Milbrodt / Helbig Mathematische Methoden der Personenversicherung Hartmut Milbrodt Manfred Helbig Mathematische Methoden der Personenversicherung Walter de Gruyter Berlin · New York 1999 ≥ Autoren Hartmut Milbrodt Manfred Helbig Mathematisches Institut Fachbereich Mathematik u. Informatik Universität zu Köln Philipps-Universität Marburg Weyertal 86Ϫ90 Hans-Meerwein-Straße, Lahnberge 50931 Köln 35043 Marburg 1991 Mathematics Subject Classification: 62P05, 60J27, 60H05 Ț ȍ Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt. Die Deutsche Bibliothek Ϫ CIP-Einheitsaufnahme Milbrodt, Hartmut: Mathematische Methoden der Personenversicherung / Hartmut Milbrodt ; Manfred Helbig. Ϫ Berlin ; New York : de Gruyter, 1999 ISBN 3-11-014226-0 ” Copyright 1999 by Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, D-10785 Berlin Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages un- zulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfil- mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Konvertierung von T E X-Dateien der Autoren: I. Zimmermann, Freiburg. Druck und Bindung: Kösel GmbH & Co., Kempten. Einbandgestaltung: Rainer Engel, Berlin. Vorwort Dieses Buch befaßt sich mit denjenigen Teilen der klassischen Personenversicherungs- mathematik, bei denen sich das biometrische Risiko mit Hilfe von Sprungprozessen mit endlichen Zustandsräumen modellieren läßt. Das sind insbesondere die Lebensversiche- rungsmathematik und die Pensionsversicherungsmathematik sowie deren Randgebiete. Ausgehend von Arbeiten vonHoem und später auch von Norberghaben diese Zweige der Versicherungsmathematik, die lange Zeit als statisch und mathematisch wenig attraktiv galten, in den letzten 30 Jahren eine beachtliche Entwicklung erlebt. Mit dem vorliegen- den Text greifen wir diese Entwicklung auf, um sie als Grundlage für eine geschlossene Darstellung stochastischer Modelle der Personenversicherung zu verwenden. Wir möchten mit ihm auch den gewachsenen Anforderungen Rechnung tragen, de- nen sich die in der Praxis tätigen Versicherungsmathematiker (Aktuare) infolge der Deregulierung des europäischen Versicherungsmarktes seit 1994 und der mit ihr ein- hergehenden Fülle neuer Gestaltungsmöglichkeiten gegenübersehen. Einerseits weisen diese Anforderungen über die Mathematik hinaus, andererseits verlangen sie ein vertief- tes Verständnis von Strukturen der Versicherungsmathematik als dauerhafte Grundlage erfolgreicher aktuarieller Arbeit. Wir wollen also mit diesem Buch verschiedene Leserkreise ansprechen: Versiche- rungsmathematisch interessierten Studenten bieten wir dieGelegenheit, sichin ein wich- tiges Teilgebiet der angewandten Stochastik einzuarbeiten. An mathematischer For- schung im Bereich der Personenversicherung interessierte Leser werden mit aktuellen wissenschaftlichen Fragestellungen und Methoden (etwa aus der Theorie des prospek- tiven Deckungskapitals) vertraut gemacht. In der Praxis stehende Versicherungsmathe- matiker möchten wir anregen, sich von der stochastischen Modellbildung bis hin zur rechnerischen Behandlung mit allen Stufen mathematischer Problemlösung in der Per- sonenversicherung zu befassen. Schließlich ist es auch unser Anliegen, dem akademisch tätigen Versicherungsmathematiker einerseits und dem in der Versicherungspraxis täti- gen andererseits jeweilseinen ” Blick über den Zaun“ zuermöglichen— in der Hoffnung, daß beide davon profitieren. Natürlich sind nicht alle Teile des Buches gleichermaßen an alle Lesergruppen gerichtet. Den einzelnen Kapiteln sind, je nach Kapitelumfang sehr ausführliche, Einleitungen vorangestellt, die im Rahmen einer Inhaltsübersicht entspre- chende Informationen enthalten. Im Mittelpunkt unserer Darstellung stehen die Modellbildung, die mathematischen Strukturen und die spartenübergreifenden begrifflichen Gemeinsamkeiten innerhalb der Personenversicherung. Wir haben bewußt vermieden, durch Aneinanderreihung einer Fülle von Einzelfällen und -problemen sowie von Rechenverfahren Praxisnähe zu sug- gerieren. Trotzdem enthält das Buch zahlreiche praxisnahe Beispiele, die auf der Basis VI Vorwort einer sorgfältigen Modellbildung mit den in Deutschland üblichen und größtenteils von der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) bereitgestellten Rechnungsgrundlagen detail- liert durchgerechnet werden. Sie zeigen exemplarisch, wie versicherungsmathematische Konzepte in ein Kalkül umgesetzt werden. Ebenso wie die Bearbeitung (eines Teiles) des umfangreichen Übungsmaterials durch den Leser sollen sie das Verständnis aktua- rieller Zusammenhänge fördern und ein Gefühl dafür erzeugen, daß versicherungsma- thematische Theorie und aktuarielle Praxis zwei Seiten derselben Medaille sind. Die benötigten biometrischen Rechnungsgrundlagen sind teilweise im Tabellarischen An- hang wiedergegeben und vollständig im Internet verfügbar oder mit der beigefügten Anforderungskarte auf Diskette erhältlich. Die mehr als 270 Übungsaufgaben (davon etwa 30 über fast alle Kapitel des Bu- ches verstreute Programmieraufgaben) sind ein integraler Bestandteil unseres Buches. Sie enthalten zusätzliche Beispiele, vertiefen gewisse theoretische Aspekte, sollen aber auch ein Gefühl für Größenordnungen und praktische Auswirkungen vermitteln,undihre Ergebnisse finden auch im Haupttext Verwendung. Der Schwierigkeitsgrad ist außeror- dentlich unterschiedlich: Teilweise handelt es sich um ” Einzeiler“, teilweise erfordert ihre Lösung aber auch erheblichen Aufwand. Einige der Übungsaufgaben wurden den regelmäßig in den Blättern der Deutschen Gesellschaft für Versicherungsmathematik (DGVM) publizierten Berichten zu Fachprüfungen der DGVM bzw. der DAV entnom- men. Die Lösung der Programmieraufgaben kann, wie im Text vorgesehen, durchweg mit Hilfe irgendeiner höheren Programmiersprache erfolgen (die Textformulierung hebt auf die Verwendung von PASCAL ab), es können aber je nach Aufgabe auch Tabellen- kalkulationsprogramme wie EXCEL oder Softwarepakete wie MATHEMATICA oder MAPLE herangezogen werden. Die Lektüre des Buches setzt, neben gründlichen Kenntnissen der reellen Analy- sis, durchgängig Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung, etwa im Umfang einer einsemestrigen Einführungsvorlesung in die Stochastik, voraus. Als Standardreferenzen seien hier die Bücher von Krengel (1998) und von Pfanzagl (1991) genannt. Für die Lektüre der Kapitel 1 bis 3, 5, 7 bis 9 und 11, die keinen wesentlichen Gebrauch von der Theorie stochastischer Prozesse machen, werden kaum weitere Vorkenntnisse benötigt. Die Kapitel 6 und 10 bauen auf der Theorie inhomogener Markovscher Sprungprozesse auf, die in Kapitel 4 entwickelt wird. Zusätzlich spielen in diesen drei Kapiteln mul- tivariate Zählprozesse und einfache markierte Punktprozesse eine gewisse Rolle. Hier sind also weitergehende Vorkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie erforderlich, für die wir etwa auf Bauer (1991) oder Gänßler und Stute (1977) verweisen. Soweit die erforderlichen Hilfsmittel den dort dargestellten Stoff erheblich übersteigen, sind sie im mathematischen Anhang (Kapitel 12) zusammengestellt. Auf die Darstellung der Mathematik der privaten Krankenversicherung haben wir hier ebenso verzichtet wie auf die Einbeziehung besonderer Formen der Lebens- oder Pensionsversicherung mit stochastischem Zins, wie etwa indexgebundener Lebensver- sicherungen. Da die Versicherungsleistungen in der privaten Krankenversicherung im Schadeneintrittsfalle zufallsabhängig sind, ist die Krankenversicherungsmathematik ih- rer Struktur nach ein Teil der Schadenversicherungsmathematik und müßte mit Metho- Vorwort VII den der mathematischen Risikotheorie betrieben werden. Eine mathematisch befriedi- gende Behandlung von stochastischen Zinsmodellen bei kontinuierlicher Zeit hätte die benötigten Vorkenntnisse aus der Theorie stochastischer Prozesse deutlich ausgeweitet: Sie ist ohne Hilfsmittel aus der Theorie der Diffusionsprozesse und der stochastischen Analysis, wie sie etwa von Karatzas und Shreve (1997) bereitgestellt werden, nicht möglich. Die vorliegende Monographie entstand aus Lehrveranstaltungen zur Personenver- sicherungsmathematik an Universitäten sowie aus Seminaren im Rahmen des Fortbil- dungsprogrammes der DGVM. Dementsprechend kann das Buch sowohl zur Stochastik- und Versicherungsmathematikausbildung an Hochschulen als auch zur praxisorientier- ten Aktuarausbildung herangezogen werden. Insgesamt entspricht sein Umfang etwa dem zweier einsemestriger, vierstündiger Vorlesungen mit zweistündigen Übungen und begleitenden Seminaren. Damit ist es für die Ausgestaltung sehr verschiedenartiger Lehrveranstaltungen verwendbar. Beispielsweise bieten sich folgende von uns erprobte Gestaltungsvarianten an: (a) Eine an eine einführende Stochastikvorlesung anschließende vierstündige Vorle- sung zur Mathematik der Lebensversicherung auf der Basis von Teilen der Kapitel 1 bis 3, 5 und 7 bis 9. (b) Eine an eine Wahrscheinlichkeitstheorievorlesung anschließende vierstündige Vor- lesung zur Mathematik der Personenversicherung auf der Basis von Teilen der Kapitel 1, 2, 4, 6, 10 und 12 sowie des Abschnittes 8 B. (c) Ein zweisemestriger Kurs zur Personenversicherungsmathematik als Vertiefungs- richtung innerhalb der Stochastik. Dieser könnte im Anschluß an Einführungsvor- lesungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und -theorie aus einer vierstündigen Vorlesung zur Lebensversicherungsmathematik gemäß (a) sowie einem zeitparal- lelen Seminar über inhomogene Markovsche Sprungprozesse nach Kapitel 4 und Abschnitt 12 A bestehen und mit einer vierstündigen Vorlesung nach den Kapiteln 6 und 10 sowie den Abschnitten 7 D, 8 B (teilweise) und 12 B fortgesetzt werden. Ein solcher Kurs bietet Zugang auch zu anspruchsvoller Originalliteratur im Be- reich der Personenversicherung und ist damit eine Grundlage für wissenschaftliche Arbeit in diesem Gebiet. (d) Eine zweistündige Spezialvorlesung überinhomogene Markovsche Sprungprozes- se nach Kapitel 4 und Abschnitt 12 A. Diese Vorlesung müßte keinen Bezug zur Versicherungsmathematik besitzen. Bei der Verwendung des Buches zur (nachuniversitären) praxisorientierten Aktuaraus- bildung können die Kapitel 1, 2 und 12 entfallen und die Kapitel 4, 6 und 10 gekürzt werden. Dabei sind stärkere Kürzungen möglich, falls nicht auf Themen aus der Pen- sionsversicherung eingegangen wird. Dagegen sollten die Kapitel 7 und 11 intensive Berücksichtigung finden. Auch können die inhaltlichen Schwerpunkte hin zu Beispie- len und Übungen verlagert werden. Die Kapiteleinleitungen enthalten zum Teil entspre- chende Hinweise. Dieses Buch verdankt sein Zustandekommen nicht unmaßgeblich der von uns erfah- renen umfangreichen Unterstützung sowie den guten Arbeitsbedingungen am Mathe- VIII Vorwort matischen Institut und am Institut für Versicherungswissenschaft an der Universität zu Köln. Wir danken den Kollegen Reinhard Höpfner (Paderborn), Enno Mammen (Hei- delberg), Walter Olbricht (Bayreuth), Ulrich Orbanz (Köln), Raimund Rhiel (München), Klaus D. Schmidt (Dresden) und Wolfgang Wefelmeyer (Siegen) für Anregungen, Kor- rekturen und Literaturhinweise, insbesondere zu den Kapiteln 1, 3, 4, 8, 11 und 12. Daneben danken wir den mit diesem Buch befaßten Mitarbeitern des Mathematischen Instituts der Universität zu Köln: Holger Drees, der neben den Abbildungen zahlreiche Anregungen und Berichtigungen zu allen Teilen des Buches beigesteuert und Kapitel 3 maßgeblich mitgestaltet hat, Andrea Stracke, die — teilweise im Rahmen ihrer Disser- tation — wesentliche Beiträge zu den Kapiteln 9 und 10 geleistet hat und Norbert Newe für Anregungen, Korrekturen und seine Beteiligung an der redaktionellen Arbeit. In die Gestaltung der Übungsaufgaben sind zahlreiche Verbesserungsvorschläge von studenti- schen Hilfskräften am Mathematischen Institut der Universität zu Köln eingegangen; er- wähnen möchten wir hier Ilka Krüger, Beate Maas, Frank Rastbichler und Vera Schlüter. Unser besonderer Dank gilt dem Verein der Freunde und Förderer des Instituts für Ver- sicherungswissenschaft an der Universität zu Köln, der die Zusammenarbeit mit Andrea Stracke finanzierte und durch seine Unterstützung des Kölner Versicherungsmathema- tischen Kolloquiums die Einladung vieler interessanter Gesprächspartner ermöglichte. Schließlich danken wir Elke Lorenz für ihre Mühe und Sorgfalt beim Schreiben der T E X-Fassung des Manuskriptes. Wir hoffen, daß das Werk durch den unterschiedlichen beruflichen Erfahrungshin- tergrund der Autoren gewonnen hat, und wünschen uns, daß es von unseren Kollegen an Universitäten und in der Versicherungswirtschaft als ein Beitrag zur weiteren Integration von Theorie und Praxis der Personenversicherungsmathematik empfunden wird. Köln und Marburg, im März 1999 Hartmut Milbrodt, Manfred Helbig Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1. Versicherungsmathematik: Teil der Versicherungswissenschaft 1 A Was ist Versicherung ? 2 B Aufgaben und Modelle der Versicherungsmathematik 6 C Internationale versicherungsmathematische Bezeichnungsweise 17 D Aufgaben 20 2. Elementare Finanzmathematik: Der Zins als Rechnungsgrundlage 22 A Verzinsung 23 B Zeitrenten und ihre Barwerte 30 C Bewertung allgemeiner Zahlungsströme 34 D Das Äquivalenzprinzip am Beispiel von Sparplänen 45 E Aufgaben 49 3. Ausscheideordnungen in der Lebensversicherung 56 A Ein unter einem Risiko stehendes Leben 59 B Mehrere unter einem Risiko stehende Leben 67 C Ein unter konkurrierenden Risiken stehendes Leben 73 D Sterbegesetze für die Gesamtbevölkerung 88 E Diskretisierung: Ganzzahlig gestutzte zukünftige Verweildauer 93 F Ausscheidewahrscheinlichkeiten als Rechnungsgrundlagen. Sterbetafeln 97 G Aufgaben 128 4. Stochastische Prozesse in der Personenversicherung 136 A Sprungprozesse, multivariate Zählprozesse und markierte Punktprozesse 138 B Markovsche Sprungprozesse 150 C Rückwärtsgleichungen und Vorwärtsgleichungen 183 D Aufgaben 193 5. Versicherungsleistungen in der Lebensversicherung 199 A Leistungen und Barwerte: Ein unter einem Risiko stehendes Leben 201 B Natürliche Leistungen und Barwerte: Ein unter einem Risiko stehendes Leben 215 C Natürliche Leistungen: Zwei Leben bei einem Risiko und ein Leben bei konkurrierenden Risiken 228 X Inhaltsverzeichnis D Barwerte: Mehrere Leben bei einem Risiko und ein Leben bei konkurrierenden Risiken 237 E Aufgaben 261 6. Versicherungsleistungen in der allgemeinen Personenversicherung 273 A Natürliche Leistungen und Barwerte in der allgemeinen Personenversicherung 274 B Ein Prinzip zur Berechnung erwarteter Barwerte bei Markovschem Zustandsverlauf 282 C Erwartete Barwerte in der Pensions- und der Invaliditätsversicherung 291 D Aufgaben 313 7. Berechnung erwarteter Barwerte spezieller Versicherungsleistungen mittels Kommutationszahlen 321 A Versicherungen auf ein unter einem Risiko stehendes Leben 322 B Versicherungen auf zwei und mehr Leben bei einem Risiko 326 C Versicherungen auf ein Leben bei konkurrierenden Risiken 332 D Pensionsversicherung 334 E Aufgaben 339 8. Prämien 344 A Prämienberechnungsprinzipien 346 B Prämien nach dem Äquivalenzprinzip 349 C Zuschläge für erhöhte Risiken und Kostenzuschläge in der Lebensversicherung 364 D Aufgaben 370 9. Das Deckungskapital einer Versicherung eines unter einem einzigen Risiko stehenden Lebens 376 A Das prospektive Deckungskapital 380 B Rekursionsformeln und retrospektive Darstellung 390 C Die Thielesche Integralgleichung 395 D Das Hattendorffsche Theorem 402 E Das prospektive Deckungskapital unter Berücksichtigung von Zuschlägen und Kosten 415 F Die Bewertung eines Lebensversicherungsvertrages 419 G Aufgaben 424 10. Das Deckungskapital in der allgemeinen Personenversicherung 433 A Das prospektive Deckungskapital 435 B Rekursionsformeln 441 C Thielesche Integralgleichungen 451 Inhaltsverzeichnis XI D Der Satz von Cantelli 480 E Das Hattendorffsche Theorem 489 F Aufgaben 509 11. Überschuß und Überschußanalyse in der Lebensversicherung 531 A Erfolgsgrößen zur Beschreibung eines Lebensversicherungsvertrages 534 B Die Ursachen des Überschusses und seine Quellen 539 C Überschußverteilung und Überschußverwendung 546 D Rendite einer Lebensversicherung 551 E Finanzierbarkeit der Überschußbeteiligung 553 F Geschäftssteuerung mit Hilfe des Ertragswertes 554 G Deckungsbeitragsrechnung in der Lebensversicherung 555 H Aufgaben 558 I Kapitelanhang zur Gewinnanalyse 563 12. Mathematischer Anhang 571 A Produktintegrale 571 B Intensitätsprozesse von multivariaten Zählprozessen 589 C Aufgaben 594 13. Tabellarischer Anhang: Rechnungsgrundlagen 597 Literaturverzeichnis 617 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis 629 Sachverzeichnis 639 [...]... und Modelle der Versicherungsmathematik Die Versicherungsmathematik behandelt mathematische Modelle und Methoden, die quantifizierbare Sachverhalte des Versicherungswesens beschreiben oder erklären oder mit deren Hilfe Entscheidungsprobleme der Versicherungswirtschaft gelöst werden (nach Helten, 1988, p 1077) Bei der Einteilung der Versicherungsmathematik nach Sachgebieten unterscheidet man • Personenversicherungsmathematik,... Versicherungsmathematik: Teil der Versicherungswissenschaft Die Unterscheidung von diskontinuierlicher und kontinuierlicher Methode der Versicherungsmathematik ist historisch gewachsen und rein technischer Natur, ohne wesentlichen versicherungswissenschaftlichen oder mathematischen Hintergrund Sie hat in der Personenversicherungsmathematik zu einem Methodenstreit geführt, der in einem Nebeneinander von Elementen der kontinuierlichen... Erlebensfallrisiko oder das Todesfallrisiko (eventuell aufgegliedert nach Todesursachen) für eine oder mehrere Leben zugrunde liegen Die Aufgliederung der Schadenversicherungsmathematik nach Versicherungszweigen ( Feuerversicherungsmathematik“, Hagelversicherungs” ” mathematik“, ) ist unüblich Entsprechend der Definition 1.1 besteht die Hauptaufgabe der Versicherungsmathematik in der Bereitstellung von Kalkülen, deren... für deren wirtschaftliche Verhältnisse nachteilige, ihrem Eintritt nach ungewisse Tatsache ereignet, um die dadurch verursachten Nachteile auszugleichen, oder (b) anderen vermögenswerte Leistungen zu erbringen hat, wobei es von der Dauer des menschlichen Lebens oder dem Eintritt oder Nichteintritt einer Tatsache im Lauf des menschlichen Lebens abhängt, ob oder wann oder in welchem Umfang zu leisten oder... versicherten Gegenstand, der zweite zu der Einteilung nach der Art der Versicherungsleistung Entsprechend gliedert man in der Personenversicherungsmathematik weiter nach Versicherungszweigen auf: Krankenversicherungsmathematik, Lebensversicherungsmathematik, Pensionsversicherungsmathematik, Allerdings gibt es hier sehr unterschiedliche Konventionen Gelegentlich werden die Begriffe Personenversicherungsmathematik“... gebraucht (dies ” ist insbesondere in der angelsächsischen Literatur der Fall), oder Lebensversicherungs” mathematik“ wird als eine Sammelbezeichnung für die Personenversicherungsmathematik unter Ausschluß der Krankenversicherungsmathematik verwendet Uns erscheint es am schlüssigsten, unter Lebensversicherungsmathematik“ denjenigen Teil der Per” B Aufgaben und Modelle der Versicherungsmathematik 7... vorstehende Graphik gibt eine grobe Übersicht über die Einteilung der Versicherungsmathematik nach Modellen und Methoden Die gesperrt gedruckten Einträge kennzeichnen die Felder, denen dieses Buch hauptsächlich zuzuordnen ist Der Rest dieses Abschnittes dient der Erläuterung der in dieser Graphik verwendeten Begriffe, wobei wir uns wiederum teilweise an Helten (1988) anlehnen Aus wissenschaftstheoretischer... interpretiert als Endwert des Startkapitals B zur Zeit t ≥ 0 Es sei r := K(1) der Aufzinsungsfaktor (für das erste Jahr), i := r − 1 der Zinssatz ( interest“, also der Zinszuwachs im ersten Jahr auf ein ” Startkapital der Höhe 1), p := 100 · i der Zinsfuß im ersten Jahr, v := 1/r der Abzinsungsfaktor (Diskontierungsfaktor), d := 1 − v der jährliche Diskont ( Vorauszins“, vergleiche Aufgabe 2) ” Die Verzinsung... auszugestalten ist, ist primär ein mathematisches Problem Diese Ausführungen zeigen, daß die Versicherungswissenschaft notwendigerweise interdisziplinär ist Zu den genannten drei Komponenten kommen dabei nachrangig von Fall zu Fall andere hinzu, etwa • medizinische (in der Personenversicherung) , • technische (in der Sachversicherung) und viele andere mehr Dem interdisziplinären Charakter der Versicherungswissenschaft... versicherungsmathematische Bezeichnungsweise 19 Der Vorteil dieser Bezeichnungsweisen liegt in ihrer internationalen Standardisierung und in ihrer dadurch bedingten weiten Verbreitung Auch werden sie von vielen in der Versicherungswirtschaft tätigen Ökonomen und Juristen zumindest teilweise verstanden Dem stehen Nachteile gegenüber: • Der wesentliche Nachteil besteht in der Abweichung von der Notation der Stochastik . Milbrodt / Helbig Mathematische Methoden der Personenversicherung Hartmut Milbrodt Manfred Helbig Mathematische Methoden der Personenversicherung Walter de Gruyter Berlin. Versicherungsformen nach dem versicherten Gegen- stand, der zweite zu der Einteilung nach der Art der Versicherungsleistung. Entspre- chend gliedert man in der Personenversicherungsmathematik weiter nach. von Fall zu Fall andere hinzu, etwa • medizinische (in der Personenversicherung) , • technische (in der Sachversicherung) und viele andere mehr. Dem interdisziplinären Charakter der Versicherungswissenschaft