Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyện đề hệ phương trình
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 ì ï ï í ï ï î , trong đó f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x) ì ï ï í ï ï î Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 S 4P³ . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x 2 + y 2 = S 2 – 2P, x 3 + y 3 = S 3 – 3SP. ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2 2 3 3 x y xy 30 x y 35 ì + =ï ï í ï + = ï î . GIẢI Đặt S x y, P xy= + = , điều kiện 2 S 4P³ . Hệ phương trình trở thành: 2 2 30 P SP 30 S 90 S(S 3P) 35 S S 35 S ì ï ï = ì ï = ï ï ï ï Û í í æ ö ï ï - = ÷ ç ï ï - = î ÷ ç ï ÷ ÷ ç ï è ø ï î S 5 x y 5 x 2 x 3 P 6 xy 6 y 3 y 2 ì ì ì ì = + = = = ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û Ú í í í í ï ï ï ï = = = = ï ï ï ï î î î î . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3 3 xy(x y) 2 x y 2 ì - = - ï ï í ï - = ï î . GIẢI Đặt t y, S x t, P xt= - = + = , điều kiện 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: 3 3 3 xt(x t) 2 SP 2 x t 2 S 3SP 2 ì ì + = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - = ï ï î î S 2 x 1 x 1 P 1 t 1 y 1 ì ì ì = = = ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í ï ï ï = = = - ï ï ï î î î . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 4 x y ì ï ï + + + = ï ï ï í ï ï + + + = ï ï ï î . GIẢI Trang 1 Điều kiện x 0, y 0¹ ¹ . Hệ phương trình tương đương với: 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 8 x y ì æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç ï + + + = ÷ ÷ ç ç ï ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ï è ø è ø ï í ï æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç + + + = ÷ ÷ ï ç ç ÷ ÷ ï ÷ ÷ ç ç è ø è ø ï î Đặt 2 1 1 1 1 S x y , P x y , S 4P x y x y æ ö æ ö æ öæ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + = + + ³ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è øè ø ta có: 2 1 1 x y 4 S 4 S 4 x y P 4 1 1 S 2P 8 x y 4 x y ì æ ö æ ö ï ÷ ÷ ç ç ï + + + = ÷ ÷ ç ç ï ì ì ÷ ÷ = =ï ï ÷ ÷ ç ç ï è ø è ø ï ï ï Û Û í í í æ öæ ö ï ï ï = - = ÷ ÷ ç ç ï ï ï î î + + = ÷ ÷ ç ç ï ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ï è øè ø ï î 1 x 2 x 1 x 1 y 1 y 2 y ì ï ï + = ì ï = ï ï ï ï Û Û í í ï ï = ï ï î + = ï ï ï î . Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2 x y 2xy 8 2 (1) x y 4 (2) ì ï + + = ï ï í ï + = ï ï î . GIẢI Điều kiện x, y 0³ . Đặt t xy 0= ³ , ta có: 2 xy t= và (2) x y 16 2t+ = -Þ . Thế vào (1), ta được: 2 t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û Suy ra: xy 16 x 4 x y 8 y 4 ì ì = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = ï ï î î . II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 S 4P³ (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: x y 1 x x y y 1 3m ì ï + = ï ï í ï + = - ï ï î . GIẢI Trang 2 Điều kiện x, y 0³ ta có: 3 3 x y 1 x y 1 x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m ì ì ï ï + = + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - + = - ï ï ï ï î î Đặt S x y 0, P xy 0= + =³ ³ , 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: 2 S 1 S 1 P m S 3SP 1 3m ì ì = = ï ï ï ï Û í í ï ï = - = - ï ï î î . Từ điều kiện 2 S 0, P 0, S 4P³ ³ ³ ta có 1 0 m 4 £ £ . Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 x y xy m x y xy 3m 9 ì + + = ï ï í ï + = - ï î có nghiệm thực. GIẢI 2 2 x y xy m (x y) xy m xy(x y) 3m 9 x y xy 3m 9 ì ì + + = + + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - + = - ï ï î î . Đặt S = x + y, P = xy, 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: S P m SP 3m 9 ì + = ï ï í ï = - ï î . Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2 t mt 3m 9 0- + - = S 3 S m 3 P m 3 P 3 ì ì = = - ï ï ï ï Þ Ú í í ï ï = - = ï ï î î . Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 2 2 3 4(m 3) 21 m m 3 2 3 (m 3) 12 4 é -³ ê +Û Û £ Ú ³ ê - ³ ê ë . Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y 1 4 x y 3m ì ï - + - = ï í ï + = ï î có nghiệm. GIẢI Đặt u x 4 0, v y 1 0= - = -³ ³ hệ trở thành: 2 2 u v 4 u v 4 21 3m u v 3m 5 uv 2 ì + = ï ì ï + = ï ï ï Û í í - ï ï + = - = ï ï î ï î . Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m t 4t 0 2 - - + = (*). Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm / 3m 13 0 0 13 2 S 0 m 7 21 3m 3 0 P 0 2 ì ì - ï ï D ³ ï ï ³ ï ï ï ï Û ³ Û Û £ £ í í ï ï - ï ï ³ ³ ï ï ï ï î î . Trang 3 Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m ì + + + =ï ï í ï + + = ï î có nghiệm thực. GIẢI 2 2 2 2 2 2 (x 4x) (y 4y) 10 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m ìì + + + =ï + + + =ï ï ï Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î . Đặt 2 2 u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³ . Hệ phương trình trở thành: u v 10 S 10 uv 4(u v) m 16 P m 24 ì ì + = = ï ï ï ï Û í í ï ï - + = - = + ï ï î î (S = u + v, P = uv). Điều kiện 2 S 4P S 0 24 m 1 P 0 ì ï ³ ï ï ï -³ Û £ £ í ï ï ³ ï ï î . BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1. 2 2 x y xy 5 x y xy 7 ì + + = ï ï í ï + + = ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 2 y 1 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 2. 2 2 x xy y 3 2x xy 2y 3 ì + + =ï ï í ï + + = - ï î . Đáp số: x 1 x 3 x 3 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ï ï = - = = - ï ï ï ï ï ï Ú Ú í í í ï ï ï = - = - = ï ï ï î ï ï î î . 3. 3 3 x y 2xy 2 x y 8 ì + + = ï ï í ï + = ï î . Đáp số: x 2 x 0 y 0 y 2 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 4. 3 3 x y 7 xy(x y) 2 ì - =ï ï í ï - = ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 2 y 1 ì ì = - = ï ï ï ï Ú í í ï ï = - = ï ï î î . 5. 2 2 x y 2xy 5 x y xy 7 ì - + = ï ï í ï + + = ï î . Đáp số: 1 37 1 37 x x x 2 x 1 4 4 y 1 y 2 1 37 1 37 y y 4 4 ì ì ï ï - + ï ï = = ï ï ì ì = = - ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï = = - - - - + ï ï ï ï î î = = ï ï ï ï ï ï î î . 6. 2 2 2 2 1 (x y)(1 ) 5 xy 1 (x y )(1 ) 49 x y ì ï ï + + = ï ï ï í ï ï + + = ï ï ï î . Đáp số: x 1 x 1 7 3 5 7 3 5 x x 2 2 7 3 5 7 3 5 y y y 1 y 1 2 2 ì ì ì ì = - = - ï ï ï ï - + ï ï ï ï = = ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í - + ï ï ï ï = = ï ï ï ï = - = - ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î . Trang 4 7. x y y x 30 x x y y 35 ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . ỏp s: x 4 x 9 y 9 y 4 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 8. x y 7 1 y x xy x xy y xy 78 ỡ ù ù + = + ù ù ớ ù ù + = ù ù ợ (chỳ ý iu kin x, y > 0). ỏp s: x 4 x 9 y 9 y 4 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 9. ( ) 2 2 3 3 3 3 2(x y) 3 x y xy x y 6 ỡ ù + = + ù ù ớ ù + = ù ù ợ . ỏp s: x 8 x 64 y 64 y 8 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 10. Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh 2 2 2 x y z 8 xy yz zx 4 ỡ + + =ù ù ớ ù + + = ù ợ . Chng minh 8 8 x, y, z 3 3 - ÊÊ . HNG DN GII H phng trỡnh 2 2 2 2 2 x y 8 z (x y) 2xy 8 z xy z(x y) 4 xy z(x y) 4 ỡ ỡ + = - + - = -ù ù ù ù ớ ớ ù ù + + = + + = ù ù ợ ợ 2 2 (x y) 2[4 z(x y)] 8 z xy z(x y) 4 ỡ + - - + = -ù ù ớ ù + + = ù ợ 2 2 (x y) 2z(x y) (z 16) 0 xy z(x y) 4 ỡ + + + + - =ù ù ớ ù + + = ù ợ 2 2 x y 4 z x y 4 z xy (z 2) xy (z 2) ỡ ỡ + = - + = - - ù ù ù ù ớ ớ ù ù = - = + ù ù ợ ợ . Do x, y, z l nghim ca h nờn: 2 2 2 2 2 (4 z) 4(z 2) 8 8 (x y) 4xy z ( 4 z) 4(z 2) 3 3 ộ - - ờ + - ÊÊ ờ - - + ờ ở . i vai trũ x, y, z ta c 8 8 x, y, z 3 3 - ÊÊ . 11. x y 1 1 1 16 16 2 x y 1 ỡ ù ổ ử ổ ử ù ữ ữ ỗ ỗ ù + = ữ ữ ỗ ỗ ù ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ớ ố ứ ố ứ ù ù + = ù ù ợ . ỏp s: 1 x 2 1 y 2 ỡ ù ù = ù ù ớ ù ù = ù ù ợ . 12. sin ( x y) 2 2 2 1 2(x y ) 1 +p ỡ =ù ù ớ ù + = ù ợ HNG DN GII Cỏch 1: sin (x y) 2 2 2 2 2 2 sin (x y) 0 x y (1) 2 1 2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1 +p ỡ ỡ ỡ + = +p ẻ =ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù + = + =+ = ù ù ù ợ ợợ Z 2 2 2 2 1 2 2 x x 1 2 2 2 (2) x y 2 x y 2 1 2 2 2 y y 2 2 2 ỡ ỡ ù ù ù ù -Ê Ê Ê ù ù ù ù ù + = - + ị ị ị Ê Ê ớ ớ ù ù ù ù Ê - ÊÊ ù ù ù ù ợ ù ợ . x y 0 (1) x y 1 ộ + = ờ ị ờ + = ờ ở th vo (2) gii. Trang 5 Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: sin S 2 2 S 2 1 4P 2S 12(S 2P) 1 p ì ì Î =ï ï ï ï Û í í ï ï = = ï ï îî Z . Từ điều kiện 2 S 4P³ ta suy ra kết quả tương tự. Hệ có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 y y y y 2 2 2 2 ì ì ì ì ï ï ï ï ï ï ï ï = = - = = - ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï ï ï ï ï = = - = - = ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î . Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu 1. Tìm m để hệ phương trình 2 2 x xy y m 6 2x xy 2y m ì + + = +ï ï í ï + + = ï î có nghiệm thực duy nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 2 2 2 2 2 3x m 6 3x 6 m m 3 m 21 x 4x m x 4x 3x 6 ì ì é = + - = = -ï ï ï ï ê Û Þ í í ê ï ï = + = + = - ê ï ï ë î î . + m = – 3: 2 2 2 x xy y 3 (x y) xy 3 2(x y) xy 3 2(x y) xy 3 ì ì + + = + - =ï ï ï ï Û í í ï ï + + = - + + = - ï ï î î x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1 xy 3 xy 1 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ì ì ï ï + = + = - = = - = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Ú Û Ú Ú í í í í í ï ï ï ï ï = - = = - = - = ï ï ï ï ï î î î ï ï î î (loại). + m = 21: 2 2 2 x xy y 27 (x y) xy 27 2x xy 2y 21 2(x y) xy 21 ì ì + + = + - =ï ï ï ï Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î x y 8 x y 6 x 3 xy 37 xy 9 y 3 ì ì ì + = - + = = ï ï ï ï ï ï Û Ú Û í í í ï ï ï = = = ï ï ï î î î (nhận). Vậy m = 21. 2. Tìm m để hệ phương trình: 2 2 x xy y m 1 x y xy m ì + + = + ï ï í ï + = ï î có nghiệm thực x > 0, y > 0. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 x xy y m 1 (x y) xy m 1 xy(x y) m x y xy m ì ì + + = + + + = + ï ï ï ï Û í í ï ï + = + = ï ï î î x y 1 x y m xy m xy 1 ì ì + = + = ï ï ï ï Û Ú í í ï ï = = ï ï î î . Hệ có nghiệm thực dương 2 m 0 1 0 m m 2 1 4m m 4 4 ì > ï ï <Û Û £ Ú ³ í ï ³ Ú ³ ï î . Vậy 1 0 m m 2 4 < £Ú³ . Trang 6 3. Tỡm m h phng trỡnh x y m x y xy m ỡ ù + = ù ù ớ ù + - = ù ù ợ cú nghim thc. HNG DN GII ( ) 2 2 x y m x y m x y m m m x y xy m xy x y 3 xy m 3 ỡ ù ỡ + = ỡ ù + = ù ù + = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ - ù ù ù + - = = + - = ù ù ù ù ợ ù ù ợ ù ợ . Suy ra x, y l nghim (khụng õm) ca phng trỡnh 2 2 m m t mt 0 3 - - + = (*). H cú nghim (*) cú 2 nghim khụng õm / 2 2 0 m 4m 0 m 0 S 0 m 0 1 m 4 P 0 m m 0 ỡ ỡ ù ù -D Ê ù ù ộ = ù ù ù ù ờ ớ ớ ờ ù ù Ê Ê ờ ù ù ở - ù ù ù ù ợ ợ . Vy m 0 1 m 4= ÊÊ . 4. Tỡm m h phng trỡnh 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 4 ỡ + = +ù ù ớ ù + = ù ợ cú ỳng 2 nghim thc phõn bit. HNG DN GII 2 2 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m) (x y) 4 (x y) 4 ỡ ỡ + = + + - = +ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + = ù ù ợ ợ xy 1 m xy 1 m x y 2 x y 2 ỡ ỡ = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + = - ù ù ợ ợ . H cú ỳng 2 nghim thc phõn bit khi ( ) 2 2 4(1 m) m 0 = - = . 5. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh 2 2 2 x y 2m 1 x y m 2m 3 ỡ + = - ù ù ớ ù + = + - ù ợ . Tỡm m P = xy nh nht. HNG DN GII t S x y, P xy= + = , iu kin 2 S 4P. 2 2 2 2 2 x y 2m 1 S 2m 1 x y m 2m 3 S 2P m 2m 3 ỡ ỡ + = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + - - = + - ù ù ợ ợ 2 2 2 S 2m 1 S 2m 1 3 (2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2 2 ỡ = - ù ỡ ù = - ù ù ù ớ ớ ù ù - - = + - = - + ù ù ợ ù ợ T iu kin suy ra 2 2 4 2 4 2 (2m 1) 6m 12m 8 m . 2 2 - + - - + ÊÊ Xột hm s 2 3 4 2 4 2 f(m) m 3m 2, m 2 2 2 - + = - + ÊÊ . Ta cú 4 2 11 6 2 4 2 4 2 min f(m) f , m ; 2 4 2 2 ổ ử ộ ự - - - + ữ ỗ ờ ỳ ữ = = " ẻ ỗ ữ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Vy 11 6 2 4 2 min P m 4 2 - - = = . ThS. on Vng Nguyờn toancapba.com CHUYấN Trang 7 H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) II 1. Dng 1: ỡ ù ù ớ ù ù ợ f(x, y) = 0 f(y, x) = 0 (i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia) Phng phỏp gii chung Cỏch gii 1 Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai phng trỡnh ca h. Vớ d 1. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Tr (1) v (2) v theo v ta c: 3 3 2 2 x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0- + - = - + + + = 2 2 y 3y (x y) x 3 0 y x 2 4 ộ ự ổ ử ờ ỳ ữ ỗ - + + + = = ữ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Th y = x vo (1) hoc (2) ta c: 3 x x 0 x 0+ = = Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Vớ d 2. Gii h phng trỡnh 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ỡ ù + + - = ù ù ớ ù + + - = ù ù ợ Gii iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - ÊÊ ù ù ớ ù ù - ÊÊ ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: ( ) ( ) 2x 3 2y 3 4 y 4 x 0+ - + + - - - = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0 2x 3 2y 3 4 y 4 x + - + - - - + = + + + - + - 2 1 (x y) 0 x y 2x 3 2y 3 4 y 4 x ổ ử ữ ỗ ữ - + = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + - + - . Thay x = y vo (1), ta c: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - = Trang 8 2 2 9 x 0 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9x 38x 33 0 9 ì - ³ ï ï - + + = - = =Û Û Û Ú í ï - + = ï î (nhận). Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ì ï ï = ì ï = ï ï ï Ú í í ï ï = ï ï î = ï ï î . Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 3 x 2x y (1) y 2y x (2) ì ï = + ï ï í ï = + ï ï î Giải Trừ và cộng (1) với (2), ta được: 3 2 2 3 2 2 x 2x y (x y)(x xy y 1) 0 y 2y x (x y)(x xy y 3) 0 ì ì ï ï = + - + + - = ï ï ï ï Û í í ï ï = + + - + - = ï ï ï ï î î 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0 x y 0 x y 0 x xy y 1 x y 0 x xy y 3 x xy y 1 x xy y 3 ì ì ì ì ï - = + = ï ï - = + + = ï ï ï ï ï ï Û Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï + = - + = + + = - + = ï ï ï ï î î î ï î + x y 0 x 0 x y 0 x 0 ì ì - = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = ï ï î î + 2 2 2 x y 0 y x x 3 x 3 x xy y 3 x 3 y 3 y 3 ì ì ì ì ï ï - = = ï ï = = - ï ï ï ï ï ï Û Û Ú í í í í ï ï ï ï - + = = = = - ï ï ï ï î î ï ï î î + 2 2 2 x y 0 y x x 1 x 1 y 1 y 1 x xy y 1 x 1 ì ì ì ì + = = - ï ï = - = ï ï ï ï ï ï Û Û Ú í í í í ï ï ï ï = = - + + = = ï ï ï ï î î î î + 2 2 2 2 2 2 xy 1 x xy y 1 xy 1 x 1 x 1 x y 0 y 1 y 1 x y 2 x xy y 3 ì ì ì ì ì ï = - ï + + = = - = = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û Ú í í í í í ï ï ï ï ï + = = - = + = - + = ï ï ï ï ï î î î î ï î Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3 x 0 y 1 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ì ì ï ï = = - = = = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú Ú í í í í í ï ï ï ï ï = = = - = = - ï ï ï ï ï î î î ï ï î î . Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2) ì ï + + - = ï ï í ï + + - = ï ï î Giải Trang 9 iu kin: 3 x 4 2 3 x 4 2 ỡ ù ù - ÊÊ ù ù ớ ù ù - ÊÊ ù ù ợ . Tr (1) v (2) ta c: 2x 3 4 x 2y 3 4 y+ - - = + - - (3) Xột hm s 3 f(t) 2t 3 4 t, t ; 4 2 ộ ự ờ ỳ = + - - -ẻ ờ ỳ ở ỷ , ta cú: / 1 1 3 f (x) 0, t ; 4 2 2t 3 2 4 t ổ ử ữ ỗ = + > " -ẻ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + - (3) f(x) f(y) x y= =ị . Thay x = y vo (1), ta c: 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - = 2 11 2 2x 5x 12 9 x x 3 x 9 - + + = - = = (nhn). Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit 11 x x 3 9 y 3 11 y 9 ỡ ù ù = ỡ ù = ù ù ù ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ . Vớ d 5. Gii h phng trỡnh 3 3 x 2x y y 2y x ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . Gii Xột hm s 3 / 2 f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + = + > "ị ẻ Ă . H phng trỡnh tr thnh f(x) y (1) f(y) x (2) ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . + Nu x y f(x) f(y) y x> > >ị ị (do (1) v (2) dn n mõu thun). + Nu x y f(x) f(y) y x< < <ị ị (mõu thun). Suy ra x = y, th vo h ta c 3 x x 0 x 0.+ = = Vy h cú nghim duy nht x 0 y 0 ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ . Chỳ ý: Khi gp h phng trỡnh i xng loi II dng 1, ta nờn gii cỏch 1. Nu gii khụng c mi ngh n cỏch 2 v 3, nu vn khụng gii c thỡ quay tr v bi v tỡm iu kin chớnh xỏc ri gii li cỏch 1! Vớ d 6 (trớch thi H khi B 2003). Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 x 2 3x y y 2 3y x ỡ ù + ù = ù ù ù ớ ù + ù ù = ù ù ợ Gii Trang 10 [...]... trỡnh ta cú ù Bin i: ớ ùy> 0 ù ợ 2 ỡ ù ù 3x = x + 2 2 2 ù ỡ ù ù ù ù y 2 ớ 3xy = x + 2 (1) ớ 2 ù ù 3yx 2 = y 2 + 2 (2) ù 3y = y + 2 ù ù ợ ù ù 2 ù ợ x Tr (1) v (2) ta c: (x - y)(3xy + x + y) = 0 x = y (3xy + x + y > 0) Vi x = y : (1) 3x 3 - x 2 - 2 = 0 (x - 1) (3x 2 + 2x + 2) = 0 x = 1 ỡx =1 ù Vy h cú 1 nghim ù ớ ùy =1 ù ợ ỡ f(x, y) = 0 ù 2 Dng 2: ù , trong ú ch cú 1 phng trỡnh i xng ớ ù g(x, y) =... 9) ớ 2 ỏp s: ù ớ ù xy - 4 = x 2 ùy =2 ù ù ợ ù ợ ỡ x 3 - x 2 + x + 1 = 2y ỡx =1 ỡx =- 1 ù ù ù ù 10 ) ù 3 ỏp s: ù ớ ớ ớ ù y - y 2 + y + 1 = 2x ùy =1 ùy =- 1 ù ù ù ợ ợ ù ợ ỡ ù ù x - 1 = y - 1 (1) ù x y 11 ) (trớch thi H khi A 20 03) ớ ù 3 ù 2y = x + 1 (2) ù ù ợ Hng dn gii iu kin: x ạ 0, y ạ 0 ổ x- y 1 ử ữ= 0 x = y y = - 1 (1) x - y + = 0 (x - y) 1 + ữ ỗ ữ ỗ xy xy ứ x ố - 1 5 + Vi x = y : (2) ... ùy=3 2= 3 ù ợ ỡx =1 ỡx =- 2 ù ù ù ỏp s: ù ớ ớ ùy =1 ùy =- 2 3 + 2- x = 3 ù ù ợ ợ ỡx =0 ỡx = 3 ỡx =- 3 ù ù x + 2y ù ù ù ỏp s: ù ớ ớ ớ ùy =0 ùy = 3 ùy =- 3 y + 2x ù ù ù ợ ù ù ợ ợ 3+ 2- y = 3 Trang 12 ỡ ỡ 2 ù ù ù 2x + y = 3 ù 2x = y + 1 ù ỡx =1 ỡ ù ù 2 ù ù x ỏp s: ù y ỏp s: ù x = 1 ù 7) ù 8) ớ ớ ớ ớ 3 ù ùy =1 ù 2 ùy =1 ù 2y + x = ù ù 2y = x + 1 ù ợ ợ ù ù 2 ù ù y ù ợ x ù ợ ỡ x 2 y - 4 = y2 ỡx =2 ù... gii 1 a phng trỡnh i xng v dng tớch, gii y theo x ri th vo phng trỡnh cũn li ỡ ù ùx- 1 = y- 1 (1) ù x y Vớ d 1 Gii h phng trỡnh ớ ù 2 ù 2x - xy - 1 = 0 (2) ù ù ợ Gii iu kin: x ạ 0, y ạ 0 Ta cú: ổ 1 ử ữ= 0 y = x y = - 1 (1) (x - y) 1 + ữ ỗ ữ ỗ xy ứ x ố + Vi y = x: (2) x 2 - 1 = 0 x = 1 + Vi y = - 1 : (2) vụ nghim x ỡx =1 ỡx =- 1 ù ù ù Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit ù ớ ớ ùy =1 ùy =- 1. .. : (2) x = 1 x = 2 1 + Vi y = : (2) x 4 + x + 2 = 0 x Xột hm s f(x) = x 4 + x + 2 ị f / (x) = 4x 3 + 1 = 0 x = - 1 3 4 ổ 1 3 f ỗ ữ= 2 > 0, lim = + Ơ ị f(x) > 0, " x ẻ Ă ị x 4 + x + 2 = 0 vụ nghim ỗ3 ữ ữ ỗ 4ứ x đ Ơ ố 43 4 Cỏch khỏc: + Vi x < 1 ị x + 2 > 0 ị x 4 + x + 2 > 0 + Vi x 1 ị x 4 x - x ị x 4 + x + 2 > 0 Suy ra (2) vụ nghim ỡ ù ù - 1+ 5 ỡ ù x = - 1 ù ỡx =1 ùx = ù ù ù 2 2 ớ ớ Vy h... sau ỡ x 2 - 3y + 2 = 0 ù ù 1) ớ 2 ỏp s: ù y - 3x + 2 = 0 ù ù ợ ỡ x 2 + xy = x + ù ù 2) ớ 2 ù y + xy = y + ù ù ợ 3) 4) 5) 6) ỡ x+ ù ù ớ ù y+ ù ù ợ ỡ x+ ù ù ớ ù y+ ù ù ợ ỡ x+ ù ù ớ ù y+ ù ù ợ ỡ x3 = ù ù ớ 3 ùy = ù ù ợ 1+ y- 1+ x- 1+ y- 1+ x- ỡx =1 ỡx =2 ù ù ù ù ớ ớ ùy =1 ùy =2 ù ù ợ ợ ỡ 3 ù ỡx=0 ùx= ù 2y ù ù 2 ớ ỏp s: ù ớ ùy=0 ù 3 2x ù ùy= ợ ù ù ợ 2 ỡx=8 7 =4 ù ỏp s: ù ớ ùy=8 7 =4 ù ợ ỡ 2= 3 ùx=3... - 18 = 0 (x - 3)(x 2 + 3x + 6) = 0 x = 3 ỡ ùx=3 Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht ù ớ ùy=3 ù ợ Chỳ ý: ỡ ù ùx- 1 = y- 1 (1) ù x y Cỏch gii sau õy sai: ớ ù 2 ù 2x - xy - 1 = 0 (2) ù ù ợ Gii x ạ 0, y ạ 0 iu kin: 1 1 f / (t) = 1 + > 0, " t ẻ Ă \ {0} Xột hm s f(t) = t - , t ẻị Ă \ {0} t t2 Suy ra (1) f(x) = f(y) x = y ! Sai do hm s f(t) n iu trờn 2 khong ri nhau (c th f (1) = f (1) = 0) BI TP Gii cỏc... bit ù ớ ùy =1 ù - 1+ 5 ù - 1 ùy= ùy= ợ ù ù ù ù ù ù ợ 2 ợ 2 ỡ x = sin y (1) ù 12 ) ù ớ ù y = sin x (2) ù ợ Hng dn gii Tr (1) v (2) ta c: x - y = sin y - sin x x + sin x = y + sin y (3) Xột hm s f(t) = t + sin t ị f / (t) = 1 + cos t 0, " t ẻ Ă (3) f(x) = f(y) x = y ị (1) x - sin x = 0 (4) Trang 13 5 5 Xột hm s g(x) = x - sin x ị g/ (x) = 1 - cos x 0, " x ẻị Ă ỡx=0 ù x = 0 Vy h cú 1 nghim ù Do... Cỏch gii 2 (nờn dựng khi cỏch 1 khụng gii c) a phng trỡnh i xng v dng f(x) = f(y) x = y vi hm f n iu ỡ x - y = cos x - cos y (1) ù ù Vớ d 2 Gii h phng trỡnh ớ 2 ù x y - 3y - 18 = 0 (2) ù ợ Gii Tỏch bin phng trỡnh (1) , ta c: (1) x - cos x = y - cos y (3) Trang 11 Xột hm s f(t) = t - cos t ị f / (t) = 1 + sin t > 0, " t ẻ Ă Suy ra (3) f(x) = f(y) x = y Thay x = y vo (2) , ta c: x 3 - 3x - 18 = 0... (3) f(x) = f(y) x = y ị (1) x - sin x = 0 (4) Trang 13 5 5 Xột hm s g(x) = x - sin x ị g/ (x) = 1 - cos x 0, " x ẻị Ă ỡx=0 ù x = 0 Vy h cú 1 nghim ù Do g(0) = 0 ị(4) ớ ùy=0 ù ợ Trang 14 (4) cú khụng quỏ 1 nghim . s: 1 x 2 1 y 2 ỡ ù ù = ù ù ớ ù ù = ù ù ợ . 12 . sin ( x y) 2 2 2 1 2( x y ) 1 +p ỡ =ù ù ớ ù + = ù ợ HNG DN GII Cỏch 1: sin (x y) 2 2 2 2 2 2 sin (x y) 0 x y (1) 2 1 2( x y ) 1 2( x y ) 1 (2) 2(x. ợ 2 2 2 S 2m 1 S 2m 1 3 (2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2 2 ỡ = - ù ỡ ù = - ù ù ù ớ ớ ù ù - - = + - = - + ù ù ợ ù ợ T iu kin suy ra 2 2 4 2 4 2 (2m 1) 6m 12 m 8 m . 2 2 - + - - + ÊÊ Xột hm s 2 3 4 2. 1 2( x y ) 1 2( x y ) 1 (2) 2(x y ) 1 +p ỡ ỡ ỡ + = +p ẻ =ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù + = + =+ = ù ù ù ợ ợợ Z 2 2 2 2 1 2 2 x x 1 2 2 2 (2) x y 2 x y 2 1 2 2 2 y y 2 2 2 ỡ ỡ ù ù ù ù -Ê Ê Ê ù ù ù ù ù +