Đang tải... (xem toàn văn)
Quyển sách Toán đầu tiên khiến cho mình đọc thật sự say mê là quyển Bất đẳng thức của Phan Đức Chính. Mỗi buổi trưa lên giường ngủ còn mang theo nằm đọc một lúc cứ như đọc tiểu thuyết. Lúc đó mới học cấp 2 nên riêng chữ Tủ sách chuyên toán cấp 3 đã đủ hấp dẫn rồi. Đến giờ mình vẫn cho đó là một quyển sách hay vì cách viết khá gợi mở của nó. Hồi học phổ thông không có nhiều cơ hội tiếp xúc với những quyển sách hay, ít nhất BDT cũng đã giúp mình nuôi dưỡng niềm say mê với Toán.
"` ĩ een SE ly 180g BỊ a SN Py & Se ee Si ga ae AEP eer: oe "II "` et ee by ea A ies rat “RA ee £23 es pee nhoeQc lie86460806E 018P ae Ả oN %: * + ae oor % ae l8 ` ập no, ae CAI ề éa AE eee = oa oe capgee* soe ee ae OEE Bone: Nó dáng HR hang gi ly, 248646 # oo UY) in higge l THEE re eek ay of ae Se Sa ee * oa he E Š louyy (lá li lên aeni te Bơi el XU it ý tên nội Sah ee te an 7x “AZ ⁄ A A nhiều biển thức: học tập cách uận dụng đó,⁄ bạn có Z thé ~ ttm cach gidi cho nhiều toán khac lién quan đến bất đẳng thức, Chúng chọn Phụ lục tu mot số chuyên đề uề bất đẳng thúc giảng cho _ học sữth chun Tốn, đơi hhi i bhóa bồi dương nâng cao tdy nghề cho thây giáo dạy lớp chuyên Toán Voi muc dich nang cao, tron & sach nay, sau méi § moi Chương, thơng thường chúng tơi có đưa mot so bat tap sâu, véy khó Để bạn đọc suy ngẫm, chúung tơi cố tình khéng đưa tim loi giải, suy nhiều thời gian Các hhác Đặc biệt có đọc từn thấy lời giới Các bạn nên cố gang di va ngdm lại, cé phai bạn tìm lời giỏi Ở tài số tap vii Idi giải mà “Tuyển tập Toán Sơ cấp” tdc gia, xudt ban nam mdt liệu bạn 1994, nghĩ lai: có lúc xuất mot vt tướng đột biến" đưa chìa bhóncúu phép giỏi Mong cuôỗn sách bạn đồng hành, uới nhiều đài liệu bhác, suốt trình học tập từ lớp đến lớp 12 bạn học sinh u Tốn | “Bản thảo thơ" sách soạn cách 1ð năm, hồi chưa có điều chặt chẽ để đưa xuất XBGD, nưy biên it Theo yêu cầu Nhà soạn lại thành sách này, đóng góp cho uiệc thành lập “Tủ sách chuyên Toán” màà Nhà XBGD) tâm xây dựng Tác gia chân cam On lanh dao Nha XBGD da tao mọt điều thuận lợi để sách mat cdc ban doc Ngày r mùng ð Tết Xuân Quy Déu 1994 Tac gia G.S PHAN ĐỨC Ngay từ lớp 9, bạn học sinh yéu Todn da c6 thé sử dụng sách này: nhiên ban chi nén doc va ngam nghi vé nhiing diéu hiểu duoc Vé nhung vdn dé ma bạn chưa hiểu: ban sé duoc hoc thém, ban phải tự tìm hiểu Đơi uới bai tập udy, néu ban chua tim lời giỏi, thỉn h thống nên chỉnh CHÍNH { | t | i - | PHAN| NEEUNG VAN DE CO BAN gọi bất đẳng thức, A, B gọi uế bất đẳng thức Người ta viết bất đẳng thức dạng B B có thé dung hoac sai Vi du: 1) §1 DAI CUONG VE BAT DANG THUC a7+1>0 bất đẳng thức v61 mol sd ï thực a;a 2) bat dang thtic x"-õx+6b, Bất đẳng thức Mệnh đề "A lớn PB", kí hiệu: A>B, | Bất đẳng thức suy rộng - a nhỏ b, kí hiệu: a b | c>d —=a+c>b+d | | Tinh chat : a>b — [ae > be e > Ö, ac < be c < Ö Hé qua - Hệ sau 2P ce>0, bất đẳng thức, trình bày tron g sách giáo khoa arb Đại số 10: " Cc Tính chất ~“nếucb ;, =a>C _b>e]' Tinh chat | ec hU Tin h chết a>boa-b>0 | a>bb+e _ Hệ Tính chất Tinh chét a>bea- | eN mọin " với >b a>b>0>a" & a>bo | c>b- c at! > b™" véi moin e N Tinh chất a>b>O0=> Va> nÍb với n ¢ N (He q ate>beoa>bec Tính chất 10 2n+1 a> ?"⁄/b với n € N Ghi chit Hoc sinh phát biểu tính chất tương ứng cho bất đẳng thức suy rong Ghi chit Z Tất tính chất hệ qua trén có dạng | 4< Z', Như biết phép suy luận tốn học: ta có / A, thi A, ft! la hai mệnh đề đồng thời đúng, đồng thời sai; - ta có A => néu VÍ DỤ 3.1 Chứng _§2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHAP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phép lập luận nhằm đẳng thức đạng A >B mục đích chứng tổ bất (hay A> gọi phép chitng minh bất đẳng 10 B, v.v ) la dung, thức Ấy a b b a —=+—>2 | Gidi Bat dang thức tượng đương với +b 92002 | — 2ab + b ee, đúng, ' sai Ghi Nhiều người ta dùng tính chất làm định nghĩœ khái niệm bất đẳng thức | a, la hat số dấu, thì: ab đúng, có bất đẳng thức a J’, va: đúng, Phương pháp sử dụng tính chất — hoặc4 > #7, _với 4, 4' bất đẳng thức (mệnh để toán học) - Phương pháp chứng: minh bat đẳng thức “da dang, phu thudc vào đặc thù bất đẳng thức Sau xem vài phương.pháp chủ yếu ' >0 ab ab Bất đẳng thức cuối đúng, ab > Vi DỤ 3.3 Chứng t #0, thi leatot >2 Giai Voit > 0, ta có — > 0, va theo vi du trén t+— =t+ >2 Với t 2 aA+bB VI DU 3.3 Với hai sốa, b tùy ý, ta ln có Q ` _ 9(a? +b°- )(a* + 2ab + b’) 4 ˆ Giải Xét hiệu Ta có: > 0® Phương | pháp khai thác tính chất tam thức bậc hai, định lí thuận đảo dấu tam thức bậc haI bồ + be + ca 0, x, y hai số thay đổi, luôn thỏa mãn H =a”+ b+c? - (ab + be + ca) điều biện ax + by = c Chứng rang Sóc œ“+(e-a)?>0 VI DU db Chứng minh rang néu a >b, A >B, ta có aA + bB > a+b „AB 2 (Đất đẳng thức Tsê-bư-sep) 25 © Gidi Vi a* + b’ > 0, nên hai số a, b phải có LS Ee Vậy H >0, từ suy kết cần chứng minh x°+y°> =y— a” +b" 2, =2(? + bẺ + eÐ - 2(ab + be + ca) = =(a-b)"+(b- Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai VI DU 2.4 a, b, e, ba sé tity # Ta có | _ Bất đẳng thức (*®) a-b>0, A - B>0 _ a” - 9ab a + b ° _ (a —_ b) py > | = — Giới Ta cóc 2 a + b == A+B _2(aA+bB)—-(aA+aB+bA+bB _ aA+bB-aB- bÀ _- a(À = B)+b(B- A)_ (azby cash 2- ath _ số khác O Ta coi b #0 Từ ax + by =0, rút c—ax b y= vay x+y y =x 24 (c-axỲ D5 — -[ (a? ple +b’) ) x” - 2acx + cÏ 13 vette a Bi + C2 A+ + )x cC + dB + 2A ? c)x + bề + fGÒ = (a2 Tam thức bậc hai véi moix € R = b=c=0, thi bat dang Nếu 3° + bỶ + c = 0, tức a vế 0) Nếu a’ + thức @) hiển nhiên (cả bai thức bậc hai, ln có giá tri b2 + c2 > 0, thi f(x) la mot tam f(x) = (a? +b’) x”- 2acx + ¢° dat gia tri nho nhat: minn ÍŒ) = fs, = nên ta suy x"+y” > \ SẺ aC in minf(x) = ¬ oF gọn) A' < 0, tức không âm, có biệt số (thu (r+ B+) (aA + bB + cĨ) - (a? + bi +c) từ suy (1) > 4b” b Cách gidi khdc Van dung bat dang thtte Cési - ˆ Svacxo (Bunhiaképxki) cho hai cap sd, ta dude = (ax + by)’ < (a? + IG? +?) Š suyrax +y / = |i '| VÍ DỤ 2.7 Chitng minh ring v6i a, b, c, A, B, C la số tùy ý, ta ln ln có (dA + bB + cŒ}? Cộng tương ứng, suy € 2.) (pq- œc - bđ)? >(p°- d” - b) (d7- m (@) p + g° - d7 - bˆ-€ 2_d3” >0 Chứng minh a“+b q thỏa mãn điêu Vi DU Cac số a, b, c, ở, p, 0 ©) oe theo (3), gd-c?- dˆ>0), - hoae p” -a?-b’ < theo (3), p’-a’-b’ 20), - d7 - €Ý & 2 0, # Ð suy Từ giả thiết 15 14 Do gợi ý (4), ta hay xem tam thức bac hai f(x) = (p’ - a? - b?)x2 - 2(pq - ac - bd)x + (q?- @2- d®) = (PK - 9)” - (ax - ©)”- (bx - độ? Dat = ¬ p Tạ CỐ: VÝ DỤ 1.9 Cho œ„ d„, , d, n số dương, uới tích gG;œ› G,„ = Chứng minh | _(đŒp+ Ø,) (d¿ + dạ) (d„¡ + d„) („+ d) >2" Giới Ta vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm a, b: | M(t) = - (aa - @}” - (bơ đ)? < 0, (p* - a”- b3) f(œ) 9/ab va dude Theo định lí đảo đấu tam thức bậc hai ta f(x) phai cé nghiém la, +a; >2\jaA¡A; (phan biét hay tring nh au) va œ thuộc đoạn xác địn h hai nghiệm), tức f(x) phải có biệ t số (thu gọn) A'> 0, hay ¬ aed A'= (pq - ac - bd)” - - (p? - - a a2 b*)2) (a:(q?- điều cần chứng minh Phương phá trung gian 1" ¬ P sử dụng at bất _ = - g2) > )>0, , s, đả dang thức Đề rut gọn phép chứng minh bat đẳng thứ c A ,nền sử dụng số bất đẳng thức (đúng) biết Chẳng hạn a, +a, >2Z,/a,a, a, ta, „ ⁄ , cách giải2 tốn ở: Ví dụ 2.6, ta-| da ` ae bấta” đă2 ng *, + thức Côs1 - Svacxơ cho hai cặp số a; n D), (%;; y) ma moi01 hoe să học | sinh sinh đềudéy biếbik t,t, muén6 nhấtất | làlà ởở 2./asa, “a6 mẰ me, me 80 em G im mo mo +a,>22j3„ : (ay + ay 2 ¡;a, n-1 đnÄ Nhân vế tương ứng n bất đẳng thức này, (ay + Ay) (ay >On >? + aa) Gut + [e,a, 2,,? 2n) Z _ (a, + 8y) > 9H" 2” vi DU 2.10 a, b la hai số dương cho trước, +, y hai số đương thay đổi, thỏa mãn điêu biện — Sau day ta xem vài ví dụ khác A , \ x (5) y -? a có ® Hãy tìm giá trị nhỏ tổng S = x + y ~ ˆ ` ”ptmLA 16 ¢ “Al Shatt Ệ i Ẵ È 1Ø " & Gy woes Fait $ ` +: & Roel? eo ý Q12 š ư» ee a x tớ ° a?K /4C¿ em a bathe i & M hv~ BRE S KẾ *Ỹ PO Rega IF SỐ ERS Take a BROLIN are REET Me LE a tk { Ệ x T ẸỆ Ỹ ‘17 a x Nhận xét kết luận m = S ta chứng tỏ Giải x-tva | l)x+y>m y= irlb - với x, y đương thỏa mãn điều kiện (5): Ũ bo y ˆ 2) hai giá trị Xụ, yạ x, y cho xạ + yạ = m (Ghi chú: nhận xét đường lối chứng gia tri số) hàm số) hay củacủa một hàm biéu thức c hay mdt biểu nhất, lớn i nhất, , cua nhỏ onnat, ccó ¡ Ta Bướ ta L x= Jala + vb) 5-Ê eae be | : t- Ja +b y= Jb(Va + Vb) | Kết luận Giá trị nhỏ m tổngx + y vay Gla+Jby = fees + - ở] < m= đạt x= Va(/a + Vb), y= Vb(Va + 4b) 6) (242) oc ty)=xty VÍ DỤ 2.11 Chứng manh uới ba sé a, b, c | wy ý, tœ có Bước Dấu = xảy (6) ta có: ~ Cy” a “pO “ x y Ja vb ' _ y=tvb Giai ab+be+ca< s(a+b+o} | xa2:y, | (va avby g đương với Giải Bất đẳng thức cần chứng tươn 3(ab + be + ca) < (a + b + c}” = | =a’ > 4b? +c? + 2(ab + be + ca) hayy ` ctea0 (7) +ab+ be+ca >0 (8) abe > 0, (9) ~ (10) > all- a) < Lập luận tương tự cho b c, suy ' a(1- a) bQ1 - b) e(1-e) < =, Giai Giả sử trái lại, ba số a, b, e có (it nhất) số khơng dương Vai trị a, b,c ngang nhau, ta cố thể coi rang a < Nhung theo (9), a phai khac 0, vay a -be>0 mà a 1+mna (11) (Bất đẳn Ø thức Becnuh) Giải Với n = 1, (11) hiển nhiên Gia sti (11) với số nguyên dương n = k, tức _ (1+a)“>1+ka Nhân hai vế với số dương + a, ta 2L 21 Tính chất Néu n chan, thi T(x) hàm số Tr.¡@) = 2x T,@) — Tớ) Nguyên lý quy nạp chứng nguyên dương n, tần xác định, cho tổ với số đa thức T,Œœ) hoàn toàn chăn; n lẻ, thi T „(%) rnột hàm số lẻ Chứng rminh Cách 1: sử dụng định phép quy nạp - T, (cosu)= cosnu Lập luận đưa đến hai định nghĩa tương sau hỗ trợ lẫn nhau: _ đương T,,Ccosu) = T,[cos(rtu)] = cosn (r+u) = = cos(nz + nu) =(-1)"cosnu = Với số nguyên đương n >1, đa thức Tsêbtsep bậc n la đa thức T;() thoả mãn điều biện | T, (&) =x, T, (x) = 2x? - T G@2=2xT @œ)-T, ,@), Tuỳ theo cách sử dụng hai định nghĩa trên, ta chứng minh số tính chất sau đa thức Tsêbưsep _ đính chất Ja thức Tsêbưsep T (x) có bậc n, uà hệ số x„ "1; T,œ) — an-lvn nạp theo n | T,,-x) = -D°T,(x), điểu cần chứng mỉnh Ghi chi - Với n chấn, đa thức T;Œ) hàm chẵn, khai triển T;@œ) gồm luỹ thừa bac chan cua x | = 2x" a ax? + bành + - Nhận xát tương tự với n lẻ Tính chất Đa thức T,(x) có n nghiệm phân biệt, Dị có n nghiệm thuộc đoạn [-1 ; 1] Chứng minh: Trước hết ta tìm x € [-l; 1] cho T, (x) =0.|x| 2) | =(-1)"T,,(cosu), -_ T,(eosu) = cosnu (ue R) Định nghĩa Với số nguyên dương n > 1, đa thức 1sêbưsep bậc n đa thức TỊ(sx), xác định hệ đa thức truy hồi Cách 2: Sử dụng định nghĩa 1, Định nghĩa | nghĩa 0=T,Gœ) = “a(cosu) quy => n kr U=—+_—— 2n n = cosu —> nu => +kn (k € Z) 199 | a kĩ 2n 2D Dat u, =—-+— Tính chất a)/T (x) nu= kn => x, = (k € Z) 200 ons Hinh 16 “ Hình 15 owe eee om oe mm AY n 1) Nếu da thức — — kr X, =COS U, = cos—, n (3) va biéu diễn đường tròn lượng giác (Hình 16), ta thấy có n +1 giá trị x, khác nhau, ứng với k = 0,1,2, n Với giá trị x, đó, ta có =(cos kz) =(-1)*, T, &,) = T,(cos Em Một tốn ước lượng Các đa thức Tsêbưsep có vai trò quan trọng lý thuyết xấp xỉ hàm số đa thức, thực ~ đoạn [a; b] Bang phép thay biến số t c[a; b] | b ¬ t= x, +a + (P 2 toán quy việc xét biến so x € [-1 ; 1]; nói cách khác thay cho đoạn [a ; b] ta xét doan [-1 ; 1] Một khâu quan trọng việc xấp xỉ, với đa thức PŒ), cần xác định “độ lệch” đa thức đoạn [-1 ; 1], tức xác định M= max |P(x)| —l Xu) Xa) Je k ] 7*@)=S7/Œ,) k=o q —XX ) q— xX, -;)đ—x Xi) (5, TE) Oy > Hp I ănggiơ cho ta Mặt khác, áp dụng công thức nội suy Lagr (k= 0, 1, 2, đa thức Tsêbưsep T,€ n † Í điểm x, dc) Fg) OF) H Hệ thức với x # 0, mà hai vế hai đa thức x, hệ thức với x Suy với x e R (nhớ rằngx „E L1; 1], nên theo giả thiết tốn: ¬ = ước lượng | £*(x) | véi x € [-1 Muốn vậy, ta để ý rằng: a) 1=X )X.).)X,) )X )# )=—1 (1)9 T,6)= 1,60) eR) = k Si ca Go — Xu ¡)G — Xin), — 5) 0G X6 ~ Xue) — Xa) (X,, ~ ¥%)&%, x n ; 1] & -X,) (x—X,) Œ ~ Ky) & — Xi) Xem đa thức T*,œ) xác định T(x)=x°T, (=| ` foo) © EB Hy VE, Hy) EH) ta n), ta (nhớ T,(X= “x9 J/Œ,)|