1 2, 2 , 1, 2, n n x x x n + = = + = … Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tìm lim n n x →∞ . Bài tập 1.6. Cho dãy số thỏa mãn điều kiện ( ) 1 1 0 1, 1 4 n n n x x x + < < − > . Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn đó. Bài tập 1.7. (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực ( ),( ) n n a b thỏa mãn các điều kiện sau: [ ] [ ] 1 1 ; , , n n n n n n a b a b a b + + ≤ ⊆ với mọi n ∈ ¥ và ( ) lim 0 n n b a− = . Khi đó tồn tại số thực c sao cho [ ] { } 0 , n n n a b c ∞ = = I và lim lim n n a b c= = . Bài tập 1.8. (VMO 2005). Cho dãy số thực ( ), 1,2,3 n x n = được xác định bởi: 1 x a= và 3 2 1 3 7 5 n n n n x x x x + = − + với 1,2,3, n = trong đó a là một số thực thuộc đoạn 4 0, 3       . Chứng minh rằng dãy số ( ) n x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài tập 1.9. (VMO 2002B). Xét phương trình 2 2 1 1 1 1 1 0 2 1 4x x x x k x n + + + + + + = − − − − , trong đó n là tham số nguyên dương. 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng ( ) 0,1 ; kí hiệu nghiệm đó là n x . 2. Chứng minh rằng dãy số n x có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Bài tập 1.10. Cho số thực a . Cho dãy số ( ), n x n∈¥ , được xác định bởi: 0 x a= và 1 sin n n n x x x + = + với mọi n∈¥ . Chứng minh rằng dãy số ( ) n x có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tính giới hạn đó. 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy Định nghĩa 1.5. Dãy ( ) n x được gọi là dãy Cauchy nếu thỏa mãn điều kiện 0, : , , , , m n N m n m n N x x ε ε ∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ − <¥ ¥ Định lí 1.8. Dãy số ( ) n x hội tụ khi và chỉ khi ( ) n x là dãy Cauchy. Ví dụ 1.11. Cho hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) f x f y q x y− ≤ − , với mọi ,x y ∈¡ , trong đó ( ) 0,1q ∈ là hằng số cho trước. Với c ∈¡ cho trước và xác định dãy ( ), 0,1, 2,3 n x n = như sau: 0 1 , ( ), 0,1,2, n n x c x f x n + = = = . Chứng minh rằng dãy số ( ) n x hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm của phương trình ( )f x x= . Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy ( ) n x là một dãy Cauchy. Thật vậy, với , ,m n n m∈ >¥ ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 0 m n m n m n m n m x x f x f x q x x q x x − − − − − − = − ≤ − ≤ ≤ − (1) Mặt khác ta có ( ) 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 n n n n n q x x x x x x q x x x x q − − − − ≤ − + + − ≤ + + − = − − . Từ đây suy ra 0n x x− bị chặn với mọi n . Kết hợp với (1) ta thu được với mọi 0 ε > tồn tại N ∈¥ sao cho với mọi ,m n N≥ thì n m x x ε − < . Nên dãy ( ) n x là một dãy Cauchy suy ra nó hội tụ. Từ điều kiện của hàm f dễ dàng chứng minh được f liên tục và do đó từ đẳng thức 1 ( ) n n x f x − = chuyển qua giới hạn ta được giới hạn của dãy ( ) n x là nghiệm của phương trình ( )f x x= . Bài tập tương tự Bài tập 1.12. Cho :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện với mọi 0 ε > đều tồn tại 0 δ > sao cho: nếu x y ε ε δ ≤ − < + thì ( ) ( )f x f y ε − < . Xét dãy số xác định như sau: 0 1 , ( ), 0,1, n n x x f x n + ∈ = =¡ Chứng minh rằng dãy ( ) n x hội tụ. Bài tập 1.13. Cho :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ( ))x f x x f x ϕ ϕ − ≤ − , trong đó : ϕ →¡ ¡ là hàm liên tục và bị chặn dưới. Lấy 0 x ∈¡ và lập dãy 1 ( ), 0,1, 2, n n x f x n + = = Chứng minh rằng dãy số ( ) n x hội tụ. Bài tập 1.14. Cho :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f y k x f x y f y− ≤ − + − , với mọi ,x y ∈¡ , trong đó 1 2 k < . Xét dãy số xác định như sau: 1 1 , ( ), 1 n n x x f x n + ∈ = ≥¡ . Chứng minh rằng dãy ( ) n x hội tụ và giới hạn của dãy là nghiệm duy nhất của phương trình ( )f x x= . Bài tập 1.15. Cho :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện: có số ,0 1k k≤ < sao cho { } ( ) ( ) max , ( ) , ( ) , .f x f y k x y f x x y f y x y− ≤ − − − ∀ ∈¡ Xét dãy số xác định như sau: 1 1 , ( ), 1 n n x x f x n + ∈ = ≥¡ . Chứng minh rằng dãy ( ) n x hội tụ và giới hạn của dãy là nghiệm duy nhất của phương trình ( )f x x= . 1.3.3 Nguyên lý kẹp Định lí 1.9. Cho ba dãy số ( ),( ) n n a b và ( ) n c thỏa mãn: N∃ ∈¥ sao cho n n n a b c n N≤ ≤ ∀ ≥ và lim lim n n a c a= = . Khi đó n limb a= . Ví dụ 1.16. (Canada 1985) Dãy số ( ) n x thỏa mãn điều kiện 1 1 2x< < và 2 * 1 1 1 , . 2 n n n x x x n + = + − ∀ ∈¥ Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm lim n n x →∞ Lời giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: 1 2 , 3 2 n n x n− < ∀ ≥ . Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với 3n = . Giả sử bất đẳng thức đúng với 3n ≥ , tức là 1 2 2 n n x − < . Khi đó ta có ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 . 2 2 2 2 n n n n n n n n x x x x x x + + − = − − − ≤ − − + − < − < = Do đó bất đẳng thức đúng đến 1n + . Mặt khác do 1 lim 0 2 n = nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có lim 0 n x = . Ví dụ 1.17. Cho dãy các hàm số { } ( ) n P x xác định như sau 2 0 1 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) , 0; 2 n n n x P x P x P x P x n x + − = = + ∀ ≥ ∈¡ . Tìm lim ( ) n n P x →∞ . Lời giải Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: 0 ( ) , n P x x n≤ ≤ ∀ ∈ ¥ . (1) Thật vậy, với [0,1]x∈ suy ra 2 0x x− ≤ nên 1 0 ( ) 2 x P x x≤ = ≤ . Như vậy (1) đúng với n=1. Giả sử (1) đúng đến $n$. Xét hàm số ( ) 2 1 ( ) 2 f t t x t= + − với [0,1]t ∈ . Dễ thấy hàm số ( )f t đồng biến trên [0,1] . theo giả thiết quy nạp ta có 0 ( ) 1 n P x x≤ ≤ ≤ với mọi [0,1]x∈ (2) nên 1 ( ) ( ( )) ( ) n n P x f P x f x x + = ≤ = với mọi [0,1]x∈ . Mặt khác, từ (2) ta có 2 1 ( ) 0 ( ) ( ) 0 n n n x P x P x P x + − ≥ ⇒ ≥ ≥ . Vậy 1 0 ( ) n P x x + ≤ ≤ . Do đó (1) đúng đến 1n + nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) đúng với mọi n . Tiếp theo ta chứng minh 2 ( ) 1 n x P x n − ≤ + với [0,1],x n∈ ∀ ∈¥ . (3) Thật vậy ta có 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 n n n x P x x P x x P x − −   +   − = − −       1 1 0 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 . 1 1 1 1 n n n n n n x x P x do P x x n x x x P x n n x x n n n n n n n − − +     ≤ − − ≥             ≤ ≤ − − = −               + −    ÷       ≤ = <  ÷   + + + +         Từ đó ta thu được bất đẳng thức 2 0 ( ) 1 n x P x n ≤ − < + với mọi [0,1]x n∈ ∀ ∈¥ . Do 2 lim 0 1n = + nên theo nguyên lý kẹp ta được lim ( ) n P x x= , với mọi [0,1]x∈ . Ví dụ 1.18. Cho { } , ,( , ) 1; 1, 2, a b a b n ab ab∈ = ∈ + +¥ å . Kí hiệu n r là số cặp số ( , )u v ∈ ×¥ ¥ å å sao cho n au bv= + . Chứng minh rằng 1 lim n n r n ab →∞ = . Lời giải Xét phương trình au bv n+ = (1). Gọi 0 0 ( , )u v là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử ( , )u v là một nghiệm nguyên dương khác 0 0 ( , )u v của (1). Ta có 0 0 ,au bv n au bv n+ = + = suy ra 0 0 ( ) ( ) 0a u u b v v− + − = do đó tồn tại k nguyên dương sao cho 0 0 ,u u kb v v ka= + = − . Do v là số nguyên dương nên 0 0 1 1 v v ka k a − − ≥ ⇔ ≤ . (2) Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1. Do đó 0 0 1 1 1 1 n v u n r a ab b a −     = + = − − +         . Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 0 1 1 1. n u u n n r ab b a ab b a − − ≤ ≤ − − + Từ đó suy ra 0 0 1 1 1 1 1 . n u r u ab nb na n ab nb na n − − ≤ ≤ − − + Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay 1 lim n n r n ab →∞ = . Ví dụ 1.19. Tìm giới hạn của dãy số ( ) n x biết 1 2 1 3 1 1 ( 1) 1 n x n n= + + + + − +L Lời giải 1. Xét hàm số ( ) 1 1 (1 )f x x x= + + + L ta chứng minh 1 ( ) 2( 1) 2 x f x x + ≤ ≤ + . Từ đó 1 1 2 2 2 (1 ) ( ) 2 (1 ) n n x f x x − + ≤ ≤ + . Từ đó, thay 2x = được 1 1 2 2 3·2 3·2 n n n x − < < . Từ đó, theo nguyên lý kẹp, suy ra lim 3 n n x →∞ = . Lời giải 2. Với 1 1m n≤ ≤ − , đặt 1 1 (1 ) 1 1 ( 1) 1 m a m m n n= + + + + + − +L ta có 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( 1) 2 ( 1) ( ( 2)) m m m m m m a ma a m ma m m a m m a m + + + = + − + = − − − ⇔ ⇔ − + = + . Suy ra 1 2 1 | | | ( 1) | | 2 | | ( 1) | 2 m m m m m m a a m a m a m a m m + + + − − + ≤ ≤ − + + + + . Từ đó 2 1 1 1 | 3 | | | | 1 ( 1) 1 | 0 ( ) 1 1 n n n a a n n n n n n n − − − − ≤ − < + − + − → → ∞ + + Lời giải 3. Để ý rằng n&3 1 2·4 1 2· 16 1 2 1 3 25 1 2 1 3 1 4 36= + = + = + + = + + + bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 2 1 2 1 3 1 1 ( 2) 3n n+ + + + + =L Suy ra 3 n x ≤ (1) Nhận xét. Cho 1 α > . Khi đó 1 · 1 0x x x α α + ≤ + ∀ ≥ . Áp dụng nhận xét trên với , 2x n n α = = + được 2 1 ( 2) 2· 1n n n n+ + ≤ + + . Từ đó 2 4 1 ( 1) 1 ( 2) 1 2·( 1)· 1 2· 1 ( 1) 1n n n n n n n n n+ − + + ≤ + + − + ≤ + + − + . Do đó, bằng quy nạp, thu được 2 3 ( 2) n n n x − ≤ + (2) Từ (1),(2) và nguyên lý kẹp, suy ra lim 3 n n x →∞ = . Bài tập tương tự Bài toán 1.20. Cho , 2 α α ∈ >¡ , dãy số ( ) n a + ⊂ ¡ thỏa mãn điều kiện 1 2 1 , 2. n n a a a a n α − = + + + ∀ ≥ Chứng minh rằng lim 0 n a n = . Bài tập 1.21. Cho dãy số dương ( ) n a thỏa mãn điều kiện 3 * 1 1 2 , . n n a a a a n + ≤ + + + ∀ ∈¥ Chứng minh rằng với mọi 1 2 α > ta luôn có lim 0 n a n α = . Bài tập 1.22. (VMO 2002A). Xét phương trình 2 2 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 2x x k x n x + + + + + = − − − − , trong đó n là tham số nguyên dương. 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1; kí hiệu nghiệm đó là n x . 2. Chứng minh rằng dãy số n x có giới hạn bằng 4 khi n → +∞ . Bài tập 1.23. (Matxcơva 2000). Ký hiệu n x là nghiệm của phương trình 1 1 1 0 1x x x n + + + = − − , thuộc khoảng (0,1) 1. Chứng minh dãy ( ) n x hội tụ; 2. Hãy tìm giới hạn đó. Bài tập 1.24. (VMO 2007) Cho số thực 2a > và 10 10 ( ) 1 n n n f x a x x x + = + + + + 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình ( ) n f x a= luôn có đúng một nghiệm dương duy nhất. 2. Gọi nghiệm đó là n x , chứng minh rằng dãy ( ) n x có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. 1.4. Khảo sát sự hội tụ của dãy số dạng 1 ( ) n n x f x + = Để khảo sát sự hội tụ của dãy số có dạng 1 ( ) n n x f x + = , ta thường xét hàm số ( )y f x= và sử dụng một số kết quả sau Định lí 1.10. Cho dãy số ( ) n x ⊂ ¡ xác định như sau: 1 1 , ( ), 1,2, n n x a x f x n + = = = . Khi đó 1. Nếu ( )f x là hàm số đồng biến thì dãy số ( ) n x đơn điệu. 2. Nếu ( )f x là hàm số nghịch biến thì dãy số ( ) n x có chứa hai dãy con 2 2 1 ( ),( ) k k x x + đơn điệu ngược chiều. 3. Khi ( )f x là hàm số nghịch biến và dãy ( ) n x bị chặn thì 2 2 1 lim ,lim k k k k x a x b + →∞ →∞ ∃ = = và do đó dãy đã cho hội tụ khi và chỉ khi a b = . Ví dụ 1.25. (VMO 1998A). Cho số thực 1a ≥ . Xét dãy số ( ), 1,2, n x n = được xác định bởi 2 1 1 , 1 ln 1 ln n n n x x a x x +   = = +  ÷ +   với 1,2,3, n = Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải Xét dãy số ( ) n x với 1 ( 1)x a a= ≥ và 2 1 1 ln , 1,2, 1 ln n n n x x n x +   = + =  ÷ +   (i) Nếu 1a = thì 1( ) n x n= ∀ suy ra lim 1 n n x →+∞ = . (ii) Nếu 1a > . Ta chứng minh bằng quy nạp 1 n x > với mọi * n∈¥ . Giả sử với n sao cho 1 n x > . Ta nhận thấy 2 1 1 1 ln 0 n n n x x x + > ⇔ − − > . Dễ thấy hàm số 2 ( ) 1 lnf x x x= − − đồng biến trên [1; )+∞ . Mặt khác 1 n x > suy ra 1 1 n x + > . Vậy 1 1 n x n> ∀ ≥ . Tiếp theo ta chứng minh với 1 1 n x n> ∀ ≥ thì 1 1 n n x x n + > ∀ ≥ . Xét hàm số 2 ( ) 1 ln 1 ln x g x x x   = − −  ÷ +   trên [1; )+∞ . Bằng cách khảo sát hàm số này ta chỉ ra được ( )g x đồng biến trên [1; )+∞ mà (1) 0g = , suy ra ( ) 0 1g x x> ∀ > và ( ) 0 1g x x= ⇔ = . Do đó nếu 1 1 n x n> ∀ ≥ thì 1 1 n n x x n + > ∀ ≥ . Do vậy dãy ( ) n x là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 1, nên tồn tại lim n b →+∞ = . Dễ thấy 1b ≥ và từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới hạn ta được 2 2 1 ln 1 ln 0 1 ln 1 ln b b b b b b     = + ⇔ − − =  ÷  ÷ + +     . Theo kết quả khảo sát của hàm ( )g x ở trên thì ( ) 0 1g b b= ⇔ = . Vậy lim 1 n n x →+∞ = . Ví dụ 1.26. Cho dãy số ( ) n x thỏa mãn điều kiện 1 1 2 2,9; 3 , 1,2,3, 1 n n n x x x n x + = = + = … − Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải Xét hàm số 2 ( ) 3 1 x f x x = + − với (1, )x∈ +∞ . Dễ thấy ( )f x là hàm số nghịch biến trên (1, )+∞ . (i) Ta chứng minh dãy ( ) n x bị chặn. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp * 3 3 3 2 n u n< < + ∀ ∈¥ (1). Thật vậy Với 1n = thì bất đẳng thức trên luôn đúng. Giả sử bất đẳng thức trên đúng đến n , tức là 3 3 3 2 n u< < + . Ta có 1 ( ) n n u f u + = và f là nghịch biến trên (1, )+∞ nên 1 3 ( 3) 3 2 n u f + < = + . Mặt khác do 3 n u< nên từ hệ thức 1 ( ) n n u f u + = ta có 1 3 n u + < . Vậy (1) được chứng minh. (ii) Từ đó suy ra 2 2 1 lim , lim n n n n a x b x + →+∞ →+∞ ∃ = ∃ = , trong đó ,a b là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) a f b b f a  =   =   . (iii) Xét hàm số ( ) ( ( ))g x f f x x= − , với 3 3 3 2 x< < + , có ( ) ( ). ( ( )) 1g x f x f f x ′ ′ ′ = − . Do 3 3 ( ) 3 2 f x< < + và ( ) 0f x ′ < với mọi 3 3 3 2 x< < + nên ( ) 0g x ′ < với mọi 3 3 3 2 x< < + , cùng với 3 ( 3). ( ) 0 2 g g < suy ra phương trình ( ) 0g x = có nghiệm duy nhất. Do đó dãy ( ) n x hội tụ. Ví dụ 1.27. (VMO 2008) Cho dãy số ( ) n x xác định như sau 1 2 2 0, 2 1 2 , 1,2, 2 n x n x x x n − + = =    = + =   Chứng minh rằng dãy ( ) n x hội tụ và tìm lim n n x →+∞ . Lời giải 1. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 1 3 2 2 2 n x n< < ∀ > . Xét hàm số 1 1 3 ( ) 2 , ; 2 2 2 x f x x −   = + ∈  ÷   . Ta có 1 1 3 ( ) 2 ·ln 0 ; 2 2 2 x f x x −   ′ = < ∀ ∈  ÷   và với mọi 1 3 ; 2 2 x   ∈  ÷   thì 3 1 1 2 ; (0;1) 4 2 x−   ∈ ⊂  ÷   . Do đó ln 2 | ( ) | 1 2 f x u ′ < = < . Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi 1 3 2 2 x y< ≤ < đều tồn tại ( ; )t x y∈ sao cho 2 2 ( )( ) x y f t x y − − ′ − = − . Vậy 2 3 4 5 1 2 3 2 4 5 | | 2 2 | ·| | ·| 2 2 | · | | | n n n n x x n n n n x x n n x x u x x u u x x − − − − − − − − − − − − − − = − < − = − < − LL Từ đó 2 2 1 2 1 | | | | 0 ( ) n n n x x u x x n − − < − → → +∞ . Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy $(x_n)$ hội tụ về α là nghiệm của phương trình 1 2 2 α α − = + Giải phương trình này, thu được 1 α = . Vậy, lim 1 n n x →+∞ = . Lời giải 2. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 1 3 2 2 2 n x n< < ∀ > . Xét hàm số 1 1 3 ( ) 2 , ; 2 2 2 x f x x −   = + ∈  ÷   . Ta có 1 1 3 ( ) 2 ·ln 0 ; 2 2 2 x f x x −   ′ = < ∀ ∈  ÷   . Do đó hàm 1 3 ( ), ; 2 2 y f x x   = ∈  ÷   là hàm giảm. Vậy, mỗi dãy ( ) ( ) 2 2 1 , k k x x + chứa hai dãy con đơn điệu ngược chiều. Từ đó, do 1 3 2 2 2 n x n< < ∀ > suy ra bốn dãy con 4 4 1 4 2 4 3 ( ),( ),( ),( ) k k k k x x x x + + + hội tụ theo thứ tự về , , , α β γ δ . Xét hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f α γ β δ γ α δ β  =  =   =   =  Giải hệ thu được 1 α β γ δ = = = = . Vậy lim 1 n n x →+∞ = . Lời giải 3. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được 1 3 2 2 2 n x n< < ∀ > . Xét hàm số 1 1 3 ( ) 2 , ; 2 2 2 x f x x −   = + ∈  ÷   . Ta có 1 1 3 ( ) 2 ·ln 0 ; 2 2 2 x f x x −   ′ = < ∀ ∈  ÷   và với mọi 1 3 ; 2 2 x   ∈  ÷   thì 3 1 1 2 ; (0;1) 4 2 x−   ∈ ⊂  ÷   . Do đó ln 2 | ( ) | 1 2 f x u ′ < = < . Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi 1 3 2 2 x y< ≤ < đều tồn tại ( ; )t x y∈ sao cho 2 2 ( )( ) x y f t x y − − ′ − = − . Vậy, với mọi 1 3 , ; 2 2 x y   ∈  ÷   tồn tại ln 2 (0;1) 2 u = ∈ sao cho | ( ) ( ) | .| |f x f y u x y− = − . Suy ra hàm f là hàm co. Bởi vậy, hai dãy con 2 2 1 ( ),( ) k k x x + (đều cho bởi hệ thức truy hồi 2 ( ) n n x f x + = hội tụ. Bằng việc giải phương trình giới hạn, thu được lim 1 n n x →+∞ = . Bài tập tương tự Bài tập 1.28. Cho dãy số ( ) n x xác định như sau 0 1 2 1, , 0 1 n n n x x x n x + = = ≥ + . Tìm lim n n x →∞ . Bài tập 1.29. Cho trước 0a > . Xét dãy số ( ) n x xác định như sau: 0 2 1 0 1 = , 0,1,2, 2 n n n x a x x n x + >      + =  ÷     Khảo sát sự hội tụ của dãy. [...]... 1, 2,3, , trong đó a là một số thực thuộc đoạn 0,   3 Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài tập 1.44 (VMO 2005A) Cho dãy số thực ( xn ), n = 1, 2,3 được xác định bởi 3 2 x1 = a và xn +1 = 3xn − 7 xn + 5 xn với mọi n = 1, 2,3, , trong đó a là một số thực Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó trong các trường... 2, 3, 3x + 1 Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài tập 1.48 (VMO 1994B) Cho số thực a Xét dãy số ( xn ), n = 0,1, 2, được xác định bởi 2 n x0 = a, xn = 3 6 xn −1 − 6sin xn −1 với mọi n=1, 2, 3, Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó Bài tập 1.49 (VMO 1994A) Cho số thực a Xét dãy số ( xn ), n = 0,1, 2, được... rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó a 1.5 Định lý trung bình Cesaro và dãy số dạng xn +1 = xn ± xn Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn +1 = f ( xn ) Tuy nhiên, chúng ta không đặt vấn đề khảo sát sự hội tụ của những dãy dạng này, bởi vì giới hạn của chúng hoặc là 0 hoặc là ∞ ; mà ở đây chúng ta quan tâm tới tất  xn  cả các số β sao cho dãy ... (VMO 2001A) Với mỗi cặp số thực (a, b) , xét dãy số ( xn ), n ∈ ¥ , được xác định bởi x0 = a và xn +1 = xn + b.sin xn với mọi n ∈ ¥ (1) Cho b = 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a , dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Hãy tính giới hạn đó theo a (2) Chứng minh rằng với mỗi số thực b > 2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy ( xn ) tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Bài tập... cũng là một cấp số cộng Chứng minh Gọi D và E lần lượt là công sai của các cấp số cộng ss1 , ss2 , ss3 , và ss1 + k , ss2 + k , ss3 + k , Đặt A = ss1 − D và B = ss1 + k − E Theo công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số cộng và với số nguyên dương n ta có ssn = ss1 + (n − 1) D = A + nD, ssn + k = ss1 + k + (n − 1) E = B + nE Từ dãy s1 , s2 , s3 , là một dãy tăng ngặt, nên với mọi số nguyên... s1 , s2 , s3 , là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss1 , ss2 , ss3 , và ss1 +1 , ss2 +1 , ss3 +1 , đều là cấp số nhân Chứng minh rằng s1 , s2 , s3 , cũng là một cấp số nhân Cho k là một số nguyên dương Giả sử s1 , s2 , s3 , là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss1 , ss2 , ss3 , và ss1 + k , ss2 + k , ss3 + k , đều là cấp số nhân Chứng minh Bài... để dãy số xn α (an ) có giới hạn hữu hạn khác 0 n Bài tập 1.56 Cho dãy số xác định bởi a1 = 0, an +1 = 1 − sin ( an − 1) , n ≥ 1 Tính lim n →∞ Bài tập 1.57 Xét dãy số ( xn ) xác định bởi x1 = 1, xn +1 = xn + lim n →∞ 3 1 xn 1 n ∑ ak n k =1 ∀n ≥ 1 Chứng minh rằng tồn tại a, b sao cho xn =1 anb 2 Bài toán dãy số qua các kì thi IMO 2.1 IMO 2009 Bài 2.1.1 (IMO 2009) Giả sử s1 , s2 , s3 , là một dãy. .. tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss1 , ss2 , ss3 , và ss1 +1 , ss2 +1 , ss3 +1 , đều là cấp số cộng Chứng minh rằng s1 , s2 , s3 , cũng là một cấp số cộng Bài 2.1.2 (Mở rộng IMO 2009) Cho k là một số nguyên dương cho trước Giả sử s1 , s2 , s3 , là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss1 , ss2 , ss3 , và ss1 + k , ss2 + k , ss3 + k , đều là cấp số cộng Chứng... + l , và do đó an = bn + nm = (bn −l + (n − l )m) + (bl + lm) = an −l + al với mọi n > N + l Từ bài toán này ta có thể xây dựng được một số dạng bài tập sau và điều kiện dãy số dương là không cần thiết Bài 2.2.2 Cho a1 , a2 , a3 , là một dãy số thực Giả sử với số nguyên dương s cho trước, ta có an = min { ak + an −k :1 ≤ k ≤ n − 1} với mọi n > s Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương l và N... dãy  β ÷ hội tụ Với những dãy số dạng này, định lý trung bình Cesaro tỏ ra rất hữu hiệu n   x + x + + xn  Định lí 1.11 Nếu dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình  1 2 ÷ cũng có giới n   hạn là a Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a = 0 Với mọi ε > 0 tồn tại N ∈ ¥ * sao cho với mọi n ≥ N thì u1 + u2 + + u N ε ε < un < và Từ đó ta có n 2 2 u1 + . MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN 1 Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên Với ⊂ ¥M ,. rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó. 1.5. Định lý trung bình Cesaro và dãy số dạng 1 a n n n x x x + = ± Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng. = , trong đó a là một số thực thuộc đoạn 4 0, 3       . Chứng minh rằng dãy số ( ) n x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài tập 1.44. (VMO 2005A). Cho dãy số thực ( ), 1,2,3