PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ………………… ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015- 2016 MÔN : TỐN (THỜI GIAN LàM BàI 120 Đề thức PHÚT) NGÀY THI: 29 THÁNG 02 NĂM 2016 Bài 1: (6 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: 212.35  6.9 510.7  25 5.49  1) A = ( 3)  4.35 (125.7)  9.14 6 6      2) B = 16 16.26 26.36 36.46 2006.2016 z  x  y  3) Cho x, y, z 0 x – y – z = Tính B =   x    y    z      Bài 2: (4 điểm) 1) Tìm x biết: x x x x    2016 2015 2014 2013 2) Tìm số x; y; z biết: 5z – 3x – 4y = 50 Bài 3: (3 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2) Tìm số nguyên , cho: – + x  2016  2017 x  2016  2018 =0 Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A góc tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Trên tia đối CA lấy điểm I cho CI = CA 1) Chứng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE 2) Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự M; N Chứng minh BM = CN 3) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n có chữ số biết số 2n +1 3n + đồng thời số phương Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) BÀI §iĨ m HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU TOÁN 212.35  46.92 10 510.73  255.492 212.35  212.34 510.73  A   12 12  9 3 0,5   125.7  14  3    212.34   1 510.73     12    1 59.73    0,5 10 212.34.2     12  59.73.9  10    B= Bài = 0,5 0,5 6 6      16 16.26 26.36 36.46 2006.2016 6 6      6.16 16.26 26.36 36.46 2006.2016 0,5 1 1         2006.2016   6.16 16.26 26.36 36.46 =  = 10 0,5 10 10 10 10  10         16 16 26 26 36 36 46 2006 2016   = 1 1 1 1  1             2006 2016   16 16 26 26 36 36 46 =  1 67   =  2016  672 Ta cã: B= 0,5 z  x  y           x y z     x  z  y  x  z  y  B=  x   y  z    Mà Từ (1) (2) Suy : x  0,5 y  z 0  B= x  y  z  x   y z  z x  y  x  y  z   y  ( x   z  ( y   (1) z) x) (2) 0,5 0,5 Bài x x x x    2016 2015 2014 2013 x x x x     2016 2015 2013 2014 x x x x  1  1  1 1  2016 2015 2013 2014 x  2017 x  2017 x  2017 x  2017     2016 2015 2013 2014 x  2017 x  2017 x  2017 x  2017    0  2016 2015 2013 2014 1 1 ( x  2017)(    ) 0 2016 2015 2013 2014 1 1    0  x  2017 0  x 2017 Do 2016 2015 2013 2014 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 Vậy x 2017 a) 2) Ta cú 0,25 = 0,75 0,25  Vậy x = 5; y = z = 17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= Bài A= x  2016  2017 x  2016  2018 x  2016  2018  x  2016  2018 A=  x  2016  2018 0,25 0,25 Đặt B= x  2016  2018 x  2016  2018 2018 Với giá trị x Mà tử số dương không đổi mẫu số đạt GTNN 2018 dấu “=” xẩy x  2016 0  x 2016 mà 2018 2017 1- 2018 = 2018 Vậy B đạt GTLN GTNN  MinA= số dương không đổi  A=1-B đạt 0,25 0,25 0,25 0,25 – + =0 –1– ( Vì , – 1) ( Z nên ( 0,25 + = –1 0,5đ – ) = –1 – 1) ( –2 ) TH 1: Z 0,25 0,25 ( Thỏa mãn ) 0,25đ TH 2: ( Thỏa mãn ) Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0) A M O B C E D N I 1): câu cho điểm Câu a: Chứng minh  ABD=  ICE (c-g-c) Câu b: có AB + AC = AI Vì  ABD=  ICE  AD=EI (2 cạnh tương ứng) 1,5 0,75 0,75 áp dụng bất đẳng thức tam giác AEI cã: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC 2) Chøng minh  BDM =  CEN (gcg)  BM = CN 3) Vì BM = CN  AB + AC = AM + AN (1) có BD = CE (gt)  BC = DE Gọi giao điểm MN với BC O ta có: MO  OD    MO  NO  OD  OE NO  OE   MN  DE 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5  MN  BC   Từ (1) (2)  chu vi  ABC nhỏ chu vi  AMN Vì n số tự nhiên có chữ số  10 n 100 Do 21 2n +1 201 (1) Mặt khác 2n + số phương lẻ (2) Từ (1) (2)  2n +  {25; 49; 81; 121; 169}  n  {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84} Do 3n +1  {37; 73; 121; 181; 253} Trong số có 121 = 112 số phương Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm 40 0,25 0,25 0,25