PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỨC PHỔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2016 Câu 1: (5 điểm) 1  a , với a  2014 2016 2015 x b) Tìm số ngun x để tích hai phân số số nguyên x 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a  Câu 2: (5 điểm) a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab  a  b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF    F  a) Chứng minh MDH E b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Câu 4: (2 điểm) Cho số  a1  a2  a3   a15 Chứng minh a1  a2  a3   a15 5 a5  a10  a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A 1200 Các tia phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho   BIM CIN 300  a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC Hết Cán coi thi không giải thích thêm PHỊNG GD-ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 2.5 đ NỘI DUNG ĐÁP ÁN 1  a , với a  2014 2016 2015 1 1    Thay a  vào biểu thức P = 2015 2014 2015 2016 2015 1 1    Ta có P  2014 2015 2015 2016 1  P 2014 2016 2016  2014  P 2014.2016 2014.2016 1  P= 1007.2016 2030112 Điểm a) Tính giá trị biểu thức P = a  b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 x số nguyên x 1 2.5 đ Đặt A = x  x 1 x = x 1 2( x  1)  x 1 2x   x 1 2( x  1)   x 1 2  x 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Để A nhận giá trị nguyên x + Ư(4) =  1; 2; 4 Suy x   0;  2;1;  3;3;  5 2 a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab  a  b 1  a 1 b2  b 1 a b 1 Suy    a b ab Vậy ab  a  b Từ a   2đ 0.5 0.5 0.5 0.5 3đ b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Gọi diện tích ba hình chữ nhật S1 , S2 , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng d1 , r1; d , r2 ; d3 , r3 theo đề ta có S1 S2  ;  d1 d ; r1  r2 27; r2 r3 , d 24 S S3 0.5 0.5 Vì hình thứ hình thứ hai chiều dài S1 r1 r r r  r 27       3 S2 r2 9 Suy chiều rộng r1 12cm, r2 15cm Vì hình thứ hai hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d 7.24    d2   21cm S3 d 8 Vậy diện tích hình thứ hai S2 d r2 21.15 315 cm 4 Diện tích hình thứ S1  S2  315 252 cm 5 8 Diện tích hình thứ ba S3  S2  315 360 cm 7 3đ Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF    F  a) Chứng minh MDH E Hình vẽ đúng, xác Vì M trung điểm EF suy MD = ME = MF  MDE   ∆MDE cân M  E   phụ với E  Mà HDE F    Ta có MDH MDE  HDE    F  Vậy MDH E b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Trên cạnh EF lấy K cho EK = ED, cạnh DF lấy I cho DI = DH Ta có EF - DE = EF - EK = KF DF - DH = DF - DI = IF Ta cần chứng minh KF > IF   - EK = ED  ∆DHK  EDK EKD     - EDK  KDI EKD  HDK 900    KDI HDK - ∆DHK = ∆DIK (c-g-c)    KID DHK 900 Trong ∆KIF vuông I  KF > FI điều phải chứng minh Cho số  a1  a2  a3   a15 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (2đ) a1  a2  a3   a15 5 a5  a10  a15 Ta có a1  a2  a3  a4  a5  5a5 a6  a7  a8  a9  a10  5a10 a11  a12  a13  a14  a15  5a15 Suy a1  a2   a15  5(a5  a10  a15 ) a1  a2  a3   a15 5 Vậy a5  a10  a15 Chứng minh 0.5 0.5 0.5 0.5 (5đ) Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A 1200 Các tia phân phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh   BC lấy hai điểm M, N cho BIM CIN 300  a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC - Vẽ hình đúng, đủ, xác  a) Tính số đo MIN Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600 1 1 B  C 300 2   BIC 1500   Mà BIM CIN 300    MIN 900 b) Chứng minh CE + BF < BC    - BIC 1500  FIB EIC 300 Suy ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g)  BF = BM - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g)  CN = CE Do CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 - Một tốn có nhiều cách giải khác phù hợp đạt điểm tối đa Giám khảo cần thảo lụân, thống đáp án biểu điểm trước chấm