Lý thuyết và bài tập toán cao cấp a2

CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN (Trọng tâm – 5điểm) * MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1. Hàm 2 biến: Cho không gian vector: 2 = {(x, y); x, y } và tập D 2 Định nghĩa : Ánh xạ: f: D (x, y) f(x, y) Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập D. - D là tập xác định của f - x, y là 2 biến tự do - z = f(x, y) là biến phụ thuộc vào (x, y) - f(x, y) là giá trị của hàm số f tại điểm (x, y) D Lưu ý: Khi cho hàm hai biến, ta phải cho ánh xạ f và tập xác định D. Tuy nhiên, trên thực tế ta gặp các hàm số được cho bởi công thức mà không đề cập đến tập xác định. Khi đó, ta cần quy ước tập xác định D chính là tập hợp các giá trị làm cho f có nghĩa. VD1: cho hàm số : z = f(x, y) = x2 – y2 + 1 với tập xác định D = 2. • Với (x, y) = (1, 2) z = f(1, 2) = 12 – 22 + 1 = – 2 • Với (x, y) = (– 2, 5) z = f((– 2, 5) = (– 2)2 – 52 + 1 = – 20 VD2: Cho hàm số xác định bởi công thức: z = f(x, y) = . Lúc này ta hiểu tập xác định của D như sau: D = {(x, y); y – x2 0} Vẽ tập xác định D trên mặt phẳng Oxy, ta có: y = x2 là một Parabol Xét điểm M(0, 1) ta thấy: – = 1 – 02 = 1 > 0 M(0, 1) D Như vậy, tập xác định D là tập hợp các điểm nằm phía trên Parabol (kể cả các điểm thuộc Parabol) 2. Hàm 3 biến: Tương tự như hàm hai biến, ta có quy tắc về tập xác định D (nếu bài toán không cho trước) VD: Xét hàm : f(x, y, z) = ln(z – x2 – y2) Ta quy ước tập xác định D là: D = {(x, y, z) 3 : z – x2 – y2 > 0} Vẽ hình minh họa cho D, trước hết ta vẽ mặt cong: z = x2 + y2 (phương trình mặt cong trong không gian 3 chiều) * Xét trong mp(Oxy), x=0, ta có: y2 là một parabol * Xét trong mp z = c (với c>0 bất kì) thì : x2 + y2 = c là phương trình đường tròn tâm (O, O, C) bán kính . (x, y, z) * Mặt cong ta vừa vẽ được gọi là paraboloic * Xét điểm M(0, 0, 1), ta có: – = 1 – 0 – 0 = 1 > 0 M(0, 0, 1) D Vậy tập xác định D là tập hợp các điểm thuộc không gian R3 nằm phía trên paraboloic (loại bỏ các điểm thuộc paraboloic) 3. Hàm nhiều biến: Xét không gian n = {(x1, x2, …, xn): xi n} và D ⊂ n Định nghĩa : Ánh xạ: f: D R (x1, x2, …, xn) f(x1, x2, …, xn) Được gọi là n biến xác định trên tập D. VD: Cho hàm số: f(x1, x2, x3, x4) = x1.x2 + x3 – x4 với tập xác định D = 4 Lúc này, với: • (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 2, – 1) f(1, 0, 2, – 1) = 1.0 + 2 –(– 1) = 3 • (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, – 1, 0) f(2, 1, – 1, 0) = 2.1– 1 – 0 = 1 * KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN n: Cho các điểm: A(x1, x2, …, xn); B(y1, y2, …, yn) Khoảng cách giữa A và B là: d(A, B) = = VD: Trong 3 thì: d(A, B) = * HÌNH CẦU MỞ - HÌNH CẦU ĐÓNG TRONG Rn: Xét điểm M0(x01, xo2, …, x0n) n + Tập hợp B(M0, r) (Ball(M0, r)) = {M(x1, x2, …, xn) n : d(M, M0) < r} Được gọi là hình cầu mở tâm M¬0, bán kính r. (bỏ phần bên ngoài) + Tập hợp B(M0, r) = {M(x1, x2, …, xn) n : d(M, M0) r} Được gọi là hình cầu đóng tâm M¬0, bán kính r. (lấy cả phần bên ngoài) Lưu ý: Trong 2, hình cầu mở/đóng được gọi là hình tròn mở/đóng. Hình tròn mở Hình tròn đóng * ĐẠO HÀM RIÊNG: Xét hàm số 2 biến: f(x, y) Để tính đạo hàm riêng theo 1 biến, ta xem biến còn lại là một hằng số rồi tính đạo hàm như quy tắc tính đạo hàm 1 biến. Làm tương tự cho biến còn lại. Lưu ý: - Đối với đạo hàm 3 biến, ta vẫn áp dụng quy tắc này. - Hàm có bao nhiêu biến thì ta có bấy nhiêu đạo hàm riêng (cấp 1) Kí hiệu: ; hay ; Một số công thức tính đạo hàm cấp 1: (Tính đạo hàm theo biến x) (Tính đạo hàm theo biến y) VD1: Cho hàm số f(x, y) như sau: f(x, y) = x3y7 – ln(xy2) + cosxsiny Lúc này ta có các đạo hàm riêng: ⇒ VD2: Cho hàm số f(x, y) = e2xy + arcsinx – tgy + ⇒ Do: và VD3: Cho hàm số: f(x, y) = xy + cos(2xy2) – ex + 2 ⇒ Đạo hàm riêng cấp 2 * ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO: Khi tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm nhiều biến, ta thấy chúng cũng là hàm nhiều biến. Do đó các đạo hàm riêng này lại có đạo hàm riêng của mình. Ta gọi đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số ban đầu. Xét hàm 2 biến: f(x, y) Giả sử có hai đạm hàm riêng cấp 1 là và . Lúc này, = = : Đạo hàm riêng cấp 2 theo x 2 lần = = : Đạo hàm riêng cấp 2 theo y 2 lần = : Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp = : Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp Lưu ý: đối với hàm sơ cấp thì: Tính chất này vẫn đúng đối với hàm số 3 hay nhiều biến (khi hàm f sơ cấp), nghĩa là: VD: Cho hàm số: f(x, y, z) = x2yz3 – xy4z5 + y3zx7 ⇒ (*) (*) ⇒ (*) ⇒ (*) ⇒ ⇒ Từ (1) và (2) ⇒ Từ (3) và (4) ⇒ Từ (5) và (6) ⇒ * VI PHÂN: Là vi phân của f tại (x0, y0) với số gia và (độ lệch của x0, y0 = 0,01; 0,001; …) Hay: với 1. Ứng dụng vi phân tính gần đúng giá trị của một bểu thức: f(x0 + , y0 + ) f(x0, y0) + df(x0, y0) VD: Tính gần đúng: bằng vi phân. Sau đó so sánh với kết quả của máy tính để đánh giá sai số. Giải Đặt f(x, y) = ⇒ Lúc này, ta chọn ⇒ & f(x0, y0) = = = 5 Đồng thời: ⇒ = .( + .( ) = ⇒ = f(x0, y0) + df(x0, y0) = 5 – 0,022 = 4,978 So sánh với kết quả của máy tính ta có sai số là (0,0000001607), là bé hơn nhiều lần so với = 2. Vi phân cấp cao: Xét hàm: z = f(x, y) có vi phân cấp 1 là df. Lúc này vi phân của vi phân cấp 1 là vi phân cấp 2, kí hiệu: Tổng quát, ta có vi phân cấp n của f là : Lưu ý: + Vi phân cấp 2 được tính như sau: (tính như (a+b)2 = a2 + 2ab + b2)) + Vi phân cấp 3 được tính như sau: (tính như (a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2+b3)) BÀI TẬP: 1. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; 2. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; (tính theo ) 3. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; 4. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; 5. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; 6. Cho hàm: f(x, y) = . Tìm ; ; (bài làm 15 phút nộp ở lớp) 7. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng: A = sin31o.tg43o. Giải: Ta đặt hàm f(x, y) = sinx.tgy Lúc này: ⇒ & Ta có: f(x, y) = sinx.tgy • = cosx.tgy ⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒ A 8. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau: a. B = cos29o.tg137o b. C = sin32o.cotg133o c. D = cos28o.cotg136o 9. Tìm hàm f(x, y) khi biết rằng: (thi một câu tương tự) Ta có: ⇒ = (3) (*) Lấy đạo hàm (3) ở hai vế theo y, ta có: (4) Từ (2) & (4) ⇒ = ⇒ = ⇒ = Kết luận: Hàm số cần tìm là: (*) g(y) Ghi chú: đạo hàm theo y = 0 ( * CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN: 1. Cực trị tự do: Xét hàm f(x, y) có miền xác định D. M0(x0, y0) là một điểm thuộc D. + M0 được gọi là điểm cực tiểu trên D của f khi và chỉ khi: • + M0 được gọi là điểm cực đại trên D của f khi và chỉ khi: • Điểm cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị. 2. Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm f: • Bước 1: Tìm điểm dừng của f bằng cách giải hệ: + Nếu hệ này vô nghiệm: ⇒ kết luận: hàm f không có cực trị. + Nếu hệ có các cặp nghiệm (x1, y1), (x2, y2), … thì ta có các điểm đừng tương ứng là: • Bước 2: Tính các đạo hàm riêng cấp 2: • Bước 3: Xét tại từng điểm dừng: Tại : Ta đặt: và tính: Nếu: + + + P1 không là cực trị. + (*) (*) > 0 P1: là điểm cực tiểu (*) < 0 P1: là điểm cực đại (*) không xác định được là > 0 hay < 0, , nghĩa là dấu của (*) thay đổi tùy ý thì kết luận: P1 không là cực trị của f. • Bước 4: Lặp lại bước 3 cho tất cà các điểm dừng. VD1: Khảo sát cực trị hàm số: (thi một câu tương tự) với D = 2 Ta có: Do vậy: Lưu ý: biểu thức chỉ có nghĩa là một số luôn dương nên trong khi giải ta không cần tính giá trị của biểu thức này. Giải hệ ta được: Như vậy, f có 1 điểm dừng là: P(0, 1) (do > 0, ) Tiếp theo ta tính các đạo hàm riêng cấp 2: Do vậy, tại điểm dừng P(0, 1): = B2 – AC = < 0 Mà A = < 0 Kết luận: P(0, 1) là điểm cực đại với fmax = f(0, 1) = VD2: Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y) = 3 Giải: Ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: Không có trị nào thỏa điều kiện nên chuyển sang xét hiệu f(x, y) – f(0, 0) (do điểm (0, 0) làm cho đạo hàm riêng không tồn tại). f(x, y) – f(0, 0) = 3 (3 – ) = < 0, ( (x, y) (0, 0)) Kết luận: P(0, 0) là điểm cực đại của f với fmax=f(0, 0) = 3 = 3 VD3: Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y) = x4 + y4 –2x2 – 4xy – 2y2 với điều kiện: x2 + y2 > 0 (nghĩa là (x, y) (0, 0) hay nói cách khác là không đồng thời bằng 0) Giải: Ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: nghiệm là: hay (loại x = 0, y = 0 theo đk) Vậy hàm số có 2 điểm dừng là: P1( ; P2( Tính đạo hàm riêng cấp 2: • Tại P1( ), ta đặt: = B2 – AC = < 0 mà A = > 0 Kết luận: P1( ) là điểm cực tiểu. • Tại P1( ), ta đặt: = B2 – AC = < 0 mà A = > 0 Kết luận: P1( ) là điểm cực tiểu. BÀI TẬP: Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với: 1. f(x, y) = 2 + 2. f(x, y) = xy2(2 – x – y) với 3. f(x, y) = * CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VD: từ 12m2 bìa cứng, cắt ra một hình hộp chữ nhật sao cho có thể tích đạt lớn nhất, biết rằng hộp không có nắp. V = x.y.z → Max ? với điều kiện: xy + 2xz + 2 yz = 12 (diện tích 5 mặt hình hộp CN) Cách 1: dùng bất đẳng thức cauchy: 4 = 43 4x2y2z2 43 4V2 42 V2 4 V Vậy: VMax = 4 khi xy = 2xz = 2yz Cách 2: Rút z ra từ điều kiện: z = rồi thế vào thể tích V = x.y.z để khảo sát tìm cực đại Vmax. Phương pháp tìm cực trị hàm: f(x, y) với • Bước 1: lập hàm Lagrange: L(x, y) = f(x, y) + • Bước 2: Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (*) o Trường hợp 1: nếu hệ (*) vô nghiệm thì kết luận: hàm số không có cực trị. o Trường hợp 2: nếu hệ (*) có nghiệm (x1, y1, 1); (x2, y2, 2); … thì ta có các điểm dừng tương ứng là:  P1(x1, y1) ứng với (x1, y1, 1)  P1(x2, y2) ứng với (x2, y2, 2)  ….. Chuyển sang bước 3. o Trường hợp 3: nếu hệ (*) có nghiệm (x0, y0) mà giá trị (x0, y0) làm cho đạo hàm riêng và (hay và ) không tồn tại thì ta xét hiệu: f(x, y) – f(x0, y0) ()  Nếu () < 0 thì ta kết luận: P(x0, y0) là điểm cực tiểu với fmin = f(x0, y0)  Nếu () > 0 thì ta kết luận: P(x0, y0) là điểm cực đại với fmax = f(x0, y0)  Nếu () không xác định thì ta kết luận: P(x0, y0) không là điểm cực trị của f. • Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp 2: ; ; • Bước 4: Xét tại từng điểm dừng: o P1(x1, y1) ứng với 1: d2L(P1) = (x1 , y1)dx2 + 2 (x1, y1)dxdy + (x1, y1)dy2  Nếu d2L(P1) > 0 thì kết luận: P(x1, y1)) là điểm cực tiểu của f.  Nếu d2L(P1) < 0 thì kết luận: P(x1, y1)là điểm cực đại của f.  Nếu d2L(P1) không xác định dấu thì ta dùng điều kiện =0 bằng cách lấy đạo hàm 2 vế của phương trình này rồi tính dx theo dy (hay dy theo dx), sau đó thế vào d2L(P1). Xét tiếp dấu của d2L(P1): + Nếu d2L(P1) > 0 thì kết luận: P(x1, y1) là điểm cực tiểu của f. + Nếu d2L(P1) < 0 thì kết luận: P(x1, y1) là điểm cực đại của f. + Nếu d2L(P1) không xác định dấu thì kết luận P(x1, y1) không là cực trị của f. • Bước 5: Lặp lại bước 4 cho tất cả các điểm dừng tìm được. VD1: Khảo sát cực trị hàm số: f(x, y) = 3 – 3x – 4y với điều kiện: x2 – 8y2 = 8 Giải: • Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x, y) = f(x, y) + = 3 – 3x – 4y + (x2 – 8y2– 8) • Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (*) (1) thế vào (3) ta được: * Ứng với 1 Điểm dừng (ứng với 1 * Ứng với 2 Điểm dừng (ứng với 2 • Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2: ; ; • Bước 4: Xét tại từng điểm dừng: * Tại điểm dừng: với 1 = d2L(P1) = (x1 , y1)dx2 + 2 (x1, y1)dxdy + (x1, y1)dy2 = 2 1dx2 + 2 dxdy 1).dy2 = . dx2 2 .dy2 () Đến đây vẫn chưa xét được dấu nên ta dùng tiếp điều kiện: x2 – 8y2 = 8 (lấy đạo hàm 2 vế) 2xdx – 16ydy = 0 (*) Thế tọa độ P1 vào (*), ta có: 2. .dx – 16. .dy = 0 .dx + .dy = 0 dx = dy (**) Thế (**) vào () ta có: d2L(P1) = . .dy2 = . dy2 .dy2 = . dy2 .dy2 = . dy2 < 0 Kết luận: P1 là điểm cực đại * Tại điểm dừng: với 1 = d2L(P2) = (x2 , y2)dx2 + 2 (x2, y2)dxdy + (x2, y2)dy2 = 2 2dx2 + 2 dxdy 1).dy2 = . dx2 2 .dy2 () Thế tọa độ P2 vào (*), ta có: 2. .dx – 16. .dy = 0 .dx .dy = 0 dx = dy (***) Thế (***) vào () ta có: d2L(P2) = . .dy2 = . dy2 .dy2 = . dy2 .dy2 = . dy2 < 0 Kết luận: P2 là điểm cực đại VD2: Khảo sát cực trị hàm số: f(x, y, z) = x.y.z với điều kiện: xy + 2xz + 2yz = 12 Giải: • Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x, y, z) = x.y.z + (xy + 2xz + 2yz 12) • Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (*) Nhân 2 vế của (1) với x, nhân 2 vế của (2) với y. Sau đó kết hợp với nhau ta có: x = y = 2z = Vậy hàm f(x, y, z) có 1 điểm dừng là: P(2, 2, 1) ứng với = • Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2: Tại điểm dừng P(2, 2, 1) ứng với = d2L(P) = (P)dx2 (P)dy2 + (P)dy2 + + 2 (P)dxdy + 2 (P)dxdz + 2 (P)dydz d2L(P) = dxdy = 2. dxdy + 2 = dxdy + 2dxdz + 2dydz () Ta sử dụng điều kiện: . Đạo hàm 2 vế ta được: 0 = xdy + ydx + 2xdz + 2zdx + 2ydz + 2zdy (*) Thế x = 2, y = 2, z = 1 vào (*), ta có: 2dy + 2dx + 2.2dz + 2.1dx + 2.2dz + 2.1dy = 0 4dx + 4dy + 8dz = 0 4dx + 4dy + 8dz = 0 dz = (**) Thế (**) vào () ta suy ra: d2L(P) = dxdy + 2dx + 2dy = dxdy + (–dx – dy)(dx + dy) = dxdy –(dx + dy)2 = Kết luận: P(2, 2, 1) là điểm cực đại với fmax = f(2, 2, 1) = 2.2.1 = 4 VD3: Khảo sát cực trị hàm số: f(x, y) = 6 – 5x – 4y với điều kiện: x2 – y2 – 9 = 0 Giải: • Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x, y) = 6 – 5x – 4y + (x2 + y2 – 9) • Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: x = 5; y = 4; Hay: x = 5; y = 4; Vậy hàm f(x, y) có 2 điểm dừng là: P1(5, – 4) ứng với = P2(–5, 4) ứng với = • Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2: * Ứng với = ; P1(5, – 4), ta có: d2L(P1) = (P1)dx2 (P1)dxy + (P1)dy2 = 2. dx2 + dy2 = dx2 – dy2 Mà: x2 + y2 – 9 = 0 2xdx – 2ydy = 0 Thế x = 5; y = – 4 vào, ta có: 2.5dx – 2.( – 4)dy = 0 10dx + 8dy = 0 dx = d2L(P1) = Kết luận: P(5, 4) là điểm cực đại. * Tương tự, ứng với = ; P2(–5, 4) là điểm cực tiểu. BÀI TẬP: Khảo sát cực trị hàm số: 1. f(x, y) = 2x2 + 12xy + y2 với điều kiện: x2 + 4y2 = 25 2. f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2 với điều kiện: 4x2 + y2 = 25 CHƯƠNG II TÍCH PHÂN BỘI (Thi 1 câu – 2điểm) I. TÍCH PHÂN KÉP: 1. Định nghĩa: (SGK trang 34) 2. Cách tính: • Định lí Fubini: a) Nếu D xác định bởi : b) Nếu D xác định bởi : với D là miền phẳng xác định bởi: D: nên: = với D là tam giác OAB: O(0, 0); A(1, 1); B(2, 0) • Cách 1: D: Tách D = D1 D2 D1 : (pt của OA) D2 : (pt của AB) • Cách 2: D: Như vậy: Miền D là: D: Chuyển thành: D: 3. Phương pháp đổi biến: a) Tọa độ cực: (r, ) là tọa độ của M Đặt: (chiều quay của ngược chiều kim đồng hồ) VD: Từ phương trình: xác định miền D ?? Ta có: (nhân r 2 vế) (do ) là phương trình của D (phương trình đường tròn tâm O, bán kính ) • Trường hợp tổng quát: D: (r phụ thuộc vào góc ) Lưu ý: ta áp dụng phương pháp này khi D có dạng hình tròn (hoặc một phần hình tròn) Với D: Đổi biến: D: Lúc này: D: Với D: • Cách xác định góc ứng với Ta có: = = Vậy: D: Với D: Ta có: là đường tròn Đặt D: Lúc này: D: (do b) Tọa độ cực mở rộng: o Trường hợp 1: D là hình tròn lệch tâm: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 Đổi biến: D: Các bước còn lại làm giống như phương pháp tọa độ cực. Lưu ý: Ở phương pháp này, để xác định góc , ta phải dời góc tọa độ về tâm hình đang xét. Với D: Đặt: D: Lúc này: D: Với D: Đặt: D: (do phương trình Lúc này: D: o Trường hợp 2: có dạng ellipse: Đặt D: Với D: Đặt D: Với: D: BÀI TẬP: Tính các tích phân kép: CHƯƠNG III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG I. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1: * Định nghĩa: (SGK) * Cách tính: Việc tính tích phân đường loại 1 được đưa về tính tích phân xác định theo biến số của phương trình đường cong lấy tích phân. • Lưu ý: khi đưa tích phân đường về tích phân xác định thì cận dưới của tích phân luôn bé hơn cận trên. 1. Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường cong lấy tích phân: a. Trường hợp (AB) có phương trình tham số: thì : Ta có phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: + Vtcp = (xB – xA, yB – yA) = (2, 2) + Qua A(1, 2) nên phương trình là: () Lúc này, hai đầu giới hạn là A và B nên: Tại A(1, 2) t = 0 (thế vào x, y(*)) B(3, 4) t = 1 (thế vào x, y(**)) Do đó, * Lưu ý: phương trình tham số của một số đường cơ bản: + Đường tròn tâm I(x0, y0), bán kính r > 0 là: + Đường ellipse: Với (AB) là cung đường tròn tâm (1, 3), bán kính 2, nối A(1, 5) với B(3, 3). Ta có phương trình tham số của cung tròn AB là: (*) Tại hai đầu giới hạn là A và B: Tại A(1, 5) Tại B(3, 3) Do đó, Mặt khác, ta có: Suy ra: b. Trường hợp (AB) có phương trình: y = y(x) với Khi đó: c. Trường hợp (AB) có phương trình: x = x(y) với Khi đó: với (AB) là một phần của parabol: y = x2 +1 và A(0, 1); B(2, 5) Ta có: y = x2 +1 Lúc này: Đặt: t = 1 + 4x2 (đạo hàm 2 vế) với Lúc này: d. Trường hợp (AB) có phương trình trong tọa độ cực: Khi đó: với (AB) có phương trình trong tọa độ cực là và Ta có: Với : Mặt khác, do (Do hàm lấy tích phân là hàm lẻ đối xưng qua O). Do ta xét hàm: f( và f( = f( kết luận: là hàm lẻ Ghi chú: f là hàm chẵn (đối xứng qua Oy) f là hàm lẻ (đối xứng qua O) e. Trường hợp (AB) là đường cong trong không gian Oxyz, hàm lấy tích phân là f(x, y, z) Giả sử (AB) có phương trình tham số: , với . Khi đó: ; Ta có: = = (cost – tsint)2 +(sint + tcost)2 + 1 cos2t + – 2tcostsint + t2sin2t + sin2t + 2tcostsint + t2cos2t + 1 1 + t2(cos2t + sin2t) + 1 (cos2t + sin2t = 1) 2+ t2 Do đó: Đặt: x = 2 + t2 (đạo hàm 2 vế) dx = 2tdt tdt = Với ( BÀI TẬP Tính các tích phân đường sau: ; CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN * Tổng quan: Phương trình vi phân VD1: Các phương trình sau đây là phương trình vi phân: VD2: Tìm hàm y(x) thỏa có một nguyên hàm là: gọi là nghiệm riêng. Tổng quát là: gọi là nghiệm tổng quát. Lưu ý: Phương trình vi phân cấp n thì nghiệm tổng quát chứa n hằng số (n số C) * Các dạng của phương trình vi phân: 1. Phương trình phân li biến số: (Ghi chú: giải phương trình vi phân là tìm y theo biến x) Cách giải: mang x và y về 2 vế riêng biệt VD: Giải phương trình (*) Lấy nguyên hàm 2 vế, ta được: Lấy e mũ 2 vế, ta được: (khi ế trái có ln thì hằng số nên viết lnC) ( ) Hay Như vậy, nghiệm tổng quát cầ tìm là: với C là hằng số. Các dạng phân li biến số thường gặp: • • • • M1(x)N1(y)dx = M2(x)N2(y)dy=0 VD1: giải phương trình: (*) Ta có: (*) (x, y theo vế) Lấy nguyên hàm 2 vế, ta có: Lấy e mũ 2 vế, ta được: Hay Đây là nghiệm tổng quát cần tìm VD2: giải phương trình: (*) Lấy nguyên hàm 2 vế, ta có: (**) Đến đây do không giải ra trực tiếp y theo x nên ta xem lnC là một hằng số, nghĩa là coi lnC như C1= , cho nên: (**) Lấy e mũ 2 vế, ta được: ( ) Hay Đây là nghiệm tổng quát cần tìm 2. Phương trình vi phần toàn phần: VD: giải phương trình: ydx + (x + 2y + 1)dy = 0 (*) vai trò của y là hằng số Hướng giải quyết: Tìm U = u(x, y) sao cho: vai trò của y là hằng số du = ydx + (x + 2y + 1)dy = Như vậy: Đến đây ta trở lại bài toán tìm hàm u(x, y) khi biết rằng: Ta có: u(x, y) = u(x, y) = u(x, y) = = (3) Cho (2) = (3), ta có: = = Suy ra: u(x, y) = Như vậy, phương trình đã cho: Lấy nguyên hàm 2 vế, ta được: Đây là nghiệm tổng quát cần tìm của phương trình (*). Tổng quát, ta có sơ đồ sau: VD: giải phương trình sau: (3e3xy – 2x)dx + (e3x +siny)dy = 0 Đầu tiên ta kiểm tra xem có vi phân toàn phần không? vi phân toàn phần Bây giờ ta tìm hàm u(x, y) sao cho: du = (3e3xy – 2x)dx + (e3x +siny)dy = (2) Ta có: u(x, y) = u(x, y) = = Lấy đạo hàm 2 vế theo y, ta có: = (3) Từ (2) và (3): Như vậy: u = là nghiệm tổng quát của bài toán. Lưu ý: thì • Tìm thỏa: 1. Nếu : 1 hàm theo x Thì: 2. Nếu 1 hàm theo y Thì: VD: giải phương trình: (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0 P Q Ta có: Nên đây không phải là phương trình vi phân toàn phần. Phương trình ban đầu tương đương: x(x2 + y2 + x)dx + xxydy = 0 P Q Lúc này ta coi P = x3 + xy2 + x2 và Q = x2y thì Nên chuyển về ạng vi phân tòa phần giải tiếp. * Một số ví du cần lưu ý: (chỉ thi trong dạng này) VD1: giải phương trình (*) Dạng đặc trưng của (*) là: k2 5k + 6 = 0 (k – 2)(k – 3) = 0 nên y = C1e2x + C2e3x là nghiệm tổng quát cần tìm. VD2: giải phương trình (*) Dạng đặc trưng của (*) là: k2 4k + 46 = 0 (k – 2)2 = 0 k1 = k2 = 2 nên y = C1e2x + C2xe2x là nghiệm tổng quát cần tìm. Lưu ý : nếu k1 = k2 = k3 = 2 thì y = C1e2x + C2xe2x + C2x2e2x VD3: giải phương trình (*) Dạng đặc trưng của (*) là: k3 4k2 + 3k = 0 k(k2 4k + 3) = 0 k(k – 1)(k – 3) = 0 nên nghiệm tổng quát cần tìm là: y = C1e0x + C2e1x + C2e3x y = C1 + C2ex + C2e3x với C1, C2, C3 là các hằng số. DẠNG ĐỀ THI (thời gian: 90’) Câu 1: (2đ) Tìm hàm f(x, y) khi biết: Câu 2: (2đ) Khảo sát cực trị (tự do) của hàm số f(x, y). Câu 3: (2đ) Tính tích phân bội 2. Câu 4: (2đ) Tính tích phân đường. Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân.