Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NAM 2021 (CÓ ĐÁP ÁN) Câu 1. (4,0 điểm) a) Rút gọn các biểu thức sau: ; . b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 2. (4,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 3. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng , điểm M nằm trên cạnh BC. a) Khi , hạ OK vuông góc với AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK. b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B và C), điểm N thay đổi trên cạnh CD sao cho E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi : Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/4/2021 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: A = 13 + 30 + − ; B = 3 + 12 − ( 4− 27 ) + 3 − 12 − ( 4− ) 27 b) Tìm giá trị tham số m để phương trình ( x −1) x −1 − mx + m = có hai nghiệm phân biệt Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình + 2x = 3x − + 4 − x x + y − xy + y + = b) Giải hệ phương trình 2 3x − y ( x − y ) + 10 y + = Câu (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 6cm , điểm M nằm cạnh BC a) Khi BM = cm , hạ OK vng góc với AM K Tính độ dài đoạn thẳng OK b) Khi điểm M thay đổi cạnh BC (M không trùng B C), điểm N thay đổi cạnh CD cho MAN = 450 , E giao điểm AN BD Chứng minh tam giác AEM vuông cân đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định Câu (4,5 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R ) (O ' ; r ) tiếp xúc A ( R r ) Dựng hai tiếp tuyến OB, O ' C hai đường tròn (O ' ; r ) , (O ; R ) cho hai tiếp điểm B, C nằm phía đường thẳng OO ' Từ B vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt O ' C K , từ C vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt OB H a) Gọi D giao điểm OB O ' C Chứng minh DO.BO ' = CO.DO ' DA tia phân giác góc ODO ' b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O ; R ) E (E khác A) Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn c) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O ' ; r ) F (F khác A), L giao điểm BC EF Chứng minh BF song song với CE điểm A, D, L thẳng hàng Câu (5,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y) thỏa mãn đẳng thức x3 + y3 + 3x2 − y − 3xy + 6x = b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức A= 1 + + x + yz y + zx z + xy HẾT -Họ tên thí sinh: ……………………………… Phịng thi: ……… Số báo danh: …… BÀI LÀM ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… - HẾT - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Đáp án Câu Điểm a) Rút gọn biểu thức sau: A = 13 + 30 + − , B= 4(4 − 3)3 4(4 − 3)3 − 12 − 27 27 + 2 + 12 − 2,5 Ta có A = 13 + 30 + − = 13 + 30 + (2 − 1) 0,25 = 13 + 30 + 2 = 13 + 30( + 1) 0,5 = 43 + 30 = (5 + 2) = + 0,5 Đặt a = 4(4 − 3)3 4(4 − 3)3 − 12 − 27 27 ,b= 2 + 12 − 0,25 Suy a + b3 = 4(4 − 3)3 12 − 12 − 27 Câu = 4− a.b = (4,5 đ) a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) = (a + b)3 − (4 − 3)(a + b) = (a + b)3 − 4(a + b) + 3(a + b) − = (a + b − 2) ( a + b)(a + b + 2) + = a + b = ( a 0, b ) Vậy B = b) Tìm giá trị tham số m để phương trình ( x −1) x −1 − mx + m = có hai nghiệm phân biệt Điều kiện: x x =1 (thoa) ( x −1) x −1 − mx + m = ( x −1)( x −1− m) x −1 = m m x −1 = m m2 +1 x = m m + Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt m2 +1 m 1 a) Giải phương trình + x = 3x − + 4 − x 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 0,5 0,25 0,5 2,0 Câu 3 + x (4,0 đ) Điều kiện: − x − x + x = 3x −1 + 4 − x 4( + x − − x ) = 3x −1 (*) + x + − x = vơ nghiệm nên pt(*) tương đương với phương trình Do 4( + 2x − − x )( + 2x + − x ) = (3x −1)( + x + − x ) 3 x − = 4(3x −1) = (3x −1)( + x + − x ) + 2x + − x = • 3x − = x = (thỏa mãn) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 + x + − x = (3 + x)(4 − x) = − x x = (thỏa mãn) x − 38 x + 33 = x = 11 11 Vậy phương trình cho có nghiệm x = , x = , x = 2 x + y − xy + y + = b) Giải hệ phương trình 2 3x − y ( x − y ) + 10 y + = 2 x + y − xy + y + = ( x + 1) − y( x − y) = −4 y (*) 2 2 3x − y( x − y) + 10 y + = 3( x + 1) − y( x − y) = −10 y - Nhận xét y = không thỏa hệ - Khi y : Hệ phương trình (*) tương đương với hệ: x2 + − ( x − y ) = −4 y (**) 3 x + − ( x − y ) = −10 y a − b = −4 x +1 Đặt = a, x − y = b , hệ (**) trở thành: y 3a − b = −10 a = −2 a = −3 + Giải hệ tìm được: , b = b = x2 + a = − = −2 x = + y y = − b = x − y = −3 + 17 x2 + x= a = −3 = −3 + y b = x − y = y = −5 + 17 • 0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 0,5 0,25 x = −3 y = −5 −3 − 17 x = y = −5 − 17 2 2 x + y − xy + y + = x + = − y + xy − y Lưu ý: 2 2 3x − y ( x − y) + 10 y + = 3( x + 1) − y( x − y) + 10 = Thay x2 + = − y2 + xy − y vào phương trình thứ hai 0,5 Câu Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh cm , điểm M nằm cạnh BC (2,5 đ) a) Khi BM = cm , hạ OK vng góc với AM K Tính độ dài đoạn thẳng OK + Gọi Q giao điểm AM BD, P trung điểm MC Suy OP//AM + Trong tam giác OBP có MB = MP MQ//OP Suy Q trung điểm OB 1 1 + BD = OQ = , = = + = + = 2 2 OK OA OQ 18 OK = ( ) b) Khi điểm M thay đổi cạnh BC (M không trùng B C), điểm N thay đổi cạnh CD cho MAN = 450 , E giao điểm AN BD Chứng minh tam giác AEM vuông cân đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định 2,5 1,0 0,25 0,5 0,25 1,5 0,25 (Không có hình khơng chấm điểm) + MAN = MBE = 450 Suy tứ giác ABME nội tiếp 0,25 Mà ABM = 90 nên AEM = 90 Vậy tam giác AEM vuông cân E 0,25 0 + Gọi F giao điểm AM BD Tương tự suy AFN = 900 + Gọi I giao điểm EM FN, H giao điểm AI MN Suy AH vuông 0,25 góc với MN + Xét hai tam giác vng ABM AHM có: AM chung; 0,25 + AMB = AEB, AEB = AMH (vì tứ giác MNEF nội tiếp) Do AMB = AMH Suy hai tam giác vng ABM AHM Suy AH = AB = cm (khơng đổi) 0,25 Do MN ln cách A khoảng cách cm Suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm A, bán kính cm Câu Cho hai đường trịn (O ; R ) (O ' ; r ) tiếp xúc A ( R r ) Dựng lần (4,5 đ) lượt hai tiếp tuyến OB, O ' C hai đường tròn (O ' ; r ) , (O ; R ) cho hai tiếp điểm B, C nằm phía đường thẳng OO ' Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OO ' cắt O ' C K , từ C vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt OB H a) Gọi D giao điểm OB O ' C Chứng minh DO.BO ' = CO.DO ' DA tia phân giác góc ODO ' 4,5 1,5 0,25 (Khơng có hình vẽ khơng chấm) Xét hai tam giác ODC O ' DB có: ODC = O ' DB ; + Tứ giác OO ' BC nội tiếp đường trịn đường kính OO ' nên DOC = DO ' B Suy hai tam giác ODC O ' DB đồng dạng, đó: DO CO = DO.BO ' = CO.DO ' DO ' BO ' Ta có: DO CO AO Suy DA tia phân giác góc ODO ' = = DO ' BO ' AO ' b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O ; R ) E (E khác A) Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn 0,25 0,25 0,25 0,5 1,5 + OCH = OO ' C (Cùng phụ với O ' CH ) 0,25 + OO ' C = OBC (Cùng chắn cung OC ) Suy OCH = OBC Suy hai tam giác OCH , OBC đồng dạng 0,25 OC OB OA OB = = OH OC OH OA Suy hai tam giác OHA, OAB đồng dạng OAH = OBA hay OEA = OBA Vậy tứ giác OABE nội tiếp đường tròn c) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O ' ; r ) F (F khác A), L giao điểm BC 0,25 0,25 0,25 0,25 EF Chứng minh BF song song với CE điểm A, D, L thẳng hàng 1,5 EOB = EAB = 1800 − OAE − O ' AB = 1800 − OBA − O ' BA = 900 0,5 Mà OBO ' = 900 nên OE // O’B Tương tự O’F // OC Suy EOC = BO ' F Lại có: hai tam giác EOC BO’F hai tam giác cân Suy ECO = BFO ' Hơn OE // O’B nên BF// EC ( lưu ý O’B //OE) LC EC OE OA OC DC = = = = = LB BF O ' B O ' A O ' B DB Suy DL tia phân giác góc BDC Suy A, D, L thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu a) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức x3 + y + 3x − y − 3xy + x = 3,0 x3 + y + 3x − y − 3xy + x = ( x3 + 3x + 3x + 1) + ( y − y + y − 1) − 3xy + 3x − y = ( x + 1)3 + ( y − 1)3 − 3( x + 1)( y − 1) − = 0,5 ( x + 1) + ( y − 1) − 3( x + 1)( y −1) ( x + 1) + ( y −1) − 3( x + 1)( y −1) − = Đặt a = ( x + 1) + ( y − 1), b = ( x + 1)( y − 1) Khi ta có: a3 − 3ab − 3b − = a − = 3b( a + 1) 0,25 Suy a3 − = (a3 + 1) − 4 (a + 1) (a + 1) 0,25 32 (không thỏa) 11 a + = −1 a = −2 b = (không thỏa) a + = a = b = − (không thỏa) a + = a = b = −1 Tìm ( x, y ) = (0, 0); ( x, y ) = ( −2, 2) a +1 = a = b = Tìm ( x, y ) = (0,3); ( x, y ) = (1, 2) + Với a + = −4 a = −5 b = 0,25 + Với 0,25 + Với 0,25 0,5 + Với + Với 0,5 0,25 + Với a +1 = −2 a = −3 b = (không tồn x, y) b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + + x + yz y + zx z + xy Ta có: A = 1 x y z + + = + + x + yz y + zx z + xy x + y + z + x x 1 = 1 − x + 2x +1 2x +1 y 1 z 1 1 − 1 − Tương tự : , y + 2 y +1 z + 2 2z +1 x + = ( x + 1) + x + Suy A 2,0 0,25 1 1 − + + 2 2x +1 y +1 2z +1 a b c , y = , z = (a, b, c 0) b c a 1 b c a + + = + + x + y + z + 2a + b 2b + c 2c + a 0,5 0,25 Đặt x = b2 c2 a2 (a + b + c) + + =1 2ab + b 2bc + c 2ca + a 2ab + b + 2bc + c + 2ca + a m2 n k (m + n + k ) (Chứng minh BĐT: (với số dương) : 0,25) + + x y z x+ y+z Suy A − = (Dấu xảy a = b = c hay x = y = z = ) 2 0,25 = Vậy giá trị lớn A 0,5 0,25 Nhận xét: Đặt x = a3 , y = b3 , z = x3 (a, b, c 0, abc = 1) 1 abc abc abc + + = + + x + y + z + 2a + abc 2b + abc 2c + abc = bc ca ab (bc)2 (ca)2 (ab) + + = + + 2a + bc 2b + ca 2c + ab 2.ca.ab + (bc)2 2.ab.bc + (ca) 2.bc.ca + (ab) (bc + ca + ab)2 2.ca.ab + (bc) + 2.ab.bc + (ca) + 2.bc.ca + (ab) (bc + ca + ab)2 = =1 (bc + ca + ab)2 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm