Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина В. М. Кадец КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Харьков − 2006 УДК 517.98 517.51 ББК 22.162 К 13 Рекомендовано к печати ученым советом механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина (протокол № 8 от 15.10.04) Рецензенты: Кировоградский государственный педагогический университет имени В. Винниченко − доктор физико- математических наук, профессор А. Н. Пличко и В. О. Романов Черновицкий национальный университет имени Ю. Федьковича − заведующий кафедрой математического анализа доктор физико-математических наук, профессор В. К. Маслюченко и кандидат физико-математических наук, доцент Попов М. М. ISBN 966-623-199-9 Кадец В. М. Курс функционального анализа: Учебное К 13 пособие для студентов механико-математического факуль- тета. – Х.: ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006 − 607 с. Данная книга написана на основе курса функционального анализа, читающегося автором с 1990 года на отделении «Математика» меха- нико-математического факультета Харьковского национального универ- ситета, и включает в себя все основные разделы курса: теорию меры и интеграла Лебега, теорию нормированных и гильбертовых пространств и элементы теории операторов. Часть включённого материала выходит за рамки основного курса и может рассматриваться как мост, связывающий стандартный курс со спецкурсами «Топологические векторные пространства» и «Введение в теорию банаховых пространств». © Харьковский национальный университет ISBN 966-623-199-9 имени В. Н. Каразина, 2006 © Кадец В. М., 2006 © Дончик И. Н., макет обложки, 2006 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение ГЛАВА 1. Метрические и топологические пространства 1.1. Множества и отображения 1.2. Топологические пространства 1.2.1. Терминология 1.2.2. Произведение двух топологических пространств 1.2.3. Компакты 1.2.4. Полунепрерывные функции 1.3. Метрические пространства 1.3.1. Метрика. Последовательности и топология 1.3.2. Упражнения 1.3.3. Расстояние от точки до множества 1.3.4. Полнота 1.3.5. Упражнения 1.3.6. Равномерная непрерывность. Теорема о продолжении 1.3.7. Псевдометрика и ассоциированное метрическое пространство. Пополнение метрического пространства 1.3.8. Множества первой категории и теорема Бэра 1.3.9. Упражнения 1.4. Компактные множества в метрических пространствах 1.4.1. Предкомпакты 1.4.2. Пространство непрерывных функций. Теорема Арцела 1.4.3. Приложение: изопериметрическая задача 1.4.4. Канторово множество ГЛАВА 2. Теория меры 2.1. Системы множеств и меры 2.1.1. Алгебры множеств 2.1.2. σ -Алгебры множеств. Борелевские множества 2.1.3. Произведение σ -алгебр 2.1.4. Меры: конечная и счётная аддитивность 2.1.5. Пространства с мерой. Полнота. Пополнение σ -алгебры по мере 2.1.6. Операции над мерами. δ -Мера. Атомы, чисто атомарные и безатомные меры 2.2. Продолжения мер 2.2.1. Продолжение меры с полукольца множеств на порождённую им алгебру 2.2.2. Внешняя мера 2.2.3. Продолжение меры с алгебры на σ -алгебру 3 2.2.4. Теорема о монотонном классе множеств 2.3. Меры на отрезке и на оси 2.3.1. Мера Лебега на отрезке 2.3.2. Ещё немного терминологии. Смысл термина «почти всюду» 2.3.3. Теорема Лебега о дифференцируемости монотонной функции. 2.3.4. Тонкая задача теории меры. Существование неизмеримых по Лебегу множеств 2.3.5. Функция распределения и общий вид борелевской меры на отрезке 2.3.6. Канторова лестница и мера, равномерно распределённая на канторовом множестве 2.3.7. σ -Конечные меры и мера Лебега на оси 2.4. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 3. Измеримые функции 3.1. Класс измеримых функций и операции на нём 3.1.1. Критерий измеримости 3.1.2. Элементарные свойства измеримых функций 3.1.2. Характеристическая функция множества 3.1.3. Простые функции. Лебеговская аппроксимация измеримой функции простыми. Измеримость на пополнении пространства с мерой 3.2. Основные виды сходимости 3.2.1. Сходимость почти всюду 3.2.2. Сходимость по мере. Примеры 3.2.3. Теоремы о связи сходимости по мере со сходимостью почти всюду 3.2.4. Теорема Егорова 3.3. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 4. Интеграл Лебега 4.1. Сходимость по направленности. Разбиения 4.1.1. Направленности 4.1.2. Предел по направленности. Критерий Коши 4.1.3. Разбиения 4.2. Интегрируемые функции 4.2.1. Интегральные суммы 4.2.2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 4.2.3. Упражнения 4.2.4. Интеграл как функция множества 4 4.3. Измеримость и интегрируемость 4.3.1. Измеримость интегрируемой функции 4.3.2. Теорема о равномерном пределе 4.3.3. Условие интегрируемости измеримой функции 4.4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 4.4.1. Лемма Фату 4.4.2. Теорема Лебега о мажорированной сходимости 4.4.3. Теоремы Лéви о последовательностях и рядах 4.4.4. Теорема о монотонном классе функций 4.5. Кратный интеграл 4.5.1. Произведение пространств с мерой 4.5.2. Повторный интеграл и теорема Фубини 4.5.3. Обратная теорема Фубини 4.6. Интеграл Лебега на отрезке и на оси 4.6.1. Интеграл Лебега и несобственный интеграл на отрезке 4.6.2. Интеграл по σ -конечной мере 4.6.3. Свёртка 4.7. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 5. Линейные пространства, линейные функционалы и теорема Хана – Банаха 5.1. Линейные пространства 5.1.1. Основные определения 5.1.2. Упорядоченные множества и лемма Цорна 5.1.3. Теорема существования базиса Гамеля 5.1.4. Линейные операции над подмножествами 5.2. Линейные операторы 5.2.1. Инъективность и сюръективность 5.2.2. Факторпространство 5.2.3. Инъективизация линейного оператора 5.3. Выпуклость 5.3.1. Определения и свойства 5.3.2. Выпуклая оболочка 5.3.3. Гиперподпространства и гиперплоскости 5.3.4. Упражнения 5.4. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейного функционала 5.4.1. Выпуклые функционалы 5.4.2. Функционал Минковского 5.4.3. Теорема Хана – Банаха в аналитической форме 5.5. Некоторые приложения теоремы Хана – Банаха 5.5.1. Инвариантное среднее на коммутативной полугруппе 5.5.2. Грубая задача теории меры 5 5.5.3. Упражнения. 5.6. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 6. Нормированные пространства 6.1. Нормированные пространства, подпространства и факторпространства 6.1.1. Понятие нормы. Примеры 6.1.2. Метрика нормированного пространства и сходимость. Изометрии 6.1.3. Пространство . 6.1.4. Подпространства 1 L и факторпространства 6.2. Связь между единичным шаром и нормой пространства. Пространства p L 6.2.1. Свойства шаров в нормированном пространстве 6.2.2. Определение нормы с помощью шара. Пространства p L 6.3. Банаховы пространства и абсолютно сходящиеся ряды 6.3.1. Ряды. Критерий полноты пространства в терминах абсолютной сходимости 6.3.2. Полнота пространства 1 L 6.3.3. Подпространства и факторпространства банахова пространства 6.3.4. Упражнения 6.4. Пространство непрерывных линейных операторов 6.4.1. Критерий непрерывности линейного оператора 6.4.2. Норма оператора 6.4.3. Упражнения 6.4.4. Поточечная сходимость 6.4.5 Полнота пространства операторов Сопряжённое пространство 6.5. Продолжения операторов 6.5.1. Продолжение по непрерывности 6.5.2. Проекторы и продолжение с замкнутого подпространства 6.6. Комментарии к упражнениям. ГЛАВА 7. Абсолютная непрерывность мер и функций Связь производной и интеграла 7.1. Заряды. Теоремы Хана и Радона – Никодима 7.1.1. Теорема об ограниченности заряда 7.1.2. Теорема Хана о множествах положительности 6 и отрицательности 7.1.3. Абсолютно непрерывные меры и заряды 7.1.4. Заряд, порождённый функцией 7.1.5. Строгая сингулярность 7.1.6. Теорема Радона - Никодима 7.2. Производная и интеграл на отрезке 7.2.1. Интеграл производной 7.2.2. Производная интеграла как функции верхнего предела интегрирования 7.2.3. Функции ограниченной вариации и общий вид борелевского заряда на отрезке 7.2.4. Абсолютно непрерывные функции 7.2.5. Абсолютно непрерывные функции и абсолютно непрерывные борелевские заряды 7.2.6. Восстановление функции по её производной 7.2.7. Упражнения 7.3. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 8. Интеграл в C(K) 8.1. Регулярные борелевские меры на компакте 8.1.1. Внутренняя мера и регулярность 8.1.2. Носитель меры 8.2. Продолжение элементарного интеграла 8.2.1. Элементарный интеграл 8.2.2. Верхний интеграл полунепрерывной снизу функции 8.2.3. Верхний интеграл на )(Kl ∞ 8.2.4. Пространство ),( I K L 8.3. Регулярные борелевские меры и интеграл 8.3.1. -Измеримые множества. Мера, порожденная интегралом I 8.3.2. Теорема об общем виде элементарного интеграла 8.3.3. Приближение измеримых функций непрерывными. Теорема Лузина 8.4. Теорема об общем виде линейного функционала в C(K) 8.4.1. Регулярные борелевские заряды 8.4.2. Формулировка теоремы Ф. Рисса – А. Маркова – С. Какутани. Теорема единственности. Примеры 8.4.3. Положительная и отрицательная части функционала * )(KCF ∈ 8.4.4. Норма функционала на )( K C 7 8.4.5. Комплексные заряды и интеграл 8.4.6. Регулярные комплексные заряды и функционалы в комплексном )( K C . (214) 8.5. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 9. Линейные непрерывные функционалы 9.1. Терема Хана - Банаха в нормированных пространствах 9.1.1. Связь между вещественными и комплексными функционалами 9.1.2. Теорема Хана - Банаха о продолжении 9.1.3. Упражнения 9.2. Некоторые приложения 9.2.1. Опорный функционал 9.2.2. Аннулятор подпространства 9.2.3. Полные системы элементов 9.3. Выпуклые множества и теорема Хана – Банаха в геометрической форме 9.3.1. Несколько лемм 9.3.2. Теоремы об отделении выпуклых множеств 9.3.3. Примеры 9.3.4. Упражнения 9.4. Сопряженный оператор 9.4.1. Связь между свойствами исходного оператора и сопряжённого к нему 9.4.2. Двойственность между подпространствам и факторпространствами 9.5. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 10. Классические теоремы о непрерывных операторах 10.1. Открытые отображения 10.1.1. Критерий открытости отображения 10.1.2. Шарообразные множества 10.1.3. Теорема Банаха об открытом отображении 10.2. Обратимость оператора и изоморфизмы 10.2.1. Изоморфизмы. Эквивалентные нормы 10.2.2. Теорема Банаха об обратном операторе 10.2.3. Ограниченные снизу операторы Критерий замкнутости образа 10.2.4. Упражнения 10.3. График оператора 10.3.1. Теорема о замкнутом графике 10.3.2. Дополняемые подпространства 8 10.3.3. Упражнения 10.4. Принцип равномерной ограниченности и его приложения 10.4.1. Теорема Банаха - Штейнгауза о поточечно ограниченных семействах операторов 10.4.2. Поточечная сходимость операторов 10.4.3. Две теоремы о рядах Фурье на отрезке 10.4.4. Упражнения 10.5. Понятие о базисе Шаудера 10.5.1. Определение и простейшие свойства 10.5.2. Координатные функционалы и операторы частных сумм 10.5.3. Линейные функционалы в пространстве с базисом 10.6. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 11. Элементы спектральной теории операторов. Компактные операторы 11.1. Алгебра операторов 11.1.1. Банаховы алгебры: аксиоматика и примеры 11.1.2. Обратимость в банаховых алгебрах 11.1.3. Упражнения 11.1.4. Спектр 11.1.5. Резольвента и непустота спектра 11.1.6. Спектр оператора и его собственные числа 11.1.7. Матрица оператора 11.2. Компактные множества в банаховых пространствах 11.2.1. Предкомпактность: общие результаты 11.2.2. Конечномерные операторы и аппроксимационное свойство 11.2.3. Критерии компактности множеств в конкретных пространствах 11.2.4. Упражнения 11.3. Компактные (вполне непрерывные) операторы 11.3.1. Определение и примеры 11.3.2. Свойства компактных операторов 11.3.3. Упражнения 11.3.4. Операторы вида I –T, где T − компактный оператор 11.3.5. Упражнения 11.3.6. Структура спектра компактного оператора 11.4. Комментарии к упражнениям 9 ГЛАВА 12. Гильбертовы пространства 12.1. Норма, порождённая скалярным произведением 12.1.1. Скалярное произведение 12.1.2. Неравенство Коши – Буняковского 12.1.3. Понятие гильбертова пространства 12.2. Геометрия гильбертова пространства 12.2.1. Теорема о наилучшем приближении 12.2.2. Ортогональные дополнения и ортопроекторы 12.2.3. Теорема об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве 12.3. Ортогональные ряды 12.3.1. Критерий сходимости ортогонального ряда 12.3.2. Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя 12.3.3. Ряды Фурье, ортонормированные базисы и равенство Парсеваля 12.3.4. Ортогонализация по Грамму – Шмидту и теорема существования ортонормированного базиса 12.3.5. Теорема об изоморфизме 12.4. Самосопряженные операторы 12.4.1. Билинейные формы в гильбертовом пространстве 12.4.2. Сопряжённый оператор к оператору в гильбертовом пространстве 12.4.3. Упражнения 12.4.4. Самосопряженный оператор и его квадратичная форма 12.4.5. Упражнения 12.4.6. Неравенства между операторами 12.4.7. Спектр самосопряжённого оператора 12.4.8. Компактные самосопряженные операторы 12.5. Комментарии к упражнениям ГЛАВА 13. Функции от оператора 13.1. Непрерывные функции от оператора 13.1.1. Многочлены от оператора 13.1.2. Многочлены от самосопряженного оператора 13.1.3. Определение непрерывной функции от самосопряженного оператора 13.1.4. Свойства непрерывных функций от самосопряженного оператора 13.1.5. Применения непрерывных функций от оператора 10 [...]... таких в прос в только в упражнениях и к м ентариях к н м (в роч м, д в льно редко) М ожес в , как пр в ло, будут обозначаться больш м латинск м бу в м , а эл м нты м ожес в − м леньк м бу в м Те м ны «с в купность», «набор» будут использ в ться в т м же м сле, что и те м н м ожес в » Пр в д м расшифр в у некоторых те м н в и обозначений − A \ B − (теоретико -м ожес в нная) разность м ожес в A и B :... предст в тели Л в в кой м т м тической школы в гл в со Стефан м Банах м (S Banach) Усили м м огих м т м тик в функциональный анализ ра в лся в одно из интереснейших напр в ений с в м нной м т м тики, в напр в ение, акт в ое ра в тие которого продолжается и в наши дни Предлага м й учеб ик сост в ен на осн в курс функционального анализа, читающегося в ор м с 1990 года на отделении М т м тика» м ханико -м т м тического... это м ожес в тех в ктор в, в е координаты которых лежат м жду 0 и 1, единичный шар − это м ожес в тех в ктор в, с м а в драт в координат которых не пр в сходит единицы.) 4 Показать, что в неполн м пространс в принцип в оженных м ожес в выполняться не м жет 5 Пр в сти пр м р уб в ющей цепочки A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ з м нутых по м ожес в вещес в нной оси с пуст м пересечени м 6 Построить г м м рфи м между... «Топологические в кторные пространс в » и « в дение в теорию банах в х пространс в Часть м териала (и ч м ближе к концу учеб ика, т м больше такого м териала в лючено в текст) м жет рас м тр в ться не как часть осн в ого курс , а как м ст, в з в ющий стандартный курс со спе курс м Для удобс в читателя в учеб ик доб в ены некоторые разделы из прочитанных ранее курс в Так, м нап м на м необход м ю те м нологию... пространс в K в яется к м акт м в т м и только т м случае, если любое центрир в нное с м йс в з м нутых по м ожес в пространс в K м ет общую точку Доказательс в Пусть K − к м акт, W − центрир в нное с м йс в з м нутых по м ожес в K Предполож м, что у эл м нт в этого с м йс в нет общей точки, то есть ∩W пусто Перейдя к дополнени м, получа м, что ∪ (K \ W ) = K W ∈W Так м образ м, открытые м ожес в в да... слушателей этого курс , особенно м их б в их студент в Ю Забелышинского и И Рудя, предост в в их в м ё распоряжение записанный м конспект лекций; м их коллег А В шняк в и Л Безуглую, использ в в их черн в й в риант учеб ика при чтении курс функционального анализа и в м з м чани м способс в в в их улучшению текста, а также м огих студент в, польз в в ихся учеб ик м при изучении функционального анализа. .. пространс в X наз в ется к м актн м множес в м, если A − к м акт в индуцир в нной топологии Друг м сл в м , A − к м актное м ожес в , если для любого с м йс в U открытых м ожес в в X , объединение которых содержит A, сущес в ет конечное число U 1 , , U n эл м нт в с м йс в U , объединение которых по-прежн м содержит A Любое к м актное по м ожес в хаусдорф в топологического пространс в з м нуто; з м нутое... с м собой раз м ется, в курс топологии Поэт м м лишь бегло нап м м общеи в стные определения и факты, обсуд м принятую в этой книге те м нологию и сист м обозначений, а более подробно остан в м я на в просах, в м жно не о в щ в ихся в других курс х 1.1 М ожес в и отображения При изложении функционального анализа предполагается знак м в читателя с поняти м множес в и простейш м операци м ... пространс в X М ожес в B ⊂ A наз в ется открыт м в A, если B м жно предст в ть как пересечение м ожес в A с некотор м открыт м по м ожес в м пространс в X Открытые в A по м ожес в задают на A топологию, наз в м ю индуцир в нной топологией По м ожес в топологического пространс в X , наделённое индуцир в нной топологией, наз в ется подпространс в м топологического пространс в X Напр м р, м ожес в ... , z ) (нер в нс в треугольника) 28 Гл в 1 М трические и топологические пространс в Н в рожденность, с м етричность и нер в нс в треугольника − это акси м м трики Для в личины ρ ( x, y ) используют ещё те м н расстояние (или дистанция) м жду эл м нт м x и y М ожес в с в едённой на н м метрикой наз в ется м трическ м пространс в м По м ожес в м трического пространс в X , наделённое м трикой из . упражнениях и к м ентариях к н м (в роч м, д в льно редко). М ожес в , как пр в ло, будут обозначаться больш м латинск м бу в м , а эл м нты м ожес в − м леньк м бу в м . Те м ны «с в - купность»,. з м нутых м ожес в сн в з м нуто. З м кани м множес в A наз в ется м ожес в ,A р в ое пересечению в ех з м нутых м о- жес в, содержащих . A A − это на м ньшее по в лючению з м нутое м ожес в ,. наз в ется г м м рфи м м, если она биект в а, не- прер в а и обратная функция XYf → − : 1 непрер в а. в пространс в наз в ются г м м рфн м , если м жду н м сущес в ет г м м рфи м. Пусть